Đề cương ôn tập môn toán lớp 10 (17)

Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ 10 ( Cơ Bản ) §1 MỆNH ĐỀ Khái niệm mệnh đề: Một mệnh đề phát biểu khẳng đònh kiện đó, cho khẳng đònh nhận hai giá trò “đúng” “sai” Phủ đònh mệnh đề: ° ° ° Cho mệnh đề A Phủ đònh mệnh đề A, ký hiệu A Hai mệnh đề A A hai khẳng đònh trái trược Nếu A A sai; Nếu A sai A Phép kéo theo phép tương đương: a Phép kéo theo: Cho hai mệnh đề A B Một mệnh đề R lập từ hai mệnh đề A B liên từ “nếu A B” gọi mệnh đề kéo theo, ký hiệu A ⇒ B ° Nếu A B đúng, A ⇒ B mệnh đề ° Nếu A B sai, A ⇒ B mệnh đề sai b Phép tương đương: Cho hai mệnh đề A B Nếu mệnh đề A ⇒ B mệnh đề B ⇒ A đúng, ta nói mệnh đề A tương đương với mệnh đề B, ký hiệu A ⇔ B nói “A B” ° Mệnh đề A ⇔ B A B đồng thời đồng thời sai Mệnh đề A ⇔ B sai A sai B đúng, A B sai Mệnh đề chứa biến, ký hiệu ∀ , ∃ : ° a Mệnh đề chứa biến: Trong phát biểu có chứa hay số biến lấy giá trò tập hợp cho, thân phát biểu chưa phải mệnh đề, cho biến giá trò cụ thể ta mệnh đề chứa biến, phương trình bất phương trình mệnh đề chứa biến b Ký hiệu phổ biến ∀ ký hiệu tồn ∃: ° Ký hiệu ∀: đọc với Thường gắn vào biểu mệnh đề chứa biến ° Ký hiệu ∃, ký hiệu tồn tại, có nghóa có (ít nhất) một, tồn c Phủ đònh mệnh đề chứa ký hiệu ∀, ∃: ° A = " ∀ x ∈ X, x có tính chất P” ⇒ A = " ∃ x ∈ X , x tính chất P” ° B = " ∃ x ∈ X , x có tính chất P” Trang Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) ⇒ B = " ∀ x ∈ X , x tính chất P” BÀI TẬP Bài Hãy lập mệnh đề phủ đònh mệnh đề đây: a Tất học sinh lớp B có tuổi lớn 15 b Số 15 số nguyên tố c Hải Phòng thủ đô nước Việt Nam Bài Xét xem mệnh đề hay sai, sai sửa thành mệnh đề lập mệnh đề phủ đònh a Số nguyên a chia hết cho có chữ số tận b ∃ a ∈ Z, 3a = c ∀ x ∈ Q, a2 ≠ Bài Hãy phủ đònh mệnh đề sau: a “Hôm nay, lớp có học sinh vắng mặt” b “Tất học sinh lớp lớn 14 tuổi” Bài a Mệnh đề: " ∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R, x + y = 1" hay sai b Hãy phủ đònh mệnh đề Bài mệnh đề sau hay sai? Giải thích a ∀ n ∈ N* , n + n + số nguyên tố c ∃ x ∈ R, 2x >1 x2 + b ∀ x ∈ Z, x ≥ x d ∃ x ∈ Z, 3x + ∈ Z x2 + §2 ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC Đònh lý – Điều kiện cần – Điều kiện đủ: a Đònh lý: Phần lớn đònh lý toán học mệnh đề có dạng: A ⇒ B Người ta gọi A giả thiết, B kết luận đònh lý b Điều kiện cần – Điều kiện đủ: Trong đònh lý: A ⇒ B Ta gọi A điều kiện đủ để có B, B điều kiện cần để có A Đònh lý đảo – Điều kiện cần đủ: a Đònh lý đảo: Giả sử ta có đònh lý : A ⇒ B (1) Ta xét mệnh đề : B ⇒ A (2) Mệnh đề (1) (vì đònh lý) mệnh đề đảo (2) sai Nếu mệnh đề đảo (2) mệnh đề (2) gọi đònh lý đảo đònh lý (1) b Điều kiện cần đủ : Trang Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) Nếu đồng thời có đònh lý thuận (1) đònh lý đảo (2) ta có mệnh đề : A ⇔ B Lúc ta nói :A điều kiện cần đủ để có B nói : B điều kiện cần đủ để có A Phép chứng minh phản chứng : Giả sử ta cần chứng minh đònh lý A ⇒ B ° Giả sử B (tức giả sử B sai B) ° Dùng phép suy diễn : B ⇒ B1 ⇒ B2 ⇒ ⇒ A (trái giả thiết) ° Từ suy có B (tức B đúng) ° Vậy, A ⇒ B chứng minh Ghi chú: ° Nếu đònh lý phát biểu dạng A ⇒ B đònh lý phát biểu dạng B ⇒ A gọi đònh lý đảo đònh lý ° Ta có tính chất: A ⇒ B ⇔ B ⇒ A ° Vậy, thay chứng minh A ⇒ B ta chứng minh B ⇒ A BÀI TẬP Bài Phát biểu đònh lý sau dạng kéo theo “Nếu ”: a Các cạnh đối điều kiện đủ để tứ giác hình bình hành b Điều kiện có để tổng a + b > có số a hay b lớn c Điều kiện có để tứ giác hình vuông đường chéo vuông góc Bài Phát biểu đònh lý dạng điều kiện cần đủ: Hai số nguyên chia hết cho tổng bình phương chúng chia hết cho 3, đảo lại tổng bình phương hai số nguyên chia hết cho số chia hết cho Bài Các mệnh đề sau hay sai, giải thích: a ∀ x ∈ N, x chia hết cho ⇒ x chia hết cho b ∀ x ∈ N, x chia hết cho ⇒ x chia hết cho §3 TẬP HP Khái niệm tập hợp: a Tập hợp khái niệm toán học b Có hai cách xác đònh tập hợp: Cách 1: Liệt kê phần tử Ví dụ: A = {1, 3, 5, , 97, 99} Cách 2: Nêu tính chất đặc trưng phần tử Ví dụ: A = {x | x có tính chất P } c Tập rỗng: Là tập hợp phần tử nào, ký hiệu ∅ { } Trang Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ Lưu ý: ∅ = { NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) } ≠ {∅ } Tập con: a Đònh nghóa: A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B) b Tính chất: ° A ⊂ A A a b c ° Nếu A ⊂ B, B ⊂ C A ⊂ C ° ∅ ⊂ Α ; ∅ ⊂ Β ; c Biểu đồ ven: ta biểu diễn tập hợp điểm nằm bên đường kép kín gọi biểu đồ ven Ví dụ A = {a, b, c} A = B ⇔ (A ⊂ B B ⊂ A) Tập hợp nhau: Các tập hợp số thường dùng: ° Tập hợp số tự nhiên N = {0, 1, 2, , n, } ; N* = {1, 2, , n, } ° Tập hợp số nguyên Z = { , -2, -1, 0, 1, 2, } m  ° Tập hợp số hữu tỉ Q =  m, n ∈ Z; n ≠   n  ° Tập hợp số thực R = {x | x hữu tỉ vô tỉ} = ( − ∞ ; + ∞ ) Vấn đề 1: CÁCH CHO MỘT TẬP HP Khi chuyển “cách đặc trưng” sang “cách liệt kê” phải xét xem phần tử thỏa tính chất P Chuyển từ “cách liệt kê” sang “cách đặc trưng” có nhiều hình thức