Chương 6 hàm nhiều biến

Chương 6 Hàm nhiều biến Trang | 1 Phần 2 GIẢI TÍCH Gv Phan Ngô Tuấn Anh Khoa Toán – Thống Kê, UEH Chương 6 Hàm nhiều biến Trong chương này, ta khảo sát hàm 2 biến số Tất cả các định nghĩa, kết quả đối.

Chương 6: Hàm nhiều biến Phần GIẢI TÍCH Gv: Phan Ngơ Tuấn Anh Khoa Tốn – Thống Kê, UEH Chương Hàm nhiều biến Trong chương này, ta khảo sát hàm biến số Tất định nghĩa, kết hàm biến mở rộng cho hàm biến… I Giới thiệu hàm biến 1.1 Khái niệm Trước hết, nhắc lại tập hợp  tập hợp bao gồm phần tử có dạng (x, y) , với x y số thực tùy ý:   (x, y) / x  , y   Về mặt hình học phần tử (x, y)   điểm nằm mặt phẳng tọa độ Oxy ta đồng  với mặt phẳng Oxy Cho D tập hợp  , phần tử D có dạng (x, y) Một phép biến đổi f liên kết phần tử (x, y)  D với số thực f (x, y) gọi hàm biến xác định D (nói cho đơn giản hàm biến biểu thức phụ thuộc vào biến x y) Ví dụ: f (x, y)  2x  3y  hàm biến, xác định với (x, y)   , hàm bậc biến x y, gọi hàm tuyến tính Ví dụ: f (x, y)   x  y hàm biến, xác định điểm (x, y) thỏa  x  y2   x  y2  Trang | Chương 6: Hàm nhiều biến Miền xác định hàm hình trịn có tâm gốc (0, 0) , bán kính Ví dụ: Giá mặt hàng p1  30, p  25 Nếu lượng hàng mua tương ứng x y đơn vị tổng chi phí mua mặt hàng hàm biến: C(x, y)  p1x  p y  30x  25y Ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất mặt hàng Gọi x y sản lượng mặt hàng chi phí sản xuất xí nghiệp hàm biến C(x, y) , gọi hàm chi phí Tương tự, ta có hàm doanh thu R(x, y) , hàm lợi nhuận (x, y) … Ví dụ: Sản lượng Q xí nghiệp phụ thuộc vào yếu tố đầu vào lượng lao động L (Labor) lượng vốn đầu tư K (Capital) Vậy Q hàm biến Q  Q(L, K) , gọi hàm suất Về hình học, đồ thị hàm biến biểu diễn hệ trục tọa độ vng góc chiều Oxyz Nếu z  f (x, y) hàm biến đồ thị hàm z  f (x, y) hệ trục Oxyz mặt cong mặt phẳng (đồ thị mặt phẳng hàm z  f (x, y) hàm tuyến tính) 1.2 Đạo hàm riêng (partial derivatives) Cho hàm biến f (x, y) Nếu xem x biến số (xem y số) f (x, y) trở thành hàm biến số x mà (hàm biến) Khi lấy đạo hàm hàm số (với biến số x) ta đạo hàm riêng theo biến x, ký hiệu f x (x, y) Tương tự, ta có đạo hàm riêng theo biến y, ký hiệu f y (x, y) Khi tính đạo hàm riêng theo biến số ta xem biến số biến số nhất, tất biến lại xem số Ví dụ: f (x, y)  3x  7y   Xem x biến số (y số): f x (x, y)   Xem y biến số (x số): f y (x, y)  7 Trang | Chương 6: Hàm nhiều biến Ví dụ: f (x, y)  x  y  Xem x biến số (y số): f x (x, y)  4x  Xem y biến số (x số): f y (x, y)  2y Ví dụ: f (x, y)  x y  Xem x biến số (y số): f x (x, y)  5x y  Xem y biến số (x số): f y (x, y)  x 2y  2x y Ví dụ: f (x, y)  3x  2xy  9y  7x  4y   Xem x biến số (y số): f x (x, y)  6x  2y   Xem y biến số (x số): f y (x, y)  2x  18y  Ví dụ: f (x, y)  x e y  Xem x biến số (y số): f x (x, y)  2xe y  Xem y biến số (x số): f y (x, y)  x 2e y Ví dụ: f (x, y)  x 3e7 y  Xem x biến số (y số): f x (x, y)  3x e y  Xem y biến số (x số): f y (x, y)  x (7e7 y )  7x 3e7 y Ví dụ: f (x, y)  x tan y  Xem x biến số (y số): f x (x, y)  2x tan y  Xem y biến số (x số): f y (x, y)  x  x2  cos y cos y Ví dụ: f (x, y)  x  5y  Xem x biến số (y số): f x (x, y)   2 x  5y  (x  5y)x  2 x  5y  2x  x x  5y Xem y biến số (x số): Trang | Chương 6: Hàm nhiều biến f y (x, y)  2 x  5y  (x  5y)y   ( 5)   2 x  5y 2 x  5y Ví dụ: f (x, y)  ln(2y  x )  Xem x biến số (y số): f x (x, y)   1 5x   (2y  x )   (  5x )   x 2y  x 2y  x 2y  x Xem y biến số (x số): f y (x, y)  Ví dụ: f (x, y)  exy 1  (2y  x )y  2  5 2y  x 2y  x 2y  x 2 2  Xem x biến số (y số): f x (x, y)  e xy (xy )x  e xy y  Xem y biến số (x số): f y (x, y)  e xy (xy )y  e xy (x.2y)  2xye xy Ví dụ: f (x, y)  x sin(3x  y)  Xem x biến số (y số) : f x (x, y)  [x sin(3x  y)]x  (x )x sin(3x  y)  [sin(3x  y)]x x     uv u v  vu Vì (x )x  2x [sin(3x  y)]x  cos(3x  y).