Chuong 4. Ham nhieu bien - e

Chương 4: HÀM NHIỀU BIẾN (FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES) 4.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA (DEFINITIONS) HÀM HAI BIẾN (FUNCTIONS OF TWO VARIABLES) ĐỊNH NGHĨA: Hàm số hai biến f quy tắc cho tương ứng cặp số thực có thứ tự ( x, y ) tập D  D    với số thực kí hiệu f ( x, y ) Tập D miền xác định (domain) tập T   f ( x, y ) | ( x, y )  D   miền giá trị (range) hàm f Ký hiệu hàm hai biến: z  f ( x, y ) với x, y biến độc lập z biến phụ thuộc Ví dụ 1: Với hàm số sau, tính f (3, 2) tìm miền xác định x  y 1 x 1 a f ( x, y )  b f ( x, y )  x ln  y  x  Giải: a  1  1 Miền xác định hàm số f : f (3, 2)  D  ( x, y) | x  y   0, x  1 b f (3, 2)  3ln  22  3  Miền xác định hàm số f : D  ( x, y ) | x  y  Ví dụ 2: Tìm miền xác định miền giá trị hàm số: g ( x, y)   x  y 152 Chương 4: HÀM NHIỀU BIẾN Giải: Miền xác định hàm số g :   ( x, y) x  D  ( x, y )  x  y    y2  D đĩa trịn có tâm (0, 0) bán kính Miền giá trị g: z z    x  y , ( x, y )  D  [0, 3]   x2  y  ĐỒ THỊ (GRAPHS) ĐỊNH NGHĨA: Nếu f hàm hai biến với miền xác định D đồ thị f tập hợp tất điểm ( x, y, z )  3 cho z  f ( x, y ) ( x, y ) thuộc D Ví dụ 3: Phác họa đồ thị hàm số f ( x, y )   3x  y Giải: z   3x  y  3x  y  z  : phương trình mặt phẳng Để vẽ mặt phẳng ta cần xác định giao điểm với trục tọa độ Cho y  z  , ta có x  : mặt phẳng giao trục Ox x  Tương tự, mặt phẳng giao trục Oy y  giao trục Oz z  Ví dụ 4: Phác họa đồ thị hàm số g ( x, y )   x  y Giải: z   x  y  x  y  z  Đây phương trình mặt cầu tâm O bán kính Vì z  nên đồ thị g nửa mặt cầu HÀM SỐ BA BIẾN HOẶC NHIỀU BIẾN HƠN (FUNCTIONS OF THREE OR MORE VARIABLES) Hàm số ba biến f quy tắc cho tương ứng số có thứ tự ( x, y, z ) thuộc miền xác định D   với số thực nhất, kí hiệu f ( x, y, z ) Ví dụ 5: Tìm miền xác định f với f ( x, y, z )  ln( z  y )  xy sin z 4.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA Giải: Hàm số xác định z  y  Vậy miền xác định hàm số là: D  ( x, y, z )   | z  y (đây tập điểm nằm phía mặt phẳng z  y ) Hàm số n biến f quy tắc cho tương ứng số có thứ tự ( x1 , x2 , , xn ) thuộc miền xác định D   n với số thực nhất, kí hiệu z  f ( x1 , x2 , , xn ) Ví dụ 6: Một cơng ty cần sử dụng n loại nguyên liệu khác để chế biến loại thực phẩm Nếu ci chi phí đơn vị sản phẩm xi số đơn vị sản phẩm sử dụng nguyên liệu thứ i tổng chi phí C dùng cho ngun liệu hàm số n biến x1 , x2 , , xn : C  f ( x1 , x2 , , xn )  c1 x1  c2 x2   cn xn 4.2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC (LIMITS AND CONTINUITY) GIỚI HẠN (LIMITS) ĐỊNH NGHĨA: Cho f hàm hai biến có miền xác định D chứa điểm gần ( a, b) Giới hạn f ( x, y ) ( x, y ) dần ( a, b) L với số   tồn tương ứng số   cho với ( x, y )  D  ( x  a)  ( y  b)   f ( x, y )  L   Ta viết: lim ( x , y )  ( a ,b ) f ( x, y )  L hay lim f ( x, y )  L hay f ( x, y )  L ( x, y )  (a, b) xa y b  Tập D ( a, b)  ( x, y )   : ( x  a )  ( y  b)   (a, b) , bán kính  3x y 0 Ví dụ 1: Chứng minh lim ( x , y ) (0, 0) x  y  gọi đĩa (disk) tâm 153 154 Chương 4: HÀM NHIỀU BIẾN Giải: Với   0, ta cần tìm   cho:  x  y   3x y    x2  y 3x2 y 3x2 y 0   y  y2  x2  y2 Ta có: x  y2 x  y2 Chọn    , ta có:  x2  y2    Vậy, 3x y     x  y  3      2 x y 3 3x y  ( x , y ) (0, 0) x  y lim Nếu f ( x, y )  L1 ( x, y )  (a, b) theo đường C1 f ( x, y )  L2 ( x, y )  (a, b) theo đường C2 với L1  L2 lim f ( x, y ) ( x , y )  ( a ,b ) khơng tồn Ví dụ 2: Chứng minh x2  y không tồn ( x , y )(0, 0) x  y lim Giải: x2  y Cho ( x, y )  (0, 0) dọc theo trục Ox y  : Đặt f  x, y   x  y2 x2 f ( x, 0)   1, x  nên f ( x, y )  x Cho ( x, y )  (0, 0) dọc theo trục Oy x  :  y2 f (0, y )   1, y  nên f ( x, y )  1 y Vậy, giới hạn cho không tồn Ví dụ 3: Cho f ( x, y )  xy , x2  y4 lim ( x , y )(0,0) f ( x, y ) có tồn hay không? Giải: Cho ( x, y )  (0, 0) dọc theo đường thẳng y  x : x3 x f ( x, y )  f ( x, x )   : f ( x, y )  ( x, y )  (0, 0) x x  x2 Cho ( x, y )  (0, 0) dọc theo parabol x  y : f ( x, y )  f ( y , y )  y4  : f ( x, y )  ( x, y )  (0, 0) 4 y x 2 Vậy, giới hạn cho không tồn Lưu ý: 4.2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC  Các luật tính giới hạn (về tổng, hiệu, tích, thương) Định lý kẹp trường hợp biến mở rộng cho trường hợp hai biến  lim ( x , y ) ( a , b ) x  a, lim ( x , y ) ( a , b ) y  b, lim ( x , y )( a , b ) c  c (c: số) LIÊN TỤC (CONTINUITY) ĐỊNH NGHĨA: Hàm số hai biến f liên tục (a, b) lim ( x , y )( a , b ) f ( x, y )  f (a, b) Ta nói f liên tục D f liên tục điểm (a, b) D Hàm đa thức (polynomial function) hai biến tổng số hạng có dạng cx m y n , c số, m, n số nguyên không âm, ví dụ: f ( x, y )  x  x3 y  xy  y  Hàm hữu tỷ (rational function) tỷ số hàm đa thức, ví dụ: x2  y g ( x, y )  xy Kết quả:  Các đa thức hàm liên tục  , hàm hữu tỷ liên tục miền xác định  Nếu f ( x, y ) liên tục D , g (t ) liên tục miền giá trị f h  g  f ( x, y)  liên tục D Ví dụ 4: Tính lim ( x , y ) (1,2) x y  x3 y  3x  y  Giải: Vì f ( x, y)  x y  x y  3x  y hàm đa thức nên liên tục 2 Do đó: lim ( x , y ) (1,2) x y  x3 y  x  y   f (1, 2)  11 x2  y liên tục miền nào? x2  y2 x2  y Giải: Hàm f ( x, y )  hàm hữu tỷ liên tục miền xác định D x  y2 Ví dụ 5: Hàm số f ( x, y )  với D  ( x, y )   | ( x, y )  (0, 0)  x2  y2  Ví dụ 6: Hàm số g ( x, y )   x  y , ( x, y )  (0, 0) liên tục miền  , ( x, y )  (0, 0) nào? 155 156 Chương 4: HÀM NHIỀU BIẾN Giải: Hàm g ( x, y ) xác định điểm (0, 0) khơng liên tục (0, 0) lim g ( x, y ) khơng tồn (xem Ví dụ 2) ( x , y )(0, 0) Vậy hàm g ( x, y ) liên tục D   \ (0,0) 4.3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN (DERIVATIVES AND DIFFERENTIALS) ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HAI BIẾN (PARTIAL DERIVATIVES OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES) Cho hàm hai biến f ( x, y ) , giả sử có biến x thay đổi cố định y ( y  b) Khi đó, hàm f trở thành hàm biến Đặt g ( x)  f ( x, b) , g có đạo hàm a , ta gọi đạo hàm riêng f x (a, b) kí hiệu f x (a, b) Do đó: f x (a, b)  g (a) với g ( x)  f ( x, b) Vì: g ( a )  lim h 0 g ( a  h)  g ( a ) nên: h f x ( a, b)  lim h 0 f ( a  h, b )  f ( a , b ) h Tương tự, đạo hàm riêng f y (a, b) là: f y ( a, b)  lim h 0 f ( a , b  h )  f ( a, b ) h Nếu f hàm hai biến, đạo hàm riêng hàm f x , f y xác định bởi: f ( x  h, y )  f ( x, y ) f x ( x, y )  lim h 0 h f ( x, y  h )  f ( x, y ) f y ( x, y )  lim h 0 h KÍ HIỆU ĐẠO HÀM RIÊNG: Nếu z  f ( x, y ) f  z  f ( x, y )   Dx f , x x x f  z f y ( x, y )  f y   f ( x, y )   Dy f y y y f x ( x, y )  f x  4.3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN QUY TẮC TÌM ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA z  f ( x, y ) : Để tìm f x , xem y số lấy đạo hàm f ( x, y ) x Để tìm f y , xem x số lấy đạo hàm f ( x, y ) y Ví dụ 1: Cho f ( x, y )  x3  x y  y , tìm f x (2, 1) f y (2, 1) Giải: Xem y số lấy đạo hàm x : f x ( x, y)  x  xy  f x (2, 1)  16 Xem x số lấy đạo hàm y : f y ( x, y )  x y  y  f y (2, 1)  f  x  f Ví dụ 2: Cho f ( x, y )  sin   , tính x y 1 y  Giải: Ta có:  x    x   x  f  cos  ,     cos   x   y  x   y  1 y  1 y  x    x   x  f x  cos       cos   y   y  y   y    y  (1  y ) z z Ví dụ 3: Tìm với z hàm ẩn theo hai biến x , y xác định x y phương trình: x  y  z  xyz  Giải: Xem y số, lấy đạo hàm hai vế phương trình cho theo biến x : z z z x  yz 3x  3z  yz  xy    x x x z  xy 2 z y  xz Tương tự, biến y ta được:  y z  xy ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM NHIỀU HƠN HAI BIẾN (PARTIAL DERIVATIVES OF FUNCTIONS OF MORE THAN TWO VARIABLES) Nếu f hàm số ba biến x, y z đạo hàm riêng x xác f ( x  h, y , z )  f ( x , y , z ) định f x ( x, y , z )  lim h 0 h Tương tự, ta có công thức đạo hàm riêng y z Tổng quát, u hàm n biến, u  f  x1 , x2 , , xn  , đạo hàm riêng u biến thứ i, xi , là: 157 158 Chương 4: HÀM NHIỀU BIẾN f  x1 , , xi 1 , xi  h, xi 1 , , xn   f  x1 , , xi , , xn  u  lim xi h0 h Ví dụ 4: Tìm f x , f y f z với f ( x, y, z )  e xy ln z Giải: Ta có: f x  ye xy ln z, f y  xe xy ln z, f z  e xy z ĐẠO HÀM CẤP CAO (HIGHER DERIVATIVES) Nếu f hàm hai biến, đạo hàm riêng f x , f y hàm hai biến Ta xét đạo hàm riêng  f x  x ,  f x  y ,  f y   f y  x y gọi đạo hàm riêng cấp hai hàm f Nếu z  f ( x, y ) , ta sử dụng kí hiệu sau đây:  f x x  f xx    f   f  z  ,   x  x  x x  fx y  f xy    f   f 2 z   ,   y  x  yx yx  f y x  f yx    f   f 2 z   ,   x  y  xy xy f    f   f  z    y  y  y y y y  f yy  Ví dụ 5: Tìm đạo hàm riêng cấp hai hàm số sau: f ( x, y)  x3  x y  y Giải: Ta có f x ( x, y )  x  xy , f y ( x, y )  x y  y   x  xy   x  y , f xy   3x  xy   xy ,  y x   f yx   x y  y   xy , f yy   3x y  y   x y  y x Vậy, f xx  ĐỊNH LÍ CLAIRAUT: Giả sử hàm f xác định đĩa D chứa điểm ( a, b) Nếu hàm số f xy f yx hàm số liên tục D f xy (a, b)  f yx ( a, b) HÀM KHẢ VI (DIFFERENTIABLE FUNCTIONS) Nếu hàm hai biến f có đạo hàm riêng liên tục, thực tương tự hàm biến, ta thiết lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc (tangent plane) với mặt z  f ( x, y ) điểm P ( x0 , y0 , z0 ) là: 4.3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN z  z0  f x ( x0 , y0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y0 )( y  y0 ) Rõ ràng điểm mặt phẳng tiếp xúc gần tiếp điểm P khoảng cách từ điểm đến mặt z  f ( x, y ) nhỏ Tức là, x thay đổi từ a đến a  x, y thay đổi từ b đến b  y số gia tương ứng z z  f (a  x, b  y )  f (a, b) ta có ước lượng sau, gọi xấp xỉ tuyến tính (linear approximation) hàm z  f ( x, y ) điểm ( a, b ) : z  f x (a, b) x  f y (a, b) y ĐỊNH NGHĨA: Hàm z  f ( x, y ) khả vi ( a, b) z biểu diễn dạng: z  f x (a, b)x  f y ( a, b) y  1x   y , với 1   ( x, y )  (0,0) Định lí sau cho phép ta kiểm tra tính khả vi hàm hai biến ĐỊNH LÍ: Nếu đạo hàm riêng f x , f y tồn gần ( a, b) liên tục ( a, b) f khả vi ( a, b) Ví