BÀI TẬP Bài 15 Hãy viết tập hợp sau dạng liệt kê phần tử: a A = {x ∈ N |x ≥ x < 10} b B = {x ∈ N |x ≤ 15 x bội 2} c C = {x ∈ N | x ≤ x bội 3} Bài 16 Hãy viết tập hợp sau dạng đặc trưng: a A = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36} b B = {3, 5}  1 1 1 c C =  1, , , , ,   16 25 36  e E = { (0, 2); (1, 3)} 1 1 1 D=  , , , ,   10  f F = { 9, 36, 81, 144} g G = { − 3, 9, − 27, 81} Vấn đề 2: d TẬP HP CON Trang Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ ° A ⊂ B ⇔ (∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B) ° Tập hợp có n phần tử thì: NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) A∩B A n A có tất Tập (kể ∅) A có n tập gồm phần tử A có n(n − 1) tập gồm hai phần tử A có n(n − 1)(n − 2) tập gồm ba phần tử BÀI TẬP Bài 17 Xét quan hệ bao hàm tập hợp sau: a A = {x | x − 3x + = 0} B = {x | x − = 0} b B = {x | x + = 0} F = {x | x − = 0} c G = {2, 3} H = [2, 3] Bài 18 Viết tất quan hệ bao hàm có tập hợp sau: ° A : tập hợp tứ giác ° B : tập hợp hình bình hành ° C : tập hợp hình chữ nhật ° D : tập hợp hình thoi ° E : tập hợp hình vuông ° F : tập hợp hình thang vuông Bài 19 Tìm tất tập của: a ∅; b {∅}; c {∅}, {∅}} Bài 20 Cho tập hợp A = {a, b, c, d, e} a A có tập con? b Có tập A chứa phần tử? c Có tập A chứa phần tử? d Có tập A chứa nhiều phần tử? §4 CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HP Giao hai tập hợp: a Đònh nghóa: x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A x ∈ B) b Tính chất: ° A∩ ∅ = ∅ ° A ∩ A = A ° Giao hoán: A ∩ B = B ∩ A ° Kết hợp: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = (A ∩ C) ∩ B = A ∩ B ∩ C Trang B Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) Hợp hai tập hợp: B A x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A hay x ∈ B a Đònh nghóa: b Tính chất: ° A∪ ∅ = Α A∪B ° A ∪ A = A ° Giao hoán: A ∪ B = B ∪ A ° Kết hợp: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C = (A ∪ C) ∪ B = A ∪ B ∪ C Tính chất chung giao ∩ hợp ∪ : ° Tính phân phân phối ∩ ∪: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ° Tính phân phân phối ∪ ∩: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∪ (A ∪ C) Hiệu hai tập hợp: a Đònh nghóa: Hiệu hai tập hợp A B, ký hiệu A \ B tập hợp gồm phần tử x thuộc A x không thuộc B x ∈ A \ B ⇔ (x ∈ A x ∈ B) B A b Tính chất: ° A\A= ∅ ° A\∅ = A ° A∩ B= ∅ ⇒ Α ∴ Β = Α A\B Lưu ý: Từ đònh nghóa ta thấy phép hiệu tính giao hoán Phần bù: a Đònh nghóa: Cho hai tập hợp A, B, với B ⊂ A Hiệu A \ B gọi phần bù B B A ký hiệu là: CA CA B x ∈ CBA ⇔ (x ∈ A x ∉ B) A B ⊂ A ⇒ A \ B = C BA B b Tính chất: ° CBx = CAx CBA ⇔ A = B A B ° B ⊂ A ⇒ Cx ⊂ C x Vấn đề 3: ° XÁC ĐỊNH CÁC TẬP HP: A ∩ B, A ∪ B, CAB Xem đònh nghóa, tính chất phần tóm tắt BÀI TẬP { } K Bài 22 Cho hai tập hợp: A = {0, 1, 2, 3, 4} B = x ∈ N |x = , K ∈ N K ≤ Trang Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) Xác đònh: A ∪ B; A ∩ B; A \ B; B \ A : Bài 24 Cho: A ∩ B = { 2, 3, 4, 5, 6} ; A \ B = { 0, 1} ; B \ A = { 7, 8, 9} Xác đònh: A B Bài 25 Cho X = { x ∈ N | < x < 10} A, B ⊂ X cho : A ∩ B = { 4, 6, 9} ; A ∪ { 3, 4, 5} = { 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9} ; B ∪ { 4, 8} = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Xác đònh: A B Bài 26 Cho hai tập hợp: A = { x ∈ N | x ước 12} ; B = { x ∈ N | x ước 8} Tìm tất tập hợp X biết X ⊂ A X ⊂ B { } B = { x ∈ Z | | x | ≤ 2} Bài 27 Cho hai tập hợp: A = x ∈ R | x − x − = ; Viết tập hợp X cho A ∪ X = B Bài 28 Xác đònh tập hợp: A ∪ B; A ∩ B; A \ B; B \ A với : a A = (− ∞ , 2], B = (0, + ∞ ) ; b A = [− 4, 0], B = (1, 3] Bài 29 Sử dụng ký hiệu khoảng, đoạn, Hãy viết tập hợp sau: a (− 3, 5] ∪ [8, 10] ∪ [2, 8) b [0, 2) ∪ (− ∞ , 5) ∪ (1, + ∞ ) c [− 4, 7] ∩ (0, 10) e (3, + ∞ ) \ ( − ∞ , 1] d (− ∞ , 3] ∩ (− 5, + ∞ ) Bài 30 Biết [3, 12) \ (− ∞ , a) = ∅ Có thể kết luận số a? Bài 31 Cho ta tập hợp: A = { x ∈ R | < x < 5} , B = { x ∈ R | < x < 7} , C = { x ∈ R | < x < 6} Viết tập hợp: A ∩ B; A ∩ C; B ∩ C; A ∪ B Vấn đề 4: CHỨNG MINH: A ⊂ B; A = B Để chứng minh A ⊂ B , ta phải chứng minh: ∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B Để chứng minh A = B, ta phải chứng minh: A ⊂ B B ⊂ A BÀI TẬP Bài 33 a Chứng minh rằng: A ∩ B = B B ⊂ A b Chứng minh rằng: B ⊂ A A ∩ B = B Bài 34 Chứng minh A ⊂ B A ∪ B = B ngược lại Bài 35 Cho ba tập hợp A, B, C Chứng minh rằng: a Nếu B ⊂ C A ∩ B ⊂ A ∩ C b Nếu A ⊂ C B ⊂ C A ∪ B ⊂ C c Nếu A ∩ B = A ∪ B A = B e B ∪ (A \ B) = A ∪ B) Bài 42 Ký hiệu n(A) số phần tử A Trang d A = (A \ B) = A ∩ B f A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) Cho biết: n(A) = 17, n(B) = 24, n(A ∪ B) = 35 Tính: n(A ∩ B), n(A \ B) n(B \ A) Bài 43 Cho S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Có tập A S trường hợp sau: a A có phần tử b A có phần tử phần tử bé A CHUYÊN ĐỀ CHƯƠNG II CHƯƠNG HÀM M SỐ SỐ HÀ §1 KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ I ĐỊNH NGHĨA: Cho D tập hợp khác rỗng tập hợp số thực R Một hàm