(3x  y)x  cos(3x  y).3 nên thay vào ta được: f x (x, y)  2x sin(3x  y)  3cos(3x  y)x  Xem y biến số (x số): f y (x, y)  [x sin(3x  y)]y  x [sin(3x  y)]y  x cos(3x  y).(3x  y)y  x cos(3x  y).(1)   x cos(3x  y) Ví dụ: Cho hàm suất Cobb-Douglas Q  Q(L, K)  aL K  Trong đó, Q sản lượng, L lượng lao động (Labor), K lượng vốn đầu tư (Capital) , a,  ,  số thỏa a  0;  ,   a) Tính suất biên theo lao động, theo vốn nêu ý nghĩa: Trang | Chương 6: Hàm nhiều biến Năng suất biên theo lao động (Marginal Product of Labor) biên tế hàm suất Q theo lượng lao động L, đạo hàm riêng Q theo biến số L: MPL  QL  aL1K  Giá trị MPL cho ta biết, với lượng vốn đầu tư (vốn K không đổi), lượng lao động L tăng thêm đơn vị sản lượng Q tăng thêm đơn vị Tương tự, suất biên theo vốn (Marginal Product of Capital) biên tế hàm suất Q theo vốn đầu tư K, đạo hàm riêng Q theo biến số K : MPK  QK  aL ( K 1 )  a L K 1 Giá trị MPK cho ta biết, với lượng lao động (L không đổi), lượng vốn đầu tư K tăng thêm đơn vị sản lượng Q tăng thêm đơn vị b) Tính độ co giãn hàm Q theo L, theo K nêu ý nghĩa: Trước tiên, nhắc lại rằng, x y đại lượng kinh tế có quan hệ hàm số y  y(x) độ co giãn (Elasticity) y theo x cho công thức : E y  y  x dy x   y dx y Giá trị E y cho ta biết, tăng đại lượng x thêm 1% đại lượng y biến thiên phần trăm Vậy, độ co giãn Q theo L là: E QL  QL  L L  aL1K       Q aL K Kết E QL   nói rằng, tăng lượng lao động L thêm 1% (giữ nguyên lượng vốn đầu tư K) sản lượng Q tăng thêm % Độ co giãn Q theo K: E QK  QK  K K  aL K 1      Q aL K Kết E QK   nói rằng, tăng lượng vốn đầu tư K thêm 1% (giữ nguyên lượng lao động L) sản lượng Q tăng thêm % Chẳng hạn, cho Q  2L0.4 K 0.6 E QL  0.4; E QK  0.6 Điều có nghĩa là, lượng lao động tăng thêm 1% sản lượng tăng thêm 0.4%, lượng vốn đầu tư tăng 1% sản lượng tăng thêm 0.6% Trang | Chương 6: Hàm nhiều biến Bây giờ, ta nói đạo hàm riêng cấp Các hàm f x (x, y) f y (x, y) hàm biến Khi ta lấy đạo hàm riêng hàm ta đạo hàm riêng cấp hàm f (x, y) , cụ thể là:  f x2 (x, y)   f x (x, y) x : lấy đạo hàm lần theo biến x  f y2 (x, y)  f y (x, y)  : lấy đạo hàm lần theo biến y y   (x, y)   f x (x, y) y : lấy đạo hàm theo x trước, y sau f xy  f yx (x, y)   f y (x, y)  : lấy đạo hàm theo y trước, x sau x (ta gọi f xy (x, y) f yx (x, y) đạo hàm riêng cấp hỗn hợp) Ví dụ: Tính đạo hàm riêng cấp hàm f (x, y)  3x  5xy  6y  8x  4y  20 Ta có: f x (x, y)  6x  5y  f y (x, y)  5x  12y  Do đó, f x2 (x, y)  (6x  5y  8)x  f y2 (x, y)  (5x  12y  4)y  12  (x, y)  (6x  5y  8)y  5 f yx (x, y)  ( 5x  12y  4)x  5 f xy (trong ví dụ này, ta thấy f xy (x, y)  f yx (x, y) ) Ví dụ: Tính đạo hàm riêng cấp hàm f (x, y)  4x  y5  10x  15y  78 Ta có: f x (x, y)  12x  20x f y (x, y)  5y  15 Do đó, f x2 (x, y)  (12x  20x)x  24x  20 f y2 (x, y)  (5y  15)y  20y f xy (x, y)  (12x  20x)y  f yx (x, y)  (5y  15)x  (trong ví dụ này, ta lại thấy f xy (x, y)  f yx (x, y) ) Ví dụ: Tính đạo hàm riêng cấp hàm f (x, y)  e xy Ta có: f x (x, y)  (e xy )x  e xy (xy)x  e xy y  ye xy f y (x, y)  (e xy )y  e xy (xy)y  e xy x  xe xy Trang | Chương 6: Hàm nhiều biến Do đó, f x2 (x, y)  (ye xy )x  y.