hệ phương trình

Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH HỆ PHƯƠNG Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH HỆ PHƯƠNG Tuy tài hẹn sức không mọn hôm nay, – Đặng Ngọc Tuyên xin phép tổng hợp lại số hệ phương trình mà trình học tập làm qua, đọc qua :v quan trọng thân thấy hay hay Vì kiến thức hạn hẹp nên viết nhỏ có sai sót định Vậy mong bạn đọc, nhận xét, góp ý cho viết hoàn thiện PHƯƠNG PHÁP DÙNG MÁY TÍNH CASIO ĐỂ PHÂN TÍCH NHÂN TỬ Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu HỆ PHƯƠNG Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH ( Bài viết tham khảo qua viết tác giả nthoangcute ) Ví dụ 1: Phân tích: A = x + xy − y + x + 36 y − 130 Cách làm: Nhận thấy x y đồng bậc nên ta chọn cụng Bước 1: Cho y = 1000 ta A = x + 1003 x − 1964130 Bước 2: Dùng casio nhẩm nghiệm ta A = ( x + 1990)( x − 987) (1) Bước 3: Bước ta cho y = 1000 mà quy luật tất yếu “ cho trả” Nhưng trả ? Chúng ta làm sau: Ta thấy: 1990 = 2000 – 10 mà y = 1000 => 1990 = 2y – 10 Tương tự: 987 = 1000 – 13 = y - 13 Bước 4: Ta tiến hành thay ngược trở lại vào phương trình (1), ta có: A = ( x + y − 10)( x − y + 13) ( để kiểm chứng ta nhân để xem độ xác => độ xác 100 % hehe ) Vậy nhờ vài bước bấm máy tính ta phân tích biếu thức thành nhân tử cách đơn giản Để thấy ứng dụng nó, ta tiếp tục đến với ví dụ Ví dụ 2: Phân tích B = x y − 13xy + y − 18 x + 10 xy − y + 87 x − 14 y + 15 Nhận thấy bậc cao x 2, bậc cao y Vì ta chọn y ( để biếu thức đơn giản ) Bước 1: Cho y = 1000 ta B = 5982 − 12989913x + 1996986015 Bước 2: Dùng casio nhẩm nghiệm ta B = 2991(2 x − 333)( x − 2005) (2) Bước 3: Trả - 2991 = 3000 – = 3y – - 333 = 1000 − y − = 3 - 2005 = 2000 + = 2y + Bước 4: Thế vào phương trình (2) ta B = (3 y − 9)(2 x − 3y −1 )( x − y − 5) Vậy phương trình giải quyết! Nhưng phương trình biến ta thực có bậc 2, bậc 3, bậc ta làm nào! Sau cách thức giải nhanh, gọn, lẹ! Ví dụ 3: Phân tích C = x3 − 3xy − y − x + 10 xy + 17 y + x − 40 y + 16 Nhận thấy bậc x y nên ta chọn Tương tự bước - Cho y = 1000 ta C = ( x − 1999)( x + 996) - Tiến hành trả 1999 = 2y – Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu HỆ PHƯƠNG Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH 996 = y – - Thế vào => C = ( x − y + 1)( x + y − 4) NHỮNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ LỜI GIẢI ĐẸP  x + y = + xy  Câu 1: Giải hệ phương trình ( x )2 + ( y )2 =  y +1 x +1  Phân tích: - Nhìn vào toán ta thấy Đây hệ phương trình nhìn đơn giản Dễ thấy phương trình phương trình đối xứng loại I Nhiều bạn nghĩ đến việc đặt S, P Nhưng điều lại nảy sinh vấn đề phương trình thứ có bậc ( quy đồng ) nên việc đặt S, P gây khó khăn Vì ta phải tìm cách giải cho toán xử lí “ngon, ngọt, đẹp nhất” - Khi xử lý S, P gây khó khăn ta nghĩ đến phương án tiếp cận khác Có nhiều cách giải ẩn phụ, thế, cộng đại số, UCT, Nhưng sau