Kĩ thuật chọn điểm rơi

MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC A CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI  Quy tắc song hành: Đa số bất đẳng thức có tính đối xứng nên sử dụng nhiều bất đẳng thức chứng minh toán để định hướng cách giải nhanh  Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” bất đẳng thức có vai trò quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh, định hướng cho ta cách giải Chính giải ne t toán chứng minh bất đẳng thức toán cực trị ta cần rèn luyện cho thói quen tìm điều kiện dấu số không yêu cầu trình bày phần u  Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm tính xảy lie đồng thời dấu “=” áp dụng liên tiếp song hành nhiều bất đẳng thức Khi áp dụng liên tiếp song hành nhiều bất đẳng thức dấu “=” phải thỏa mãn với điều kiện biến bo vị trí biên xt  Quy tắc biên: Đối với toán cực trị có điều kiện ràng buộc cực trị thường đạt  Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng vai trò biến bất đẳng thức dấu “=” thường xảy vị trí biến Nếu toán có điều kiện đối xứng dấu “=”xảy biến giá trụ cụ thể B MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY I BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Cho n số thực không âm a1 , a2 , , an , n  Z , n  , ta có: a1  a2   an  n n a1 a2 an Dấu “=” xảy a1  a2   an http://boxtailieu.net II MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Kỹ thuật tách ghép số 1.1 Kỹ thuật tách ghép Bài 1: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a  bb  c c  a   8abc Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a  bb  cc  a  ab bc ac  8abc (đpcm) Bài 2: Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng: ac  bd  a  bc  d  Giải:  ac  bd  ne b d a  b  c  d  u  a c  a  b  c  d  1 a c  1 b d  1ab cd           1 2ab cd  2ab cd  2ab cd  lie a  b c  d   a  bc  d  (đpcm) ac  bd t Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a  c Chứng minh rằng: b  c bo xt Bài 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa  Giải: ca  c   cb  c   ab Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ca  c   cb  c  ab  c a  c  c b  c   b a a b  1c ac 1c bc       2b a  2a b   1c c 1c c  1    1   2b a 2a b  ca  c   cb  c   ab (đpcm) http://boxtailieu.net Bài 4: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:  abc  1  a 1  b1  c  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:  abc 1  a 1  b 1  c  1 a b c 3 1  a  1  b  1  c  1  a  1  b  1  c  3 1 1  1 a b c           1 a 1 b 1 c  1 a 1 b 1 c  1 a 1 b 1 c       1 1 a 1 b 1 c    abc  1  a 1  b1  c  (đpcm) a  Chứng minh rằng: b   ne t Bài 5: Cho số thực dương a, b thỏa  a b   b a   ab u Giải: ab (2) xt Tương tự: b a   a  ab  a   ab (1) 2 a b   a ab  a  lie Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: bo Cộng theo vế (1) (2), ta được: a b   b a   ab (đpcm) Bài 6: Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: 16aba  b2  a  b4 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 16aba  b   4.4ab a  b  2  4ab  a  b 2   a  b 2   4.   4.   a  b  (đpcm)     2 Bài 7: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:  a1  b  b1  c   c1  a   33 abc  abc  Giải: Ta có: a1  b  b1  c   c1  a   a  b  c   ab  bc  ca  http://boxtailieu.net Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a  b  c  33 abc ab  bc  ca  33 abc     a  b  c   ab  bc  ca   33 abc  33 abc   33 abc  33 abc   a1  b  b1  c   c1  a   33 abc  abc  (đpcm) Bài 8: Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: ab  a b   a  b 1 b a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a b  ab a   ab b   a b          b a  2b   2a   2b 2a  ab a ab b a b 2 2  a  b  (đpcm) 2b 2a 2b 2a ne 2 t ab  u Bài 9: Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  10 Tìm GTLN của: A a 2b3c5 Giải: lie Ta có: 5 xt a a b b b c c c c c a b c 10  a  b  c            1010       2 3 5 5  2  3 5 a b c a b c                 a 2b3c 22 3355  337500  2  3 5  2  3 5 bo 10 a  a b c a b c abc       b  Dấu “=” xảy       10  c  a  b  c  10  Vậy GTLN A 337500 1.