Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (61)

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KỲ II NĂM 2013– 2014 TRƯỜNG THPT PHÚC THỌ MƠN: TỐN LỚP 11 A ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN 1/ Chứng minh dãy số (un) có giới hạn Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un| ≤ vn, ∀n lim = limun = - Sử dụng số dãy số có giới hạn 0: lim n = , lim 1 = , lim = , lim q n = với n n |q| < 2/ Tìm giới hạn dãy số, hàm số Phương pháp: Vận dụng định lí giới hạn hữu hạn quy tắc tìm giới hạn vơ cực - Các quy tắc tìm giới hạn vơ cực dãy số: +) Nếu limun = +∞ lim un =0 limv limun=L n +∞ L>0 - −∞ + −∞ - +∞ - Các quy tắc tìm giới hạn vơ cực hàm số: x → x0 x → x0 f ( x) =0 un + L0 L0 L ∀x ∈ ℜ , x − x + x3 − 3x + x − y= f '( x) = Chứng minh rằng: 2(y’)2 =(y -1)y’’ Bài 10: Chứng minh f ( x) = Giải phương trình f ( x ) = sin x; g ( x ) = cos x − 5sin x Giải Bài 8: Cho hàm số a/ f '( x) ≤ minh: x2 + x x−2 biết: b/ f ( x ) = x + sin x (C) a) Tính đạo hàm hàm số x = b/ Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M có hồnh độ x0 = -1 Bài 12: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C) a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M có hồnh độ x0 = c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + Bài 13: Gọi ( C) đồ thị hàm số : y = x3 − x + Viết phương trình tiếp tuyến (C ) a) Tại M (0;2).b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 11 c) Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x – Bài 14: Cho đường cong (C): y = a) Tại điểm có hồnh độ 3x − Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) x−2 c) Biết tiếp tuyến b) Tại điểm có tung độ có hệ số góc −4 Bài 15: Tính vi phân hàm số sau: a) y = x − 2x + b) x y = sin c) d) y = x + 6x + y = cos x sin x e) y = (1 + cot x ) Bài 16: Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau: x +1 x−2 1) y= 5) y = x sin x y '' = ĐS: 1) y '' = 5) (x 2) 6) ( x − 2) y= 2x +1 x + x−2 x 3) y = x − y = (1 − x ) cos x 2) y '' = 7) y = x.cos2x x − 10 x + 30 x + 14 (x 4) + x−2 ) 3) y = x x2 + 8) y = sin5x.cos2x y '' = ( x x2 + (x ) −1 ) 4) x3 + 3x ) +1 ( x2 + ) y '' = − x sin x + x cos x 6) y '' = x sin x + ( x − 3) cos x 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x 8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x Bài 17: Tính đạo hàm cấp n hàm số sau:a) y= d) y = cosax ( a ≠ ) x +1 b) y = sinx ; c) y = sinax B HÌNH HỌC I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a b vng góc • Phương pháp 1: Chứng minh góc hai đường thẳng a b 900 12 rr r r • Phương pháp 2: a ⊥ b ⇔ u.v = ( u , v vectơ phương a b) • Phương pháp 3: Chứng minh a ⊥ (α ) ⊃ b b ⊥ ( β ) ⊃ a • Phương pháp 4: Áp dụng định lí đường vng góc ( hình chiếu đt b lên mp chứa đt a) a ⊥ b ⇔ a ⊥ b' với b’  Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vng góc với mp (P) • Phương pháp 1: Chứng minh: d ⊥ a d ⊥ b với a ∩ b = M; a,b ⊂ (P) • Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ⊥ (P) • Phương pháp 3: Chứng minh: d ⊂ (Q) ⊥ (P), d ⊥ a = (P) ∩ (Q) • Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) ∩ (R) (Q) ⊥(P), (R) ⊥ (P)  Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) (Q) vng góc • Phương pháp 1: Chứng minh (P) ⊃ a ⊥ (Q) • Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ⊥ (Q) • Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ⊥ (Q)  Dạng 4: Tính góc đt a b • Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ = O) - Khi đó: (a, b) = (a’, b’)  Dạng 5: Tính góc đt d mp(P) • Phương pháp: Gọi góc đt d mp(P) ϕ +) Nếu d ⊥ (P) ϕ = 900 +) Nếu d khơng vng góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ d lên mp(P) - Khi đó: ϕ = (d,d’)  Dạng 6: Tính góc ϕ hai mp (P) (Q) • Phương pháp 1: - Xác định a ⊥ (P), b ⊥ (Q) 13 - Tính góc ϕ = (a,b) • Phương pháp 2: Nếu (P) ∩ (Q) = d - Tìm (R) ⊥ d - Xác định a = (R) ∩ (P) - Xác định b = (R) ∩ (Q) - Tính góc ϕ = (a,b)  Dạng 7: Tính khoảng cách • Tính khoảng từ điểm M đến đt a: Phương pháp: d ( M , a ) = MH (với H hình chiếu vng góc M a) • Tính khoảng từ điểm A đến mp (P): Phương pháp: - Tìm hình chiếu H A lên (P) - d(M, (P)) = AH • Tính khoảng đt ∆ mp (P) song song với nó: d(∆, (P)) = d(M, (P)) (M điểm thuộc ∆) • Xác định đoạn vng góc chung tính khoảng đt chéo a b: +) Phương pháp 1: Nếu a ⊥ b : - Dựng (P) ⊃ a (P) ⊥ b - Xác định A = (P) ∩ b - Dựng hình chiếu H A lên b - AH đoạn vng góc chung a b +) Phương pháp 2: - Dựng (P) ⊃ a (P) // b - Dựng hình chiếu b’ b lên (P) b’ // b, b’ ∩ a = H - Dựng đt vng góc với (P) H cắt đt b A - AH đoạn vng góc chung a b +) Phương pháp 2: - Dựng đt (P) ⊥ a I cắt b O - Xác định hình chiếu b’ b (P) (b’ qua O) 14 - Kẻ IK ⊥ b’ K - Dựng đt vng góc với (P) K, cắt b H - Kẻ đt qua H song song với IK, cắt đt a A - AH đoạn vng góc chung a b II BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B SA ⊥ (ABC) a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB) b) Gọi AH đường cao ∆SAB Chứng minh: AH ⊥ SC Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SA ⊥ (ABCD) Chứng minh rằng: a) BC ⊥ (SAB) b) SD ⊥ DC.,SC ⊥ BD Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh: BC ⊥ AD b) Gọi AH đường cao ∆ADI Chứng minh: AH ⊥ (BCD) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, tâm O SA = SC = SB = SD = a a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD) b) Gọi I, K trung điểm AB BC Chứng minh IK⊥SD c) Tính góc đt SB mp(ABCD) Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, BC ⊥ AD Gọi H hình chiếu A lên mp(BCD) Chứng minh: a) H trực tâm ∆BCD b) AC ⊥ BD Bài 6: Cho tứ diện ABCD Chứng minh cặp cạnh đối diện tứ diện vng góc với đơi Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, tâm O AB = SA = a, BC = a , SA ⊥ (ABCD) a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng 15 b) Gọi I trung điểm SC Chứng minh IO⊥ (ABCD) c) Tính góc SC (ABCD) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, tâm O SA K hình chiếu vng góc A lên SB, SD ⊥ (ABCD) Gọi H, a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC) b) Chứng minh SC ⊥ (AHK) c) Chứng minh HK ⊥ (SAC) Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, SA = AB = AC = a, SA ⊥ (ABC) Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh BC ⊥ (SAI).b) Tính SI c) Tính góc (SBC) (ABC) Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B SA ⊥ (ABC) SA = a, AC = 2a a) Chứng minh rằng: (SBC) ⊥ (SAB).Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) b) Tính góc (SBC) (ABC).Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung SA BC Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A SA ⊥ (ABC) SA = a, AB = a; AC = a Gọi H trực tâm tam giác ABC a) Chứng minh SC ⊥ AH ; Chứng minh rằng: (SBC) ⊥ (SAB).Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) b) Tính góc (SBC) (ABC).Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung SA BC BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc OA= OB = OC = a Gọi I trung điểm BC; H, K hình chiếu O lên đường thẳng AB AC CMR: BC ⊥ (OAI) CMR: (OAI) ⊥ (OHK) Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC) ĐS: a / 16 Tính cơsin góc OA mp (OHK) ĐS: cos α = 6/3 Tính tang góc (OBC) (ABC) ĐS: tan ϕ = Tìm đường vng góc chung hai đường thẳng HK OI Tính khoảng cách hai đường a/ ĐS: Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA ⊥ (ABCD) CMR: Các mặt bên hình chóp tam giác vng CMR: mp (SAC) ⊥ mp(SBD) Tính góc ĐS: α = 450 , β = 300 α SC mp (ABCD), góc Tính tang góc ĐS: tan ϕ = ϕ β SC mp (SAB) hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD) ĐS: a 6/3 Tìm đường vng góc chung đường thẳng SC BD Tính khoảng cách hai đường thẳng ĐS: a/ Hãy điểm I cách S, A, B, C, D tính SI ĐS: SI = a Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, · SA = SB = BAD SD = =a 60 3/2 Gọi H hình chiếu S AC CMR: BD ⊥ (SAC) SH ⊥ (ABCD) CMR: AD ⊥ SB CMR: (SAC) ⊥ (SBD) 17 Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) SC SC = a / Tính sin góc ĐS: sin α = / α ĐS: SH = a 15 / SD (SAC), cơsin góc β SC (SBD) cos β = / 14 Tính khoảng cách từ H đến (SBD) ĐS: a 10 / 12 Tính góc (SAD) (ABCD) ĐS: tan ϕ = Tìm đường vng góc chung đường thẳng SH BC Tính khoảng cách hai đường thẳng ĐS: a 3/3 Hãy điểm I cách S, A, B, D tính MI ĐS: 15a / 20 · ADC = 450 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang vng A, AB = BC = a Hai mặt bên SAB, SAD vng góc với mặt đáy SA = a CMR: BC ⊥ mp(SAB) CMR: CD ⊥ SC Tính góc (SAC) ĐS: α SC (ABCD), góc β SC (SAB), góc γ SD α = 450 , β = 300 , tan γ = / Tính tang góc ϕ mp(SBC) mp(ABCD) ĐS: tan ϕ = Tính khoảng cách SA BD ĐS: 2a / Tính khoảng cách từ A đến (SBD) ĐS: 2a / 7 Hãy điểm M cách S, A, B, C; điểm N cách S, A, C, D Từ tính MS NS ĐS: MS = a , NS = a / Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạch a Gọi O tâm tứ giác ABCD; M, N trung điểm AB AD CMR: BD ⊥ (ACC'A ') A’C ⊥ (BDC') 18 CMR: A 'C ⊥ AB' CMR: (BDC’) ⊥ (ACC’A’) (MNC’) ⊥ (ACC’A’) cách từ C đến mp(BDC’) ĐS: a / Tính khoảng Tính khoảng cách từ C đến mp(MNC’) ĐS: Tính tang góc AC (MNC’) ĐS: 3a / 17 tan α = 2 / Tính tang góc mp(BDC’) mp(ABCD) ĐS: tan β = Tính cơsin góc (MNC’) (BDC’) ĐS: cos ϕ = / 51 Tính khoảng cách AB’ BC’ a 3/3 19 ĐS: [...]... A lên b - AH là đoạn vuông góc chung của a và b +) Phương pháp 2: - Dựng (P) ⊃ a và (P) // b - Dựng hình chiếu b’ của b lên (P) b’ // b, b’ ∩ a = H - Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A - AH là đoạn vuông góc chung của a và b +) Phương pháp 2: - Dựng đt (P) ⊥ a tại I cắt b tại O - Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O) 14 - Kẻ IK ⊥ b’ tại K - Dựng đt vuông góc với (P) tại K,... K, cắt b tại H - Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A - AH là đoạn vuông góc chung của a và b II BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA ⊥ (ABC) a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB) b) Gọi AH là đường cao của ∆SAB Chứng minh: AH ⊥ SC Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA ⊥ (ABCD) Chứng minh rằng: a) BC ⊥ (SAB) b) SD ⊥ DC.,SC ⊥ BD Bài 3: Cho tứ diện... chóp là những tam giác vuông 15 b) Gọi I là trung điểm của SC Chứng minh IO⊥ (ABCD) c) Tính góc giữa SC và (ABCD) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD ⊥ (ABCD) Gọi H, a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC) b) Chứng minh SC ⊥ (AHK) c) Chứng minh HK ⊥ (SAC) Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB =... góc giữa (SBC) và (ABC) Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA ⊥ (ABC) và SA = a, AC = 2a a) Chứng minh rằng: (SBC) ⊥ (SAB).Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) b) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A SA ⊥ (ABC) và SA = a, AB = a; AC = a 3 Gọi H là trực tâm tam giác... 12 7 Tính góc giữa (SAD) và (ABCD) ĐS: tan ϕ = 5 8 Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ấy ĐS: a 3/3 9 Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, D và tính MI ĐS: 3 15a / 20 · ADC = 450 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a 2 1 CMR: BC ⊥ mp(SAB) 2 CMR: CD... có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2 a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD) b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh IK⊥SD c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD) Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, BC ⊥ AD Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD) Chứng minh: a) H là trực tâm ∆BCD b) AC ⊥ BD Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau... Chứng minh rằng SC ⊥ AH ; Chứng minh rằng: (SBC) ⊥ (SAB).Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) b) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC 1 CMR: BC ⊥ (OAI) 2 CMR: (OAI) ⊥ (OHK)... (OHK) ĐS: cos α = 6/3 6 Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC) ĐS: tan ϕ = 2 7 Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI Tính khoảng cách giữa hai đường ấy a/ 2 ĐS: Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a 2 SA ⊥ (ABCD) và 1 CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông 2 CMR: mp (SAC) ⊥ mp(SBD) 3 Tính góc ĐS: α = 450 , β = 300 α giữa SC và mp (ABCD),... = sinax B HÌNH HỌC I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc • Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 900 12 rr r r • Phương pháp 2: a ⊥ b ⇔ u.v = 0 ( u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b) • Phương pháp 3: Chứng minh a ⊥ (α ) ⊃ b hoặc b ⊥ ( β ) ⊃ a • Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( hình chiếu của đt b lên... pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ = O) - Khi đó: (a, b) = (a’, b’)  Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P) • Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là ϕ +) Nếu d ⊥ (P) thì ϕ = 900 +) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P) - Khi đó: ϕ = (d,d’)  Dạng 6: Tính góc ϕ giữa hai mp (P) và (Q) • Phương pháp 1: - Xác định a ⊥ (P), b ⊥ (Q) 13 - Tính góc ϕ = (a,b) • Phương