đây, biểu diễn toán cách làm mà thường cho trâu bò “ THẾ ” - Nhưng lại nảy sinh vấn đề thế nào? Nhìn vào bài, chắn ta rút điều từ phương trình đơn giản Đó phương trình Bài làm  x + y = + xy  y  x ( y + 1) + ( x + 1) =   x ≠ −1 Từ phương trình ta có  y ≠ −1 Điều kiện:  pt1: * x + y = + xy ( x − 1)( x + 1) = y ( x − y ) x −1 y x − y = x + (1) x 1− x 2 Lại có: x + y = + xy ( y − 1)( y + 1) = x( y − x) y + = x − y (2) Từ (1) (2) vào phương trình 2, ta có phương trình tương đương với ( x −1 1− y ) +( ) =1 x− y x− y x + y − x − y + = x + y − xy (1 − x)( y − 1) = x =1  y =1 Đến giải đơn giản Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH HỆ PHƯƠNG Nhận xét: Đây đơn giản, thấy cách giải đẹp nên đưa vào Vậy qua trên, ta cần phải khéo léo muốn cách “đẹp nhất” Và sau cách “khéo léo”  x + y + xy = Câu 2: Giải hệ phương trình  5  x + y + 15 xy ( x + y ) = 32 Phân tích: - Nhìn vào toán nhiều bạn nghĩ đến hệ phương trình đối xứng loại I Nhưng có x5 + y nên khó khăn để thực - Chú ý: phương trình thứ có: VT: x5 + y VP 32 = 25 nên nghĩ đến việc đưa phương trình dạng A5 = 32 = 25 Nhưng làm để xuất biểu thức Tinh ý ta thấy 15 = 3.5 nên ta có ý tưởng vào phương trình Vậy việc định hướng xong Sau đây, ta giải toán Bài làm  x + y + xy =  5  x + y + 15 xy ( x + y ) = 32 Thế x + y + xy = vào phương trình ta có x + y + ( x + y + xy )(5 x y + xy ) = 32 x + x y + xy + 10 x3 y + 10 x y + y = 32 ( x + y )5 = 32 x + y = Đến đơn giản :D  x − y = 35 Câu 3: Giải hệ phương trình  2  x + y = x − y Phân tích: Cả phương trình ta thấy biến x,y độc lập với ( không phụ thuộc vào ) - Phương trình xuất x3 ; y ta nghĩ đến cách xử lý toán cho phương trình cuối đưa dạng A3 = B Vậy việc định hướng xong, ta trình bày Bài làm: 3  x − y = 35  2  x + y = x − y PT(1) – 3.PT(2): x − y − 35 − 3(2 x + y − x + y ) = x − x + 12 x − = y + y + 27 y + 27 ( x − 2)3 = ( y + 3)3 x − = y + x = y + Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH HỆ PHƯƠNG Đến đơn giản rồi!  y + 3xy − 17 x + 18 = x − x + 13 y + Câu 4: Giải hệ phương trình  2  x + y + xy − y − x + 10 = Phân tích: - Ban đầu, nhìn vào hệ nhiều bạn thấy run Run khủng quá, phương trình dài dãy Trường Sơn :3 Nhưng để ý kỹ ta thấy, phương trình 1, phương trình 2, có biến x, y đa số độc lập trừ nhân tử xy Thử đặt giả thiết ta khử xy ta nhận thấy biến độc lập đồng bậc ta nghĩ tới phương pháp hàm số Vì việc khử xy giải toán - Việc khử xy đơn giản thấy phương trình có 3xy, phương trình có xy ta nghĩ đến việc PT(1) – 3.PT(2) Bài làm:  y + 3xy − 17 x + 18 = x − x + 13 y −  2  x + y + xy − y − x + 10 = Lấy PT(1) – 3.PT(2): y + xy − 17 x + 18 − x3 + 3x − 13 y + − (3x + y + xy − 18 y − 15 x + 30) = y − y + y = x + x + ( y − 1)3 + 2( y − 1) =) x + x Xét hàm số: f (t ) = t + 2t f (t ) ' = 3t + > 0∀t ∈ R => y − = x Đến dễ rồi.! 14 x − 21 y − x + 45 y − 14 = Câu 5: Giải hệ phương trình:  2 35 x + 28 y + 41x − 122 y + 56 = Phân tích: - Đây hệ phương trình gồm phương trình bậc 2, có biến độc lập với - Nhiều bạn nghĩ tới sử dụng ∆ cho phương trình vô ích, có số bạn nghĩ tới phương pháp nhân, chia biến khó để làm Nhưng sau cách giải toán hữu hiệu ta kết hợp phương trình để tìm nhân tử chung Bài làm: 14 x − 21 y − x + 45 y − 14 =  2 35 x + 28 y + 41x − 122 y + 56 = Lấy 49.PT(1) – 15.PT(2) 49.