Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 35 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
35
Dung lượng
281,18 KB
Nội dung
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Phương trình-Hệ phương trình-Bất phương trình dành cho lớp 10 Tác giả: Nguyễn Văn Quốc Tuấn - Lớp B – K112 - Đại Học Y Hà Nội Các toán tài liệu Tuấn tổng hợp số diễn đàn, số tài liệu, phần lời giải đa số Tuấn giải lại số câu nhác :3 nên chép i nguyên lời giải Vì nên tài liệu có sai sót mong bạn ghóp ý để chỉnh sửa lại Tài liệu Tuấn viết tặng bạn ( Đừng hỏi :v ) Bên cạnh hi vọng bạn có tài liệu để tham khảo thêm Chúc bạn học tốt Bài Giải phương trình sau: √ x+3+ √ √ √ 3x + = x + 2x + Lời giải: Điều kiện: x ≥ Ta có: √ √ √ √ 3x + − 2x + = x − x + √ √ ⇐⇒ 3x + + 2x + − 6x2 + 8x + = 4x + x + − x2 + 3x √ √ ⇐⇒ 6x2 + 8x + = x2 + 3x ⇐⇒ 6x2 + 8x + = (x2 + 3x) ⇐⇒ 2x2 − 4x + = ⇐⇒ x = Vậy nghiệm phương trình cho là: x = Bài Giải phương trình sau: √ √ 3 x 35 − x3 x + 35 − x3 = 30 Lời giải: √ Đặt 35 − x3 = y ⇐⇒ x3 + y = 35 Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ: x3 + y = 35 xy (x + y) = 30 ⇐⇒ ⇐⇒ (x + y)3 = 125 xy (x + y) = 30 www.DeThiThuDaiHoc.com (x + y)3 − 3xy (x + y) = 35 xy (x + y) = 30 ⇐⇒ x+y =5 xy = ⇐⇒ x=3 x=2 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Vậy nghiệm phương trình là: Bài x=3 x=2 Giải phương trình sau: √ 16x4 + = 4x3 + x Lời giải: Ta có V T > nên điều kiện để phương trình cho có nghiệm V P > ⇐⇒ x > Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương ta có: √ 4x3 + x = 2.3 (4x3 + x) 1.1 ≤ 4x3 + x + + Mặt khác ta có: 16x4 + ≥ 4x3 + x + + ⇐⇒ 16x4 − 8x3 − 2x + ≥ ⇐⇒ (2x − 1)2 4x2 + 2x + ≥ Do đó: V T ≥ V P √ 16x4 + = 4x3 + x ⇐⇒ 4x3 + x = 2x − = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài ⇐⇒ x = 2 Giải phương trình sau: √ x2 − + 4x = 4x 4x − Lời giải: Điều kiện: x ≥ Ta có: √ √ x2 − + 4x = 4x 4x − ⇐⇒ 3x2 + 4x − = 4x 4x − √ ⇐⇒ 3x2 − 4x 4x − + 4x − = ⇐⇒ ⇐⇒ √ x = 4x − √ 3x = 4x − www.DeThiThuDaiHoc.com x− √ 4x − x2 = 4x − 9x2 = 4x − ⇐⇒ 3x − ⇐⇒ √ 4x − = x=3 x=1 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Vậy nghiệm phương trình cho là: Bài x=3 x=1 Giải hệ phương trình sau: √ √ x + + 3y x + (3y + 1) x + − 51y − 27 = 7y + 36y x2 + y + 3x + 5y + 10 = Lời giải: Điều kiện: x ≥ −1 Đặt: √ x + = a (a ≥ 0) Thay a2 − = x vào phương trình thứ ta (a + 3y) (a2 − 1) + (3y + 1) a − 51y − 27 = 7y + 36y ⇐⇒ a3 + 3a2 y + 3ay = 7y + 36y + 54y + 27 ⇐⇒ a3 + 3a2 y + 3ay + y = 8y + 36y + 54y + 27 √ ⇐⇒ (a + y)3 = (2y + 3)3 ⇐⇒ a = y + ⇐⇒ y = a − ⇒ y = x + − Thế xuống phương trình thứ ta được: x2 + 4x + = Đặt √ √ x+1 x + = y + (y ≥ −2) Khi ta có hệ phương trình: x2 + 4x + = y y + 4y + = x ⇐⇒ x2 − y + (x − y) = x2 + 4x + = y ⇐⇒ (x − y) (x + y + 5) = x2 + 4x + = y ⇐⇒ x=y x2 + 3x + = (V N ) Vậy hệ phương trình cho vô nghiệm Bài Giải phương trình sau: 2x − + √ 3x − = √ 8x2 − 2x − Lời giải: Điều kiện: x ≥ www.DeThiThuDaiHoc.com Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Biến đổi phương trình đầu trở thành: √ 2x − + 3x − = 2(2x − 1)2 + (3x − 2) 2x − = a a≥ Đặt: √ 3x − = b (b ≥ 0) Khi phương trình cho trở thành: √ a + b = 2a2 + 2b2 ⇐⇒ a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 ⇐⇒ (a − b)2 = ⇐⇒ a = b Từ ta có: 2x − = √ 3x − ⇐⇒ 4x2 − 4x + = 3x − ⇐⇒ 4x2 − 7x + = ⇐⇒ Vậy nghiệm phương trình cho là: Bài x=1 x= x=1 x= Giải hệ phương trình sau: √ 6x − = 3x − y + 3y (1) y √ 3x + 3x − y = 6x + 3y − (2) Lời giải: Điều kiện: 3x ≥ y = √ 3x + 3x − y ≥ Ta có: √ √ (1) ⇐⇒ (3x − y) = y 3x − y + 3y ⇐⇒ (3x − y) − y 3x − y − 3y = √ √ √ 3x − y = 3y ⇐⇒ 3x − y − 3y 3x − y + y = ⇐⇒ √ 3x − y = −y √ Trường hợp 1: 3x − y = 3y √ 3x − y = 3y ⇐⇒ 3x + 3y = 6x + 3y − Trường hợp 2: √ 3x − y = 3y 6x + 3y ≥ (6x + 3y) = 6x + 3y − ⇐⇒ √ 3x − y = 3y 6x + 3y = √ 3x − y = −y √ 3x − y = −y √ 3x + 3x − y = 6x + 3y − www.DeThiThuDaiHoc.com ⇐⇒ √ 3x − y = −y √ 3x − y = 6x + 3y − Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam √ 3x − y = −y −2y = 6x + 3y − ⇐⇒ ⇐⇒ √ 3x − y = −y 6x + 5y = Từ bạn tự tìm nghiệm Bài Giải phương trình sau: √ 2x2 + x + + √ 2x2 − x + = x + Lời giải: Xét x = −4 nghiệm phương trình ta biến đổi phương trình sau: √ √ 2x2 + x + + 2x2 − x + = x + 2x + √ ⇐⇒ √ =x+4 2+x+9− 2−x+1 2x 2x √ √ ⇐⇒ 2x2 + x + − 2x2 − x + = Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ: √ √ 2x2 + x + − 2x2 − x + = √ √ 2x2 + x + + 2x2 − x + = x + √ ⇒ 2x2 + x + = x + ⇐⇒ (2x2 + x + 9) = x2 + 12x + 36 ⇐⇒ 7x2 − 8x = ⇐⇒ x=0 x = 78 Thử lại ta thấy thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình cho Bài x=0 x= Giải phương trình sau: x+ 5+ √ x−1=6 Lời giải: Điều kiện: x ≥ www.DeThiThuDaiHoc.com Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Biến đổi phương trình cho sau: x+ Đặt: 5+ √ x−1=a √ 5+ x−1=b √ x − = ⇐⇒ x − + 5+ √ x−1=5 (a ≥ 0, b ≥ 5) Khi ta có: a2 + b = b2 = a + ⇐⇒ ⇐⇒ a2 + b = a2 − b + a + b = a2 + b = a+b=0 a−b+1=0 ⇐⇒ a2 + b = √ ± 21 ⇐⇒ a= 2√ −1 ± 17 a= a2 + b = (a + b) (a − b + 1) = ⇐⇒ a2 + b = a2 − a − = a2 + a + = √ −1 + 17 a= 2√ ⇐⇒ b = + 17 √ 11 − 17 Từ ta tính x = √ 11 − 17 Vậy x = nghiệm phương trình cho Bài 10 Giải phương trình sau: √ √ − x − x2 = Lời giải: − x2 ≥ ⇐⇒ ≤ x ≤ x≥0 √ a= x a ≥ 0, b ≤ Đặt: √ b= − x 3 Điều kiện: Khi ta có hệ www.DeThiThuDaiHoc.com Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam a+b= a+b= ⇐⇒ 3 √ − a4 = b a4 + b = 2 a+b= a+b= ⇐⇒ ⇐⇒ (a + b)2 − 2ab − 2a2 b2 = (a2 + b2 )2 − 2a2 b2 = 2 a+b= a + b = 3 ⇐⇒ ⇐⇒ 16 65 2 2 2a b − ab − =0 − 2ab − 2a b = 81 a+b= √3 − 194 ab = 18 ⇐⇒ a+b= √3 194 + ab = 18 √ − 194 y − y+ =0 √ 18 a, b nghiệm phương trình + 194 y2 − y + = (V N ) 18 −2 + Từ ta tìm nghiệm phương trình cho là: x = Bài 11 2 √ 194 − + Giải hệ phương trình sau: x + = (3y − x) (y + 1) (1) √ 3y − − x + = xy − 2y − (2) Lời giải: y≥3 Điều kiện: x ≥ −5 (3y − x) (y + 1) ≥ y≥3 ⇐⇒ x ≥ −5 3x − y ≥ Ta có: √ √ (1) ⇐⇒ (y + 1) − (3y − x) = 3y − x y + √ √ √ √ √ 2 ⇐⇒ y + − 3y − x y + + y+1 − 3y − x =0 √ √ √ √ √ √ √ ⇐⇒ y + y + − 3y − x + y + − 3y − x y + + 3y − x = √ √ √ √ ⇐⇒ y + − 3y − x y + + 3y − x = √ √ √ √ y + − 3y − x = ⇐⇒ ⇐⇒ y + = 3y − x ⇐⇒ x = 2y − (3) √ √ = y + + 3y − x > (L) www.DeThiThuDaiHoc.com