(e xy )x  y.(ye xy )  y2e xy f y2 (x, y)  (xe xy )y  x.(e xy )y  x.(xe xy )  x e xy xy  y e xy  (e xy )y y  1.e xy  (xe xy ).y  e xy (1  xy) f xy (x, y)  (ye ) y  (y)    uv u v  vu xy x e xy  (e xy )x x  1.e xy  (ye xy ).x  e xy (1  xy) f yx (x, y)  (xe  )x  (x)    uv u v  vu (trong ví dụ này, ta lại thấy f xy (x, y)  f yx (x, y) ) Ví dụ: Tính đạo hàm riêng cấp hàm f (x, y)  x sin 5y Ta có : f x (x, y)  (x sin 5y)x  2x sin 5y f y (x, y)  (x sin 5y)y  x (sin 5y)y  x (5cos 5y)  5x cos 5y Do đó, f x2 (x, y)  (2x sin 5y)x  sin 5y f y2 (x, y)  (5x cos 5y)y  5x (cos 5y)y  5x ( 5sin 5y)  25x sin 5y  (x, y)  (2x sin 5y)y  2x.(sin 5y)y  2x.(5 cos 5y)  10x cos 5y f xy f yx (x, y)  (5x cos5y)x  5cos5y.(x )x  5cos5y.(2x)  10x cos5y (trong ví dụ này, ta lại thấy f xy (x, y)  f yx (x, y) ) Ghi chú: Trong phạm vi chương trình, hàm biến f (x, y) thỏa f xy (x, y)  f yx (x, y) Điều nói rằng, việc lấy đạo hàm riêng hỗn hợp không phụ thuộc vào thứ tự biến số, nghĩa việc lấy đạo hàm theo x trước, y sau theo y trước, x sau cho đáp số BÀI TẬP Tính đạo hàm riêng cấp hàm số: a) f (x, y)  (3x  2y)5 b) f (x, y)  ln(x  xy  5y) c) f (x, y)  x tan 4y Trang | Chương 6: Hàm nhiều biến Tính đạo hàm riêng cấp hàm số f (x, y)  5xe3y II Cực trị (extrema) Tương tự hàm biến, ta có khái niệm cực đại, cực tiểu (địa phương) hàm biến Trong hình ảnh đây, ta thấy hàm số có cực đại cực tiểu Để tìm cực trị (cực đại, cực tiểu) địa phương hàm f (x, y) , ta thực bước: Bước (điều kiện cần): Tìm điểm dừng hàm f (x, y) Điểm dừng hàm f (x, y) nghiệm hệ phương trình f x (x, y)    f y (x, y)  Nếu hệ vô nghiệm, ta kết luận hàm f (x, y) khơng có điểm dừng nên khơng có cực trị Nếu hệ có nghiệm, chẳng hạn (x , y0 ) ta gọi (x , y ) điểm dừng chuyển qua bước Bước (điều kiện đủ) Kiểm tra hàm f (x, y) có đạt cực trị điểm dừng hay khơng? Giả sử (x , y0 ) điểm dừng, ta tính đạo hàm riêng cấp hàm f (x, y) (x , y0 ) lập ma trận  (x , y )   f 2 (x , y ) f xy H x  f xy  (x , y ) f y2 (x , y )    Sau đó, tính H1  f x2 (x , y0 ) H  det H  f x2 (x , y0 )f y2 (x , y0 )   f xy (x , y0 )  Dựa vào dấu H , ta có kết luận:  Nếu H  hàm f (x, y) khơng đạt cực trị (x , y0 ) Trang | Chương 6: Hàm nhiều biến  Nếu H  hàm f (x, y) đạt cực trị (x , y0 ) , cụ thể là:  Nếu H1  hàm f (x, y) đạt cực tiểu (x , y )  Nếu H1  hàm f (x, y) đạt cực đại (x , y ) Ví dụ: Tìm cực trị hàm f (x, y)  3xy  x  y3 Điều kiện cần: Tìm điểm dừng hàm f (x, y) f x (x, y)  Giải hệ phương trình  f y (x, y)  Ta có f x (x, y)  3y  3x f y (x, y)  3x  3y Vậy, hệ phương trình trở thành 3y  3x   y  x (1)   2 3x  3y   x  y (2) Ta giải hệ phương pháp Thay y  x (1) vào (2) được: x   x   x  x  x(1  x )  Vậy, x  hay  x   x   x  Với x  y  x  02  , ta có điểm dừng (0, 0) Với x  y  x  12  , ta có điểm dừng (1,1) Vậy, hàm f (x, y) có điểm dừng (0, 0) (1,1) Điều kiện đủ: Kiểm tra hàm f (x, y) có đạt cực trị điểm dừng hay không?  (x, y)   f 2 (x, y) f xy Xét ma trận H   x  f xy  (x, y) f y2 (x, y)    với f x2 (x, y)  (3y  3x )x  6x  (x, y)  (3y  3x )y  f xy f y2 (x, y)  (3x  3y )y  6y   6x Thay vào ma trận H H     6y  Trang | Chương 6: Hàm nhiều biến   3 Tại điểm dừng (0, 0) H     H1  0; H  det H  9 3 0 Vì H  nên hàm f (x, y) không đạt cực trị điểm dừng (0, 0)  3  6 Tại điểm dừng (1,1) H     H1  6; H  det H  27  6  Vì H  nên hàm f (x, y) đạt cực trị điểm dừng (1,1) , H1  nên hàm f (x, y) đạt cực đại (1,1) Vậy, hàm f (x, y) có cực đại, khơng có cực tiểu Ghi chú: Trong ví dụ trên, ta thấy điểm dừng hàm số chưa đạt cực trị Vì thế, việc kiểm tra điều kiện đủ cần thiết Ví dụ: Tìm cực trị hàm f (x, y)  x  2y  2xy  4y  Điều kiện cần: Tìm điểm dừng hàm f (x, y) f x (x, y)  Giải hệ phương trình  f y (x, y)  Ta có f x (x, y)  2x  2y f y (x, y)  4y  2x  Vậy, hệ phương trình trở thành  (1) 2x  2y  4y  2x   (2) Ta giải hệ phương pháp thế: từ (1) ta có y  x , thay y  x vào (2) ta được: 4x  2x    2x    x  Với x  y  x  Vậy, hàm f (x, y) có điểm dừng (2, 2) Điều kiện đủ: Kiểm tra hàm f (x, y) có đạt cực trị điểm dừng hay không?  (x, y)   f 2 (x, y) f xy Xét ma trận H   x  f xy  (x, y) f y2 (x, y)    với f x2 (x, y)  (2x  2y)x  Trang | 10 Chương 6: Hàm nhiều biến 21  a   2a  2b  b      2b    b  21 ; b  (1,1) điểm dừng hàm f (x, y) , ta cần kiểm tra hàm f (x, y) có đạt cực tiểu tồn cục (1,1) khơng? Xét ma trận Điều kiện đủ: Với a  21   f x2 (x, y) f xy (x, y)   2a 2b   7  H = = (x, y)  D  f xy  (x, y) f y2 (x, y)   2b      2  7 Vì H  det H  28  nên hàm f (x, y) không đạt cực trị điểm dừng (1,1) Vậy, không tồn a b để hàm f (x, y) đạt cực iểu toàn cục (1,1) Sau đây, ta xét hai ví dụ tìm lợi nhuận lớn xí nghiệp Nguyên tắc chung để giải toán là:   Từ giả thiết đề bài, ta thành lập hàm tổng doanh thu R hàm tổng chi phí C, hàm lợi nhuận   R  C Sau đó, ta tìm cực đại hàm lợi nhuận  áp dụng cách tìm cực trị hàm biến học Trong toán lợi nhuận lớn cực đại địa phương hàm lợi nhuận cực đại tồn cục Ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm tiêu thụ hai thị trường tách biệt Biết hàm cầu loại sản phẩm hai thị trường là: q D1  780  2p1  q D2  480  p đó, p1 p2 giá sản phẩm hai thị trường Hàm tổng chi phí xí nghiệp: C  q  20q  10 với q sản lượng xí nghiệp Hãy xác định mức sản lượng lượng hàng phân phối hai thị trường để lợi nhuận xí nghiệp lớn Gọi q sản lượng q1 , q lượng hàng phân phối hai thị trường q  q1  q Tổng doanh thu xí nghiệp hai thị trường: R  p1q1  p q Ta cần xác định giá bán p1 p2 (vì khơng có giá bán thì khơng tính doanh thu) theo cách lập luận sau (tương tự ví dụ chương 5): Trang | 14 Chương 6: Hàm nhiều biến Do độc quyền phân phối hai thị trường nên để tiêu thụ hết lượng hàng q1 q , xí nghiệp chọn giá bán p1 p giá cân (cung = cầu), nghĩa   q1  q D1  q1  780  2p1  p1  390  q1    q  480  p q  q D2 p  480  q Khi đó, tổng doanh thu hai thị trường R  p1q1  p q  (390  q1 )q1  (480  q )q 2  390q1  (q1 )  480q  (q ) 2 Tổng chi phí C  (q1  q )  20(q q )  10  (q1 )  2q1q  (q )  20q1  20q  10 Suy lợi nhuận xí nghiệp   R C  390q1  (q1 )  480q  (q )  (q1 )  2q1q  (q )  20q1  20q  10   (q1 )  2q1q  2(q )  370q1  460q  10 Để lợi nhuận lớn hàm  cần đạt cực đại Điều kiện cần: Tìm điểm dừng hàm  cách giải hệ phương trình 3q  2q  370  q1   3q1  2q  370     2q1  4q  460  q2   2q1  4q  460  Giải hệ phương trình (có thể giải phương pháp Casio), ta q1  70 (điểm dừng hàm  )  q  80 