(14 x − 21 y − x + 45 y − 14) − 15.(35 x + 28 y + 41x − 122 y + 56) = (161x − 483 y + 218)( x + y − 7) = Đến dễ rồi! Nhận xét: Bài toán có mấu chốt - Thứ nhất: Làm để biết số k nhân vào phương trình Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH HỆ PHƯƠNG - Thứ hai: Làm để nhân vào ta phân tích thành nhân tử Vấn đề thứ ta ta sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử phía dễ dàng giải Nhưng vấn đề thứ sao? Làm mà ta tìm số Xin mời bạn đón đọc phương pháp UCT tác giả Bùi Thế Việt blog tuyển tập hệ phương trình anh Nguyễn Minh Tuấn  x + y − xy + x − y + = Giải hệ phương trình  2  x − y + x + = x + y + x + y Phân tích: - Với dạng hệ phương trình có phương trình vô tỷ, phương trình hữu tỷ ta nghĩ đến cách xử lý phương trình hữu tỷ cho xuất nhân tử chung - Cách biết nhân tử chung: Áp dụng casio + Với này: phương trình 1: x + y − 3xy + 3x − y + = Nhận thấy x, y đồng bậc nên ta chọn + Cho y = 100 => PT(1) x − 297 x + 9801 = ( x − 99)( x − 99 )=0 * + Trả: 99 = 100 – = y – + Thế vào * => PT1 (x – y + 1).(2x – y + 1) = Vậy phương trình giải quyết! 2 x + y ≥ x + y ≥ Bài làm: Điều kiện:  Ta có: Phương trình 1: x + y − 3xy + 3x − y + = (x – y + 1).(2x – y + 1) =  y = x +1   y = 2x + TH1: y = x + Thế vào phương trình x − x + − x + − x + = ( x + 1) − 3x + + ( x + 2) − x + + x − x = x2 − x x2 − x + + 3( x − x) = x + + 3x + x + + 5x + 1 ( x − x)( + + 3) = x + + 3x + x + + x +  x = => y =   x = => y = TH2: Thay y = 2x + Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu HỆ PHƯƠNG Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH x + − + x + − + x = x( + + 3) = 4x +1 +1 9x + + x = => y =  x ( x + y ) + x + y = y ( y + 1) Giải hệ phương trình  2  x y − x + 7( x + y ) − = xy − x + Phân tích: Nhìn vào toán ta thấy phương trình dài :3 khó phát điều Nhưng nói nói thôi, thật nhìn vào phương trình ta thấy xơ múi Vậy phải chuyển hướng sang phương trình - Nhưng xử lý :3 Đơn giản! Dùng máy tính cho y = 10 dễ dàng tim x = 10 ( tinh mắt thay x = y vế phương trình ) => nhân tử chắn x – y = Vậy đơn giản Xác định nhân tử, cần liên hợp :D Bài làm x + y ≥ y ≥ Điều kiện:  Phương trình (1) tương đương với x − y + xy − y + x + y − y = ( x − y )(x + y + y + )=0 x + y + 2y x = y ( kết hợp điều kiện ta có vế sau > ) Thay x = y vào phương trình x − x + 14 x − = x − x + x − x + x − + 6( x − x − x + 1) = ( x − 1)( x − 2) + ( x − 1)[(x − 2) + x3 − x + x − x + x x − x + + ( x − x + 1) 6( x + 1) x + x x − x + + ( x − x + 1) =0 ]=0 x = => y = x = =>  y =1  x x − − 12 y − = y + 13 y + 18 x − Giải hệ phương trình:   x − x + x − + y + y + y = Phân tích: Để ý thấy phương trình có biến x, y độc lập có biến số y thành lập thành hàm số Vì vậy, không ngần ngại, ta phân tích phương trình để đưa dạng hàm số ! Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH Bài làm Điều kiện: x ≥ HỆ PHƯƠNG Phương trình tương đương với: x x − − x − = 4(y + 1)3 + y + 4(2 x − 1) x − + x − = 4(y + 1)3 + y + Xet : f (t ) = t + t => f (t ) ' = 12t + > 0∀t ∈ R x − = y +  x − = ( y + 1)   y ≥ −1 Phương trình tương đương (2 x − 1) − 2(2 x − 1) + x − + y + y + y − = ( y + 1) − 2( y + 1) + 4(y + 1) + y + y + y − = ( y + 1)[(y+ 1)3 − 2(y + 1) + + (y + 3)(2 y− 1)] = (y + 1)(y3 + y + y ) =  y = − => x =   y = => x =   y = −2(L)   y = −3(L) Vậy nghiệm hệ phương trình   x =   y = −1  x =1     y = ( x − y )3 + (2 xy − 1)( x − y ) + x + y = Giải hệ phương trình:  2  ( x + 1)(2 + x − y ) + (1 − x) − x = + ( − y − 2) Phân tích: Nhìn vào toán này, mẹo nêu trên, phương trình dài đặc biệt, phương trình phương trình hữu tỷ nên có đến 80% ta khai thác phương trình thứ Nhưng làm để khai thác, giới thiệu cho bạn cách tìm nhân tử phương trình vô tỷ Nào, dùng casio làm Bài làm: Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH HỆ PHƯƠNG 10 x ≤  Điều kiện − ≤ y ≤ ( x + 1)(2 + x − y ) ≥  Phương trình tương đương với: x − x y + xy − y − x + y + 3x + y − = x( x + y − 1) + 3( x + y − 1) − y ( x + y − 1) = ( x + y − 1)( x − y + 3) =  x2 + y2 −1 =  x − y + = TH1: x + y − = Thay vào phương trình ta có ( x + 1)3 − (1 − x)3 − = ( + x − 2) Để phương trình có nghĩa −1 ≤ x ≤ Bây ta chứng minh VT ≥ VP −1 ≤ x ≤ : 3x + ( Chứng minh biến đổi tương đương ) (+) −3 x (1 − x ) − x ≥ +1 (++) => VT ≥ (1) Bây ta chứng minh VP ≤ ( x + 1) x + ≥ Hay : ( + x − 2) ≤ ( khai triển ra, chứng minh biến đổi tương đương) (2) Vậy từ (1) (2) => VT ≥ VP  Dấu “=” xảy VT = VP x = (TMĐK )  x =  x = −1 v y = y =  Nghiệm  TH2: x – y + = => x + = y Vì y ≤ => phương trình có nghĩa  x ≥ −3  −3 − ≤ x ≤ −3 + 2 ( x + 3) = y ≤ Thay vào phương trình => ( x + 1)(− x − x − 7) + (1 − x) − x − = ( − x − x − − 2) Xét VT = ( x + 1)(− x − x − 7) + (1 − x) − x − f ( x) = ( x + 1)(− x − x − 7) + (1 − x) − x − với −3 − ≤ x ≤ −3 + => f ( x) ' < => Hàm số nghịch biến => f = f (−3 + 2) ≈ 4,52 (*) Tương tự Xét VP f (x) = ( − x − x − − 2) => f max = (**) Từ (*) (**) => vô nghiệm Nhận xét: Bài sử dụng phương pháp: Phương pháp 1: Dùng casio phân tích phương trình thành nhân tử Phương pháp 2: Dùng tiếp tuyến (+) (++) Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH HỆ PHƯƠNG 11 Phương pháp 3: Sử dụng đánh giá, dùng (*) (**), sử dụng hàm số để đánh giá theo hướng: f > f max Vậy phương pháp sử dụng nhiều, có lợi riêng nó, phương pháp tiếp tuyến, giới thiệu cho bạn dùng phương pháp tiếp tuyến để tìm nhân tử cho giải phương trình phương pháp liên hợp  x + y + 10 − x + = y +  3y + Giải hệ phương trình: 3x − + − x =  − 2x + + y +  Phân tích: Nhìn vào này, ta thấy phương trình chứa thức cồng kềnh Ta tiến hành tìm xem phương trình có điều đặc biệt hay không Bắt đầu từ phương trình đơn giản phương trình Tinh ý thấy 6x + y + 10 = 3.