Chuong 1. Ham so va gioi han - e

Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN (FUNCTIONS AND LIMITS) 1.1 HÀM SỐ ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ (DEFINITION OF FUNCTIONS) Để nghiên cứu tượng tự nhiên xã hội, người ta cần biểu diễn toán học để mơ tả đại lượng, yếu tố liên quan đến đối tượng xét Việc nhận biết mối quan hệ đại lượng giúp cho việc mô tả trở nên đơn giản xác Hàm số xuất có đại lượng phụ thuộc vào đại lượng khác Ví dụ 1: a Diện tích A hình trịn phụ thuộc vào bán kính r theo cơng thức A   r Với số dương r cho giá trị A tương ứng, ta gọi A hàm theo r b Trong kinh tế học, xét thời gian định, lượng cầu (quantity demanded) loại hàng hóa/ dịch vụ số lượng loại hàng hóa/dịch vụ mà người mua muốn mua có khả mua ứng với mức giá (price) định (giả sử nhân tố khác không thay đổi) Với mức giá P cho tương ứng giá trị lượng cầu Qd , ta gọi Qd hàm theo P c Giá tiền C để chuyển phát nhanh thư phụ thuộc vào cân nặng w Một bưu điện quy định cước phí theo cân nặng sau: cân nặng đến ounce có cước phí 0.88 dollar, cân nặng từ ounce đến ounce có cước phí 1.05 dollar… Với giá trị w cho tương ứng giá trị C Ta gọi C hàm theo w ĐỊNH NGHĨA: Cho D E tập tập số thực (real) Hàm số (function) f quy tắc cho tương ứng phần tử x tập D với phần tử f ( x) tập E Giá P (1000 đồng/bộ) Lượng cầu Qd (1000 bộ/tuần) 40 160 80 120 120 80 160 40 200 w (ounce) C ( w) (dollar)  w 1 0.88 1 w  1.05 2 w3 1.22 3 w 1.39 4 w5 1.56 12  w  13 2.92 Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN D gọi miền xác định (domain), E gọi miền giá trị (range), x gọi biến độc lập (independent variable), y  f ( x) gọi biến phụ thuộc (dependent variable) Đồ thị (graph) hàm f tập hợp tất điểm ( x, y) thỏa y  f ( x) , với x  D Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số hình bên: a Tính giá trị f (1) , f (5) f (7) b Cho biết miền xác định miền giá trị f Giải: f (1)  , a b f (5)  0.7 , f (7)  Miền xác định: D  [0, 7] Miền giá trị: E  [  2, 4] Ví dụ 3: Vẽ đồ thị, tìm miền xác định miền giá trị hàm số sau: f ( x)  x  a b g ( x)  x Giải: a Đây phương trình đường thẳng có hệ số góc Miền xác định: D  Miền giá trị: E  b Đây phương trình parabol, đỉnh A(0, 0) Miền xác định: D  Miền giá trị: E  [0, ) 1.1 HÀM SỐ Ví dụ 4: Tìm miền xác định hàm số sau: f ( x)  x  a b g ( x)  x x Giải: a Căn bậc hai số thực âm không định nghĩa, miền xác định f tập hợp tất giá trị x thỏa mãn x    x  2 Vậy miền xác định f D  [  2, ) b Hàm g ( x) xác định mẫu số khác Miền xác định g : D  x  x  0, x  1  (, 0)  (0, 1)  (1, ) TIÊU CHUẨN ĐƯỜNG THẲNG ĐỨNG: Đường cong mặt phẳng Oxy đồ thị hàm f khơng có đường thẳng đứng cắt đường cong nhiều điểm Ví dụ, parabol hình