Điều kiện đủ: Kiểm tra hàm  có đạt cực trị điểm dừng hay không? Lập ma trận  q2 H  q1q2  q1q2   q2   Trang | 15 Chương 6: Hàm nhiều biến với q2  (3q1  2q  370)q1  3 q1q  (3q1  2q  370)q  2 q2  (2q1  4q  460)q  4 Thay vào H  3 2  H   H1  3  0; H  det H    2 4  Vậy, hàm  đạt cực đại điểm dừng q1  70; q  80 Do đó, để lợi nhuận lớn mức sản lượng q  q1  q  70  80  150 lượng hàng phân phối hai thị trường q1  70; q  80 Ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất loại sản phẩm tiêu thụ hai thị trường tách biệt Giá bán sản phẩm hai thị trường p1  40; p  49 2 Hàm tổng chi phí: C   q1   q1q   q   , q1 , q lượng hàng phân phối hai thị trường Hàm lợi nhuận xí nghiệp:   p1q1  p q  C  tq Ở đây, t thuế nhập thị trường thứ hai, nghĩa đơn vị sản phẩm nhập vào thị trường thứ hai phải chịu mức thuế nhập t (còn thị trường thứ sản phẩm miễn thuế nhập khẩu) Cho t  , xác định lượng hàng phân phối q1 , q hai thị trường để lợi nhuận xí nghiệp lớn (giả sử lượng hàng phân phối dược tiêu thụ hết) Trước hết, biểu thức hàm lợi nhuận   p1q1  p q  C  tq , ta thấy  p1q1  p q tổng doanh thu R hai thị trường   C tổng chi phí sản xuất Số hạng tq lượng thuế nhập thị trường thứ hai (vì lượng hàng phân phối thị trường thứ hai q , mà đơn vị sản phẩm nhập thị trường chịu mức thuế t , nên lượng thuế nhập tq ) Vậy, biểu thức lợi nhuận   p1q1  p q  C  tq lợi nhuận sau trừ thuế nhập (phần giải thích làm bài, thí sinh khơng cần viết, mà cần trình bày tính toán) Trang | 16 Chương 6: Hàm nhiều biến Bây giờ, ta thay p1  40; p  49 t  vào hàm lợi nhuận   p1q1  p q  C  tq 2 2  40q1  49q   q1   q1q   q   2q   40q1  47q   q1   q1q   q   tìm cực đại hàm  sau: Điều kiện cần: Tìm điểm dừng hàm  cách giải hệ phương trình  q1   40  2q1  q  2q  q  40    47  q1  2q  q1  2q  47  q2  Giải hệ phương trình (có thể dùng phương pháp dùng Casio), ta nghiệm q1  11 (điểm dừng hàm  )  q  18 Điều kiện đủ: Kiểm tra hàm  có đạt cực đại điểm dừng hay khơng? Lập ma trận  q12 H  q1q2  q1q2   q2   với q2  (40  2q1  q )q1  2 q1q  (40  2q1  q )q  1 q2  (47  q1  2q )q2  2 Thay vào, ta được:  2 1  H   H1  2  0; H  det H    1 2  Vậy, hàm  đạt cực đại điểm dừng q1  11; q  18 Do đó, với lượng hàng phân phối hai thị trường q1  11; q  18 lợi nhuận lớn III Cực trị có ràng buộc (constrained extrema, conditional extrema) Trong phần trước, ta khảo sát cực trị hàm f (x, y) với (x, y) chạy khắp D Trang | 17 Chương 6: Hàm nhiều biến Trong phần này, ta khảo sát cực trị hàm f (x, y) với (x, y) chạy đường cong (C) cho trước Loại cực trị gọi cực trị có ràng buộc (có điều kiện), ràng buộc điểm (x, y) phải nằm đường cong (C) Cho hàm f (x, y) xác định D (x , y0 )  D Giả sử (C) đường cong nằm D có phương trình g(x, y)  (x , y )  (C) , nghĩa g(x , y )  Nếu tồn đoạn cong nhỏ đường cong (C) chứa (x , y ) cho đoạn cong này, giá trị f (x , y ) lớn ta nói hàm f (x, y) đạt cực đại (x , y ) với ràng buộc g(x, y)  Trong hình vẽ trên, đoạn cong phần giao đường cong (C) hình trịn tâm M (x , y0 ) bán kính  đoạn cong bé giá trị hàm f (x, y) M (x , y ) lớn Dĩ nhiên, xét tồn đường cong (C) chưa giá trị hàm f (x, y) M (x , y ) lớn Do đó, giá trị cực đại cực đại địa phương mà thơi, lớn đoạn cong bé đường cong (C) Tương tự, ta định nghĩa cực tiểu hàm f (x, y) với ràng buộc g(x, y)  Ghi chú: Nếu giá trị f (x , y ) lớn toàn đường cong (C) ta có cực đại tồn cục (tuyệt đối) Tương tự, ta có cực tiểu tồn cục Để tìm cực trị hàm f (x, y) với ràng buộc g(x, y)  , ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange Thành lập hàm Lagrange: L(x, y, )  f (x, y)  g(x, y) với (x, y)  D    thực bước sau: Bước (điều kiện cần) : Tìm điểm dừng hàm Lagrange giải hệ phương trình  Lx  f x (x, y)  gx (x, y)     Ly   f y (x, y)  gy (x, y)   L  g(x, y)     Nghiệm hệ (nếu có) gọi điểm dừng (stationary point, critical point) hàm L(x, y, ) Giả sử điểm dừng (x , y ,  ) ta xét điểm (x , y ) (hai tọa độ điểm dừng) Trang | 18 Chương 6: Hàm nhiều biến Ghi chú: Hằng số  gôi nhân tử Lagrange (Lagrangian multiplier) Bước (điều kiện đủ): Kiểm tra hàm f (x, y) có đạt cực trị điểm (x , y ) ? Ta thành lập ma trận  L2  x H   Lxy   g  x Lxy Ly2 gy gx   gy    Thay tọa độ điểm dừng (x , y0 ,  ) vào H tính det H  Nếu det H  hàm f (x, y) đạt cực đại (x , y ) với ràng buộc g(x, y)   Nếu det H  hàm f (x, y) đạt cực tiểu (x , y ) với ràng buộc g(x, y)  (nếu det H  chưa có kết luận) Ví dụ: Tìm cực trị hàm f (x, y)  4x  3y đường tròn đơn vị x  y  25 Viết lại ràng buộc dạng g(x, y)  sau: x  y  25   g (x,y) Đặt g(x, y)  x  y  25 , toán trở thành: tìm cực trị hàm f (x, y) với ràng buộc g(x, y)  Xét hàm Lagrange: L(x, y, )  f (x, y)  g(x, y)  4x  3y  (x  y  25) Điều kiện cần: tìm điểm dừng hàm Lagrange cách giải hệ (1) Lx    2 x    (2)  Ly   3  2y  2  L   x  y  25  (3)    Từ (1) ta có    x Từ (2) ta có    2y Suy  3  y x x 2y 25 3  x  25   x  4 Thay y  x vào (3) ta có: x   x   25   16 4  Trang | 19 Chương 6: Hàm nhiều biến Với x  y  x       x Với x  4 y  x  3     x 1 Vậy, hàm L(x, y, ) có điểm dừng (4,3,  ) (4, 3, ) 2 Điều kiện đủ: lập ma trận  L2  x H   Lxy   g  x   Lxy Ly2 gy gx   2 2x     gy    2 2y       2x 2y   1  Tại điểm dừng (4,3,  ) : H   1   det H  100  nên hàm f (x, y) đạt cực  0   đại (x, y)  (4,3)  8   Tại điểm dừng (4, 3, ) : H   6   det H  100  nên hàm f (x, y) đạt  8 6    cực tiểu (x, y)  (4, 3) Ví dụ: Tìm cực trị hàm f (x, y)  xy đường cong x  y3  Viết lại ràng buộc dạng g(x, y)  sau: x  y3    g ( x,y) Đặt g(x, y)  x  y3  , tốn trở thành: tìm cực trị hàm f (x, y) với ràng buộc g(x, y)  Xét hàm Lagrange: L(x, y, )  f (x, y)  g(x, y)  xy  (x  y3  2) Điều kiện cần: tìm điểm dừng hàm Lagrange cách giải hệ Lx   y  3x  (1)   Ly    x  3y  (2) L   x  y3   (3)    Từ (1) ta có    y (nếu x  từ (1) ta có y  : khơng thỏa (3) , x  ) 3x Trang | 20 Chương 6: Hàm nhiều biến Từ (2) ta có    Suy  (nếu y  từ (2) ta có x  : khơng thỏa (3) , y  ) 2y y x    y3  x  y  x 3x 3y Thay y  x vào (3) được: x  x    x   x  Với x  y  x     y   3x Vậy, hàm L(x, y, ) có điểm dừng (1,1,  13 ) Điều kiện đủ: lập ma trận  L2  x H   Lxy   g  x Lxy Ly2 gy gx   6x 3x     gy    6y 3y    3y    3x 3  2  Tại điểm dừng (1,1,  13 ) : H   2   det H  54  nên hàm f (x, y) đạt cực đại  3 0   (x, y)  (1,1) Ghi chú: Trong toán kinh tế dùng cực trị có ràng buộc cực trị địa phương cực trị tồn cục Ví dụ: Một người tiêu dùng có số tiền I  6000 dự định dùng toàn số tiền để mua mặt hàng với giá P1  20, P2  30 Lợi ích việc chi tiêu cho hàm hữu dụng (Utility function): U(x1 , x )  x1x Hãy xác định lượng hàng cần mua để lợi ích chi tiêu lớn Ta có ràng buộc vốn: P1x1  P2 x  I  20x1  30x  6000  600  2x1  3x   