(2x + 3)+ (y+1) Vậy ta liên tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ Nào! Giải toán  −3  ≤x≤  Bài làm: Điều kiện  y ≥ −1 6 x + y + 10 ≥   Phương trình tương đương với: x + y + 10 − x + − y + =  x + = a DK : a, b ≥ Phương trình Đặt   y + = b 3a + b − 3a − b = a = b x + = y + y = x + Thay vào phương trình Ta có 3x − + − x = 3y + − 2x + + y + x − + − x = x + 12 − 2x + + 2x + • Tiến hành đánh giá: Áp dụng bđt BCS, ta có − x + + x ≤ 2.8 = (*) Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu HỆ PHƯƠNG 12 Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH => 3x − + − x = x + 12 x + 12 ≥ = x+2 − 2x + + 2x + x − + − x ≥ x + − x − − x ≤ − x − − x + ≤ ( − x − 2) ≤ 0(**) Kết hợp (*) (**) => Dấu “=” xảy x = −1 −1 => y = Đối chiếu điều kiện => TMĐK −1  x = Vậy nghiệm hệ phương trình   y = Với x = ( x + y ) x + y = x + x + xy   y x + y = y + y Giải hệ phương trình: Phân tích: Nhìn vào toán này, khó để định hướng cách làm Một số bạn nhìn thấy ta chuyển hệ hệ đẳng cấp nhân chéo để xuất phương trình đẳng cấp xử lí dài Vì vậy, cách mang lại lời giải đẹp đánh giá cho xuất bất ngờ :3 Cũng may từ điều kiện ta thấy x + y ≥ nên ta áp dụng bất đẳng thức cô-si vào phương trình Nào! Thử làm Bài làm: x + y ≥ y ≥ Điều kiện  Phương trình ta có: x + x + xy = ( x + y ) x + y 2 AM −GM ≤ ( x + y) +( x + y ) x + x + xy ≤ x + xy + y x ≤ y (1) Bây ta cần đánh giá cho phương trình có x ≥ y Ta có: y x + y = y + y x − y = (3 y − x + y ) Vì (3 y − x + y )2 ≥ => x − y ≥ x ≥ y Từ (1) (2) => x = y Thay vào phương trình 2, ta có (2) Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH HỆ PHƯƠNG 13 y x + y = y + y y y + y = y + y y y + = y + y  y =  3 y + = y + TH 1: y = => x = ( TMĐK) TH : y + = y + (3 y + 4) = 4(9 y + 3) y = => x = (TMĐK) 3 Vậy nghiệm hệ phương trình là:  x =   y =   x =     y =   x3 - y = 16 Giải hệ phương trình:  2  y - (3x + 2) y + x y = 2( x + 4) Phân tích: Nhận thấy hệ phương trình hữu tỷ, ta nghĩ tới phương pháp UCT khó làm bậc x y cao không khả thi Vậy, phương pháp trâu phương pháp Để ý xuất số hạng x , y ,3 xy ,3x y nên ta nghĩ dạng A3 = B để đưa hệ dạng đơn giản Bài làm: Phương trình 1: x -2y =16 x − 16 ≥ => x ≥ 16 y = 2 Lấy pt2 – pt1, ta được: y − y x + x y − x3 = x − (y − x)3 = x − y = x + x − (**) Thay (*) vào (**), ta có: Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu HỆ PHƯƠNG 14 Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH x3 − 16 = x + 2x2 − x3 − 16 x x − + − 2x − = 3 