Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY (phần 8) Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: Giải bất phương trình x3 − + 3x − ≥ x3 + x − ( x ∈ ℝ) Ví dụ 2: Giải bất phương trình x + 13x − 173 + x − ≥ x − x − Ví dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm ( x ∈ ℝ) D ( 2;0 ) Điểm I điểm thuộc 1 + = , biết điểm C thuộc 2 DI DK 10 đường thẳng d : x − y − = có tung độ dương Tìm toạ độ đỉnh A, B, C cạnh AB , đường thẳng DI cắt đường thẳng BC K thoả mãn Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( C ) , phân giác 15 phân giác góc A cắt đường tròn ( C ) điểm thứ M ; − ; N − ; − Tìm 2 2 toạ độ đỉnh tam giác ABC biết đường thẳng AB BC qua điểm E ( 4;3) ; F ( 0;11) x + 3x + + x − ≥ 3x − Ví dụ [Tham khảo]: Giải bất phương trình ( x ∈ ℝ) Lời giải: x + 3x + ≥ ĐK: x ≥ ⇔ x ≥ (*) Khi (1) ⇔ x + x + + x − x + 3x + ≥ 3x − 3 x ≥ ⇔ x − x − 10 − ( x − 1)( x + 1)( x + ) ≤ ⇔ x − x − − ⇔ ( x − 1) − ( x + ) − (x − 1) ( x + ) ≤ ⇔ ( (x x2 −1 + x + 2 )( − 1) ( x + ) ≤ ) x2 −1 − x + ≤ (2) Với (*) ⇒ x − + x + > ( ) ⇔ x − − x + ≤ ⇔ x − ≤ x + ⇔ x − ≤ ( x + ) ⇔ x − x − ≤ ⇔ − 13 ≤ x ≤ + 13 Kết hợp với (*) ta Đ/s: ≤ x ≤ + 13 ≤ x ≤ + 13 Ví dụ [Tham khảo]: Giải bất phương trình x − x + + x + ≥ x + 10 ( x ∈ ℝ) Lời giải: ĐK: x ≥ − (*) Khi (1) ⇔ x + + 2 x + x − x + ≥ x + 10 ⇔ x + − 2 x + x − x + ≤ ⇔ ( x − x + ) + ( x + 3) − 2 x + x − x + ≤ ⇔ ( x2 − x + − x + ) ≤ ⇔ x2 − 2x + − 2x + = 2 x + ≥ 2 x + ≥ ⇔ x2 − x + = x + ⇔ ⇔ ⇔ x = ± x − x + = x + x = ± Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Kết hợp với (*) ta x = ± thỏa mãn Đ/s: x = ± Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có B ( 2;5 ) , N điểm thuộc cạnh CD cho DN = NC , gọi K trọng tâm tam giác ABD, biết phương trình đường thẳng NK là: x + y − = điểm N có hoành độ dương Tìm toạ độ đỉnh hình vuông ABCD Lời giải: Chứng minh tam giác NKB vuông cân K ( với K trọng tâm tam giác ABD) Khi phương trình đường thẳng KB là: x − y − = Do K = KB ∩ KN ⇒ K (1; ) Gọi N ( − 3t ; t ) ta có: KD = KN ⇔ ( − 3t ) + ( t − ) = 10 2 t = ( loai ) ⇔ (t − 2) = ⇔ t = ⇒ N ( 4;1) KN KC 1 1 Khi M ; , E giao điểm KN AB ta có: = =2 KE KA 2 2 5 Do NK = KE ⇒ E − ; ⇒ AB : x − y + = 0; AD : x + y − = 2 Tìm A ( −1; ) ; D ( 2; −1) ; C ( 5; ) Ví dụ [Tham khảo]: Giải bất phương trình x − x + + x − ≤ x + 19 x − 143 ( x ∈ ℝ) Lời giải x − 8x + ≥ Điều kiện x − ≥ ⇔ x≥7 2 x + 19 x − 143 ≥ Bất phương trình cho tương đương với x − x + + 16 x − 48 + ⇔8 ( x − 1)( x − 3) ( x − 1)( x − )( x − 3) ≤ x + 19 x − 143 x − ≤ x + 11x − 102 ⇔ x − x + x − ≤ x − x + + 15 ( x − ) Đặt ( ∗) x − x + = u; x − = v ( u > 0; v ≥ ) , (*) trở thành 8uv ≤ u + 15v ⇔ ( u − 3v )( u − 5v ) ≥ ⇔ ⇔ ( x − 13 x + 66 )( x − 29 x + 178 ) ≥ u − 3v u − 25v ≥0 u + 3v u + 5v (1) Do x − 13 x + 66 > 0, ∀x ∈ ℝ; x − 29 x + 178 > 0, ∀x ∈ ℝ nên (1) nghiệm với x thuộc tập xác định Vậy bất phương trình cho có nghiệm S = [ 7; +∞ ) Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A ( −2; −1) , trực tâm H ( 2;1) BC = Gọi D, E chân đường cao hạ từ đỉnh B, C Biết trung điểm M BC nằm đường thẳng d : x − y − = DE qua điểm N ( 3; −4 ) Viết phương trình BC Lời giải: Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Gọi (C) đường tròn tâm M đường kính BC Gọi M ( 2t + 1; t ) ta có: ( C ) : ( x − 2t − 1) + ( y − t ) = (1) Gọi (T) đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE đường tròn (T) đường kính AH: (T ) : x + y = ( ) Do điểm D E thoả mãn phương trình (1) (2) ( x − 2t − 1) + ( y − t ) = Ta xét hệ 2 x + y = 2 ⇒ ( 2t + 1) x + yt − − t = phương trình đường thẳng DE t = ⇒ M (11;5 ) Do DE qua điểm N nên ta có: ( 2t + 1) − 8t = + t ⇔ t = −1 ⇒ M ( −1; −1) 2 x + y + = Khi phương trình đường thẳng BC qua M vuông góc với AH có dạng x + y − 27 = Đ/s: x + y + = 0; x + y − 27 = Ví dụ 10 [Tham khảo]: Giải bất phương trình x + + 3x + x − ≥ 18 x + 18 x − ( x ∈ ℝ) Lời giải x ≥ −1 Điều kiện 3 x + x − ≥ ⇔ x ≥ 18 x + 18 x − ≥ Bất phương trình cho tương đương với x + + 3x + x − + ⇔4 Đặt ( x + 1)( 3x − 1) ( x + 1)( 3x − 1)( x + ) ≥ 18 x + 18 x − x + ≥ 15 x + x − ⇔ x + x − x + ≥ ( x + x − 1) − ( x + ) (∗) 3x + x − = u; x + = v ( u ≥ 0; v > ) (*) trở thành 4uv ≥ 5u − v ⇔ ( u − v )( 5u + v ) ≤ ⇔ u ≤ v ⇔ x + x − ≤ x + ⇔ 3x + x − ≤ ⇔ − Kết hợp điều kiện ta thu nghiệm + 37 37 − ≤x≤ 6 37 − ≤x≤ Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Ví dụ 11 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có ( C ) đường tròn tâm 32 11 A bán kính AB, điểm K thuộc ( C ) , gọi E (1; ) , F ; chân đường cao hạ từ D xuống 5 AK từ K xuống CD Viết phương trình cạnh AB biết D thuộc đường thẳng d : x − y = Lời giải: Ta có: KDA = AKD ( tam giác ADK cân K) Lại có ADK = AKF (so le trong) Từ chứng minh ∆DEK = ∆DFK , từ suy E F đối xứng qua DK Phương trình đường thẳng DK: x − y − = Khi D ( 4;4 ) phương trình đường thẳng AK qua E vuông góc với DE AK : x = Phương trình đường thẳng AD qua D vuông góc với DF là: x − y − = Suy A = AB ∩ AK ⇒ A (1;0 ) Phương trình đường thẳng AB là: x + y − = Vậy AB : x + y − = đường thẳng cần tìm Đáp số: D ( 4; ) ; C ( 8;1) ; A (1;0 ) ; B ( 5; −3) ; K (1; −5 ) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015!