g(x1 , x ) Đặt g(x1 , x )  600  2x1  3x tốn trở thành: tìm cực đại hàm U(x1 , x ) với ràng buộc g(x1 , x )  Lập hàm Lagrange: L(x1 , x , )  U(x1 , x )  g(x1 , x )  x1x  (600  2x1  3x ) Điều kiện cần: tìm điểm dừng hàm Lagrange cách giải hệ Trang | 21 Chương 6: Hàm nhiều biến  Lx1  (1)  x  2    (2)  Lx    x1  3    600  2x  3x  (3)   L  Từ (1) ta có   x2 Từ (2) ta có   x1 Suy 1 x  x1  x  x1 3 Thay x  2  x1 vào (3) được: 600  2x1    x1    x1  150 3  Với x1  150 x  x1  100   x  50 Hàm L(x1 , x , ) có điểm dừng (150,100,50) Điều kiện đủ: lập ma trận  Lx  H   Lx1x   gx  Lx1x Lx 2 gx gx1   2     gx    3   det H  12       2 3  Vậy hàm U(x1 , x ) đạt cực đại (x1 , x )  (150,100) Ghi chú: Xét toán cực đại hàm hữu dụng U(x1 , x ) với ràng buộc vốn P1x1  P2 x  I Hàm Lagrange: L(x1 , x , )  U(x1 , x )  (I  P1x1  P2 x )  Lx1   Ux  P1   Từ điều kiện cần Lx    ,  Ux  P2      L  Vậy, Ux1 P1  Ux P2  Ux1 Ux  P1 MU1 P1   P2 MU P2 Trang | 22 Chương 6: Hàm nhiều biến Điều có nghĩa là, để lợi ích chi tiêu cực đại tỉ số hữu dụng biên phải tỉ số mức giá (nhắc lại, hữu dụng biên phần lợi ích tăng thêm chi tiêu thêm cho đơn vị hàng) Ví dụ: Có hình thức quảng cáo: báo chí truyền hình Ngân sách dành cho quảng cáo 45000$ (trong tháng) Doanh thu tháng cho hàm R  100y x , x y chi phí dành cho quảng cáo báo chí truyền hình Lợi nhuận 80% doanh thu trừ tổng chi phí quảng cáo Xác định chi phí dành cho quảng cáo báo chí truyền hình để lợi nhuận lớn Tổng chi phí dành cho quảng cáo báo chí truyền hình C  x  y Vì ngân sách dành cho quảng cáo 45000$ nên ta có ràng buộc x  y  45000  45000  x  y     g(x,y) Lợi nhuận   80%R  C  80y x  x  y Bài toán trở thành: tìm cực đại hàm   80y x  x  y với ràng buộc 45000  x  y     g(x,y) Hàm Lagrange: L(x, y, )  (x, y)  g(x, y)  80y x  x  y  (45000  x  y) Điều kiện cần: tìm điểm dừng hàm Lagrange cách giải hệ  40y  x     (1) Lx     L    y 80 x     (2) L  45000  x  y  (3)     Từ (1) (2) ta có 40y  80 x     y  2x x Thay y  2x vào (3) được: 45000  x  2x   x  15000 Với x  15000 y  2x  30000   80 x   80 15000   800 150  Hàm L(x, y, ) có điểm dừng (15000,30000,800 150  1) Điều kiện đủ: lập ma trận Trang | 23 Chương 6: Hàm nhiều biến  L2  x H   Lxy   gx  Lxy Ly2 gy  20y  x x   gx   40 gy    x    1    40 x 1  1  Sarrus 20y 80  1  det H   0 x x x  0   Vậy, hàm  đạt cực đại (x, y)  (15000,30000) IV Vi phân hàm hai biến 3.1 Vi phân toàn phần (total differential) Giả sử hàm f (x, y) có đạo hàm riêng cấp hàm liên tục điểm (x , y ) Khi đó, x  x y  y ta có cơng thức xấp xỉ: f (x, y)  f (x , y0 )  f x (x , y )(x  x )  f y (x , y )(y  y ) Đặt x  x  x y  y  y f  f (x, y)  f (x , y )  f (x  x, y  y)  f (x , y ) f  f x (x , y0 )x  f y (x , y0 )y Vế phải cơng thức hàm tuyến tính x y , gọi vi phân toàn phần hàm f (x, y) (x , y ) , ký hiệu df (x , y )  f x (x , y ) x  f y (x , y ) y Vậy, x  x y  y f  df (x , y ) Vì dx  x, dy  y nên df (x , y )  f x (x , y0 )dx  f y (x , y0 )dy Ý nghĩa vi phân toàn phần là, độ biến thiên x y nhỏ (nghĩa x  0, y  ) độ biến thiên f hàm số xấp xỉ hàm tuyến tính (bậc nhất) x y Ví dụ: Tính vi phân tồn phần hàm f (x, y)  x tan y Trang | 24 Chương 6: Hàm nhiều biến Ta có df (x, y)  f x (x, y)dx  f y (x, y)dy Trong f x (x, y)  (x tan y)x  tan y.(x )x  tan y.