dụ 6: Chứng minh f ( x, y)  xe xy khả vi (1, 0) tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc đồ thị f điểm Dùng phương trình vừa tìm ước lượng f (1.1,  0.1) Giải: Đạo hàm riêng là: f x ( x, y)  e xy  xye xy  f x (1, 0)  1, f y ( x, y )  x e xy  f y (1, 0)  Cả hai hàm f x f y liên tục (1, 0) nên f khả vi (1, 0) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc: z  f (1, 0)  f x (1, 0)( x  1)  f y (1, 0)( y  0)  z  x  y Xấp xỉ tuyến tính tương ứng: xe xy  x  y  f (1.1,  0.1)  1.1  0.1  159 160 Chương 4: HÀM NHIỀU BIẾN VI PHÂN (DIFFERENTIALS) Cho hàm hai biến khả vi z  f ( x, y ) , ta định nghĩa vi phân dx dy biến độc lập (có thể nhận giá trị bất kì) Khi đó, vi phân tồn phần (total differential) dz định nghĩa sau: dz  f x ( x, y )dx  f y ( x, y )dy  z z dx  dy x y Ví dụ 7: a Cho z  f ( x, y)  x  3xy  y , tìm vi phân dz b Nếu x thay đổi từ đến 2.05 y thay đổi từ đến 2.96 , so sánh giá trị z dz Giải: z z dx  dy  (2 x  y )dx  (3x  y )dy x y a dz  b Đặt x  2, dx  x  0.05, y  3, dy  y  0.04 , ta có: dz   2(2)  3(3)  (0.05)   3(2)  2(3)  ( 0.04)  0.65 Số gia z là: z  f (2.05, 2.96)  f (2, 3)  0.6449  dz QUY TẮC DÂY CHUYỀN (THE CHAIN RULE) QUY TẮC DÂY CHUYỀN (TRƯỜNG HỢP 1): Giả sử z  f ( x, y ) hàm khả vi theo biến x, y, với x  g (t ), y  h(t ) hàm khả vi theo biến t , z hàm khả vi theo biến t dz f dx f dy   dt x dt y dt hay dz z dx z dy   dt x dt y dt Ví dụ 8: Cho z  x y  xy , với x  sin 2t y  cos t Tính dz dt t  dz z dx z dy     xy  y  (2cos 2t )   x  12 xy  ( sin t ) dt x dt y dt dz  Khi t  ta có x  sin  y  cos  Do đó: dt t 0 Giải: QUY TẮC DÂY CHUYỀN (TRƯỜNG HỢP 2): Giả sử z  f ( x, y ) hàm khả vi theo biến x, y, với x  g ( s, t ), y  h( s, t ) hàm khả vi theo biến s t thì: z z x z y z z x z y   ,   s x s y s t x t y t 166 Chương 4: HÀM NHIỀU BIẾN L y  0, L  Giả sử (a, b) điểm tới hạn ứng với giá trị 0 Tính D  Lxx g y2  Lyy g x2  Lxy g x g y (a, b) Kết luận: a Nếu D  f (a, b) giá trị cực tiểu có điều kiện b Nếu D  f (a, b) giá trị cực đại có điều kiện Ví dụ 5: Tìm giá trị cực trị hàm số z  f ( x, y)  x  y  x với điều kiện x  y  Giải: Hàm Lagrange: L( x, y,  )  x  y  x   ( x  y  1)   x 1, y  0,    Lx  2 x   2 x       x   1, y  0,    Ly   4 y  2 y     x2  y    L     x   , y   ,    2 Các đạo hàm riêng: Lxx   2 , Lxy  0, Lyy   2 , g x  x, g y  y  Tại M1 (1, 0) : D  1(0)  3(2)  2(0)(2)0  12  : hàm số đạt cực tiểu có điều kiện z  M1    Tại M (1, 0) : D  ( 1)0  1( 2)  2(0)( 2)(0)   : hàm số đạt cực tiểu có điều kiện z  M     3 Tại M   ,  : D  (2)  2     0(1)2  2(0) 3(1)  6  : hàm số đạt cực đại có điều kiện z  M     3 Tại M   ,  :    D  (2)      0(1)  2(0)  (1)  6  : hàm số đạt cực đại có điều kiện z  M   GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI TUYỆT ĐỐI VÀ CỰC TIỂU TUYỆT ĐỐI CỦA HÀM HAI BIẾN TRÊN MỘT TẬP ĐÓNG BỊ CHẶN 4.4 GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI VÀ GIÁ TRỊ CỰC TIỂU Tập đóng (closed set)  tập chứa tất điểm biên nó, chẳng hạn đĩa D  ( x, y ) x  y    Tập bị chặn (bounded set)  tập chứa đĩa Trong  , tập đóng bị chặn ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ CỰC TRỊ CHO HÀM HAI BIẾN (EXTREME VALUE THEOREM FOR FUNCTIONS OF TWO VARIABLES): Nếu f liên tục tập đóng D   f đạt giá trị cực đại tuyệt đối