số f xác đònh D quy tắc cho ứng với phần tử x ∈ D số thực y Ký hiệu: f: D → R x a y = f(x) D: gọi tập xác đònh (hay miền xác đònh) hàm số f Phần tử x ∈ D gọi biến số Số thực y tương ứng với biến số x gọi giá trò hàm số f x, ký hiệu f(x) ° Công thức y = f(x) gọi quy tắc tìm giá trò f(x) hàm số f x ∈ D ° Một hàm số xác đònh ta biết tập xác đònh D quy tắc tìm giá trò y = f(x) hàm số II HÀM SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC: ° Người ta thường cho hàm số f công thức: y = f(x) Với cách cho người ta thường không rõ tập xác đònh hàm số Khi ta quy ước: Tập xác đònh hàm số y = f(x) tập hợp tất số thực x cho biểu thức f(x) có nghóa ° a b c Ngoài cách cho tổng quát trên, người ta thường cho hàm số cụ thể ba cách sau đây: Cho hàm số bảng: Đó bảng số gồm hai hàng, hàng ghi giá trò biến số x ∈ D , hàng ghi giá trò tương ứng y hàm số x Cho hàm số đồ thò: Ta cho hàm số f từ D đến R đồ thò mặt phẳng tọa độ Oxy a Cho hàm số công thức: Chẳng hạn hàm số y = ax + b; y = ax ; y = ; x cho hàm số công thức khác tập tập xác đònh nó, chẳng hạn: Trang Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )  (− ∞ ; 1)  y = f(x) =  x −  2x [1; + ∞ )  III ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ: Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác đònh D Đồ thò hàm số tập hợp tất điểm M(x; y) mặt phẳng tọa độ Oxy với x ∈ D y = f(x) Công thức y = f(x) gọi phương trình đồ thò Hoặc: Cho hàm số y = f(x) xác đònh D Trong hệ trục tọa độ Oxy tập hợp điểm M(x, b), với b = f(x), a ∈ D đồ thò hàm số f IV SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ: Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác đònh khoảng (a; b) ° Hàm số y = f(x) gọi đồng biến (hay tăng) khoảng (a; b) với số thực x1 x2 thuộc (a; b) ta có: x > x1 ⇒ (x ) < f(x1 ) Ghi chú: Khảo sát biến thiên hàm số khoảng (a; b) xét xem hàm số đồng biến hay nghòch biến khoảng Bảng biến thiên: Ta thường biểu diễn biến thiên hàm số dướng dạng bảng gọi bảng biến thiên hàm số sau: x a by x a by Hàm số đồng biến (a; b) Hàm số nghòch biến (a; b) Đồ thò hàm số đồng biến, nghòch biến: ° Đồ thò hàm số đồng biến đường “đi lên từ trái sang phải” (h.3a) ° Đồ thò hàm số nghòch biến đường “đi xuống từ trái sang phải” (h.3b) y y y2 y1 a O M1 x1 (H.3a) x2 M1 y1 M2 b y2 O a x1 M2 (H.3b) x2 b V TÍNH CHẴN, LẺ: °Một tập D R gọi có tính đối xứng với x ∈ D ta có − x ∈ D Trang Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) Ví dụ: Khoảng (-2; 2) tập có tính đối xứng (-3; -1) ∪ (1; 3) tập có tính đối xứng Khoảng (-4; 2) tính đối xứng Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác đònh D ° Hàm số y = f(x) gọi chẵn D với x ∈ D ta có: − x ∈ D f(− x) = f(x) ° Hàm số y = f(x) gọi D với x ∈ D ta có: − x ∈ D f(− x) = − f(x) Đồ thò hàm số chẵn, hàm số lẻ: Đònh lý: ° Đồ thò hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng ° Đồ thò hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng Vấn đề 1: TÌM MIỀN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ Đa thức f(x) có MXĐ D = R hay D = (− ∞ ; + ∞ ) f(x) Với hai đa thức f(x) g(x) có MXĐ D = { x |g(x) ≠ 0} g(x) Với đa thức f(x) thì: f(x) có MXĐ D = { x | f(x) ≥ 0} ° 2n ° 2n + f(x) có MXĐ D = tập xác định hàm số f(x) Nếu hàm số y = f(x), y = g(x) có miền xác đònh D f, Dg thì: a.Hàm số y = f(x) ± g(x) hàm số y = f(x) g(x) có MXĐ là: D = Df ∩ Dg (giao hai miền xác đònh) b.Hàm số y = f(x) có MXĐ D = (D f ∩ Dg ) \ {x / g(x) = 0} g(x) BÀI TẬP Bài Tìm miền xác đònh hàm số: a e y = g y = b y= x+ − x− d y= f y= x− − x− − h y= x+ 3− x + x− + c y = + − 2x 4− x = y xx− x+ + 1− x x Trang 10 − x2 x − 3x + + x − Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) Bài Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – a Đònh m để đồ thò hàm số đồng biến? Nghòch biến? b Đònh m để đồ thò hàm số qua điểm A(1; 4) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số tương ứng Bài Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số: x ≤ x  < x < a y =   − 1x + x ≥  Vấn đề 2: b  − 2x −  y= 0 x−  x ≤ − − ≤ x ≤ x ≥ TÌM PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG Xem phần tóm tắt BÀI TẬP Bài Lập phương trình đường thẳng: a Có hệ số góc qua điểm (-1; 3) b Đi qua P(2; -1) Q(-3; 2) c Đi qua (3; 0) song song với đường thẳng 3x + 2y = 100 d Đi qua (-3; -2) vuông góc với đường thẳng -3x + 5y = Bài Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3; (D /): y = x + (d /): y = -2x + Tìm phương trình đường thẳng (D) song song với (d) đường thẳng (D), (d /), (D/) đồng quy §3 HÀM SỐ BẬC HAI I SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) Tập xác đònh: D = R Sự biến thiên: Đònh lý 1: ° Nếu a > hàm số y = ax nghòch biến khoảng (− ∞ ; 0) đồng biến khoảng (0; + ∞ ) ° Nếu a < hàm số y = ax đồng biến khoảng (− ∞ ; 0) nghòch biến khoảng (0; + ∞ ) Bảng biến thiên: Đồ thò: Đồ thò hàm số y = ax2 parabol có đỉnh gốc tọa độ nhận trục tung làm trục đối xứng II SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ y = ax + bx + c (a ≠ 0) : Tập hợp: D = R Sự biến thiên: Trang 15 Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) Đònh lý 2: ° Nếu a > hàm số y = ax + bx + c nghòch biến khoảng (− ∞ ; − biến khoảng (− ° b ; + ∞ ) 2a Nếu a < hàm số y = ax + bx + c đồng biến khoảng (− ∞ ; − b ; + ∞ ) 2a Từ bảng biến thiên, ta có: b ) đồng 2a b ) nghòch 2a biến khoảng (− ° ° ∆ b x = − 4a 2a ∆ b x = − a < 0: Hàm số y = ax2 + bx + c đạt giá trò cực đại − 4a 2a a > 0: Hàm số y = ax2 + bx + c đạt giá trò cực tiểu − Đồ thò: Đồ thò hàm số y = ax + bx + c parabol có đỉnh ∆  b  b I − ;− nhận đường thẳng x = − làm trục đối xứng  2a  2a 4a  Vấn đề 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI y = ax2 + bx + c Các bước thực hiện:  • • • Tập xác đònh: D = R  −a −∆  ; Đỉnh I    2a 4a  Bảng biến thiên: Các giá trò đặc biệt: ° ° •  b  Giao điểm với trục tung Oy: T(O; C) ⇒ điểm đối xứng qua Oy: T/  − ; c   a  ⇒ H1 (x1; 0), H (x ; 0) Giao điểm với trục Ox (nếu có): ax2 + bx + c = ∆  b  b ;− Đồ thò parabol có đỉnh I  − nhận đường thẳng x = − làm trục đối  2a  2a 4a  xứng (hình bên) Ghi chú: ∆   b ;− ° Đỉnh I  −   2a 4a  ° ° Xác đònh giao điểm với trục Oy; Ox Vẽ đồ thò Trang 16 Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) BÀI TẬP Bài Vẽ đồ thò hàm số:  2x + với x ≥ a y =   x + 4x với x < b  − x + với x < y=   2x + 4x − với x ≥  − x + 3x − với x ≤ c y =   x − 3x − với x > Vấn đề 2: ĐỊNH MỘT HÀM SỐ BẬC HAI (TÌM PHƯƠNG TRÌNH PARABOL) Phương pháp: • Đònh hàm số bậc hai tìm hệ số a, b, c công thức y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) • Từ giả thiết, ta thiết lập hệ phương trình có ẩn số a, b, c Giải hệ BÀI TẬP Bài Tìm hàm số bậc hai biết đồ thò qua điểm: A(1; 4), B(-1; 6) C(2; 9) Bài Cho hàm số y = ax + bx (1) a Tìm a b để đồ thò hàm số qua điểm A(2; -3), B(6; -3) b Khảo sát vẽ đồ thò (P) hàm số (1) với a, b vừa tìm phần a c Từ đồ thò (P) phần b suy cách vẽ đồ thò (P) hàm số: x2 y= + 2x Bài Cho hàm số y = ax + bx + c có đồ thò (P): a Tìm a, b, c biết (P) qua A(0; -3), B(1; 0), C(-1, -8) b Khảo sát vẽ (P), biết a = -1, b = 4, c = -3 I.Phương trình bậc nhất,bậc hai: Bài1: Giải phương trình sau: a) x − + x = x − + b) − x + x = x − + c) x − x + x = + d) x − x + 10 = 3x − e) x − = x − f) |4x-3|=2x+1 Bài2: Giải phương trình sau: 3x + 4 − = + x− x+ x − | x − 1| = | x − 3| c) x− a) b) 3x − x + 3 x − = 2x − 2 d) | x + 1|= x − x + Bài3: Giải biện luận pt sau theo tham số m: a ) (m + 2) x − m = x − b ) m(x-m)=x+m-2 c) m ( x − 1) + m = x (3m − 2) Bài4: Giải biện luận pt sau theo tham số m: (m+1)x-m+2 = m x+3 c) |x+m|=|x-m+2| a) mx-m-3 = x+1 d) |x-m|=|x+1| b) Trang 17 − x Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ Bài5: Giải hệ pt sau:  -2x+5y=9 a)   4x+2y=11 3  x + y = 16 d)   x − y = 11   2x − 3y = b)   3x + y = NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )  5x+3y=15 c)   4x-5y=6  x − y = e)   x + y = Bài6: Giải biện luận hệ pt sau theo tham số m  mx+(m-1)y=m+1 a)   2x+my=2  (m-1)x+2y=3m-1 c)   (m+2)x-y=1-m  mx+(m-2)y=5 b)   (m+2)x+(m+1)y=2  (m + 4) x − ( m + 2) y = d)   (2m − 1) x + ( m − 4) y = m II.Một số pt quy pt bậc nhất,bậc hai: 1/ Phương trình chứa ẩn dấu giá trò tuyệt đối: Phương pháp chung ta bỏ dấu giá trò tuyệt đối cách xét dấu bình phương hai vế B≥ : Ta biến đổi tương đương 2 A = B  2 +) | A |= B ⇒ A = B : Ta biến đổi hệ Chú ý: +) | A |= B ⇔   f ( x) = g ( x) = [ g ( x) ] | f ( x) |= | g ( x) |⇔   f ( x) = − g ( x) |3x-1| = | x − 3| Bài 1: Giải pt sau : a) |2x-3|=x-5 b) |2x+5|=|3x-2| c) x+2 | 5x − | = | x− 2| d) | 3x − |= x + x − e) | x − |= | x − 1| f) x+ +) | f ( x) |= | g ( x) |⇔ [ f ( x) ] Bài 2: Giải biện luận pt sau theo tham số m: a) |3x+2m|=x-m b) |2x+m|=|x-2m+2| Bài 3: Tìm giá trò m để pt sau có nghiệm : |mx-2|=|x+4| 2/ Phương trình chứa ẩn dấu căn: Ta đặt điều kiện pt tìm cách bỏ dấu cách bình phương hai vế pt để đưa pt hệ quả, sau thử lại nghiệm có thỏa mãn hay không Chú ý: +) +)  g ( x ) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔  : Biến đổi tương đương  f ( x ) = [ g ( x ) ] f ( x) = g ( x) ⇒ f ( x ) = [ g ( x) ] : Biến đổi hệ Bài 4: Giải pt sau : a) 3x − = x − d) x + x + = | x − 1| x2 + x + = − x e) b) x − x + = x − f) c) 3x − x − = 4x − = m− 2x − 2x + 3/ Phương trình chứa ẩn mẫu thức: Để khử ẩn mẫu thức ta quy đồng mẫu số, quy đồng phải ý đến điều kiện xác đònh pt 2x-5 x − x-1 3x + = b) = c) − = − x+ x− x-1 3x + x 2x − 2 a 3x+k x − k a) + = b) = Bài 6: Giải biện luận pt sau: x-2 x − 2a x-3 x+ Bài 5: Giải pt sau: a) Trang 18 Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) 4/ Phương trình trùng phương: Có dạng ax4+bx2+c=0 (1).