Giải tích 1|Gải tích Hàm nhiều biến | Giải tích đại học | Toán kĩ thuật| Giả tích hàm 1 biến |Giải tích hàm nhiều biến | Toán Giải tích nâng cao âfagfgafgagfagafggggggggggggg ag adg adgafga fg fg agag
VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1) Vẽ đồ thị tìm tập giá trị hàm số a) b) z(x, y) x y z(x, y) ln(1 x y ) 2) a) z(x, y) xy 3) a) Vẽ đồ đồng mức cách vài đồng mức hàm số u(x, y) y x c) u(x, y) x ln y Mô tả mặt mức hàm số u 4) b) x y2 z2 b) u x y z Tìm giới hạn tồn giới hạn khơng tồn tạị hàm lim x y2 x x2 a) y y2 ; Lời giải Đặt y kx (k 0) x y lim k khác lim x b) y Lời giải không tồn x sin y x 2y ; x y2 x x2 y y2 lim x (1 k ) x x (1 k2 ) (1 k ) (1 k ) nhận giá trị khác với Đặt y kx (k 0) x y lim 1 k x sin y lim x 2y2 x y x sin kx (kx) (1 2k ) k2 (1 2k ) x sin y lim giá trị khác với k khác không tồn nhận x y x 2y2 x cos y lim x 2x c) y y2 ; Lời giải Đặt y kx (k 0) x y x cos y lim x 2x y y2 lim cos kx k2 x k2 lim nhận giá trị khác với k khác lim không tồn x cos y x 2x y y2 x sin y x x2 d) y y2 ; Lời giải 0 x sin y x y lim x (x e) y Lời giải x sin y x x 2y 1) y ; sin y (x, y) (0,0) lim x sin y x x2 y y2 0 x 2y lim 1) y x (x y 3 hàm số f (x, y) x 2y (x 1) y liên tục (1,1) x y x3 lim x x2 f) y sin y ; Lời giải sin y y o(y ) y Ta có 0 x2 y x3 x sin y2 x2 y x3 lim x x2 y lim sin y x y x3 x y o(y ) x y x3 x2 x y (x, y) (0,0) 0 x y2 x h) y x y2 Lời giải x y2 lim x y 2 x y 4 lim (x y )( x y 2) x y x y2 5) Xác định tập lớn hàm số liên tục: a) u xy x y3 Lời giải u xy x y3 hàm số xác định 2 (x y 0 ,nên liên tục Vậy tập xác định lớn hàm số liên tục tập 2 (x y 0 4 x f (x, y) y b) y x y x Lời giải hàm số liên tục nên 6) x, y : y x lim2 f (x, y) lim2 f (x, y) x f (x, x ) y x f (x, y) liên tục y x hàm số liên tục y x 2 Xét liên tục hàm số f(x,y) 10 1 exp x sin 10 cos 10 xy 0 f (x, y) x y x y 0 a) (0,0);(1,0);(0,1) Lời giải 1 lim exp x10 sin 10 cos 10 1 x x y +) y x10 sin 1 cos x10 x 0, y 10 10 x y Hàm số liên tục +) không tồn O(0,0) 1 lim exp x10 sin 10 cos 10 x1 x y y hàm số không liên tục O(1,0) khơng tồn lim cos x y 1 y10 cos1 lim cos y y10 1 lim exp x10 sin 10 cos 10 cos1 f (0,1) x x y +) y , lim x10 sin x y 1 x10 1 O(0,1) hàm số không liên tục (1 x) f (x, y) e e b) x cos y x 0 x 0 O(0,0) Lời giải lim e(1 x) x cos y lim x 0 y x y Vì (1 x) x cos y e cos x xy xy 0 f (x, y) (1 sin xy) e x y 0 c) hàm số liên tục tại O(0,0) O(0,0) Lời giải lim (1 sin xy) Vì cos x xy x y Hàm số liên tục O(0,0) lim (1 sin xy) x y cos x xy sin xy sin xy x y2 sin f (x, y) x y d) 0 x y 0 x y 0 Lời giải Đặt y kx (k 0) x y lim sin x y x y2 x y2 lim sin x k2 k2 sin nhận giá trị khác cho k giá trị khác Hàm số không liên tục e O(0,0) k2 k2 O(0,0) 2 (x y )sin x y 0 2 x y f (x, y) x y 0 e) O(0,0) Lời giải (x y2 )sin x y x y (x, y) (0,0) lim (x y )sin 0 x x y2 y 7) Hàm số f (x, y) sin Hàm số liên tục O(0,0) 1 x y2 liên tục hình trịn x y2 ? Lời giải *Chọn 0 với dãy Thỏa mãn 1 1 (x n , yn ), x n yn n 2n (x n , y n ), x n y n (x n , y n ),(x n , yn ) x y 1 2 2 2n (x n x n ) (y n yn ) 2(x n x n ) 2 1 n n 2n 2n n n 1 n n 2n n 2n f (x n , y n ) f (x n , yn ) sin hình trịn 8) a) 1 n n sin n 1 0 f (x, y) không liên tục x y2 Tìm đạo hàm riêng cấp hàm số sau mô tả chúng hệ sốgóc: u x 2x y2 3xy3 Lời giải u x 2x y 3xy u x 4x 4xy 3y3 Đối với u x 4x 4xy 3y3 cho y y0 co n s t u y 4x y 9xy cho x giá trị khác nhau,ứng với x giá trị u x 4x 4xy 3y3 tương ứng thu hệ số góc tiếp tuyến đường cong u x 2x y 3xy3 (x, y ) y y tương tự cho trường hợp b) u u y 4x y 9xy x y xy Lời giải u x y 2y 2x y u x ;u xy (x y) (x y) Đối với u x ứng với 2y (x y) x y0 giá trị tuyến đường cong tương tự cho trường hợp c) y y0 co n s t u x u y ; cho x giá trị khác nhau, 2y (x y) x y u xy y y (x, y ) u x ln(x y3 ) Lời giải cho 2x (x y) tương ứng thu hệ số góc tiếp 3 3 u x ln(x y ) u x ln(x y ) Đối với u x ln(x y3 ) x y3 u y 3xy x y3 3x x y3 cho y y0 co n s t nhau,ứng với 3x x y0 giá trị u x ln(x y ) cho x giá trị khác 3x x y3 tương ứng thu hệ số góc tiếp tuyến đường cong u x ln(x y3 ) (x, y ) y y0 tương tự cho trường hợp d) u y 3xy x y3 u xe3/ y ; Lời giải u xe Đối với 3/ y u x e 3/ y u y 3x y e3/ y u x e3/ y cho y y0 co n s t 0 tương ứng thu hệ số góc tiếp tuyến đường cong tương tự cho trường hợp e) u y u xy z3 ln z 3x y e3/ y cho x giá trị khác nhau,ứng với giá trị u u xe3/ y y y0 0 (x, y0 ) ; Lời giải u xy z ln z u x y z ; u y 2xyz ; u z 3xy z z u x e3/ y f) u(x, y.z.t) xz tg(yt) Lời giải u x z tan(yt);u y xzt tan (yt) ;u z x tan(yt);u t xzy tan (yt) 9) a) Tìm đạo hàm riêng hàm u tính chúng điểm u sin(xyln z) M(1,0,1) ; Lời giải u sin(xyln z) u x yln z cos(xyln z); u y x ln z cos(xyln z); u z xy cos(xyln z) z u x (1,0,1) u y (1,0,1) u z (1,0,1) 0 b) u xy3z3 M(1,2,0) Lời giải u xy3z3 u x y 3z ; u y 3xy z3 ; u z 3xy3z u x (1,2,0) u y (1,2,0) u z (1,2,0) 0 2 10) Giả sử hàm f g khả vi, đặt z yf (x y ) Chứng minh zx zy z x y y và u y g(x y ) yu x xu y x Lời giải +) z yf (x y ) z x 2xyf (x y );z y f (x y ) 2y 2f (x y ) zx zy f (x y2 ) f (x y ) z 2 2 2yf (x y ) 2yf (x y ) x y y y y +) u y g(x y ) u x 2xg (x y );u y 1 2yg (x y ) yu x xu y x 2xyg (x y ) x 2xyg (x y ) x đpcm đpcm 11) Tìm z z ; s t z x 2xy 3y với x s t ; y st s 1; t 0 Lời giải x(1,0) 1; y(1,0) 0 z z x z y (2x 2y) (2x 6y)t (s, t) (1,0) s x s y s (s,t) (1,0) 2(t s ts) (2s 2t 6ts)t (s,t) (1,0) 2 z z x z y (2x 2y) (2x 6y)s (s,t) (1,0) 4 s x t y t (s, t) (1,0) 12) Tìm zx ;zy hàm số z z(x, y) xác định : x y z 4xyz a) ; Lời giải Đặt F(x, y,z) x y z 4xyz zx (x, y) b) Fx (x, y,z) x 2yz Fz(x, y,z) z 2xy zy (x, y) Fy (x, y,z) Fz(x, y,z) y 2xz z 2xy xz ln(x y z) Lời giải Đặt F(x, y, z) xz ln(x y z) Fx z 1 ;Fy ;Fz x xyz x yz x yz zx (x, y) Fy Fx z(x y z) 1 zy (x, y) Fz x(x y z) Fz x(x y z) 13) Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm ẩn để tìm