Nguyễn Văn Quốc Tuấn 97 Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Thay (3) vào (2) ta √ √ y + = 2y − 3y − 2 (y − 2) √ = (y − 2) (2y + 1) ⇐⇒ √ 3y − + y + 2 √ ⇐⇒ (y − 2) √ − (2y + 1) = 3y − + y+2 y=2⇒x=3 ⇐⇒ √ √ − (2y + 1) = (4) 3y − + y + 3y − − Và (2) ⇐⇒ − (2y + 1) √ 3y − + √ y + = (5) Do √ √ 2 ⇒ (2y + 1) 3y − + y + ≥ + 3 √ √ ⇐⇒ − (2y + 1) 3y − + y − ≤ − 3 y≥ Mà − (2y + 1) √ 3y − + √ y−2 ≤2− +2 < nên (5) vô nghiệm So với điều kiện hệ phương trình có nghiệm nhất: (x; y) = (3; 2) Bài 12 Giải hệ phương trình sau: √ x + x2 + = y + x2 + y − xy = y2 − Lời giải: Điều kiện: y≥1 y ≤ −1 Biến đổi phương trình đầu sau: √ √ x + x2 + = y + y − ⇐⇒ x − y = y − − x2 + √ ⇒ x2 − 2xy + y = x2 + y − x2 + y − √ ⇐⇒ xy = x2 + y − ⇒ x2 y = (x2 + 1) (y − 1) ⇐⇒ y − x2 = Khi ta hệ mới: www.DeThiThuDaiHoc.com Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam y − x2 = x2 + y − xy = 2x2 − xy = y − x2 = ⇐⇒ x2 + y − xy = y − x2 y − x2 = x=0 y = ±1 x=0 ±1 ⇐⇒ ⇐⇒ 2x = y x= √ y − x2 = ±2 y=√ ⇐⇒ Thử lại hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (0; 1) , √ ;√ 3 Lưu ý: Bài toán giải hoàn chỉnh lại phải thử lại nghiệm Ở biến đổi phương trình thứ không đặt điều kiện nên sau giải nghiệm phải thử lại Mặt khác không đặt điều kiện mà bình phương dùng dấu ⇒ Bài 13 Giải phương trình sau: √ x2 + x + = + 5x + 4x2 − 2x3 − x4 (1) Lời giải: Ta có: (x2 + x + 1) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + Khi √ (1) ⇐⇒ x2 + x + = − x2 + x + Đặt: a = √ + x2 + x + − x2 + x + (a > 0) Khi phương trình cho trở thành: √ 1+ a= 2√ a2 + a − = ⇐⇒ −1 + 21 a= a4 − 7a2 + 4a + = ⇐⇒ a2 − a − √ 1+ Với a = √ √ √ √ + + −1 ± + x2 + x + = ⇐⇒ x2 + x − = ⇐⇒ x = 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam √ Với a = −1 + 21 √ √ √ −9 + 21 −1 ± −1 + 21 2 ⇐⇒ x + x + = ⇐⇒ x = x +x+1= 2 −1 ± x= Vậy nghiệm phương trình cho là: −1 ± x= Bài 14 √ 19 − 21 √ 3+2 √ 19 − 21 Giải phương trình sau: 16x2 − 23x + 10 = (x + 2) √ 4x2 + 4x − Lời giải: √ −1 + 2 x≥ √ Điều kiện: −1 − 2 x≤ Ta có: √ 16x2 − 23x + 10 = (x + 2) 4x2 + 4x − √ √ ⇐⇒ 4x2 + 4x − − (4x − 3) 4x2 + 4x − + (5x + 1) 4x2 + 4x − − (5x + 1) (4x − 3) = √ √ ⇐⇒ 4x2 + 4x − + 5x − 4x2 + 4x − − (4x − 3) = √ √ 4x2 + 4x − + 5x − = 4x2 + 4x − = − 5x √ √ ⇐⇒ ⇐⇒ 4x2 + 4x − − (4x − 3) = 4x2 + 4x − = 4x − 1 x≤ x≤ 5 2 4x + 4x − = 25x − 10x + 21x − 14x + = x = ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ 3 x=1 x ≥ x ≥ 4 4x2 + 4x − = 16x2 − 24x + 12x2 − 28x + 16 = x= Vậy nghiệm phương trình cho là: x=1 Bài 15 Giải phương trình sau: √ √ 3 12x2 + 46x − 15 − x3 − 5x + = 2x + Lời giải: Đặt: a = √ √ 12x2 + 46x − 15, b = 2x + 1, c = x3 − 5x + www.DeThiThuDaiHoc.com 10 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Ta biến đổi sau: √ √ √ P T ⇐⇒ 5x2 + 14x + = x2 − x − 20 + x + √ √ ⇐⇒ 5x2 + 14x + = x2 − x − 20 + 25 (x + 1) + 10 x2 − x − 20 x + √ ⇐⇒ 4x2 − 10x + − 10 (x − 5) (x + 1) x + = √ ⇐⇒ (x2 − 4x − 5) − (x2 − 4x − 5) x + + (x + 4) = √ √ ⇐⇒ (x2 − 4x − 5) − x + 4 (x2 − 4x − 5) − x + = √ x=8 (x2 − 4x − 5) = x + 4x − 25x − 56 = √ √ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ + 61 2 (x − 4x − 5) = x + 4x − 20x − 36 = x= Vậy nghiệm phương trình cho là: Bài 32 x=8 √ + 61 x= Giải hệ phương trình sau: √ x− y+2= √ y + (x − 2) x + = − Lời giải: Điều kiện: x ≥ −2; y ≥ −2 u2 − v = (1) √ √ Đặt: u = x + 2; v = y + với u, v ≥ hệ trở thành 2 v + (u − 4) u = (2) Thế (1) vào (2) ta được: + 2u3 − 8u = 4 ⇐⇒ u + 2u − 7u − 8u + 12 = ⇐⇒ (u − 1) (u − 2) (u2 + 5u + 6) = ⇐⇒ u = ∨ u = u2 − Vì u2 + 5u + > 0, ∀u ≥ −5 không thỏa mãn x=2 Với u = ⇒ v = ta tìm y=− x=2 Vậy nghiệm hệ phương trình là: y=− Với u = ⇒ v = www.DeThiThuDaiHoc.com 21 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Bài 33 Giải hệ phương trình sau: x2 y − 2x + y = 2x2 − 4x + + y = Lời giải: Ta có: 2 2x + x2 ⇐⇒ 2(x − 1)2 + + y = x y − 2x + y = 2x2 − 4x + + y = Vì y2 = 2x ≤ (∀x ∈ R) nên −1 ≤ y ≤ 1 + x2 Khi y ≥ −1 ⇐⇒ + y ≥ ⇐⇒ 2(x − 1)2 + + y ≥ ⇐⇒ x−1=0 + y3 = x=1 y = −1 ⇐⇒ Thử lại vào hệ phương trình cho thỏa mãn Vậy nghiệm hệ phương trình là: (x; y) = (1; −1) Bài 34 Giải phương trình sau: 12xy + 12 (x2 + y ) + = 85 (x + y)2 6x (x + y) + = 13 (x + y) Lời giải: Điều kiện x + y = Viết lại hệ phương trình thành: x+y+ x+y x+y+ x+y a=x+y+ (|a| ≥ 2) x+y Đặt b=x−y www.DeThiThuDaiHoc.com + 3(x − y)2 = 103 + (x − y) = 13 ta có: 22 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 9a2 + 3b2 = 103 3a + 3b = 13 Khi 2b2 − 13b + 11 = 3a = 13 − 3b ⇐⇒ x + y + = 10 x+y x−y =1 Bài 35 ⇐⇒ a = −7 11 b= ⇐⇒ (x; y) = −1 ; 3 Vậy nghiệm hệ phương trình là: (x; y) = a = 10 b=1 −1 ; 3 (loai) , (2; 1) , (2; 1) Giải phương trình sau: √ x2 − √ √ 15 − x2 + x = 15 − 15x − x3 − x Lời giải: Điều kiện: ≤ x ≤ Đặt: √ 15 √ a = 15 − x2 √ b= x (a, b ≥ 0) phương trình cho trở thành: a2 − 3ab − 4b + (a + b2 ) = ⇐⇒ a2 + 2b2 − 3ab + (a − 2b) = ⇐⇒ (a − 2b) (a − b) + (a − 2b) = a = 2b a=b−2 ⇐⇒ Với: a = 2b √ √ 15 − x2 = x ⇐⇒ 15 − x2 = 4x ⇐⇒ Với a = b − √ 15 − x2 = Mặt khác: 0≤x≤ √ www.DeThiThuDaiHoc.com √ x = −2 + 19 √ x = −2 − 19 (loai) √ x−2 15 ⇒ √ √ 15 − < x−2≤ 23 √ 16 − = Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam nên phương trình vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = −2 + Bài 36 √ 19 Giải hệ phương trình: √ √ 7x + y − 2x + y = √ 7√ 2x + y − 5x + 10y = 10 Lời giải: Đặt: √ 7x + y = a √ 2x + y = b (a, b ≥ 0) Ta có: 5x + 10y = −3 (7x + y) + 13 (2x + y) √ √ = −3a2 + 13b2 ⇒ 5x + 10y = −3a2 + 13b2 Khi ta có hệ phương trình mới: a−b=4 √ 2b − −3a2 + 13b2 = 10 a=b+4 ⇐⇒ 7√ 2b − 10b − 24b − 48 = 10 a=b+4 √ ⇐⇒ 20b − 20 = 10b2 − 24b − 48 a=b+4 ⇐⇒ b≥1 90b − 376b − 2752 = ⇐⇒ a = 12 ⇒ b=8 ⇐⇒ x = 16 y = 32 Vậy nghiệm hệ phương trình cho là: Bài 37 7x + y = 144 2x + y = 64 x = 16 y = 32 Giải phương trình sau: x+2 www.DeThiThuDaiHoc.com 3x − x + =4 20 24 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Lời giải: Điều kiện: x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: x+2 3x − 3x − 8x + ≤x+ +1= 5 Mặt khác: x4 + 8x + 2x + x + ≥ ⇐⇒ ≥ 20 20 125 (x4 + 4) ≥ 16x + 32x + 24x + 8x + ⇐⇒ ⇐⇒ 61x4 − 128x3 − 96x2 − 32x + 496 ≥ ⇐⇒ (x − 2)2 (61x2 + 116x + 124) ≥ (∀x ∈ R) 4 Do