vẽ (a) khơng phải đồ thị hàm theo x có đường thẳng đứng cắt đồ thị hai điểm Tuy nhiên, xem x hàm theo y (a) đồ thị hàm x  y  Vì x  y   y  x   y   x  nên (b) đồ thị hàm y  x  , (c) đồ thị hàm y   x  HÀM ĐƯỢC ĐỊNH NGHĨA TỪNG MIỀN (PIECEWISE DEFINED FUNCTIONS) Các hàm sau định nghĩa công thức khác tập khác miền xác định Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN Ví dụ 5: Hàm giá trị tuyệt đối:  x, x  y x    x, x  Ví dụ 6: Cho hàm số f xác định   x, x  f ( x)   x , x   Tính f (0) , f (1) , f (2) vẽ đồ thị hàm số cho Giải: Vì   f (0)    ,   f (1)    ,   f (2)  22  Với hàm f cho, nhận xét:  Nếu x  1, giá trị f ( x)  x : phần đồ thị hàm f đường thẳng y   x nằm phía bên trái đường thẳng x   Nếu x  , giá trị f ( x) x : phần lại đồ thị hàm f parabol y  x nằm phía bên phải đường thẳng x  Ví dụ 7: Tìm cơng thức biểu diễn hàm số f có đồ thị hình sau Giải: Bằng cách viết phương trình đường thẳng qua hai điểm, cơng thức cần tìm đồ thị hàm f cho là:  x 1  x,  f ( x)  2  x,  x  0, x2  Ví dụ 8: Trong Ví dụ 1c đầu mục này, chi phí phân phát C ( w) thư chuyển phát nhanh có cân nặng w hàm định nghĩa miền theo bảng giá:  0.88,  w  1.05,  w   C ( w)  1.22,  w  1.39,  w    Hàm có dạng gọi hàm bước nhảy (step function) 1.1 HÀM SỐ SỰ ĐỐI XỨNG (SYMMETRY)  f hàm số chẵn (even function) miền D nếu:  x  D f ( x)  f ( x), x  D  f hàm số lẻ (odd function) miền D nếu:  x  D f ( x)   f ( x), x  D  Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng  Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Ví dụ 9: Các hàm số sau chẵn, lẻ hay không chẵn không lẻ? a f ( x)  x  x c h( x)  x  x b g ( x)   x Giải: a f ( x)  ( x)5  ( x)    x5  x    f ( x) Vậy f hàm lẻ b g ( x)   ( x)4   x4  g ( x) Vậy g hàm chẵn c h( x)  2( x)  ( x)2  2 x  x Ta có h( x)  h( x) h( x)  h( x) nên hàm h không chẵn không lẻ Đồ thị hàm trên: HÀM SỐ TĂNG, GIẢM (INCREASING AND DECREASING FUNCTIONS)  Hàm số f tăng khoảng I x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ), x1 , x2  I  Hàm số f giảm khoảng I x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ), x1 , x2  I  Đồ thị hàm số tăng có dáng điệu lên kể từ trái sang phải  Đồ thị hàm số giảm có dáng điệu xuống kể từ trái sang phải Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN Hàm f hình vẽ: tăng đoạn [a, b] [c, d ] , giảm đoạn [b, c] Ví dụ 10: Hàm số y  x giảm khoảng (, 0] tăng khoảng [0, ) KẾT HỢP CÁC HÀM (COMBINATIONS OF FUNCTIONS) Cho hàm f , g có miền xác định A B Khi đó:  Tổng (sum) hiệu (difference) f g : ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x) có miền xác định: A  B  Tích (product) hai hàm f g : ( fg )( x)  f ( x) g ( x) có miền xác định: A  B  Thương (quotient) hai hàm f g : f