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo Bài 1: Chứng minh rằng: a b   , a,b  b a Giải: Vì a,b  nên a b  0, 0 b a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b a b    (đpcm) b a b a http://boxtailieu.net Bài 2: Chứng minh rằng: a   , a  a 1 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a 1  a 1   a  1     (đpcm) a 1 a 1 a 1 a2  Bài 3: Chứng minh rằng: a2 1  , a  R Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a2 1  a2 11 a2 1  a2 1  2 a2 1 a2 1 3a  , a   9a a2 1  (đpcm) ne Bài 4: Chứng minh rằng: t a2  u Giải: lie Với a  , áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: xt 3a 1 1     (đpcm) 4 1 9a  9a  3a 2 3a 2  2 3a 3a 3a 3a 2  a2    , a  1 Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  a  1    a 1  bo Giải:  a  2a    A  a  1   a     a  12  1  a  1     a 1  2    a  1   a    a  1  2  2a  1  a  1 2 Cauchy  2a  1 a  12 Dấu “=” xảy 2a  12  22 22 a  12 hay a  24 Vậy GTNN A  2  http://boxtailieu.net Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A  a  , a  a2 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Aa a a    a2 2 a a 1   33  2 a a a a 2 2 2 Dấu “=” xảy Vậy GTNN A  a  hay a  a 33 Bài 7: Chứng minh rằng: a   , a  b  b( a  b) ne t Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: u 1  b  a  b    33 b.a  b  3 ba  b  ba  b  ba  b  a  bb  12  , a  b  Bài 8: Chứng minh rằng: a  lie a xt Giải: a bo Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:  a  b   b  1  b  1  1  b  1 b  1 2 a  b b  1 a  b  2 b  1 b  1  a  b  1  2 a  b  b  1 b  1 2 1.3 Kỹ thuật ghép đối xứng Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm số thao tác sau: ab bc ca    a  b  c  Phép cộng:  2  2a  b  c   a  b   b  c   c  a   abc  ab bc ca , Phép nhân:  a, b, c  0 2  a b c  ab bc ca  http://boxtailieu.net Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: bc ca ab    abc a b c Giải: Ta có: bc ca ab  bc ca   ca ab   ab bc              a b c 2 a b  2 b c  2 c a  bc ca ca ab ab bc    abc a b b c c a a2 b2 c2 b c a      b2 c2 a2 a b c Bài 2: Cho ba số thực abc  CMR: Giải: Ta có:    t   c2 a2     b  2a a2 b2 b2 c2 c2 a2 b c a b c a         2 2 a b c a b c b c c a a b u    b2 c2     a  2c ne a2 b2 c2  a2 b2      b c a 2  b c lie Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc  CMR: xt Giải: bc ca ab    a  b  c 3 a b c bo  bc b  c c  a a  b bc ca ab ca ab         2    a b c a b c a b c    bc ca   ca ab   ab bc            b   c  a b c a       2  Vậy bc ca 2 a b ca ab 2 b c   ab bc c a   2 a b c  a b c  a b c  a  b  c  33 a b c  a  b  c 3  bc ca ab    a  b  c 3 a b c http://boxtailieu.net Bài 4: Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b, p  abc CMR:  p  a  p  b p  c   abc Giải: Ta có:  p  a  p  b  p  c    p  a  p  b   p  b  p  c   p  c  p  a   p  a    p  b  p  b   p  c  p  c   p  a   2 2 p  a  b  p  b  c  p  c  a    abc 2 Bài 5: Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b, p  abc CMR: ne t 1  1 1    2    p a p b p c a b c u Giải: Ta có: lie 1 1 1  1 1  1 1                p  a p  b p  c  p  a p  b   p  b p  c   p  c p  a   p  a  p  b  xt    p  