đó: 4 x4 + ≥x+2 20 3x − Dấu xảy khi: x = Vậy nghiệm phương trình là: x = Bài 38 Giải bất phương trình sau: x (x + 2) √ ≥1 (x + 1)3 − x Lời giải: Điều kiện: x ≥ Với x ≥ (x + 1)3 − √ x > www.DeThiThuDaiHoc.com 25 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Khi ta có bất phương trình cho tương đương: BP T ⇐⇒ (x + 1)3 − x (x + 2) ≥ √ x ⇐⇒ x2 + 2x ≥ x3 + 3x2 + 4x + − (x + 1) √ ⇐⇒ (x + 1) x2 + x + − x2 + x ≤ √ ⇐⇒ x2 + x + − x2 + x ≤ √ ⇐⇒ x2 + x − ≤ √ √ −1 ± ⇐⇒ x + x = ⇐⇒ x = √ x2 + x −1 + Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: x = Bài 39 √ Giải hệ phương trình sau: (x2 + y ) (x + y + 1) = 25 (y + 1) x2 + xy + 2y + x − 8y = Lời giải: Hệ phương trình cho tương đương: (x2 + y ) (x + y + 1) = 25 (y + 1) x2 + y + x (y + 1) + (y + 1)2 − 10 (y + 1) = Dễ thấy y = −1 nghiệm hệ phương trình Chia vế phương trình hai cho y + ta hệ mới: (x + y ) (x + y + 1) = 25 y+1 x2 + y + x + y + = 10 y+1 Đặt a = x2 + y , b = x + y + hệ phương trình cho trở thành: y+1 ab = 25 ⇐⇒ a = b = ⇐⇒ + b = 10 x=3 y=1 ⇐⇒ x = −3 11 y= x2 + y = (y + 1) x + y + = 10 Vậy nghiệm hệ phương trình cho là: (x; y) = (3; 1) , www.DeThiThuDaiHoc.com 26 −3 11 ; 2 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Bài 40 Giải hệ phương trình sau: √ (x + y) x − y + = x + 3y + √ √ (x − y) x − y + = (x + y + 1) x + y − Lời giải: x − y ≥ −2 x+y ≥2 Điều kiện: Đặt a = x + y (a ≥ 2) √ b = x − y + (b ≥ 0) a=x+y b −2=x−y ⇐⇒ Hệ phương trình cho trở thành ab = 2a − b2 + √ (b2 − 2) b = (a + 1) a − b=2 a + b + = (V N ) √ (b − 2) b = (a + 1) a − b = x= ⇐⇒ a=3 ⇒ y= a=2 ⇐⇒ a (2 − b) + (2 + b) (2 − b) = √ (b2 − 2) b = (a + 1) a − ⇐⇒ b=2 √ (a + 1) a − = 2 Vậy nghiệm hệ phương trình cho (x; y) = Bài 41 ; 2 Giải hệ phương trình sau: √ x − y + x − = y − (1) √ − (y − 1)2 x − = (y − x) (y − 1) (2) √ Lời giải: Điều kiện: x≥y x≥1 Ta biến đổi phương trình trước Nhẩm nhẩm thấy liên hợp xuất nhân tử nên ta làm sau: Trường hợp 1: Với √ √ x − y = x − ⇐⇒ y = thay xuống phương trình (2) không thỏa mãn Trường hợp 2: Với √ √ x − y = x − ⇐⇒ y = ta có: www.DeThiThuDaiHoc.com 27 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam √ √ 1−y √ (1) ⇐⇒ √ = y − ⇐⇒ x − y − x − = −1 x−y− x−1 y≥2 √ √ √ ⇐⇒ x − y + = x − ⇐⇒ y − = x − y ⇐⇒ x= y +4 Thay xuốn phương trình (2) ta được: y2 y2 + = y− (y − 1) 4 (4y − y − 4) (y − 1) y ⇐⇒ − (y − 1) = y=0 ⇐⇒ y + y − 6y = ⇐⇒ y = y = −3 ⇐⇒ y = ⇒ x = − (y − 1)2 Vậy nghiệm hệ phương trình cho là: (x; y) = (2; 2) Bài 42 Giải bất phương trình sau: √ √ √ 2− x 2+ x √ √ +√ √ = 2+ 2+ x 2− 2− x Lời giải: Điều kiện: < x ≤ Đặt: 2+ Ta có: ab = √ x = a, 2− √ x=b a, b ≥ 0; b = √ √ − x, a2 + b2 = Phương trình cho trở thành: √ a2 b2 +√ = 2+a √ 2−b √ √ √ √ ⇐⇒ a2 − a2 b + b2 + ab2 = 2 − b + a − ab √ ⇐⇒ (a2 + b2 + ab − 2) − ab (a − b) = (a − b) √ ⇐⇒ (ab + 2) = (a − b) (ab + 2) √ ⇐⇒ a − b = ⇐⇒ a2 + b2 − 2ab = √ ⇐⇒ ab = ⇐⇒ − x = ⇐⇒ x = √ www.DeThiThuDaiHoc.com 28 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Vậy nghiệm phương trình cho là: x = Bài 43 Giải hệ phương trình sau: √ x − x2 + y − 4y = √ − x2 + − 4y = − x − 2y Lời giải: √ √ − 5≤x≤ √ √ Điều kiện: − ≤y≤ 2 Ta có: HP T ⇐⇒ Đặt: √ x − x2 + y − 4y = √ x + − x2 + 2y + − 4y = √ x + − x2 = a 2y + − 4y = b √ a2 = + 2x − x2 ⇐⇒ b2 = + 4y − 4y √ x − x2 = a − ⇐⇒ y − 4y = b − Khi ta có hệ mới: a − b2 − + =3 a+b=6 ⇐⇒ Với: 3a2 − 12a + = a+b=6 x=2 x=1 a=3 ⇒ y=1 b=3 y= www.DeThiThuDaiHoc.com 2a2 + b2 = 27 a+b=6 a=3 b=3 ⇐⇒ a=1 b=5 ⇐⇒ ⇐⇒ (x; y) = (2; 1) , 2; 29 , (1; 1) , 1; Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Với: a=1 hệ phương trình vô nghiệm b=5 Vậy nghiệm hệ phương trình là: (x; y) = (2; 1) , 2; Bài 44 , (1; 1) , 1; Giải phương trình sau: √ √ 12x − 2x + − 2 − x = √ 9x2 + 16 Lời giải: Điều kiện −2 ≤ x ≤ Biến đổi phương trình đầu thành √ √ 12x − 2x + − 2 − x = √ 9x2 + 16 6x − 12x − √ ⇐⇒ √ =√ 9x2 + 16 2x + + 2 − x x= ⇐⇒ √ √ √ 2x + + 2 − x = 9x2 + 16 Mặt khác: √ √ √ 2x + + 2 − x = 9x2 + 16 ⇐⇒ 9x2 + 8x − 32 = 16 (4 − x2 ) ⇐⇒ 9x2 − 32 = 2 (4 − x2 ) − x ⇐⇒ (9x2 − 32) 2 (4 − x2 ) + x = (32 − 9x2 ) ⇐⇒ (9x2 − 32) 2 (4 − x2 ) + x + = ⇐⇒ 9x2 = 32 2 (4 − x2 ) + x + = (V N ) Thử lại ta có nghiệm phương trình cho là: Bài 45 Giải hệ phương trình sau: (x − 2) y2 www.DeThiThuDaiHoc.com 1+ 1+ √ ±4 ⇐⇒ x = 3√ x= x= 3x = 2x − y y 3x = 2x2 + y − 4x y 30 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Lời giải: + 3x ≥ y Điều kiện: y=0 Trường hợp 1: + 3x = 3x y 1+ =0⇒ 2x − y = y Trường hợp 2: 1+ y = −3x 2x − y = ⇐⇒ ⇐⇒ x = y = (loai) 3x =0 y Chi vế phương trình cho ta x−2 2x − y = 2 y 2x + y − 4x ⇐⇒ 2x3 − 8x2 − xy − 2y + 8x + y = ⇐⇒ (x + y − 2) (2x2 − 2xy + y ) = x = −y + ⇐⇒ y2 y2 x2 − xy + + =0 x = −y + ⇐⇒ y y2 x− + = (V N ) 2 ⇐⇒ x = −y + Thay vào ta có: −y 1+ ⇐⇒ y ⇐⇒ ⇐⇒ (−y + 2) = −3y + y −2y + = 3y − y ≤y≤3 9y − 24y + 16 = −2y + 6y ≤y≤3 4 ⇐⇒ y = ⇒ x = y=2 y= 11 Vậy nghiệm hệ phương trình là: (x; y) = (0; 2) Bài 46 Giải hệ phương trình sau: √ √ √ x + 3y + − y = x + (1) √ √ − x + y − = x2 − 3y + (2) www.DeThiThuDaiHoc.com 31 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Lời giải: x + 3y + ≥ Điều kiện: y≥1 −2 ≤ x ≤ Ta có: √ √ √ √ √ (1) ⇐⇒ x + 3y + = x + + y ⇐⇒ (x + 3y + 2) = x + + 9y + x + y √ √ √ √ ⇐⇒ (x + 2) − x + y + 3y = ⇐⇒ x + − y = ⇐⇒ x + = y Thay xuống phương trình (2) ta √ √ √ − x + x + = x2 − (x + 2) + ⇐⇒ − x + x + = x2 − 3x + √ √ −x x +2 + + = x2 − 3x ⇐⇒ 4−x− x+1− 3 −x x 4−x− +2 x + − + 3 ⇐⇒ +√ = x2 − 3x x √ −x x+1+ +1 4−x+ +2 3 −x2 x −x2 x + + 9 +√ ⇐⇒ = x2 − 3x x √ −x x+1+ +1 4−x+ +2 3 x2 − 3x = −1 −1 x=0 + ⇐⇒ = ⇐⇒ √ x √ −x x=3 x+1+ +1 4−x+ +2 3 √ Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y) = (0; 2) , (3; 5) Bài 47 Giải phương trình sau: √ √ √ (13 − 4x) 2x − + (4x − 3) − 2x = + 16x − 4x2 − 15 Lời giải: Điều kiện: Đặt: ≤x≤ 2 √ a = 2x − √ b = − 2x Mặt khác: a2 + b2 = 2; ab = √ www.DeThiThuDaiHoc.com (a, b ≥ 0) ⇒ 2a2 + = 4x − 2b2 + = 13 − 4x 16x − 4x2 − 15 32 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Do phương trình cho trở thành: (2b2 + 3) a + (2a2 + 3) b = + 8ab ⇐⇒ (2b2 + 3) a + (2a2 + 3) b = a2 + b2 + 8ab ⇐⇒ 2ab (a + b) + (a + b) = (a + b)2 + 6ab ⇐⇒ (a + b − 3) (2ab − a −b) = √ − 15 = a+b=3 16x − 4x (V N ) ⇐⇒ ⇐⇒ √ a + b = 2ab 16x − 4x2 − 15 = ⇐⇒ x = (T M ) Vậy nghiệm phương trình cho là: x = Bài 48 Giải phương trình sau: √ x2 + 5x + = x3 + Lời giải: Điều kiện: x ≥ −1 Biến đổi tương đương phương trình đầu ta có: √ x2 + 5x + = x3 + ⇐⇒ x2 + 5x + = (x + 1) (x2 − x + 1) ⇐⇒ (x2 − x + 1) − (x + 1) (x2 − x + 1) + (x + 1) = √ √ x2 − x + = x + x2 − x + = 36 (x + 1) √ √ ⇐⇒ ⇐⇒ x2 − x + = x + x2 − x + = x + √ 37 ± 1509 x= x2 − 37x − 35 = ⇐⇒ ⇐⇒ x = x − 2x = x=0 37 ± √ x= Vậy nghiệm phương trình cho là: x=2 x=0 Bài 49 1509 Giải hệ phương trình sau: (x + y)(x + 4y + y) + 3y = (x, y ∈ R) x + 2y + − y + y + = Lời giải: www.DeThiThuDaiHoc.com 33 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Điều kiện: x + 2y + ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với: (x + y)2 + 4(x + y)y + 3y = ⇐⇒ (x + y + y )(x + y + 3y ) = TH 1: x = −y − y thay vào phương trình thứ hệ ta y2 − y + − y2 + y + = y − y + = −1 (loai) y − y + = ⇐⇒ ⇐⇒ y − y − = √ ± 13 ⇐⇒ y = Với y = 1− √ √ √ √ + 13 13 x = −4 + 13 với y = x = −4 − 13 2 TH 2: x = −y − 3y thay vào phương trình hệ ta −y − y + − y + y + = ⇐⇒ −y − y + = y − y − y2 − y − ≥ −y − y + = (y − y − 1) ⇐⇒ y2 − y − ≥ y(y + 1)(y − 3y + 3) = ⇐⇒ y = −1 ⇐⇒ Suy x = −2 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (x; y) = Bài 50 −4 + √ 13; 1− √ 13 , √ 1+ −4 − 13; √ 13 , (−2; − 1) Giải bất phương trình sau: x− + x 1− ≥x x Lời giải: www.DeThiThuDaiHoc.com 34 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam x≥1 −1 ≤ x < Điều kiện: TH 1: Nếu −1 ≤ x < thỏa mãn bất phương trình TH 2: Nếu x ≥ bất phương trình cho tương đương với x− + x 1− √ √ √ ≥ x ⇐⇒ x2 − ≥ x x − x − x Nhận thấy vế không âm nên bình phương vế bất phương trình ta có: √ 1+ x= √2 ≤ ⇐⇒ x2 − x − = ⇐⇒ 1− x= (loai) √ x2 − x − √ 1+ Vậy nghiệm bất phương trình là: −1 ≤ x < x = www.DeThiThuDaiHoc.com 35 Nguyễn Văn Quốc Tuấn [...]... giải: Hệ phương trình đã cho tương đương: (x2 + y 2 ) (x + y + 1) = 25 (y + 1) x2 + y 2 + x (y + 1) + (y + 1)2 − 10 (y + 1) = 0 Dễ thấy y = −1 không phải là nghiệm của hệ phương trình Chia cả 2 vế phương trình một và hai cho y + 1 ta được hệ mới: 2 (x + y 2 ) (x + y + 1) = 25 y+1 x2 + y 2 + x + y + 1 = 10 y+1 Đặt a = x2 + y 2 , b = x + y + 1 khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: y+1 ab... trình Mặt khác: Trường hợp 1 Với x > 0 thì ta có: √ 5 x−1+ √ 3 x+8> √ 5 0−1+ √ 3 0 + 8 = 1 trong khi đó −x3 + 1 < 1 do đó phương trình đã cho vô nghiệm Trường hợp 2 Với x < 0 thì ta có vô nghiệm √ 5 x−1+ √ 3 x + 8 < 1 < −x3 + 1 nên phương trình cũng Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 0 Bình loạn: Thông thường khi chúng ta gặp các bài toán mà số mũ của mỗi phần tử không có 1 tý nào liên quan... www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Ta có phương trình đã cho tương đương với: 2 √ x2 + (x + 3) (x + 1) = 2x x+3+ x+1 √ √ ⇐⇒ x2 + (x + 3) (x + 1) = x x + 3 + x + 1 √ √ ⇐⇒ x − x + 3 x − x+ 1 = 0 √ ⇐⇒ √ x= x+3 √ x= x+1 x≥0 x2 − x − 3 = 0 ⇐⇒ √ 13 x= 2√ ⇐⇒ 1+ 5 x= 2 x≥0 x2 − x − 1 = 0 1+ √ 1+ 5 x= 