f ( x) ( x)  có miền xác định: x  A  B g ( x)  0 g g ( x)  Hàm hợp (composition) hai hàm f g : ( f g )( x)  f  g ( x)  ( f g )( x) xác định g ( x) f  g ( x)  xác định Ví dụ 11: Cho f ( x)  x g ( x)   x tìm hàm sau miền xác định: f f  g , fg , , f g , g f , f f , g g g Giải: f ( x)  x có miền xác định A  [0, ) , g ( x)   x có miền xác định B  (, 2] , :  ( f  g )( x)  x   x có miền xác định: 1.1 HÀM SỐ A  B  [0, )  (, 2]  [0, 2]  ( fg )( x)  x  x có miền xác định: A  B  [0, 2]  f x có miền xác định: [ A  B] \ x g ( x)  0  [0, 2) ( x)  g 2 x  ( f g )( x)  f  g ( x)   f x    x  0  (, 2]   x   x có miền xác định:  x    x có miền xác định: x x  0  x  x  0  [0, 4] ( f f )( x)  f  f ( x)   f  x   x có miền xác định: ( g f )( x)  g  f ( x)   g x   x  0  [0, ) ( g g )( x)  g  g ( x)   g x     x    x có miền xác định:   x  0  x   x    2, 2 Ví dụ 12: Cho F ( x)  cos2 ( x  9) Tìm hàm f , g h cho F  f g h Giải: Ta viết: F ( x)   cos( x  9)  Đặt: h( x)  x  9, g ( x)  cos x, f ( x)  x Khi đó: f  g  h( x)    f  g ( x  9)   f  cos( x  9)   cos2  x    F ( x) HÀM SỐ NGƯỢC (INVERSE FUNCTIONS) Đôi khi, ta muốn xem xét vấn đề theo quan điểm, góc nhìn khác với dự định ban đầu Chẳng hạn, quan sát thị trường vàng quận Hà Nội vào thời điểm người ta ghi nhận lượng cầu Qd ứng với mức giá vàng P, tức xem Qd hàm theo P : Qd  f ( P) Ngược lại, nhà kinh doanh quan tâm đến việc P phụ thuộc vào Qd nào, người xem P hàm theo Qd : P  g (Qd ) Ta gọi hàm ngược f , kí hiệu f 1 P (triệu đồng) Qd (kg) Qd (kg) P (triệu đồng) 4.5 4.3 4.0 3.9 3.7 3.5 10 20 30 50 60 10 20 30 50 60 4.5 4.3 4.0 3.9 3.7 3.5 Lượng cầu hàm giá Giá hàm lượng cầu Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN ĐỊNH NGHĨA: Hàm f gọi hàm 1-1 (one to one function) khơng nhận giá trị hai lần, có nghĩa f ( x1 )  f ( x2 ), x1  x2 Ví dụ 13: f hàm 1-1, g khơng phải hàm 1-1 g nhận giá trị hai lần: g (2)  g (3)  TIÊU CHUẨN ĐƯỜNG NẰM NGANG: Hàm f 1-1 khơng có đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều điểm Ví dụ 14: Hàm số f ( x)  x3 có hàm 1-1 không? Giải:  Cách 1: x1  x2  x13  x23 Theo định nghĩa, f hàm 1-1  Cách 2: Từ hình vẽ ta thấy khơng có đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị hàm f ( x)  x3 nhiều điểm Theo Tiêu chuẩn đường nằm ngang, f hàm 1-1 Ví dụ 15: Hàm số g ( x)  x có hàm 1-1 khơng? Giải: Hàm g ( x)  x khơng phải hàm 1-1 vì:  1 g (1)  g (1)  ĐỊNH NGHĨA: Cho f hàm 1-1, có miền xác định A miền giá trị B Hàm ngược f f 1 có miền xác định B, miền giá trị A xác định: f 1 ( y)  x  f ( x)  y, y  B 1.1 HÀM SỐ Ví dụ 16: Biết f hàm 1-1 f (1)  5, f (3)  7, f (8)  10 Tính f 1 (5), f 1 (7), f 1 (10) Giải: f 1 (5)  f (1)  5, f 1 (7)  f (3)  7, f 1 (10)  f (8)  10 Lưu