Đáp án đề thi thử THPT quốc gia môn toán

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2014 TRƯỜNG THPT CHÍ LINH Môn Thi : TOÁN Lần thứ Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề gồm 01 trang Câu I ( 4,0 điểm) Cho hàm số y = 1) Với m = x3 − x − 6mx + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ 2) Tìm số thực m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu [-1;1] Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình sau s inx-cos3 x + cos x cos x sin x = π  π  1) 2) tan  − x ÷tan  + x ÷ 4     Câu III (2,0 điểm) Giải bất phương trình sau 1) log (2 x +1 − 8) + log (24 − x + ) ≤ Câu IV (2,0 điểm) Tính tích phân π 1) ∫ ( x − 2) cos xdx 0 2) ∫x −1 x dx + x2 + 3 2   x − y + 3( x + y ) + 4( x − y ) + = Câu V (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  2   x + y − 2( x + y ) = 18 ( x, y ∈ ¡ ) Câu VI (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ·ABC = 600 , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy góc 600 1) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD 2) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB, SD 3) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD theo a Câu VII (2,0 điểm) Trong hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(4;2), B(-3;1), C điểm có hoành độ dương nằm đường thẳng (d):x+y=0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết diện tích tam giác ABC 25 Câu VIII (1,0 điểm) Một đội xây dựng gồm kĩ sư, công nhân lập tổ công tác gồm người Hỏi có cách lập tổ công tác gồm kĩ sư làm tổ trưởng, công nhân làm tổ phó công nhân tổ viên Câu IX (1,0 điểm) Giữa hai nông trường chăn nuôi bò sữa có đường quốc lộ Người ta xây dựng nhà máy sản xuất sữa bên cạnh đường quốc lộ đường nối hai nông trường tới nhà máy Hỏi phải xây dựng đường địa điểm xây dựng nhà máy chi phí vận chuyển nguyên liệu nhỏ a + b ≥ Câu X (1,0 điểm) Cho số thực a, b thoả mãn  a ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2a + 2b − a − b ………….…………………………………Hết……………………………………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:……………………………………; Số báo danh:………………… Chữ kí giám thị 1:…………………….………… Chữ kí giám thị 2:………………………………… Híng dÉn chÊm Câu Nội dung Điểm I:(4,0 đ) 1.a)2,0đ a)khi m = 0,25 x3 ⇒ y = − x − 3x + 2 Tập xác định: D = ¡ Sự biến thiên hàm số * Giới hạn vô cực hàm số x3 1 3 lim y = lim ( − x − x + ) = lim x ( − − + ) = +∞;lim y = −∞ x →+∞ x →+∞ 2 4x x 2x x →+∞ x →−∞ 0,25  x = − ⇒ y ( − 1) =  3 y ' = x − x − 3; y ' = ⇔  2  x = ⇒ y (2) = −  * Lập bảng biến thiên bảng biến thiên x 0,5 -∞ + y' +∞ -1 - + +∞ y -∞ Hàm số đồng biến khoảng (- ∞; −1 ) (2;+ ∞ ); 0.25 Hàm số nghịch biến khoảng (-1;2); Hàm số đạt cực tiểu x=2 =>yct= , Hàm số đạt cực đại x=0=>ycđ= Đồ thị 0,25 0,5 Đồ thị hàm số cắt trục Oy (0; 1/2) f(x) = ( - ) -3⋅x + y ĐTHS qua (-1; 9/4), (-5/2;-9/2) -10 O -5 2 -1 - I -2 -4 - 1.b)1,0đ Tập xác đinh : D = ¡ y= 0,5 x3 − x − 3x + 3x 11 y'= − x − 3; y '(1) = −3; y (1) = − 2 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ y = y '(1)( x − 1) + y (1) =-3(x-1)2.