x + x + 24 x − x + 36 ( x − 6)( + )=0 x3 − 16 x 27( x + x x − + (2 x − 8) 18( + ) 3 x = => y = 10 Cách liên hợp 2: x − 16 = x + x2 − x − 16 (2 x − 2) − = x − − 2x2 − Cách 3: Thế, bình phương, đưa phương trình bậc cao Cách 4: Dự đoán y = x + y = 2x – 2, sử dụng UCT 1   x +1 +1 + y +1 +1 =  Giải hệ phương trình:   +1 + +1 − =2  x2 y y2 x xy  Phân tích: Đây hệ phương trình đẹp! Các biến đối xứng với Để xử lí toán biến đối xứng này, ta thường có phương pháp sau: phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ, sử dụng S, P Và đặc biệt, phương pháp hay sử dụng phương pháp đánh giá – phương pháp khó, đòi hỏi tư cao! Sau đây, xử lí toán phương pháp đánh giá :D  x ≥ −1  Bài làm: Điều kiện  y ≥ −1  xy >  Để sử dụng bđt AM-GM ta cần điều kiện x,y > Ta thực đánh giá: Nhìn vào phương trình 1: + x +1 +1 = y +1 +1 Với −1 ≤ x, y < 1 > x +1 +1 1 => y + + < + = => > y +1 +1 => Với −1 ≤ x, y < => loại x + + < + = => + x +1 +1 1 > + = > (KTM) y +1 +1 2 Vậy: x,y > Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu HỆ PHƯƠNG 15 Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH Với x,y > 0, ta có: 1 + + x2 y 1 2 + − = = y x xy Thực đánh giá: + x +1 +1 1 + + x2 y y +1 +1 1 + − ≥ y x xy + x +1 +1 y +1 −1 1 x +1 −1 + = + = x y x +1 +1 y +1 +1 AM −GM 1 *− ≥ − − ( Đẳng thức xảy x = y ) x y xy Ta có VP = Cần chứng minh: 1 + + x2 y 1 + ≥ y2 x 1 + + x2 x y +1 +1 1 + + x2 x 1 1 + − − y2 y x y 1 + y2 y 1 1 1 1 + )( + ) ≥ ( + )( + ) x y y x x x y y 1 1 x3 + y ≥ x y + xy x + y ≥ x y + xy ( Đúng theo AM-GM ) (Đẳng thức xảy x = y ) ( Vậy 1 + + x2 y 1 + − ≥ y x xy + x +1 +1 = x = y y +1 +1 :3 Việc lại x = y vào xử đẹp thoai :v   y y ( x + y + y( x + y ) = Giải hệ phương trình:  ( x + y ) x + y + y y =   x + y = a x + y ≥ Điều kiện:  Đặt:  a,b ≥ y ≥  y = b Hệ phương trình cho tương đương với:  b (a + ab) =  2 (a + b )a + 2b3 =  3b (a + ab) = ((a + b )a + 2b3 )3 3a 2b + 3ab8 = (a + ab + 2b3 )3 (*) Với b = => y = 0, thay vào phương trình => vô nghiệm Với b ≠ , chia vế (*) cho b9 Phương trình tương đương với: a2 a a3 a 3( + ) = ( + + 2)3 b b b b Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH HỆ PHƯƠNG 16 a a a a a ( + 1) = ( + 1) ( − + 2)3 b b b b b  a a 3a a ( b − b + 2) ( b + 1) − b =   a + => (l )  b a2 a a 3a ( − + 2)3 ( + 1) − =0 b b b b Ta có: a2 a a − + ≥ +1 b2 b b a2 a a => ( − + 2)3 ≥ + b b b a a a a => ( − + 2)3 ( + 1) ≥ ( + 1)3 b b b b a b Mà ( + 1)3 > 3a b a2 a a 3a => ( − + 2)3 ( + 1) > => Hệ phương trình cho vô nghiệm b b b b 4 3 24  ( x + y ) + y ( x + y ) = xy x y Giải hệ phương trình:  2   x − x + (4 y − y + 2) x + = Bài làm: Điều kiện: x3 y ≥ Làm chặt khoảng nghiệm hệ: Từ phương trình 2, Vì (4 y − y + 2) x2 + >  để hệ phương trình có nghiệm x3 − 3x ≤ x ≤ −   ≤ x ≤ TH1: Với: x ≤ − => x <  để hệ phương trình có lí y ≤ , đó: VT1 > > VP => hệ phương trình vô nghiệm TH2: Với ≤ x ≤  để hệ phương trình có lí y ≥ Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH HỆ PHƯƠNG 17 Khi đó, phương trình 1: x + x3 y + y + y = xy x3 y Áp dụng BĐT AM – GM: VT = x + x3 y + y + y ≥ 4 x x3 y y y = xy x3 y = VP Đẳng thức xảy x = y Thay vào phương trình 2, ta có: x3 − 3x + (4 x2 − 3x + 2) x2 + = x (4 x − x + 2)( x2 + − ( + )) + x3 + 3x − y + = 2 ( x − 1) (4 x − 3x + 2) + ( x + 3)( 3x − 1)2 = x x2 + + ( + ) 2 (4 x − x + 2) + x + 3) = ( x − 1) ( x x +1 + ( + ) 2 x = 3 3 ; ) 3 Nhận xét: Thực ra, đoạn làm chặt miền nghiệm hệ phương trình không cần thiết, đưa để cần cho bạn thực phương pháp đánh giá đặt lượng giác để giải phương trình Còn cách liên hợp xử lí nghiệm bội nhiều bạn biết :D Kết luận: Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y) = (  x + − y =1  1 Giải hệ phương trình:  = x − y2 + 4x  Giải: Phân tích: Đây toán chặt :3 nên việc ta nghĩ tới đánh giá cách khác không khả thi :v Mà muốn đánh giá phải nhẩm nghiệm, nhẩm nghiệm ta x = 2, y = Điều kiện: tự bịa Cách 1: Đánh giá qua biểu thức trung gian y = x – ( Vì nghiệm x = 2, y = => y = x – ) Ta có: Vì y ≥ => Phương trình ta có Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH = x y2 + 4x + HỆ PHƯƠNG 18 1 1 1 3(7 − 33) ≤ + ≤ + => x ≥ 6 4x x 4x Phương trình 1: x + − y = x + − x + = y (*) Ta có trường hợp sau TH1: y > x − , thay vào (*) => x < 2, ta có  3(7 − 33)  3(7 − 33) ≤x 2, ta có x > x >   1 1 1   = 1 (VN ) + > + = + > + x  x x + y2 + 4x (x − 1) + x x +  Vậy => y = x – Thay vào (*) => nghiệm (x;y) = (2;1) Cách 2: Dùng UCT  y + x = a a, b ≥ Đặt   x + = b Vì nghiệm hệ phương trình (x;y) = (2;1) a = =>  b = a = * Hướng dùng UCT, Vì  => ta giá trị vào hệ b = phương trình thu => nhân tử a = * Hướng dùng UCT, Vì  => b = a – => ta thay vào hệ phương trình => b = biểu thức cần nhân Cách 3: Thế, đánh giá qua nghiệm Như ta nhẩm nghiệm hệ phương trình (x;y) = (2;1) :3 Thế (*) vào phương trình 1 1 = − = => x − y2 + 4x x ( x + − x + 2) + x Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu HỆ PHƯƠNG 19 Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH :v giải phương trình Đặt x + = t => x = t −  phương trình tương đương với 1 = (*) t − − (t + − 2t ) + 4t − Hướng giải (*) Xét hàm đuê :v Cách 4: Đánh giá qua nghiệm x y Giải phương trình: x -1 + x - = x - Điều kiện: x ≥ Phương trình cho tương đương với: x -1 − + x - − = 3x - ( x − 3)( x+3 ( x -1) + x -1 + + x + 3x + x3 - + − 3) = x =  x+3 x + 3x +  + − = 0(1)  ( x -1) + x -1 + x3 - +  Ta chứng minh phương trình (1) vô nghiệm việc chứng minh x+3 ( x -1) + x -1 + + x + 3x + x3 - + >3 Ta có: * x -1 ≤ x + (2) ( x + 1)( x − 3) ≥ ( ) * ( x -1) = ( x -1).