Đặt t=x2 ≥ ,ta đưa pt bậc hai at2+bt+c=0 (2) Giải ptrình (2) so sánh với điều kiện ta kết luận Bài 7: Giải pt sau: a) x4-8x2-9=0 b) x4-13x2+36=0 c)2 x4-8x2-18=0 Bài 8: Giải biện luận pt sau: a) x4-mx2-9=0 b) (m+1)x4-8x2-m+1=0 A DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT f(x) = ax + b I Đònh lý: f(x) dấu a ⇔ x > − b b f(x) trái dấu a ⇔ x < − a a II Hệ quả: Dấu tích thương hai nhò thức bậc nhất: Cho hai nhò thức bậc f1(x) = a1x + b1 ; f2(x) = a2x + b2 f1 ( x ) Ta có kết quả: f1(x).f2(x) f x trái dấu tích a1a2 x khoảng hai nghiệm 2( ) dấu tích a1a2 x khoảng hai nghiệm Quy tắc đan dấu: Muốn xét dấu biểu thức gồm n nhò thức bậc nhân nhân chia hỗn tạp ta sẽ: - Viết tất nghiệm nhò thức bậc lên trục số: Khi trục số chia thành nhiều khoảng - Trong khoảng vô tận bên phải , biểu thức dấu với biểu thức - Khi x giảm dần từ phải sang trái , biểu thức đổi dấu qua nghiệm đơn nghiệm bội lẽ biểu thức không đổi dấu qua nghiệm bội chẳn Bài Xét dấu: g ( x ) = Bài Xét dấu: f(x) = 3x(2x + 7)(9 – 3x) 2 Bài Xét dấu: h ( x ) = ( x − x + 3) − ( x + x − 3) 2 x2 + 2x + ≥ x− x+ x − 47 x − 47 > Bài Giải bất PT: 3x − 2x − Bài Giải bất PT: (x − x + ) ( x − 1) − 3x x+ > x− x + 3x − > −x Bài Giải bất PT: 2− x + x≥ Bài Giải bất PT: x+ Bài Giải bất PT: CHƯƠNG VV CHƯƠNG TAM THỨ THỨCC BẬ BẬCC HAI HAI TAM A DẤU TAM THỨC BẬC HAI I Tóm tắc lý thuyết: Đònh lý thuận dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức : f(x) = ax2 + bx + c ; a ≠ - Nếu ∆ < : a.f(x) > ; ∀x ∈ R - Nếu ∆ = : a.f(x) ≥ ; ∀x ∈ R , f ( x ) = ⇔ x = − Trang 19 b 2a Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) - Nếu ∆ > : f(x) = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (x1 < x2) • a.f(x) < ; ∀x ∈ (x1 ; x2) • a.f(x) > ; ∀x ∈ (-∞ ; x1)∪( x2 ; +∞) Đònh lý đảo dấu tam thức bậc hai: Ch tam thức f(x) = ax2 + bx + c , có số α cho a.f(α) < f(x) có hai nghiệm x1, x2 x1 < α < x2 Vấn đề 1: XÉT DẤU BIỂU THỨC - GIẢI BẤT PT ĐƠN GIẢN Xét dấu biểu thức E: - Đưa E dạng tích , thương nhân tử bậc hai , bậc bậc hai , bậc có dấu hiển nhiên - Lập bảng xét dấu Giải bất phương trình: - Chuyển vế để vế - Đưa vế lại tích thương , … - Xét dấu biểu thức kết luận Bài 1: Xét dấu tam thức: a f(x) = 2x2 - x + ; b g(x) = -x2 + 2x – ; h(x) = 2x2 - 7x + Bài 2: Giải bất PT: a x2 - 7x + 10 < ; b (-x2 + 3x – 2)(x2 – 5x + 6) ≥ x2 + x + x − 3x + < ; d > 1− 2x x − 4x + x2 − 4x + 3 < − x ; b + < Bài 3: Giải bất PT: a − 2x x− x− x− c CÔNG THỨC LƯNG GIÁC Công thức cộng: cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb tan a − tan b π tan(a − b) = (a, b, a − b ≠ + kπ ) + tan a tan b tan a + tan b π tan(a + b) = (a, b, a + b ≠ + kπ ) − tan a tan b Dạng toán1: Tính giá trò biểu thức Bài1: Tính giá trò biểu thức cot 2250 − cot 790.cot 710 A= cot 2590 + cot 2510 0 0 B = tan 20 tan 80 + tan 80 tan 140 + tan 140 tan 20 2 C = sin 20 + sin 100 + sin 140 Đ/ số: a) b) -3 Trang 20 c) Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) Bài2: Tính giá trò biểu thức A= − tan15 + tan 15 B = tan10 tan 70 + tan 70 tan130 + tan130 tan190 2 C = cos 10 + cos 110 + cos 130 Dạng toán2: Chứng minh đẳng thức lượng giác Bài3: Chứng minh 1) cos(x + y).cos(x – y) = cos2y – sin2x 3) sinx ± cosx = 5) tanx – tany = sin(x ± π 2) sinx - ) cosx = 2sin(x - 4) tanx.tan3x = π ) tan 2x − tan x − tan 2x.tan x sin(x − y) cos(x + y) + cos(x − y) Bài4: A, B, C ba góc tam giác Chứng minh: π 1) tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C(A, B, C ≠ ) A B B C C A A B C π 2) tan tan + tan tan + tan tan = ( , , ≠ ) 3) cot A cot B + cot B cot C + co t C cot A = 4) sin A B C A B C + sin + sin = − sin sin sin 2 2 2 I/ GÓC - CUNG LƯNG GIÁC 1) Đổi đơn vị radian góc (cung) có số đo: a/ 15o b/ 12o30’ 2)Đổi đơn vị độ ( phút, giây) góc (cung) có số đo: a/ 5p b/ p 3)Tìm điểm cung sau: ¼ = kp a / AM »= b / AN c/- c/ -200o 3p p p + k » =c / AP II/ GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC π 1)Cho sinx = Tính Cosx, Tanx, Cotx biết < x < o o 2)Cho 5cosa + = (180 < a < 270 ) Tính sina , tana, cota p k2p + 3 tan x + cot x biết sinx = tan x - cot x 2 2sin x + 3cos x sin x + 3sin x cos x - 2cos x 5)Tính B = biết tanx = -2 6)Tính C = biết cotx = -3 + 4sin x 3sin x - 2cos x 3)Cho tan15o = - Tính sin15o ,cos15o ,cot15o 7) Đơn giản biểu thức: Trang 21 4)Tính A = Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ Bài 1: NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) 2cos2 x -1 sin x + tan x cosx.tan x A= ; C = sin x (1 + cot x ) + cos x (1 + tan x ); B = - sin x.cot x; D = - cot x.cosx sin x + cosx tan x sin x Chứng minh: a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos2 x (sử dụng cơng thức) c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx 9) Chứng minh: 1-2cos x 1+sin x cosx 2 = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx = 2 1+sinx cosx sin x.cos x 1-sin x sinx 1+cosx 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx d/ + = ; e/ = ; f/ = 1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx 1+cosx 1-cosx 4cotx sin x cos x g/ = ; h/1= sinx.cosx; 1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx tan x-tan y sin x-sin y i/ (1-cosx )(1+cot x )= ; j/ = 1+cosx tan x.tan y sin x.sin y a/ Dạng toán3: Chứng minh hệ thức