(1,0 đ) 0,25 0,25 11 =-3x + 4 Tập xác đinh : D = ¡ ; y ' = 0,25 3x − x − 6m 2 Do y’ tam thức bậc hai nên hàm số có cực đại, cực tiểu [-1;1] ⇔ 3x − x − 6m = có hai nghiệm phân biệt 2 ⇔ x2 x − =m 4 có hai nghiệm phân biệt thị hàm số f ( x) = 0,25 , ⇔ đường thẳng y=m cắt đồ , x2 x − điểm phân biệt có hoành độ 4 , x 0,5 Lập bảng biến thiên ta II.(2,0đ) 1.(1,0đ) Giải phương trình sin x = s inx-cos3 x + cos x cos x π  π  tan  − x ÷tan  + x ÷ (1) 4  4  0,25 Điều kiện: π π  − x ≠ kπ x ≠ − kπ    π π    4    tan  − x ÷tan  + x ÷ ≠ π π π π        ⇔  + x ≠ kπ ⇔  x ≠ − + kπ ⇔ x ≠ + k ( k ∈ ¢ )  4 cos  π − x  cos  π + x  ≠ 4   ÷  ÷ π π π  1   4   4  (cos x + cos ) ≠ x ≠ + k   π  π  sin  − x ÷sin  + x ÷ π  π  4  4  = tan  − x ÷tan  + x ÷ = 4  4  cos  π − x  cos  π + x   ÷  ÷ 4  4  π (cos2 x − cos ) 2 =1 π (cos2 x + cos ) 2 0,25 (1) ⇔ sin x = s inx-cos3 x + cos x cos x ⇔ sin x = s inx-cos3 x + cos x + cos3 x π  ⇔ sin x = s in  x + ÷ 4  0,25 π π   x = + k 2π x = x + + k 2π   π  4 ⇔ sin x = s in  x + ÷ ⇔  ⇔ 4   x = π + k 2π  x = π − ( x + π ) + k 2π   4 Kết hợp với điều kiện phương trình cho có nghiệm 11π 5π x= + k 2π , x = − + k 2π (k ∈ ¢ ) 12 12 (2) 2.(1,0đ) 0,25 0,25 Đặt Thay vào (2) ta có 0,25 (thỏa mãn) 0,25 Với 0,25 Với II.(2,0đ) 1.(1,0đ) x +1 x+2 Giải bất phương trình sau 1) log (2 − 8) + log (24 − ) ≤ (1) 0,25 Điều kiện : (1) 0,25 0,25 0,25 2.(1,0đ) 0,25 Điều kiên : 0,25 (3) 0,25 Do Kết hợp với điều kiện tập nghiệm bất phương 0,25 trình T=[1; IV.(2,0đ) 1.(1,0đ) U = x − dU = dx ⇒  dV = cosxdx V = s inx 0,25 Đặt  π π 0,25 π ⇒ ∫ ( x − 2) cos xdx = ( x − 2)sin x − ∫ sin xdx 0 π π = ( − 2) + cosx 02 = 0,25 π −3 0,25 2.(1,0đ) 0,25 Đặt ; 0,25 = Nếu x=-1 t= Nếu x=0 t= 0,25 0,25 V.(1,0đ) Giải hệ phương trình 0,25 (1) ⇔ x + x + x + = y − y + y ⇔ ( x + 1)3 + x + = ( y − 1)3 + y − (3) Xét ¡ mà (3) có 0,25 0,5 Thay y=x+2 vào (2) ta có Vậy hệ có nghiệm (x;y) (-3;-1), (3;5) VI.(4,0đ) S M O D A H 600 B 1.(1,0đ) SA ⊥ (ABCD) 600 a =>AC C hình chiếu SC (ABCD) nên 0,25 · , ( ABCD )) = ( SC · , AC ) = SCA · ( SC = 600 tam giác ABC có AB=BC=a, ·ABC = 600 , nên tam giác ABC => AC=a 0,25 tam giác SAC vuông A nên SA = AC.tan 600 = a Diện tích ABCD S ABCD = 2S ∆ABC = AB.BC sin 600 = Thể tích S.ABCD VS ABCD = SA.S ABCD = 2.(1,5đ) a2 0,25 a3 Kẻ AH ⊥ CD(H , đường cao AH= Trong tam giác vuông SAH có SH = SA2 + HA2 = VS ACD 0,25 a 15 d ( A, ( SCD)).S ∆SCD 1 a2 3a a 15 = = SA.S∆ACD = a ⇒ d ( A, ( SCD )) = = 3 4S∆SAD 0,25 a 15 Do SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD, CD ⊥ AH ⇒ CD ⊥ SH Diện tích tam giác SAD S∆SCD = SH CD = 0,25 0,5 Do AB//(SCD) nên d(B,(SCD))=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))= 3.