b  p  c    p  c  p  a  1    p  a    p  b  p  b   p  c  p  c   p  a  2  1 1  2    a b c bo  1.4 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau Với n  N  x1 , x2 , , xn   x1  x2   xn   x1  1      n x2 xn  Chứng minh bất đẳng thức : Ta có với x1 , x2 , , xn   x1  x2   xn   x1  1      nn x1 x2 xn nn  n2 x2 xn  x1 x2 xn http://boxtailieu.net Với n  x1 , x2 , x3   x1  x2  x3   x1  1    x x3  Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: bc ca ab   6 a b c Giải: Ta có: bc ca ab  bc  ca  ab    1    1    1  3 a b c a   b   c   abc bca cab    3 a b c  1 1  a  b  c         a b c t a b c    bc ca ab ne Bài 2: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: u (Bất đẳng thức Nesbit) lie Giải: Ta có: bo xt a b c a   b   c      1    1    1  3 bc ca ab  bc  ca  ab abc bca cab    3 bc ca ab 1    a  b  c    3 bc ca ab 1    b  c   c  a   a  b    3 bc ca ab  3 2 c2 a2 b2 abc    Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: ab bc ca Giải:  c2 a2 b2 c2   a2   b2     a     b    a  b  c      c  ab bc ca  ab  bc  c  a  c   a   b    c1    a1    b1    a  b  c   ab  bc  ca http://boxtailieu.net  abc bca cab  c   a   b   a  b  c   ab   bc   ca  a b   c  a  b  c      a  b  c   ab bc ca  a b  c   a  b  c     1 ab bc ca  Theo bất đẳng thức Nesbit chứng minh thì: a b c    bc ca ab Do c2 a2 b2 3  abc (đpcm)    a  b  c   1  ab bc ca 2  t Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Chứng minh bất đẳng thức ne sau: 1   9 a  2bc b  2ca c  2ab u lie Giải: Do a  b  c  ta có: 1 1 1  2    a  b  c      a  2bc b  2ca c  2ab  a  2bc b  2ca c  2ab  1    a  b  c  2ab  2bc  2ac      a  2bc b  2ca c  2ab  1    a  2bc  b  2ac  c  2ab    9  a  2bc b  2ca c  2ab  xt bo         Kỹ thuật đổi biến số Có toán mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết phương hướng giải Bằng cách đổi biến số, ta đưa toán dạng đơn giản dễ nhận biết Bài 1: Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b CMR: b  c  ac  a  ba  b  c  abc (1) Giải: http://boxtailieu.net 10 Tương tự ta có: b bc b c 1 c ca c a 1 (2) ; (3) Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: a b d ab  bc  ca    abc b 1 c 1 d 1 (1' ) Mặt khác ta có: a2  b2 b2  c2 c2  a2    a  b  c  a  b  c  - 2ab  bc  ca  2 2 a  b  c    ab  bc  ca  (2' ) ab  bc  ca  Từ (1’) (2’) ta có: a b c 3    3  2 b 1 c 1 a 1 (đpcm)  chứng minh t  a  b  c Lưu ý: Ta sử dụng kết ab  bc  ca  ne u toán khác Bài 3: Cho số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện : a  b  c  lie Chứng minh bất đẳng thức sau: a 1 b 1 c 1   3 b 1 c 1 a 1 bo Ta có: xt Giải: a  1b  a   a  1b  a   ab  b (1) a 1  a   2b b2 1 b2 1 Tương tự ta có: b 1 bc  c  b 1 2 c 1 (2) ; c 1 ca  a  c 1 2 a 1 (3) Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: a 1 b 1 c 1 a  b  c  ab  bc  ca    a b c 3 2 b 1 c 1 a 1 abc ab  bc  ca  3 2 a  b  c  3 3   3  3-  2 2 Vậy http://boxtailieu.net 49 a 1 b 1 c 1   3 b 1 c 1 a 1 Bài 4: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a3 b3 c3 abc    2 2 2 a b b c c a Giải: Ta có: a3 ab ab b  a   a  a (1) 2 2 2ab a b a b Tương tự ta có: b3 c c3 a ;  b  (2) c 2 2 2 b c c a (3) t Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: ne a3 b3 c3 abc abc    abc  2 2 2 a b b c c a u (đpcm) lie Bài 5: Cho số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện : a  b  c  Chứng minh bất đẳng thức sau: a b c   2 b c 1 c a 1 a b 1 xt bo Giải: Ta có: b aac  a ab c ab c ab c ba  ac  a a a a a 2 b c 1 b c 1 2b c a   a  ab  abc  (1) b c 1 Tương tự ta có: b  b  bc  abc  (2) ; c a 1 c  c  ca  abc  a b 1 (3) Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: a b c ab  bc  ca abc ab  bc  ca abc    abc 3  (1’) 4 4 b c 1 c a 1 a b 1 Mặt khác ta có:  a  b  c 3  ab  bc  ca  ab  bc  ca  (2’) 4 http://boxtailieu.net 50 abc (3’)  4  a  b  c  33 abc  Cộng theo vế (1’), (2’), (3’) ta được: a b c     3 b c 1 c a 1 a b 1 4 a b c   2 b c 1 c a 1 a b 1  (đpcm) Bài 6: Cho số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện ab  bc  ca  Chứng minh bất đẳng thức sau: a 2b   b 2c   c 2a  1 Giải: 2ab ab 2ab  a  a (1) 3 b  b 1 3b b Tương tự ta có: 2c  b u 2b  a 2bc (2) ; c 2a  lie a ne t Ta có: c 2ca (3) 2b  2c   c 2a   abc 2ab  bc  ca   abc2 (1' ) bo Mặt khác ta có: b  xt a Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: a  b  c 2  ab  bc  ca  a  b  c  3ab  bc  ca   (2' ) Cộng theo vế (1’) (2’) ta được: a 2b    b 2c  a 2b  3   c 2a  b 2c  3   a  b  c  a  b  c 1 c 2a   (đpcm) Bài 7: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a3 b3 c3 abc    2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a Giải: Ta có: http://boxtailieu.net 51 a3 a b  ab aba  b  a  b 2a  b  a  a a  (1) 2 2 3ab 3 a  ab  b a  ab  b Tương tự ta có: b3 2b  c  2 b  bc  c c3 2c  a  2 c  ca  a (2) ; (3) Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: a3 b3 c3 abc    2 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a (đpcm) Bài 8: Cho số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện a  b  c  Chứng minh bất đẳng thức sau: a2 b2 c2   1 a  2b b  2c c  2a t Giải: ne Ta có: u a2 2ab 2ab 2  a   a   a  ab  (1) 2 a  2b ab b 33 ab c2 2 (2) ;  c  ca  c  2a b2 2  b  bc  b  2c lie Tương tự ta có: (3) xt Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: bo a2 b2 c2 2 2    a  b  c  3 ab   bc   ca   2    a  2b b  2c c  2a 2 2   3 ab   bc   ca   (*)    Mặt khác ta có: ab2  a.ab.b  a  ab  b (1’) Tương tự: bc 2  b  bc  c (2’) ; ca 2  c  ca  a (3’) Cộng theo vế (1’), (2’) (3’) ta có ab 2  bc 2  ca 2 a  b  c   ab  bc  ca  3 2 a  b  c  32  a  b  c      3 3 3  http://boxtailieu.net 52 2 2   3 ab   bc   ca      -2 (**)     3 Từ (*) (**) ta có: a2 b2 c2    3 1 a  2b b  2c c  2a (đpcm) Bài 9: Cho số thực dương a, b, c thỏa điều kiện a  b  c  Chứng minh bất đẳng thức sau: a2 b2 c2   1 a  2b b  2c c  2a Giải: Ta có: t a2 2ab 2ab3 a a  a  b3 a (1) 3 3 a  2b ab b 3 ab c2  c  a3 c c  2a (2) ; lie Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: (3) u b2  b  c3 b 3 b  2c ne Tương tự ta có:     bo Mặt khác ta có: xt a2 b2 c2    a  b  c  b3 a  c b  a c 3 3 a  2b b  2c c  2a   b3 a  c b  a c (*)  a  a 1  2a   2ab  b b3 a  b3 a.a.1  b   b  3     (1' ) Tương tự ta có: c3 b  2bc  c (2' ) ; a3 c  2ca  a (3' ) Cộng theo vế (1’), (2’), (3’) ta được: b  abc  ab  bc  ca  3 a  b  c a  b  c    3 3 a  c3 b  a3 c  Từ (*) (**) ta có: a2 b2 c2   1 a  2b b  2c c  2a http://boxtailieu.net (**) (đpcm) 53 C MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI I BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI Cho 2n số thực a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn n  Z , n  , ta có: a1b1  a2b2   an bn 2  a12  a22   an2 b12  b22   bn2  Dấu “=” xảy II MỘT SỐ KỸ a a1 a    n (quy ước bi   ) b1 b2 bn THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI ne t Kỹ thuật tách ghép số Bài 1: Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  CMR u Giải: 1   9 a b c lie Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski : bo xt 1   9 a b c Vậy 1 1 1   1 1     a  b  c       a  b  c   a b c a b c a b c  Bài 2: Cho số thực dương a, b,c CMR : ab bc ca    abc abc