CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU Câu Chứng minh √7 số vô tỉ Câu a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd) ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Câu Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x + y2 Câu a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy: b) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Câu Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = a + b3 Câu Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức: N = a + b Câu Cho a, b, c số dương Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Câu Tìm liên hệ số a b biết rằng: |a + b| > |a - b| Câu a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ Câu 10 Chứng minh bất đẳng thức: a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) Câu 11 Tìm giá trị x cho: a) |2x – 3| = |1 – x| b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – Câu 12 Tìm số a, b, c, d biết rằng: a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) Câu 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ Câu 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + Chứng minh giá trị nhỏ P Câu 15 Chứng minh giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau: x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = Câu 16 Tìm giá trị lớn biểu thức: Câu 17 So sánh số thực sau (không dùng máy tính): Câu 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn √2 nhỏ √3 Câu 19 Giải phương trình: Câu 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = Câu 21 Cho Hãy so sánh S Câu 22 Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a số phương √a số vô tỉ Câu 23 Cho số x y dấu Chứng minh rằng: Câu 24 Chứng minh số sau số vô tỉ: Câu 25 Có hai số vô tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không? Câu 26 Cho số x y khác Chứng minh rằng: Câu 27 Cho số x, y, z dương Chứng minh rằng: Câu 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ Câu 29 Chứng minh bất đẳng thức: a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) Câu 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ Câu 31 Chứng minh rằng: [x] + [y] ≤ [x + y] Câu 32 Tìm giá trị lớn biểu thức: Câu 33 Tìm giá trị nhỏ của: với x, y, z > Câu 34 Tìm giá trị nhỏ của: A = x2 + y2 biết x + y = Câu 35 Tìm giá trị lớn của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = Câu 36 Xét xem số a b số vô tỉ không nếu: a) ab a/b số vô tỉ b) a + b a/b số hữu tỉ (a + b ≠ 0) c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) Câu 37 Cho a, b, c > Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Câu 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh: Câu 39 Chứng minh [2x] 2[x] 2[x] + Câu 40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng: a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 Câu 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa: Câu 42 a) Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy nào? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: c) Giải phương trình: Câu 43 Giải phương trình: Câu 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa: