T.s Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Administrator http://www.toanthpt.net 2x y = + (1) y có nghiệm x = y = Chứng tỏ hệ phương trình 2y = x + ( ) x Cách : Lấy (1) − ( ) : ( x − y ) 2x + 2y + − = (*) xy 1 Vì : y; x; dấu nên x > 0; y > y x Theo bất ñẳng thức trung bình cộng trung bình nhân , ta có : 1 2x = y + ≥ y ≥ y y x ≥ 1 ⇒ ⇒ ≤ ⇒ 2x + 2y + − >0 y ≥ xy xy 1 2y = x + x ≥ x x ≥ ⇔ ( x − 1) ( 2x + x + 1) = (*) x Dễ thấy 2x + x + > 0, ∀x ; phương trình (*) ⇔ x = Khi ñó (*) ⇔ x = y , phương trình (1) ⇔ 2x = x + Vậy x = y = nghiệm hệ Cách : 1 Vì : y; x; dấu nên x > 0; y > y x Theo bất ñẳng thức trung bình cộng trung bình nhân , ta có : 1 2x = y + ≥ y ≥ y y x ≥ ⇒ Dấu ñẳng thức xảy x = y = y ≥ 1 2y = x + x ≥ x x ≥ -1Ôn thi ðại học năm 2008 T.s Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Administrator http://www.toanthpt.net Các bạn nghĩ cách giải ; ñã xong chưa nhỉ? Nhiều bạn nhầm tưởng ñã giải xong Thực 1 y+ >2 y + = x = y y chứng minh ñược dấu xảy mà , nghĩa : ⇒ , y = 1 x + = x + > x x hệ cho có nghiệm x > 1, y > 1? Ta lại tiếp tục giải toán : 1 Xét hàm số f ( t ) = t + , t ≥ có ñạo hàm f ' ( t ) = − > , t ∈ (1; +∞ ) ⇒ f ( t ) ñồng biến nửa t t khoảng [1; +∞ ) 1 > y + ⇒ 2y > 2x , x ≥ 1, y ≥ nên y > x ⇒ trái gt x > y x y 1 Nếu x < y f ( x ) < f ( y ) ⇒ x + < y + ⇒ 2y < 2x , x ≥ 1, y ≥ nên y < x ⇒ trái gt x < y x y Vậy x = y Khi ñó phương trình (1) ⇔ 2x = x + ⇔ ( x − 1) ( 2x + x + 1) = (*) x Dễ thấy 2x + x + > 0, ∀x ; phương trình (*) ⇔ x = Nếu x > y f ( x ) > f ( y ) ⇒ x + Vậy x = y = nghiệm hệ Từ toán mở rộng toán sau : a2 = + 2x y (1) y có nghiệm Chứng tỏ với a ≠ ,hệ phương trình a2 2y = x + x ( ) Lấy (1) − ( ) : ( x − y )( x + y + 2xy ) = (*) a2 a2 x; dấu nên x > 0; y > ⇒ x + y + 2xy > Khi ñó (*) ⇔ x = y Phương trình y x (1) ⇔ 2x − x = a ðặt f ( x ) = 2x − x , x > Hệ có nghiệm ñường thẳng Vì : y; y = a cắt ñồ thị f ( x ) = 2x − x khoảng x > ñiểm Phần lại dành cho ñộc giả 3 x − 3x = y − 3y Giải hệ phương trình : 6 x + y = x + y6 = ⇒ x ≤ 1, y ≤ -2Ôn thi ðại học năm 2008 T.s Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Administrator http://www.toanthpt.net Phương trình x − 3x = y3 − 3y dạng f ( x ) = f ( y ) (*) Xét hàm số f ( t ) = t − 3t, t ≤ ⇒ f ' ( t ) = 3t − < 0, t < ⇒ f ( t ) nghịch biến ñoạn [ −1;1] Khi ñó phương trình (*) ⇔ x = y x = y Vậy hệ cho viết lại ⇔x=y=± 6 x + y = 3 − ( y + 1) = x − y (1) Giải hệ phương trình : x + 8y = x − y − ( ) − ( y + 1) = x − y (1) ⇔ x − y − = − ( y + 1) ≤ ⇔ ≤ x − y ≤ ⇔ ≤ x − y ≤ (*) 2 Phương trình : x + 8y = x − y − ( ) có nghĩa x − y − ≥ ⇔ x − y ≥ (**) Từ (*) (**) suy x − y = Khi ñó phương trình x + 8y = x − y − ( ) ⇔ y + + 8y = ⇔ y = −1 ⇒ x = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 8; −1) x + − y = Giải hệ phương trình : y + − x = 1 − y ≥ y ≤ Hệ xác ñịnh ⇔ 1 − x ≥ x ≤ x = cos α , α ∈ [ 0; π] Với ñiều kiện ; gợi tưởng ta ñặt y = cos β , β ∈ [ 0; π] cos α + − cos β = cos α + sin β = (1) x + − y = Khi ñó hệ ⇔ cos β + − cos α = ⇒ cos β + sin α = ( ) (*) y + − x = α ∈ 0; π , β ∈ 0; π [ ] [ ] α ∈ [ 0; π] , β ∈ [ 0; π] Bình phương vế phương trình (1) ( ) , cộng vế theo vế , ta ñược + sin ( α + β ) = ⇒ sin ( α + β ) = ⇒ α + β = π π + k2π ⇒ β = + k2π − α ⇒ sin β = cos α 2 -3Ôn thi ðại học năm 2008 T.s Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Administrator http://www.toanthpt.net sin β = cos α = x= Khi ñó hệ (*) ⇔ sin α = cos β = ⇒ y = α ∈ [ 0; π] , β ∈ [ 0; π] x+y+ x−y =6 Giải hệ phương trình : ( x + y ) ( x − y ) = Hướng dẫn : x − y ≥ x − y < x−y =6 x+y+ x−y =6 x + y + ⇔ ⇔ x + y + x − y = x + y + x − y = 3 x−y =8 x y + ( x + y ) ( x − y ) = 3 x + y x − y = x + y x − y = −8 Trường hợp : x − y ≥ x = 34 x + y = x − y ≥ y = −30 x + y + x − y = ⇔ x − y = ⇔ x = 12 x−y =8 x + y + = x y y = x − y = Trường hợp : x − y < x = 103 − 19 17 x+y+ x−y =6⇔ y = −77 + 25 17 x − y = −8 x + y Lời bình : ( x + y) = x + y không làm thay ñổi miền xác ñịnh ; tương tự dễ dẫn ñến sai lầm ( x − y) = x − y !!! , ñiều không ñúng với x, y miền xác ñịnh , mà ñúng với x ≥ y Do ñó ( x + y) ( x − y) = ⇔ x + y x − y = -4Ôn thi ðại học năm 2008