lượng giác cho biết điều kiện Bài 6: Cho biết sinb = sina.cos(a + b) Chứng minh rằng: 2tana = tan(a + b) (a, a + b Bài 7: Cho biết cos(a + b) = 2cos(a - b) Chứng minh rằng:tana.tanb = - (a, b ≠ Bài 8: Cho biết 3sinb = sin(2a + b) Chứng minh rằng: tan(a + b) = 2tana (a, a + Bài 9: Cho biết cos(a + 2b) = kcosa Chứng minh : tan(a + b).tanb = Công thức nhân đôi: Công thức nhân ba: sin3a = 3sina – 4sin3a cos3a = 4cos3a – 3cos tan a − tan a π tan3a = (a, 3a ≠ + lπ ) 2 1− 3tan a Công thức lượng giác góc a tính theo tan a Đặt t = tan , a π ≠ + kπ , k ∈ ¢ 2 2t + t2 − t2 cos a = + t2 2t tan a = − t2 sin a = Trang 22 a : 1− k 1+ k ≠ π + kπ π + kπ ) π b ≠ + kπ (a, a + b ≠ ) ) π + lπ ) Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) Công thức chia đôi: − cos 2a + cos2a cos2 a = sin a = tan a = − cos 2a + cos 2a π + lπ , (a ≠ ) Dạng toán4: Tính giá trò biểu thức Bài 10: Tính sin22030’; tan22030’ π   < α < π  Tính giá trò hàm số lượng giác góc α   3π  π sin2 α = − với  < α <  Tính giá trò hàm số lượng giác góc α sin α - cos α = Tính sin2 α 1 sina = , sinb= Tính sin2(a + b) Bài 11: Cho sin α = Bài 12: Cho Bài 13: Cho Bài 14: Cho , với Bài 15: Tính sin180, cos180 sin x x , biết tan = Bài 16: a) Tính A = − cos x 2 tan x − sin x b) Tính A = Bài 17: a) Tính tan biết sin x + cos x = x b) Tính tan x + cos x , biết tan 2) cos x − sin x cos x + sin x + tan x = 5) cos a cos a cos a cos 8a = A = cos 20 cos 40 cos 80 3) A = cos 2π 31 cos 4π 31 cos 8π 31 cos x + sin x 2) 31 cos x − tan x 16 sin a  16π sin16 a  2) tan a tan  cos = 4) tan a = cot a − cot 2a Bài 20: Chứng minh rằng: cos x  π x = cot  −  1) − sin x  2 Bài 21: Tính: 1) cos x − sin x 2) cos A = cos π π 31 Bài 22: Cho a, b góc nhọn dương thỏa mãn đẳng thức Trang 23   π  − a  tan  cos 32π a biết tan x = m + sin a - 2sin Bài 18: Tính A = tan 150 + tan 750 Dạng toán 5: Chứng minh đẳng thức lượng giác Bài 19: Chứng minh rằng: 1) cos3x.sinx – sin3x.cosx = sin4x x 4π cos   + a  = tan 3a 5π = 15 Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) 3sin2a + 2sin2b = 1; 3sin2a – 2sin2b = Chứng minh a + 2b = 900 Bài 23: Chứng minh rằng: π  − x  1) sin3acos3a – sin3acos3a = sin4a x Bài 24: Chứng minh tan = − a b 2) cos3x = 4cos.cos  π  + x  cos  biểu thức asinx + bcosx không phụ thuộc vào a Công thức biến đổi tích thành tổng: cos α cos β = sin α sin β = − sin α cos β =  cos ( α + β ) + cos ( α − β )   cos ( α + β ) − cos ( α − β )   sin ( α + β ) + sin ( α − β )  Bài 25: Tính a) sin750sin150 b) cos100cos300cos500cos700 Bài 26: Biến đổi tích hàm số lượng giác sau thành tổng: a) 2sinasin2asin3a b) 8cos(a - b)cos(b - c)cos(c - a) Bài 27: Chứng minh rằng: a) sin100 sin500sin700 = b) cos10 cos 500 cos 700 = 3 c) tan100 tan 500 tan 700 = Công thức biến đổi tổng thành tích: α +β α −β cos α + cos β = cos cos 2 α + β α −β cos α − cos β = sin sin 2 α +β α −β sin α + sin β = sin cos 2 α +β α −β sin α − sin β = cos sin 2 tgα ± tgβ = sin ( α ± β ) cos α cos β Bài 28: Chứng minh rằng: a) sinx + cosx =   sin  x + π     = cos  x −  4 4  π Bài 29: Chứng minh rằng: cos x − sin x = tan(45 ± x) a) cos x + sin x b) sinx - cosx = - b) Trang 24   cos  x + − sin 2x + sin 2x π     = sin  x −  4 4  π = tan (45 ± x) Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) Bài 30: Chứng minh rằng: a) tan90 – tan270 – tan630 + tan810 = b) sina + sinb + sinc – sin(a+b+c) = 4sin a+ b c) cosa + cosb + cosc + cos(a+b+c) = 4cos sin a+ b b+ c cos sin b+ c c+ a cos c+ a Bài 31: A, B, C ba góc tam giác Chứng minh rằng: A B C 2 1) sinA + sinB + sinC = 4cos cos cos 2) cos 2A + cos 2B + cos 2C = – 4cosA.cosB.cosC ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC 10 ( Cơ Bản ) I TĨM TẮT GIÁO KHOA Phép cộng hai vectơ r r uuur r r uuur rr Cho hai vectơ a b Lấy điểm O tùy ý, vẽ OA = a , a.a = b Khi vectơ OB gọi r r tổng hai vectơ a b Phép tốn tìm tổng hai vectơ gọi phép cộng hai vectơ Nếu r r r r r r tổng hai vectơ a b vectơ – khơng a vectơ đối b b vectơ đối a Vectơ r r r r đối a kí hiệu - a Vectơ đối vectơ vectơ Hiệu hai vectơ r r r r r r r r Cho hai vectơ a b Ta gọi hiệu hai vectơ a b vectơ a + (- b ) kí hiệu a - b r r Phép tốn tìm hiệu hai vectơ gọi phép trừ hai vectơ a b Các quy tắc thường sử dụng thực phép tốn vectơuuur uuur uuur a) Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD hình bình hành AB + AD = AC b) Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý ta có: uuur uuur uuur • AB = AC + CB (phân tích vectơ thành tổng hai vectơ) uuur uuur uuur • AB = CB - CA ( biểu thị vectơ thành hiệu hai vectơ có chung điểm đầu) Định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ r r r r r r Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng hai vectơ a b số, kí hiệu a r r r r r r r b xác định cơng thức a b = a b cos( a , b ) r r r r r r • Nếu a = b = ta quy ước a b = r r r r r r r r • Nếu a ≠ , b ≠ ta có a b = ⇔ a ⊥ b r r r r r r r r • Khi a = b ta có a a = a bình phương