ý: miền xác định f 1 = miền giá trị f miền giá trị f 1 = miền xác định f Ta thường ký hiệu x biến độc lập, y biến phụ thuộc nên viết hàm số ngược là: f 1 ( x)  y  f ( y)  x Ví dụ, hàm ngược hàm f ( x)  x y  f ( x)  x 1  1  1 f ( y )  f  x    x   x     Từ định nghĩa hàm ngược ta có kết quả: f 1  f ( x)   x, x  A ; f  f 1 ( x)   x, x  B Ví dụ, hàm ngược hàm f ( x)  x3 f 1 ( x)  x Ta có: f 1  f ( x)    x  3  x,  1 f  f ( x)    x   x   1 CÁCH TÌM HÀM NGƯỢC CỦA HÀM f 1-1 Bước 1: Viết y  f ( x) Bước 2: Giải phương trình tìm x theo y (nếu có thể) Bước 3: Hốn đổi x y , kết y  f 1 ( x) Ví dụ 17: Tìm hàm ngược hàm f ( x)  x3  Giải: y  x3   x3  y   x  y  10 Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN Hoán đổi x y : y  x  Hàm ngược y  f 1 ( x)  x  Đồ thị hàm ngược f 1 có phép lấy đối xứng đồ thị hàm f qua đường thẳng y  x Ví dụ 18: Vẽ đồ thị hàm số f ( x)  1  x đồ thị hàm ngược hệ trục tọa độ Giải: Trước hết vẽ đường cong y  1  x (là nửa parabol y  1  x hay x   y  ) lấy đối xứng qua đường thẳng y  x ta có đồ thị hàm f 1 CÁC HÀM SỐ CƠ BẢN (ESSENTIAL FUNCTIONS) Mơ hình tốn học (mathematical model) mơ tả tốn học (thường dạng hàm hay phương trình) tượng tự nhiên xã hội như: độ tăng dân số, tuổi thọ trung bình người, tốc độ rơi vật, độ biến động giá cổ phiếu, lợi nhuận danh mục đầu tư… Mục đích việc mơ tả làm tăng thêm hiểu biết tượng đưa dự đoán chúng tương lai Tiến trình xây dựng mơ hình tốn học vịng khép kín Ban đầu từ vấn đề thực tế người ta đưa mơ hình tốn học chúng Tiếp theo, dùng cơng cụ tốn học để giải đưa kết luận toán học Những kết luận giúp làm sáng tỏ đưa dự đoán Sau đó, đối chiếu dự đốn với liệu thực tế mới, chưa phải xem xét lại mơ hình ban đầu phải xây dựng mơ hình khác Q trình tiếp diễn để xây dựng mơ hình tốt Dĩ nhiên, việc mơ hình tốn học phản ánh tuyệt đối xác tượng tự nhiên xã hội lí tưởng Thơng thường, ta phải giảm bớt nhiều điều kiện ràng buộc Một mơ hình tốt mơ hình vừa cho phép thực tính tốn tốn học vừa cung cấp kết có độ xác vừa đủ để có giá trị thực tế Có nhiều loại hàm số dùng để mơ hình hóa mối quan hệ thực tế Dưới giới thiệu số hàm số ... GIỚI HẠN D gọi miền xác định (domain), E gọi miền giá trị (range), x gọi biến độc lập (independent variable), y  f ( x) gọi biến phụ thuộc (dependent variable) Đồ thị (graph) hàm f tập hợp tất... chuyển phát nhanh có cân nặng w hàm định nghĩa miền theo bảng giá:  0.88,  w  ? ?1.0 5,  w   C ( w)  ? ?1.2 2,  w  ? ?1.3 9,  w    Hàm có dạng gọi hàm bước nhảy (step function) 1.1 HÀM SỐ... logarithms) Logarit với số e ( e  2.71828 : số vơ tỷ) gọi logarit tự nhiên, kí hiệu: loge x  ln x Ta có: ln x  y  e y  x, ln  e x   x, x  , eln x  x, x  0, ln e  19 20 Chương 1: HÀM