abc Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :  ab bc ca       abc  a  b  c a  b  c   bc ca   ab  12  12  12    6 abc abc abc  ab bc ca    abc abc abc http://boxtailieu.net 54 Bài 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa ab  bc  ca  CMR: a4  b4  c4  16 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có : 1     12  12 a  b  c  1.a  1.b  1.c 2   b2  c2 b2  c2  a2  ab  bc  ca ab  bc  ca   16  a4  b4  c4  Bài 4:   a  16 (đpcm) Cho số thực dương a, b CMR a b   a b b a t Giải:  ne Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có :    a   a b b  a  b   4 b  4 a      a  b a a  b  b  a b  a b   b a   lie  u (đpcm) xt  a2 b2 c2     b  c c  a a  b   bo Bài 5: Cho số thực dương a, b CMR a  b  c  2 Giải: Ta có: abc  a b c bc  ca  ab bc ca ab Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :  a   b   c   a  b  c           b  c    b  c   c  a   a  b        ca   ab    a2 b2 c2  2a  b  c      bc ca a b  a2 b2 c2   (đpcm)  a  b  c  2   bc ca ab http://boxtailieu.net 55 Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTLN Bài 6: A  a 1 a  b 1 b Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski : 1     b 1  a   b   a  b    12 a  b   22 Vậy GTLN A ne  a  b   b  a Dấu “=” xảy    ab b 1  a 1 1   a b t a A  a 1 a  b 1 b  2 Cho số thực a, b thỏa 36a  16b  Tìm GTLN GTNN u Bài 7: lie A  2a  b  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :  bo  xt         1 36a  16b         6a    4b    2a  b  4           2a  b   25 16 5  2a  b  4 15 25   2a  b   4  Ta có:   36a  9b    a  25  6a 4b    GTNN A     b     20   a  b    http://boxtailieu.net 56   36a  9b    a  25  6a 4b    GTLN A   1  b    20   a  b   Bài 8: Cho số thực dương a, b, c CMR:  a  3b   b  3c   c  3a  a b c             4 4 4 Giải: 2   1 1 2 2         a  b  b  b   16 16 16 16       2 a  b2  b2  b2 16  1    1 a  b  b  b 16 a  3b  a  3b        bo xt (1) b  3c  b  3c       (2) c  3a  c  3a       (3)  lie  Tương tự:  ne u  a b b b   a  3b             4 4  t Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có : Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:  a  3b   b  3c   c  3a  4        a b c 4       Bài 9: 4 Cho a, b, c  0,1 CMR abc  (đpcm) 1  a 1  b1  c  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski : http://boxtailieu.net 57  1  a 1  b1  c   a  1  a bc  1  b1  c   bc  1  b1  c  abc  1  a 1  b 1  c   bc  1  b 1  c   bc  1  b 1  c  abc   Mà  1  b1  c    b  1  bc  1  c   bc  1  b 1  c   bc   Vậy ta có:  1  a 1  b1  c abc  1 hay abc  1  a 1  b1  c  Lưu ý: Trong cách chứng minh ta sử dụng bất đẳng thức x,y  0 x y   x y2 xy  x  y lie  x  y  x y Bài 10: x,y  0 u  ne Dễ dàng chứng minh tính chất này, ta có: t x y  x  y Cho số thực dương a, b, c CMR xt a b c    2 b  c  c  a  a  b 4a  b  c  Ta có: bo Giải:  a  b  c  a  b  c   b c  a    a  b   c  a   b   c          c    b  c   c  a   a  c              b     a  2 b c   a     bc ca ab Mà ta có: a b c    bc ca ab (bất đẳng thức Nesbit, chứng minh phần trước) b c   a      bc ca a b http://boxtailieu.net 58  a b c   a  b  c     2 c  a  a  b 2   b  c  a b c đpcm     2 b  c  c  a  a  b  4a  b  c  Kỹ thật chọn điểm rơi Bài 1: Cho số thực dương a, b,c thỏa a  b  c  Tìm giá trị nhỏ (GTNN) A  a2  1  b2   c2  2 b c a Phân tích: Chuyển đổi biểu thức thành biểu thức Giả sử với số  ,  ta có:      a   b  ne t  2       2 2      b        b   2 c c       c  a   u lie     2       2 2    c   a    1   a  b  c     a  b  c       2 xt  A  a  b   1  a2   b  2 2    b   c  2    c2    2 a     bo Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt abc2 Sơ đồ điểm rơi: a    b  b  abc2    ab  bc  ca  , chọn    c c     a      Kết hợp với “ kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy” ta có lời giải: Giải: http://boxtailieu.net 59  1 1   a  .4  12    a   b b  17    1    b  .4  12    b   c c  17     c    c  .4  12    a2 a2  17    1   A 4a  b  c    a  b  c   17      1  4a   b 17   1  4b   c 17  1  4c    a  12  1 15  a b c 1   a  b  c       a  b  c  Dấu 17     15 a b c 1  17   6.6   4 a b c  17  ne u 17 lie Vậy GTNN A t a 4  b  b “=” xảy     a  b  c  4 c c 4  a  Bài 2: Cho số thực dương a, b,c thỏa a  b  c  Tìm GTNN 1  b2   c2  bc ca ab xt A  a2  bo Phân tích: Chuyển đổi biểu thức thành biểu thức Giả sử với số  ,  ta có:    2  1     a   a          a    bc bc   b  c       2 2    1      b    b  2 ca ca           c2    c   2  ab ab         A   1       a  b  c     bc c  a   ab    2 Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt abc2 http://boxtailieu.net 60 Sơ đồ điểm rơi: a    b    b  abc2    ab  bc  ca  , chọn       c c     a Kết hợp với “ kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy” ta có lời giải: Giải      4b   17  ca    4c   ab   12  t  1  1     4a  b  c    17  bc c  a   ab u  A  2    a2   4a      bc 17  17  bc  ne    a  bc      b  c  a    c2   ab     4a  b  c   3.3 17      4a  b  c    17  ab  ab  ca      4a  b  c   2    a  b   b  c   c  a   17      4a  b  c    17  a  b  c      31 9   a  b  c   a  b  c    17  a  b  c  a  b  c    17  31 9   33 a  b  c   17  a  b  c  a  b  c   lie ab   c  a  bo xt ab   Với a  b  c  GTNN A 17 http://boxtailieu.net 61 Bài 3: Cho số thực dương a, b,c thỏa a  b  c  2abc  10 Tìm GTNN 9b c a 9c a b 9a b c         4 a2 b2 c2 A Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt abc2 Sơ đồ điểm rơi:      t a    b  b  abc2    ab  bc  ca  , chọn    c c     a ne Kết hợp với “ kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy” ta có lời giải: Giải bo xt lie u  9b c a    9b  ca   18   a a   9c a b   18      9b  ca  2 b b  2  9a b c   18      9b  ca a c   4 4  24 A       9a  b  c   ab  bc  ca  a b c 4  4  4     a     b     c   2a  bc   2b  ac   2c  ab   6a  b  c  a  b  c  2 4 a  b  c  2abc  2 2abc  2 2abc  6a  b  c  a b c    12  a  b  c  2abc  72  A 72 24 6 Với a  b  c  GTNN A 6 http://boxtailieu.net 62 Tài Liệu Tham Khảo EE Vrosovo, NS Denisova, Thực hành giải toán sơ cấp, người dịch Hoàng Thị Thanh Liêm, Nguyễn Thị Ninh, Nguyễn Văn Quyết, NXBGD, 1986 Lê Duy Thiện , Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski để giải toán cực trị đại số, Sáng kiến kinh nghiệm 2009, Trường THPT Lang Chánh, Thanh Hóa Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ, Bất đẳng thức Cauchy, Trung tâm bồi dưỡng kiến thức Quang Minh, Thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Việt Hải, Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức AM-GM (CAUCHY), Trường THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước Nguyễn Văn Mậu, Bài giảng Chuyên đề đẳng thức bất đẳng thức, Chương trình t bồi dưỡng chuyên đề toán, Hà Nội, 11/12/2009 ne Nguyễn Ngọc Sang, Phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cauchy, Sáng kiến u kinh nghiệm 2009, Trường THPT Nguyễn Huệ, Thanh Hóa Tạp chí Toán học Tuổi trẻ lie Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất Tri thức bo xt xuất Hà Nội, 2004 Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn, Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, Nhà http://boxtailieu.net 63 [...]