2√ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 1 + 13 x= 2 Ps: Bài toán nay mình đã làm mất... = 1 (T M ) Với √ −1 + 5 (loai) 1 x= 2 √ t = 1 ⇒ − x = 1 ⇐⇒ x2 + x − 1 = 0 ⇐⇒ −1 − 5 x x= 2 −1 − Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2 Bài 24 √ −1 − ⇐⇒ x = 2 √ 5 5 Giải bất phương trình sau: √ 7 − 2x 4 x x+ √ >4 x+ −2 x x Lời giải: Điều kiện x > 0 Bất phương trình đã cho tương đương với √ √ x2 − 2x + 7 > 4 x2 − 2x + 4 ⇐⇒ x2 − 2x + 4 − 4 x2 − 2x + 4 + 3 > 0 √ √ √ x2 − 2x + 4 < 1 2 2 √ ⇐⇒ x... có: 3 x = −1 2 x= 3 √ 1 − 3x 5 1 ± 21 2 2 = 2 − 3x ⇐⇒ 3x − x − = 0 ⇐⇒ x = 3 3 6 x = −1 2 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 3 √ 1 ± 21 x= 6 Bài 26 Giải bất phương trình sau: √ 3x2 − 12x + 5 ≤ √ x3 − 1 + √ x2 − 2x Lời giải: Điều kiện: x ≥ 2 Bất phương trình đã cho tương đương với: 3x2 − 12x + 5 ≤ x3 − 1 + x2 − 2x + 2 (x − 1) (x2 + x + 1) x (x − 2) ⇐⇒ x3 − 2x2 + 10x − 6 + 2 (x − 1) (x... (x − 3) −x2 + 2x + 3 < 2 − (x − 1)2 √ ⇐⇒ (x2 − 2x − 3) −x2 + 2x + 3 < −x2 + 2x + 1 Đặt: √ −x2 + 2x + 3 = t (t ≥ 0) Khi đó bất phương trình đã cho trở thành: t3 < t2 − 2 ⇐⇒ t3 − t2 + 2 < 0 ⇐⇒ (t + 1) (t2 − 2t + 2) < 0 ⇐⇒ t < −1 (KT M ) Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm Bài 18 Giải phương trình sau: 3 (3x + 1)2 + 3 (3x − 1)2 + √ 3 9x2 − 1 = 1 Lời giải: Đặt: √ 3 3x + 1 = a √ ⇒ a3 − b 3 = 2 3 3x −... 2 (b ≥ 0) a=x+y b −2=x−y ⇐⇒ 2 Hệ phương trình đã cho trở thành ab = 2a − b2 + 4 √ (b2 − 2) b = (a + 1) a − 2 b=2 a + b + 2 = 0 (V N ) √ 2 (b − 2) b = (a + 1) a − 2 b = 2 x= ⇐⇒ a=3 ⇒ y= a=2 ⇐⇒ a (2 − b) + (2 + b) (2 − b) = 0 √ (b2 − 2) b = (a + 1) a − 2 ⇐⇒ b=2 √ (a + 1) a − 2 = 4 5 2 1 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (x; y) = Bài 41 5 1 ; 2 2 Giải hệ phương... 6y = 0 ⇐⇒ y = 2 y = −3 ⇐⇒ y = 2 ⇒ x = 2 1 − (y − 1)2 Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: (x; y) = (2; 2) Bài 42 Giải bất phương trình sau: √ √ √ 2− x 2+ x √ √ +√ √ = 2 2+ 2+ x 2− 2− x Lời giải: Điều kiện: 0 < x ≤ 4 Đặt: 2+ Ta có: ab = √ x = a, 2− √ x=b a, b ≥ 0; b = √ 2 √ 4 − x, a2 + b2 = 4 Phương trình đã cho trở thành: √ a2 b2 +√ = 2 2+a √ 2−b √ √ √ √ ⇐⇒ a2 2 − a2 b + b2 2 + ab2 = 2 2 − b 2... www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Do đó phương trình đã cho trở thành: (2b2 + 3) a + (2a2 + 3) b = 2 + 8ab ⇐⇒ (2b2 + 3) a + (2a2 + 3) b = a2 + b2 + 8ab ⇐⇒ 2ab (a + b) + 3 (a + b) = (a + b)2 + 6ab ⇐⇒ (a + b − 3) (2ab − a −b) = 0 √ 7 2 − 15 = a+b=3 16x − 4x (V N ) ⇐⇒ ⇐⇒ 2 √ a + b = 2ab 16x − 4x2 − 15 = 1 ⇐⇒ x = 2 (T M ) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 2 Bài 48 Giải phương trình sau: √ x2 + 5x... − 3 x + 4 4 (x2 − 4x − 5) − 2 x + 4 = 0 √ x=8 2 4 (x2 − 4x − 5) = 3 x + 4 4x − 25x − 56 = 0 √ √ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ 5 + 61 2 2 4 (x − 4x − 5) = 2 x + 4 4x − 20x − 36 = 0 x= 2 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: Bài 32 x=8 √ 5 + 61 x= 2 Giải hệ phương trình sau: √ x− y+2= 3 2 √ 7 y + 2 (x − 2) x + 2 = − 4 Lời giải: Điều kiện: x ≥ −2; y ≥ −2 u2 − v = 7 (1) √ √ 2 Đặt: u = x + 2; v = y +