(2x)   f y (x, y)  (x tan y)y  x (tan y)y  x     cos y  Vậy, vi phân toàn phần hàm f (x, y) df (x, y)  2x tan y.dx  x2  dy cos y Ví dụ: Tính vi phân tồn phần hàm f (y, z)  y3 2z (chú ý rằng, biến số y z) Ta có df (y, z)  f y (y, z)dy  f z (y, z)dz Trong f y (y, z)  (y z )y  z.(y )y  z.(3y )  3y 2 z f z (y, z)  (y z )z  y (2 z )z  y z ln (nhắc lại công thức: (a x )  a x ln a ) Do đó, vi phân tồn phần hàm f (y, z) df (y, z)  3y 2z.dy  y3 2z ln 2.dz 3.2 Vi phân cấp hai Giả sử hàm f (x, y) có đạo hàm riêng cấp liên tục (x , y ) Khi đó, x  x y  y ta có công thức xấp xỉ: f  f x (x , y0 )x  f y (x , y )y  f x2 (x , y )(x)  2f xy (x , y ) xy  f y2 (x , y )( y)2      2 df ( x , y0 ) Biểu thức sau gọi vi phân cấp hàm f (x, y) (x , y ) :  (x , y ) xy  f y2 (x , y )( y) d f (x , y )  f x2 (x , y )( x)  2f xy Khi đó, cơng thức xấp xỉ trở thành f  df (x , y0 )  d 2f (x , y ) x  x y  y Trang | 25 Chương 6: Hàm nhiều biến Vi phân cấp d 2f (x , y0 ) hàm bậc x y (chính xác dạng tồn phương x y ) Một ứng dụng điều kiện đủ để hàm f (x, y) đạt cực trị điểm dừng mà ta biết phần Thật vậy, (x , y ) điểm dừng hàm f (x, y) , nghĩa là: f x (x , y )  f y (x , y0 )  vi phân toàn phần df (x , y )  công thức xấp xỉ trở thành: f  d 2f (x , y0 ) x  x y  y Từ đó, ta thấy:  Nếu d 2f (x , y0 )  với x  x y  y f   f (x, y)  f (x , y ) , nghĩa hàm f (x, y) đạt cực tiểu địa phương điểm dừng (x , y )  Tương tự, d f (x , y )  với x  x y  y hàm f (x, y) đạt cực đại địa phương điểm dừng (x , y ) Bằng cách khảo sát dấu dạng toàn phương d f (x , y0 ) , người ta đưa điều kiện đủ để hàm f (x, y) đạt cực đại, cực tiểu điểm dừng (x , y ) ta biết phần cực trị Vì dx  x, dy  y nên biểu thức vi phân cấp hàm f (x, y) (x , y ) trở thành: d 2f (x , y )  f x2 (x , y )dx  2f xy (x , y0 )dxdy  f y2 (x , y )dy Ví dụ : Tính vi phân cấp hàm f (x, y)  x e5y Ta có  (x, y)dxdy  f y2 (x, y)dy d f (x, y)  f x2 (x, y)dx  2f xy Mà f x (x, y)  (x e5y )x  e5y (x )x  2xe5y f y (x, y)  (x e5y )y  x (e5y )y  5x e5y Do đó, Trang | 26 Chương 6: Hàm nhiều biến f x2 (x, y)  (2xe5y )x  2e5y (x)x  2e5y  2e5y  (x, y)  (2xe5y )y  2x.(e5y )y  2x.(5e5y )  10xe5y f xy f y2 (x, y)  (5x e5y )y  5x (e5y )y  5x (5e5y )  25x 2e5y Vậy, vi phân cấp hàm f (x, y) d f (x, y)  2e5y dx  20xe5y dxdy  25x 2e5y dy BÀI TẬP Tính vi phân tồn phần hàm z  y3 ln(1  2x) HD: dz  zx dx  zy dy Tính vi phân cấp hàm u  x cos 5y HD: d u  ux dx  2uxy dxdy  u y2 dy Tìm cực trị hàm f (x, y)  x  y  3x  2y Tìm cực trị hàm f (x, y)  1  với ràng buộc x  y  x y Một xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm tiêu thụ hai thị trường tách biệt Biết hàm cầu loại sản phẩm hai thị trường q D1  310  p1   q D2  235  p  đó, p1 p2 giá sản phẩm hai thị trường Hàm tổng chi phí xí nghiệp: C  q  30q  10 với q sản lượng xí nghiệp Hãy xác định mức sản lượng lượng hàng phân phối hai thị trường để lợi nhuận xí nghiệp lớn Một xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm tiêu thụ hai thị trường tách biệt Biết hàm lợi nhuận là:   p1q1  p q  C  tq Trong đó,  q1 , q lượng hàng phân phối hai thị trường  p1  31; p  37 giá sản phẩm hai thị trường  C  (q1 )  q1q  (q )  hàm tổng chi phí sản xuất Trang | 27 Chương 6: Hàm nhiều biến  t  mức thuế nhập đơn vị sản phẩm thị trường thứ hai Giả sử lượng hàng phân phối tiêu thụ hết Hãy xác định q1 , q để lợi nhuận lớn HẾT CHƯƠNG Trang | 28