( x -1) ≤ Kết hợp (2),(3) => => x+3 ( x -1) + x -1 + 2 x+3 ( x -1) + x -1 + ≥ + x2 −1 (3) 3( x + 3) x + x + 14 x + 3x + x3 - + ≥ 3( x + 3) x + 3x + + x + 3x + 14 x3 - + Vậy, ta cần chứng minh Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH HỆ PHƯƠNG 20 3( x + 3) x + 3x + + >3 x + x + 14 x3 - + 3( x + 3)( x3 - + 5) + ( x + x + 9)(2 x + 3x + 14) > 3(2 x + x + 14)( x - + 5) x + x3 + 11x + 39 x − 39 > (6 x + x + 33) x - 2($) Việc chứng minh ($) có cách sau Cách 1: Bình phương thần chưởng :v chắn giải trâu :3 Cách 2: Ta chia khoảng + Với x ∈  2;  + Với x ∈ (2; +∞) , ta có x + x + 11x + 39 x > 39 , ta cần chứng minh 39 x > (6 x + x + 33) x - ( giải bình phương thần chưởng ) :v định viết rõ hết trang giấy :v Cách 3: :v chưa nghĩ Giải hệ:  y − y + 10 − x( y + 3) + y + = x +   = x + 2y  y +1 + x +1  pt1 y − y + 10 − x( y + 3) = x + − y + y − y + 10 − x( y + 3) = x + x + + y + − 2( x + 1) y + y − y + − xy − x − x = −2( x + 1) y + 1(*) pt ( x + 1) y + = x + xy + x + y − (*) y − y + − xy − x − x + x + xy + x + y − = x + y + xy − x − y + = ( x + y − 1)( x + y − 2) = Giải phương trình Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu HỆ PHƯƠNG 21 Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH x + 1− x + x + 1− x = + DK : ≤ x ≤ BCS * x + 1− x ≤ x = BCS *4 x + − x ≤ 2.(1) BCS 2.( x + − x ) ≤ 2 = 8.(2) (1) + (2) => VT ≤ VP x = (TM ) x = Giải phương trình GPT : + − x [ (1 + x)3 − (1 − x)3 ] = + − x DK − ≤ x ≤ + − x ( + x − − x ).(2 + − x ) = + − x (2 + − x )( + − x ( + x − − x ) − 1) = + − x ( + x − − x ) − = 0(1) Dat : t = + x + − x => t = + − x *t = ( + x + − x ) = ( + x − − x ) + − x => + x − − x = − t t2 (1) − t2 =1 Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu HỆ PHƯƠNG 22 Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH 2 + = 3x + + x + x +1 −1 DK : x ≥ 1 − + − =0 3x + + x + x + x +1 GPT : x − 3x + x + − x2 + + =0 ( x + + 2)( x + 1) ( x + 3)( x + 1) 4x +1 ( x − 1)( + )=0 ( 3x + + 2)( x + 1)(2 x + 3x + 1) ( x + 3)( x + 1)( x + + x + 3) *Ta − co : −1 ≤ x = 3x + + 1 ≤ x = x +3 1 => + < 1+ 3x + + x +3 < 1+ x +1 4x +1 x > − > => + >0 ( x + + 2)( x + 1)(2 x + x + 1) ( x + 3)( x + 1)( x + + x + 3) Vay : x = Câu 10: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn biểu thức M= abc = Tìm giá trị nhỏ a+b+c + + a +3 b +3 c +3 Giải: Giả thiết tương đương với Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH 3(a + b + c) = abc HỆ PHƯƠNG 23 3 + + =1 ab bc ca A 2 =  a  B tan   => tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A = =  b 2 2 2  C tan   = c    tan  thỏa mãn góc tam giác Khi + + a +3 b +3 c +3 A 2B C tan tan tan 2 + + = sin A + sin B + sin C M = A B C 2 + tan + tan + tan 2 2 cos A + cos C B A+C A −C B M = − ( ) + sin = − cos cos + sin 2 A+C B B B M ≥ − cos + sin = − sin + sin 2 2 B 17 17 M ≥ ( sin − ) + ≥ 2 20 20 Đẳng thức xảy M= Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH HỆ PHƯƠNG 24 Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu Đặng Ngọc Tuyên - AK37 TRÌNH HỆ PHƯƠNG 25 Thành công đến có hi vọng ước mơ bắt đầu