... xt  Khi các biến có giá trị tại biên Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên bo Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trong các trường hợp trên 3.1 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên Xét các bài toán sau: Bài toán 1: Cho số thực a  2 Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của A  a  1 a Sai lầm thường gặp là: A  a...       9  a c b   a b c   2 b a c c a b 2   6  4.3.3  3.3    6  12  3  2 9  a c b a b c  9 Dấu “=” xảy ra  a  b  c  1 ne t Vậy GTNN của A là 2 3 Kỹ thuật chọn điểm rơi u Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất lie đẳng thức xảy ra Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau: ai  Các biến có giá... a 1  hay a  2 4 a Vậy GTNN của A là 5 2 Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt GTNN khi a  2 Khi đó ta nói A đạt GTNN tại Điểm rơi a  2 ” Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a và phải tách a hoặc 1 vì không thỏa quy tắc dấu “=”... tại Điểm rơi  a  xt 1 a 3a 1    và ta có lời giải như trên a 4 4 a bo Khi đó: A  a  ai lie a 2    2 1 a2     4  2 1  1  a 2  a 1 Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số  ,  ta có thể chọn các các  a  1     1  cặp số sau:  a,  hoặc  a,  hoặc  a,  a  a   a  Bài toán 2: Cho số thực a  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của A  a  1 a2 Sơ đồ điểm. .. 2 3  6 2  a  b  3  2 1  Dấu “=” xảy ra  b  c   a  b  c  3 3  2  c  a  3  http://boxtailieu.net 29 Vậy GTLN của A là 6 Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật nhân thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi để tìm hệ số cho phù hợp Bài 6: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  3 Chứng minh rằng: 3 a  2b  3 b  2c  3 c  2a  33 3 Phân tích: Do biểu thức đã cho là... 18 24 18 24 3 13b 13c 13b 13c 13 13 13  2 2 8  48 24 48 24 48 24 4 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: a  b  c   2 1 1 1  8 121      ab bc ca  abc 12 (đpcm) 3.2 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm Xét bài toán sau: Bài toán: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a  b  1 Tìm GTNN của A ab 1 1 1 1   44 a.b  4 a b a b ne t Sai lầm thường gặp là:... GTNN của A là 39 Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a  2b  3c  20 Tìm GTNN của A abc 3 9 4   a 2b c Phân tích: Dự đoán GTNN của A đạt được khi a  2b  3c  20 ,tại điểm rơi a  2, b  3, c  4 Sơ đồ điểm rơi: a 2    2 3 4 a2      2 3 3  3  a 2 http://boxtailieu.net 18 b 3     3 3 b 3     2  2 9 3  2b 2 c 4     4 c4  1   4  4  1... 4 Vậy GTNN của A là 13 u ab  12 Chứng minh rằng: bc  8 lie Bài 4: Cho3 số thực dương a, b, c thỏa  1 1 1  8 121      ab bc ca  abc 12 xt Phân tích: ai a  b  c   2 ab  12 ,tại điểm rơi a  3, b  4, c  2 bc  8 Giải: bo Dự đoán GTNN của A đạt được khi  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b 2 a b 2 1    33  18 24 ab 18 24 ab 2 a c 2 a c 2    33 1 9 6 ca 9 6 ca... GTNN của A là 17 4 Bài 2: Cho số thực a  6 Tìm GTNN của A  a 2  18 a Phân tích: Ta có A  a2  18 9 9  a2   a a a Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt GTNN khi a  6 Ta có sơ đồ điểm rơi: ne t  a 2 36     36  3    24 a 6   2 9  9  3  a 6 2 Giải: a 2 9 9 23a 2 a 2 9 9 23a 2     33  24 a a 24 24 a a 24 9 23.36    39 2 24 xt a2 9  a6 24 a bo Dấu “=”...  a  b  1 Khi đó a b lie a  b  2  1 trái giả thuyết u Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 4  a  b  xt Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại bo ab 1 2 Sơ đồ điểm rơi: 1 a b    1 1 1   2 ab    2  2 2 4 1  1  2  a b   Lời giải đúng: A   4a  4b  Dấu “=” xảy ra  a  b  1 1 1 1    3a  3b  44 4a 4b  3a  b   8  3  5 a b