(1,5đ) a 15 Do CA=CB=CD=a nên C tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD 0,25 Kẻ Cx//SA, (SAC) kẻ trung trực My SA cắt Cx O O tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABD 0,25 Thật Cx//SA ⇒ Cx ⊥ (ABD) ⇒ OC ⊥ (ABD) mà CA=CB=CD nên OA=OB=OD mặt khác O nằm trung trực SA nên OA=OS ⇒ OA=OB=OD=OS ⇒ O tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABD bán kính r=OA 0,5 a a ) = 2 r uuur AB =(-7;-1) véc tơ phương AB nên véc tơ pháp tuyến n = (1; −7) ⇒ phương trình AB: 1( x − ) − ( y − ) = ⇔ x − y + 10 = 0,5 dẽ thấy MACO hình chữ nhật nên r = AC + AM = a + ( VII.(2,0đ) 0,5 0,5 C C ∈ (d ) ⇒ C (c; −c ) (c > 0) I ⇒ d (C , AB ) = A | c + 7c + 10 | +7 2 = | 8c + 10 | ; AB = 50 50 B diện tích tam giác ABC 25 nên ta có S ∆ABC 0,5 c = | 8c + 10 | = d (C , AB ) AB = 50 = 25 ⇔  ⇒ C (5; −5) c = − 15 < 2 50  Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là: (C ) : x + y − 2ax − 2by + c = ( a + b − c > 0) Do A, B, C nằm (C) nên ta có hệ  42 + 22 − 8a − 4b + c = −8a − 4b + c = −20   2 (−3) + + 6a − 2b + c = ⇔ 6a − 2b + c = −10 52 + (−5) − 10a + 10b + c = −10a + 10b + c = −50   0,5 0,5 a =  ⇔ b = −2 ⇒ Phương trình đường tròn (C): x + y − x + y − 20 = c = −20  VIII.(1,0đ) Chọn kĩ sư làm tổ trưởng kĩ sư ⇒ số cách chọn Được tổ trưởng 0,25 Chọn công nhân làm tổ phó công nhân ⇒ số cách chọn Được tổ trưởng, tổ phó 0,25 Chọn công nhân làm tổ viên công nhân ⇒ số cách chọn số tổ hợp chập 0,25 C63 IX.(1,0đ) X.(1,0đ) ⇒ số cách lập tổ công tác thỏa mãn đề 3.7.C63 = 420 0,25 Giả sử A, B hai địa điểm tập trung nguyên liệu hai nông trường chăn nuôi bò sữa, đường quốc lộ đường thẳng d, M vị trí xây dựng nhà máy đường quốc lộ Xây dựng đường địa điểm xây dựng nhà máy chi phí vận chuyển nguyên liệu nhỏ ta phải tìm điểm M đường MA, MB cho MA+MB ngắn Do A, B nằm hai phía với d nên dấu đẳng thức xảy M, A, B thẳng hàng 0,5 Vậy phải xây dựng đường nối hai địa điểm tập trung nguyên liệu A, B hai nông trường địa điểm xây dựng nhà máy sản xuất sữa M bên đường quốc lộ cho A, M, B thẳng hàng 0,25 Xét f ( x) = x − x − (2m ln − 1)( x − m) , m > 0,5 0,25 f '( x ) = x ln − − (2m ln − 1); f '( x ) = ⇔ x = m Lập bảng biến thiên ta f ( x ) ≥ 2m − m∀x ⇔ x − x − (2 m ln − 1)( x − m) ≥ m − m ∀x, m > 0(*) Dấu đẳng thức xảy x=m Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 2a − a − (23 ln − 1)(a − 3) ≥ 22 − ∀a (1) 0,25 2b − b − (22 ln − 1)(b − 2) ≥ 2 − ∀b (2) Cộng vế (1)(2) ta P ≥ 23 − + 22 − + (23 ln − 1)( a − 3) + (4 ln − 1)(b − 2) ∀a, b ⇔ P ≥ + (4 ln − 1)( a + b − 5) + 4( a − 3) ln ≥ Khi a=3,b=2 P=7 nên giá trị nhỏ P 0,25