giá trị cực tiểu tuyệt đối D Phương pháp tìm giá trị cực đại tuyệt đối giá trị cực tiểu tuyệt đối hàm hai biến f : Tìm giá trị cực đại cực tiểu tuyệt đối hàm số f liên tục tập đóng bị chặn D : Tìm giá trị f điểm tới hạn f D Tìm giá trị cực trị f biên D Giá trị lớn / nhỏ hai bước giá trị cực đại tuyệt đối/ cực tiểu tuyệt đối f D Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x, y )  x  y  x hình trịn D  ( x, y )   : x  y  1 Giải:  Tìm điểm tới hạn hàm f D :    fx  2x 1   x 1    M0  , 0  D  2   fy  4y   y   1  Ta có f  ,0    2   Tìm giá trị cực trị f biên D , tức x  y  : 167 168 Chương 4: HÀM NHIỀU BIẾN Theo Ví dụ 5, hàm Lagrange L( x, y,  )  x  y  x   ( x  y  1) có điểm tới hạn:  3  3 M (1, 0), M ( 1, 0), M   , , M4   ,     2   9 với f ( M )  0, f ( M )  2, f ( M )  , f ( M )  4 Vậy, hàm f có giá trị lớn đạt M M ; hàm f có  giá trị nhỏ  đạt M Ví dụ 7: Tìm giá trị cực đại tuyệt đối cực tiểu tuyệt đối hàm số f ( x, y )  x  xy  y hình chữ nhật D  ( x, y )  x  3,  y  2 Giải: Trước tiên ta tìm điểm tới hạn hàm số, ta có: f x  x  y , f y  2 x  Cho đạo hàm riêng ta tìm điểm tới hạn (1, 1) thuộc D Ta có f (1, 1)  Biên D gồm bốn đoạn thẳng L1 , L2 , L3 L4     Trên L1 , ta có y  f ( x, 0)  x ,  x  : giá trị nhỏ f (0, 0)  giá trị lớn f (3, 0)  Trên L2 , ta có x  f (3, y )   y,  y  : giá trị lớn f (3, 0)  giá trị nhỏ f (3, 2)  Trên L3 ta có y  f ( x, 2)  x  x   ( x  2) ,  x  : giá trị nhỏ f (2, 2)  giá trị lớn f (0, 2)  Cuối cùng, L4 ta có x  f (0, y )  y,  y  : giá trị lớn f (0, 2)  giá trị nhỏ f (0, 0)  Do đó, biên D , giá trị lớn 9, giá trị nhỏ Vậy giá trị cực đại tuyệt đối f D f (3, 0)  , giá trị cực tiểu tuyệt đối f D f (0, 0)  f (2, 2)  4.5 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ (APPLICATIONS TO ECONOMICS) HÀM SẢN XUẤT COBB – DOUGLAS (COBB - DOUGLAS PRODUCTION FUNCTION) 4.5 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Trong kinh tế, để nghiên cứu phụ thuộc đại lượng vào nhân tố ảnh hưởng khác nhau, ta thường sử dụng hàm số nhiều biến Chẳng hạn,  Lượng sản phẩm Q nhà máy không phụ thuộc vào khối lượng lao động L mà phụ thuộc vào vốn K , tức: Q  f ( L, K )  Chi phí C cần để nhà máy sản xuất loại sảnphẩm khác với sản lượng Q1 , Q2 , Q3 công ty hàm ba biến: C  C  Q1 , Q2 , Q3  Dưới giới thiệu hàm hai biến có nhiều ứng dụng kinh tế: hàm sản xuất Cobb - Douglas Năm 1928, Charles Cobb Paul Douglas giới thiệu mơ hình phát triển kinh tế Mỹ năm 1899 - 1922 Dưới góc nhìn đơn giản tỏ xác thực đáng giá, họ xem xét kinh tế số tổng sản phẩm sản xuất Nó phụ thuộc vào yếu tố: khối lượng lao động tổng tiền vốn đầu tư Hàm số họ sử dụng là: P( L, K )  bL K 1 P tổng giá trị sản phẩm (sản xuất năm), L khối lượng lao động (tổng số lao động năm) K số tiền vốn đầu tư (bao gồm giá trị tài sản máy móc, thiết bị, nhà xưởng) Cobb Douglas sử dụng liệu kinh tế phủ cơng bố để thiết lập bảng bên Họ chọn năm 1899 làm mốc P, L, K năm 1899 gán 100 Giá trị năm khác biểu diễn theo phần trăm năm 1899 Từ số liệu bên, họ tìm hàm số: P( L, K )  1.01 L0.75 K 0.25 Sử dụng mơ hình trên, ta tính tổng giá trị sản phẩm năm 1910 1920 sau: P(147, 208)  (1.01)(147)0.75 (208)0.25  161.9 P(194, 407)  (1.01)(194)0.75 (407)0.25  235.8 Các số liệu gần so với thực tế: 159 231 Hàm số