vơ hứong vectơ a Khi ta có a = a Các ứng dụng tích vơ hướng r rr • Tính độ dài vectơ: a = a.a • rr a.b r r Tính góc hai vectơ: cos( a , b ) = r r a.b Tọa độ trung điểm đoạn thẳng tọa độ trọng tâm tam giác Trang 25 Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ • • NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) I( xI ; yI ) trung điểm đoạn thẳng AB x + x y + yB xI = A B ; y I = A 2 G( xG ; yG ) trọng tâm tam giác ABC x + x + x y + yB + yC xG = A B C ; yG = A 3 Khoảng cách hai điểm A( x A ; y A ) B ( xB ; yB ) uuur AB = AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) r Góc hai vectơ khác vectơ ur r Với hai vectơ a = ( x; y ) a ' = ( x ' ; y ' ) r ur' r ur' a.a cos (a, a ) = r ur' = a.a xx ' + yy ' x + y x '2 + y '2 r r a ⊥ b ⇔ xx ' + yy ' = Bài tập uur Gọi uuurD, E, F trung điểm cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Chứng minh EF = CD Bài tập uuur uuur uuur uuur Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D Chứng rằng: AC + BD = AD + BC Bài tập uuur uuur Cho ba điểm A, B, M thỏa mãn hệ thức MA = k MB (k ≠ 1) Chứng minh với điểm ta ln có hệ thức: uuur uuur uuuur OA − kOB OM = 1− k Bài tập Cho tam giác OBA Gọi M, N lần luợt trung điểm hai cạnh OA OB Hãy tìm số m n thích thức sau đây: uuuuhợp r uuur cácuuuđẳng r uuuur uuur uuur a) OM = mOA + nOB b) MN = mOA + nOB Bài tập uuur uuur uuur uuur Tam giác ABC vng C có AC = 18, CB = 10 Tính AB AC BC.BA Bài tập Tam trọng tâm G Tính tích vơ hướnguuusau: uuurgiác uuurđều ABC có cạnh a uuurcóuuu r r uuur a) AC.CB b) AG AB c) BG.GA Bài tập Cho hình bình hành ABCD có A(-1; 3), B(2; 4), C(0; 1) a) Tìm tọa độ đỉnh D hình bình hành b) Tìm tọa độ tâm O hình bình hành Trang 26 Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) Bài tập Cho hình thoi ABCD có cạnh a có góc nhọn A 600 uuur uuur uuur uuur a) Tính độ dài vectơ AB + AD BA + BC uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) Tính tích vơ hướng AB AD , AB AC , AD.CA Bài tập Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm A(-3; 4), B(1; 1), C(9; -5) a) Chứng tỏ ba điểm A, B, C thẳng hàng b) Tìm tọa độ điểm D cho A trung điểm BD c) Tìm điểm A’ đối xứng với A qua gốc tọa độ O HỌC KÌ II I TĨM TẮT KIẾN THỨC Định lí cơsin a = b + c - 2bccosA b = a + c - 2accosB c = a + b - 2abcosC Định lí sin a b c = = = 2R sin A sin B sin C Với R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Độ dài đường trung tuyến tam giác b + c a 2(b + c ) − a ma2 = − = 4 2 2 a +c b 2(a + c ) − b mb2 = − = 4 mc2 = a + b c 2(a + b ) − c − = 4 Các cơng thức tính diện tích tam giác 1 • S = aha = bhb = chc 2 1 • S = ab sin C = ac sin B = bc sin A 2 abc • S= với R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 4R II BÀI TẬP Bài tập Tam giác uuu ABC r uuurcó AB = cm, BC = cm, CA = cm a) Tính AB AC suy giá trị góc A uuur uuur b) Tính CA.CB tính giá trị góc C Bài tập Cho tam giác ABC biết a = 21 cm, b = 17 cm, c = 10 cm a) Tính diện tích S tam giác Trang 27 Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) b) Tính chiều cao độ dài đường trung tuyến ma PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ) có vectơ phương r u = (u1 ; u2 ) là:  x = x0 + tu1 (u1 + u22 ≠ 0)   y = y0 + tu2 Phương trình tổng qt đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ) có vectơ pháp tuyến r n = (a; b) là: a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = (a + b ≠ 0) Nếu đường thẳng ∆ có phương trình tổng qt ax+by+c=0 (a + b2 ≠ 0) ∆ có vectơ pháp r r tuyến n = (a; b) có vectơ phương u = (− b; a) Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k là: y − y0 = k ( x − x0 ) r Nếu đường thẳng ∆ có vectơ phương u = (u1 ; u2 ) với u1 ≠ hệ số góc ∆ u k = tan α = u1 r Ngược lại ∆ có hệ số góc k ∆ có vectơ phương u = (1; k ) Góc ∆ ∆ xác định theo cơng thức a1a2 + b1b2 cos(∆ , ∆ ) = a12 + b12 a22 + b22 Vị trí tương đối hai đường thẳng ∆ ∆ phụ thuộc vào số nghiệm hệ phương trình  a x + b1 y + c1 = (I )   a2 x + b2 y + c2 = ∆ cắt ∆ ⇔ hệ (I) có nghiệm ∆ P ∆ ⇔ hệ (I) vơ nghiệm ∆ ≡ ∆ ⇔ hệ (I) có vơ số nghiệm Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = tính theo cơng thức ax + by0 + c d (M ; ∆ ) = a + b2 Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b) bán kính R là: ( x − a ) + ( y − b) = R hay x + y − 2ax - 2by+c = với c = a + b − R Ngược lại, a + b − c > x + y − 2ax - aby + c = phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R = a + b2 − c Trang 28 Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) Phương trình tiếp tuyến với đường tròn ( x − a )2 + ( y − b) = R điểm M ( x0 ; y0 ) ( x0 − a )( x − x0 ) + ( y0 − b)( y − y0 ) = Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ rbiết rằng: a) ∆ qua điểm A(2;3) có vectơ phương u = (7; 2) r b) ∆ qua điểm B(4;5) có vectơ pháp tuyến n = (3;8) c) ∆ qua điểm C(9;5) có hệ số góc k = -2 x= 8.Cho đường thẳng d có phương trình tham số   y = + 2t Viết phương trình tham số đường thẳng a) Đi qua M(8;2) song song với d b) Đi qua điểm N(1;-3) vng góc với d Viết phương trình tổng qt đường r thẳng ∆ biết rằng: a) ∆ qua điểm A(1;2) có vectơ pháp tuyến n = (4;1) r b) ∆ qua điểm B(1;0) có vectơ phương u = (− 2;5) c) ∆ qua điểm C(2;1) có hệ số góc k = 10 Cho tam giác ABC với A(2;1), B(4;3) có C(6;7) Hãy viết phương trình tổng qt đường cao AH 11 Viết phương trình đường tròn (C) trường hợp sau a) (C) có tâm I(3;-1) qua điểm M(2;1) b) (C) có đường kính AB với A(1;0), B(7;6) c) (C) có tâm I(1;2) tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 3x – 4y + 15 = Trang 29 [...]