P( L, K )  bL K 1 sử dụng nhiều sản xuất với quy mô rộng lớn: từ cơng ty tư nhân đến tồn kinh tế Nó gọi hàm sản xuất Cobb - Douglas ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN ĐO LƯỜNG SỰ THAY ĐỔI TUYỆT ĐỐI 169 170 Chương 4: HÀM NHIỀU BIẾN Trong phân tích kinh tế, ta giả sử biến phụ thuộc z (còn gọi biến nội sinh) phụ thuộc vào biến độc lập x1 , x2 , , xn (còn gọi biến ngoại sinh) dạng hàm số nhiều biến: z  f ( x1 , x2 , , xn ) Gọi thay đổi z zi có xi thay đổi lượng nhỏ xi : zi  f ( x1 , x2 , , xi  xi , , xn )  f ( x1 , x2 , , xi , , xn ) z lượng thay đổi trung bình z theo xi là: i xi  Trường hợp f có đạo hàm riêng theo xi , tốc độ thay đổi tức f ( x1 , , xn ) zi thời ( x1 , x2 , , xn ) là:  xi xi f ( x1 , , xn ) Nếu xi nhỏ, chẳng hạn xi  ta có: zi  xi   Trường hợp tất biến ngoại sinh thay đổi lượng nhỏ; kí hiệu x1 , x2 , , xn Để tính lượng thay đổi z biến f f nội sinh z ta dùng công thức: z  x1   xn  dz x1 xn Nếu thân xi biến nội sinh phụ thuộc vào hay nhiều biến độc lập, để đo lường lượng thay đổi z theo thay đổi xi ta sử dụng đạo hàm hàm hợp Ví dụ 1: Cho hàm cầu: Q  f ( P1 , P2 , P3 )  1000  0.5P12  P22  0.4 P32 Giả sử mức giá loại sản phẩm là: P1  20, P2  20, P3  10 Sản lượng biên theo mức giá là: Q Q Q   P1  20;  P2  80;  0.8 P3  8 P1 P2 P3 Ý nghĩa: Nếu tăng mức giá P1 lên 21 giữ nguyên mức giá P2  20, P3  10 lượng cầu Q giảm 20 đơn vị Tương tự: tăng P2 lên 21 giữ nguyên P1  20, P3  10 lượng cầu Q tăng 80 đơn vị; tăng P3 lên 11 giữ nguyên P1  20, P2  20 lượng cầu Q giảm đơn vị HỆ SỐ CO DÃN (ELASTICITY) Tương tự hàm biến, ta nói đến hệ số co dãn biến z theo biến xi mơ hình hàm số nhiều biến: z  f  x1 , x2 , , xn  Hệ số co dãn biến z theo biến xi định nghĩa:  zx ( x)  i Ý nghĩa: z x ( x) i xi z 4.5 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Hệ số co dãn đại lượng z theo đại lượng xi số đo độ thay đổi tương đối tính phần trăm z xi tăng tương đối lên 1% biến độc lập khác không thay đổi Ví dụ 2: Cho hàm cầu: Q  f ( P1 , P2 , P3 )  1000  0.5P12  P22  0.4 P32 Hệ số co dãn Q theo P1 :  QP1   P1 P1 P2  Q Q Giả sử mức giá loại sản phẩm: P1  20, P2  20, P3  10 Hệ số co dãn Q theo P1 là:  QP1   202  0.256 1560 Ý nghĩa: Nếu tăng mức giá P1 thêm 1% giữ nguyên mức giá P2  20, P3  10 lượng cầu Q giảm 0.256% ỨNG DỤNG CỰC TRỊ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN KINH TẾ Tùy theo mục tiêu toán kinh tế, ta sử dụng cực trị để tìm lời giải cho toán tối đa (chẳng hạn tối đa lợi nhuận), toán tối thiểu (chẳng hạn tối thiểu chi phí) Dưới số tốn Bài tốn Tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất để đạt lợi nhuận tối đa Một công ty sản xuất số loại sản phẩm điều kiện cạnh tranh hoàn hảo (nhà sản xuất bán sản phẩm với giá thị trường quy định) Gọi Pi (i  1, 2, , n) giá bán sản phẩm thứ i với sản lượng Qi C  C  Q1 , Q2 , , Qn  hàm tổng chi phí xét đơn vị thời gian Tìm số lượng sản phẩm Qi (i  1, 2, , n) cần sản xuất loại sản phẩm đơn vị thời gian cho để công ty đạt lợi nhuận tối đa Giải: Ta có doanh thu cơng ty R  PQ 1  P2 Q2   Pn Qn Khi hàm lợi nhuận   R  C Tìm số lượng sản phẩm Qi (i  1, 2, , n) cần sản xuất để lợi nhuận tối đa tức tìm  Q1 , Q2 , , Qn  cho Qi  (i  1, 2, , n) để hàm  đạt cực đại tuyệt đối Ví dụ 3: Một cơng ty sản xuất hai loại sản phẩm có số lượng sản phẩm Q1 , Q2 với mức giá P1  60, P2  75 hàm tổng chi phí C  Q1 , Q2   Q12  Q1Q2  Q22 Tìm số lượng sản phẩm Q1 , Q2 cần sản xuất để công ty đạt lợi nhuận tối đa Giải: Hàm doanh thu công ty là: R  Q1 , Q2   PQ 1  P2 Q2 Hàm lợi nhuận:   Q1 , Q2   PQ 1  P2 Q2  C  Q1 , Q2  , Q1  0, Q2  171 172 Chương 4: HÀM NHIỀU BIẾN Khi P1  60, P2  75 :   Q1 , Q2   60Q1  75Q2  Q12  Q1Q2  Q22 Điểm tới hạn hàm  xác định hệ phương trình: 60  2Q1  Q2   Q  15    75  Q1  2Q2  Q2  30 Ta có:  Q1Q1  2,  Q1Q2  1,  Q2Q2  2 Tại điểm (15, 30) : D   0,  Q1Q1  2    đạt cực đại địa phương (15, 30)  (15, 30)  1575 Vì  đa thức hai biến bậc hai nên  max   (15, 30)  1575 Vậy cơng ty có lợi nhuận tối đa 1575 mức sản xuất Q1  15, Q2  30 Bài tốn Tìm mức phân phối sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa Giả sử công ty sản xuất độc quyền loại sản phẩm tiêu thụ nhiều thị trường tách biệt Công ty cần định phân phối mức tiêu thụ sản phẩm cho thị trường để đạt lợi nhuận tối đa Để đơn giản trình bày, ta giả sử sản phẩm cơng ty có hai thị trường tiêu thụ tách biệt với hàm cầu P1  P1  Q1  , P2  P2  Q2  Q1 , Q2 số lượng sản phẩm tiêu thụ thị trường; hàm tổng chi phí: C  C (Q) với Q  Q1  Q2 (tổng sản phẩm đơn vị thời gian) Hãy tìm mức phân phối sản phẩm hai trị trường để công ty đạt lợi nhuận tối đa Giải: Doanh thu công ty thị trường là: R1  Q1   P1  Q1  Q1 , R2  Q2   P2  Q2  Q2 Lợi nhuận:   Q1 , Q2   R1  Q1   R2  Q2   C (Q) , Q  Q1  Q2 Ta có:     R1   CQ1  MR1  MC1 ,   R2   CQ2  MR2  MC2 Q1 Q2 Q1 Q2 Từ điều kiện cần cực trị suy ra:  MR1  MC1   MR1  MC1    MR1  MR2  MC   MR2  MC2   MR2  MC2 Kết luận: Muốn có lợi nhuận tối đa công ty cần phải phân phối sản phẩm cho thị trường cho doanh thu biên thị trường chi phí biên Sử dụng điều kiện đủ cực trị ta tìm mức phân phối sản phẩm cho thị trường để lợi nhuận tối đa Ví dụ 4: Giả sử cơng ty có hai trị trường với lượng cầu sau: 325  P1 425  P2 QD1  , QD2  , C (Q )  Q  15Q  20 4.5 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Tìm mức cung Q1 , Q2 để lợi nhuận công ty đạt tối đa Giải: Giả sử công ty cung cấp cho thị trường với số lượng sản phẩm Q1 , Q2 cơng ty phải bán với giá P1 , P2 cho: P1  325  4Q1 , P2  425  5Q2 Doanh thu công ty thị trường: R1   325  4Q1  Q1 , R2   425  5Q2  Q2 Khi đó: MR1  325  8Q1 , MR2  425  10Q2 MC   Q1  Q2   15 Lợi nhuận công ty xác định bởi:   R1  R2  C (Q) Điểm tới hạn hàm  xác định hệ phương trình:  MR1  MC 10Q1  2Q2  310  Q  25       MR2  MC 2Q1  12Q2  410 Q2  30 Ta có:  Q1Q1  10,  Q1Q2  2,  Q2Q2  12 Tại điểm (25, 30) : D  116  0,  Q1Q1  10  Do  đạt cực đại địa phương (25, 30)  (25, 30)  10005 Vì  đa thức hai biến bậc hai nên  max   (25, 30)  10005 Vậy, để tối đa lợi nhuận công ty cần cung cấp cho thị trường thứ 25 đơn vị sản phẩm với đơn giá P1  225 , cung cấp cho thị trường thứ hai 30 đơn vị sản phẩm với đơn giá P2  275 Bài toán Tối đa lợi ích người tiêu dùng Giả sử người tiêu dùng dành số tiền m để chi mua hai mặt hàng với số lượng x, y với đơn giá P1 , P2 Mức hữu dụng tiêu dùng mà hai hàng hóa đem lại u ( x, y ) Hàm u ( x, y ) gọi hàm hữu dụng (utility function) Người tiêu dùng mua mặt hàng với số lượng để đạt lợi ích cao nhất? Giải: Người tiêu dùng cần tìm x, y để tối