... 790.cot 710 A= cot 2590 + cot 2 510 0 0 0 0 0 B = tan 20 tan 80 + tan 80 tan 140 + tan 140 tan 20 2 0 2 0 2 0 C = sin 20 + sin 100 + sin 140 Đ/ số: a) 3 b) -3 Trang 20 c) 0 3 2 Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) Bài2: Tính giá trò các biểu thức A= 1 − tan15 0 1 + tan 15 0 B = tan10 0 tan 70 0 + tan 70 0 tan130 0 + tan130 0 tan190 0 2 0 2 0 2 C = cos 10 + cos 110 + cos 130... + 4 2 Vấn đề 4: ° ° ° XÉT TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ Tìm miền xác đònh D của hàm số y = f(x) Chứng minh: x ∈ D ⇒ − x ∈ D Tính: f(-x) - Nếu: f(− x) = f(x), ∀ x ∈ D thì f chẵn - Nếu: f(x) = -f(x), ∀ x ∈ D thì f lẻ Ghi chú: 1 Nếu x ∈ D ⇒ − x ∉ D thì f không là hàm chẵn, không là hàm lẻ 2 Nếu x ∈ D ⇒ − x ∈ D nhưng f( − x) ≠ f(x) và f( − x) ≠ − f(x) thì f không là hàm chẵn, không là hàm lẻ BÀI TẬP Bài 1 Xét... ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) Bài 30: Chứng minh rằng: a) tan90 – tan270 – tan630 + tan 810 = 4 b) sina + sinb + sinc – sin(a+b+c) = 4sin a+ b c) cosa + cosb + cosc + cos(a+b+c) = 4cos sin 2 a+ b 2 b+ c cos sin 2 b+ c 2 c+ a cos 2 c+ a 2 Bài 31: A, B, C là ba góc của tam giác Chứng minh rằng: A B C 2 2 2 1) sinA + sinB + sinC = 4cos cos cos 2) cos 2A + cos 2B + cos 2C = 1 – 4cosA.cosB.cosC ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP... đường tròn ngoại tiếp tam giác 4R 5 II BÀI TẬP Bài tập Tam giác uuu ABC r uuurcó AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm a) Tính AB AC rồi suy ra giá trị của góc A uuur uuur b) Tính CA.CB rồi tính giá trị của góc C Bài tập Cho tam giác ABC biết a = 21 cm, b = 17 cm, c = 10 cm a) Tính diện tích S của tam giác Trang 27 Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) b) Tính chiều cao ha và độ dài... 11 Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ Vấn đề 2: NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) MIỀN GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 Miền giá trò: Cho hàm số y = f(x) với miền xác đònh là D Khi x biến thiên trên D thì giá trò f(x) nói chung cũng biến đổi, các giá trò đó lập thành một tập hợp gọi là miền giá trò của hàm số (viết tắt là MGT) 2 Phương pháp tìm MGT: Phương pháp tìm MGT của một hàm số không phải chỉ có một Ở giai đoạn đầu...  T(0; b) α  ° Với α là góc nhọn hợp bởi (d) và trục Ox Vấn đề 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Phương pháp: ° Tập xác đònh: D = R ° a > 0: Hàm số đồng biến; a < 0: hàm số nghòch biến ° Đồ thò là đường thẳng đi qua 2 điểm (0; b) và (-a/b; 0) Trường hợp: Đồ thò hàm số bậc nhất cho bởi nhiều công thức: ° Từ các công thức ta tìm tập xác đònh: D = D1 ∪ D2 ∪ (lấy phần hợp) ° ° Ứng với từng... uuuuhợp r trong uuur cácuuuđẳng r uuuur uuur uuur a) OM = mOA + nOB b) MN = mOA + nOB Bài tập uuur uuur uuur uuur Tam giác ABC vng tại C có AC = 18, CB = 10 Tính AB AC và BC.BA Bài tập Tam trọng tâm G Tính các tích vơ hướnguuusau: uuurgiác uuurđều ABC có cạnh a và uuurcóuuu r r uuur a) AC.CB b) AG AB c) BG.GA Bài tập Cho hình bình hành ABCD có A(-1; 3), B(2; 4), C(0; 1) a) Tìm tọa độ đỉnh D của hình... Nguyễn Cơng Trứ NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN ) BÀI TẬP Bài 1 Vẽ đồ thò các hàm số:  2x + 1 với x ≥ 0 a y =  2  x + 4x với x < 0 b  − x 2 + 2 với x < 1 y=  2  2x + 4x − 3 với x ≥ 1  − x 2 + 3x − 1 với x ≤ 3 c y =  2  x − 3x − 4 với x > 3 Vấn đề 2: ĐỊNH MỘT HÀM SỐ BẬC HAI (TÌM PHƯƠNG TRÌNH PARABOL) Phương pháp: • Đònh hàm số bậc hai là tìm các hệ số a, b, c trong công thức y = ax2 + bx +... < 2 a y =  1  − 1x + 3 nếu x ≥ 2  Vấn đề 2: b  − 2x − 2  y= 0 x− 2  khi x ≤ − 1 khi − 1 ≤ x ≤ 2 khi x ≥ 2 TÌM PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG Xem phần tóm tắt BÀI TẬP Bài 1 Lập phương trình đường thẳng: a Có hệ số góc là 2 đi qua điểm (-1; 3) b Đi qua P(2; -1) và Q(-3; 2) c Đi qua (3; 0) và song song với đường thẳng 3x + 2y = 100 d Đi qua (-3; -2) và vuông góc với đường thẳng -3x + 5y = 4 Bài... ' = 0 Bài tập uur Gọi uuurD, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC Chứng minh rằng EF = CD Bài tập uuur uuur uuur uuur Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D bất kì Chứng mình rằng: AC + BD = AD + BC Bài tập uuur uuur Cho ba điểm A, B, M thỏa mãn hệ thức MA = k MB (k ≠ 1) Chứng minh rằng với điểm 0 bất kì ta ln có hệ thức: uuur uuur uuuur OA − kOB OM = 1− k Bài tập Cho tam