đa hàm hữu dụng u ( x, y ) với ràng buộc P1 x  P2 y  m Lập hàm Lagrange: L  u ( x, y )    P1 x  P2 y  m  Từ điều kiện cần cực trị điểm tới hạn  x , y ,   ta có: (1)  Lx  u x   P1   (2)  Ly  u y   P2  L  P x  P y  m    uy u  Từ (1) (2) suy ra: x  P1 P2 (3) 173 174 Chương 4: HÀM NHIỀU BIẾN Hệ thức (3) cho điều kiện cần cân lợi ích, cịn gọi ngun tắc cân tiêu dùng cận biên (law of equimarginal utilities) Tương tự, ta tìm cực trị có điều kiện cho toán:  Tối đa sản lượng Q  f ( x, y ) với ràng buộc chi phí: C  P1 x  P2 y  F ; P1 , P2 chi phí để sản xuất x y lượng hàng hai mặt hàng; số F chi phí cố định  Tối thiểu hàm chi phí C  C ( x, y ) với ràng buộc sản lượng Q  f ( x, y ) Ví dụ 5: Cho hàm hữu dụng u  xy  y , x lượng hàng hóa A , y lượng hàng hóa B Hãy chọn túi hàng có lợi ích tối đa điều kiện giá hàng hóa A dollar đơn vị sản phẩm, giá hàng hóa B 20 dollar đơn vị sản phẩm ngân sách tiêu dùng 185 dollar Giải: Điều kiện ràng buộc ngân sách tiêu dùng: x  20 y  185  g ( x, y )  x  20 y  185  Lập hàm Lagrange: L  ( xy  y)   (5 x  20 y  185) Từ điều kiện cần cực trị điểm tới hạn ta có:  Lx  y  5    Ly  x   20   L  x  20 y  185    Giải hệ ta được: x  17, y  5,   Suy có điểm tới hạn: M (17, 5) Các đạo hàm riêng: Lxx  0, Lxy  1, Lyy  0, g x  5, g y  20 Tại M (17, 5) : D  0(20)  0(5)  2(1)(5)(20)  200  : hàm số đạt cực đại có điều kiện u ( M )  100 Vậy cần chọn 17 hàng hóa A hàng hóa B để đạt lợi ích tối đa Nhận xét: Do điều kiện ràng buộc ngân sách tiêu dùng có dạng bậc nên từ ràng buộc ta biểu diễn y theo x thay vào biểu thức hàm u để đưa hàm u thành hàm biến số sau tìm cực trị hàm u BÀI TẬP CHƯƠNG Bài tập Chương 4.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA Cho f ( x, y )  ln( x  y  1) a Tính f (1, 1), f (e, 1) b Tìm phác họa miền xác định f c Tìm miền giá trị f Cho f ( x, y , z )  e x2  y  z a Tính f (2,  1, 6) b Tìm miền xác định f c Tìm miền giá trị f Cho g ( x, y, z )  ln  36  x  y  z  a Tính g (2,  2, 1) b Tìm miền xác định g c Tìm miền giá trị g Tìm miền xác định hàm số sau: a f ( x, y )  ln   x  y  b f ( x, y )  arcsin  x  y   c y  x2 f ( x, y )   x2 d f ( x, y, z )   x  y  z 4.2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Tính giới hạn sau, tồn tại, chứng minh giới hạn cho không tồn a c e x sin y ( x , y )(0,0) x  y lim lim ( x , y ) (0,0) lim ( x , y ) (0,0) xy x2  y sin  x  y  x2  y2 b d f   y2  lim ln   ( x , y ) (1,0)  x  xy  x2  y lim ( x , y ) (0,0) x2  y2   xy lim ( x , y ) (0,0) x  y Tìm tập hợp điểm mà hàm số liên tục a f ( x, y )  ln  x  y   175 ... )  ta giải tìm y theo x (hay x theo y ), ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange (Lagrange multiplier method) sau: PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE (METHOD OF LAGRANGE MULTIPLIERS): Tìm giá trị cực... tồn (xem Ví dụ 2) ( x , y )(0, 0) Vậy hàm g ( x, y ) liên tục D   (0,0) 4.3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN (DERIVATIVES AND DIFFERENTIALS) ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HAI BIẾN (PARTIAL DERIVATIVES OF FUNCTIONS... dụ 4: Tìm f x , f y f z với f ( x, y, z )  e xy ln z Giải: Ta có: f x  ye xy ln z, f y  xe xy ln z, f z  e xy z ĐẠO HÀM CẤP CAO (HIGHER DERIVATIVES) Nếu f hàm hai biến, đạo hàm riêng f x