I.Các hệ phương trình A Hệ phương trình đối xứng : f ( x, y ) = Dạng mà vai trò x, y g ( x, y ) = f ( x, y ) = f ( y , x ) Tức g ( x, y ) = g ( y , x) Cách giải: • Thông thường người ta đặt ẩn phụ: S = x + y hay S = x − y P = xy f ( S , P ) = sau tìm S , P tìm nghiệm ( x, y ) ⇒ g ( S , P ) = Ví dụ: Giải hệ x y + xy = xy + x + y = Như nói trên, ta đặt S = x + y; P = xy hệ cho trở thành SP = S = S=3 ⇒ hay S + P = P = P=2 Từ ta dễ dàng tìm nghiệm ( x, y ) sau: ( x, y ) = (1, 2);(2,1) • Nhưng để phương pháp áp dụng hữu hiệu ta nên biến đổi chút ẩn số để sau đặt ẩn phụ, ta phương trình nhẹ nhàng xy + x + y = Ví dụ 1: 3 ( x + 1) + ( y + 1) = 35 Đặt S = ( x + 1) + ( y + 1) ; P = ( x + 1)( y + 1) ta có hệ phương trình sau S = x = x=2 P = ⇒ ⇒ hay P = y = y=3 S ( S − 3P ) = 35 x + y + x2 + y2 = Ví dụ 2: xy ( x + 1)( y + 1) = 12 S = x + y Ở theo thông lệ thử đặt , ta thu hệ sau: P = xy S2 + S − P = P ( P + S + 1) = 12 Rõ ràng chuyện không đơn giản chút Tuy nhiên có lẽ bạn nhận tinh tế tóan, bậc phương trình Phương trình bậc có lẽ chứa P Thể không dạng tích thuận tiện nào,trong phương trình thứ hai lại dạng tích bậc 4,gấp đôi bậc Nếu bạn nhìn biểu thức S P,bậc P gấp đôi bậc S,như phải phương trình thư S,thứ hai P Nếu giá trị x y P Quan sát phương trình thứ hai bạn dễ dàng nhận tinh tế này, x ( x + 1) y ( y + 1) Từ ý tưởng ta đặt: a = x ( x + 1) b = y ( y + 1) Hệ cho tương đương với: a = a + b = a=2 ⇒ hay ab = 12 b=6 b = Như ( x, y ) nghiệm phương trình sau: i) t + t = ⇒ t1 = ∨ t2 = −2 ii )t + t = ⇒ t3 = ∨ t3 = −3 Tóm lại nghiệm hệ cho là: ( x, y ) = (1, −2);(−2,1);(2, −3); (−3, 2) B Phương trình đối xứng lọai 2: f ( x, y ) = f ( y , x ) = Đối với dạng hệ phương trình này, ta đưa dạng hệ tương đương sau: f ( x, y ) − f ( y , x ) = f ( x, y ) + f ( y , x ) = Hệ phương trình mà bạn thu hệ đối xứng hay nửa đối xứng mà ta h ( x, y ) = f ( x, y ) − f ( y , x ) xét phần Thật đặt Ta đưa hệ g ( x, y ) = f ( x , y ) + f ( y , x ) dạng: h ( x, y ) = h ( x, y ) = − h ( y , x ) Ở g ( x, y ) = g ( x, y ) = g ( y , x) Có thể bạn thấy h( x, y ) không đối xứng hòan tòan (nửa đối xứng) Tuy nhiên chấp nhận lẽ hệ ta dạng h( x, y ) = (Nếu bạn thấy ray rứt điều bạn viết dạng h ( x, y ) = ,chẳng phải h ( x, y ) đối xứng Chú ý thêm tác giả muốn bạn nắm bắt mối quan hệ đối xứng nửa đối xứng cách rõ ràng hơn, lúc giải tập bạn bình phương lên J) C Phương trình đẳng cấp f (tx, ty ) = t k f ( x, y ) f ( x, y ) = a(1) mà : k g ( x, y ) = b(2) g (tx, ty ) = t g ( x, y ) Ở điều kiện thứ hai bạn hiểu cách đơn giản đơn thức hàm f g đồng bậc (bậc đơn thức hai biến x,y tổng bậc x y) Nhận xét giúp cho bạn nhận biết phương trình đẳng cấp cách dễ dàng Cách giải tổng quát đưa phương trình: bf ( x, y ) − ag ( x, y ) = ,ở dó a, b không đồng thời Nếu a,b đồng thời Ta giải riêng phương trình f ( x, y ) = 0; g ( x, y ) = so sánh nghiệm Cách giải tương tự phương trình bf ( x, y ) − ag ( x, y ) = nên bạn tham khảo bên Ta xét trường hợp i ) x = nghiệm hệ phương trình Điều bạn cần x = giải phương trình biến theo y Trường hợp ta thu nghiệm ( x, y ) = (0, y1 ) ii ) Trường hợp ta tìm nghiệm khác (0, y1 ) Chia hai vế cho x k x k bậc f Đặt t = Ta đưa phương trình theo ẩn t Giải phương trình y x ta tìm tỉ số Sau thay x thành ty (1) Giải phương trình theo ẩn y y, ta rút nghiệm toán (ty0 , yo ) Ví dụ: 3 x − xy + y = 2 x + xy − y = −8 Giải: Hệ cho tương đương với: 24 x − 16 xy + 16 y = 56 2 7 x + 42 xy − 21y = −56 24 x − 16 xy + 16 y = 56 ⇔ 2 31x + 26 xy − y = 0(*) Ta giải (*) 31x + 26 xy − y = ⇔ (31x − y )( x + y ) = 0(**) 31x − y = 0(1) ⇔ x + y = 0(2) Từ ta dễ dàng giải cách vào hệ phương trình ban đầu II.Các phương pháp giải hệ không mẫu mực: A.Dùng bất đẳng thức : Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp ta thấy số phương trình hệ số ẩn Ví dụ1 Giải hệ phương trình nghiệm dương : x + y + z = (1 + x )(1 + y )(1 + z ) = + xyz Giải: ( ) ( VT = + x + y + z + ( xy + yz + zx) + xyz ≥ + 3 xyz + 3 ( xyz ) + xyz = + xyz Suy dấu xảy x = y = z =1 ) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình : x + + x + + x + = y − + y − + y − 2 x + y + x + y = 80 Giải: Đk: x ≥ −1; y ≥ Giả sử x > y − ⇒ VT > VP x < y − ⇒ VT < VP Suy x = y − Đến bạn đọc tự giải Ví dụ 3: Giải hệ : 4y 2z 3x x +1 + y +1 + z +1 = 89.x y z = Giải: -Bài tóan có số ẩn nhiều số phương trình ta dụng bất đẳng thức -Nhận xét : bậc x,y,z khác nên ta sử dụng Cauchy cho xuất bậc giống hệ 2x 4y 2z = + + Ta có: x + x + y + z + Áp dụng Cauchy số: = x +1 x x y y y y z z x2 y z + + + + + + + ≥ 88 x +1 x +1 y +1 y +1 y +1 y +1 z +1 z +1 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) Hòan tòan tương tự : x3 y z ≥ 88 3 y +1 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) x y z1 ≥ 88 z +1 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) Từ bất đẳng thức thu ta có: 1 (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) ≥ 89 x 24 y 32 z16 (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) 24 32 16 ⇒ 89 x y z ≤ dấu xảy ⇔ x y z 1 = = = ⇔x= y=z= x +1 y +1 z +1 697 x + y = Ví dụ 4: giải hệ: 81 x + y + xy − x − y + = Giải: -Ví dụ muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị x,y nhờ điều kiện có nghiệm tam thức bậc hai -Xét phương trình bậc hai theo x: x + x ( y − 3) + y − y + = = ( y − 3) − ( y − ) ≤ ⇔ ( y − 1)( y − ) ≤ ⇔ ≤ y ≤ 2 Tương tự xét phương trình bậc hai theo y ta có ≤ x ≤ 697 4 7 Suy ra: x + y ≤ + = 81 3 3 ⇒ x = y = Tuy nhiên vào hệ nghiệm không thỏa 3 Vì hệ phương trình vô nghiệm Ví dụ 5: Giải hệ: x5 − x + x y = y − y + 2y z = z5 − z + 2z x = Ý tưởng tóan ta phải đóan nghiệm hệ x = y = z = ,sau chứng minh x > hay x < vô nghiệm Nếu x > ⇒ = z − z + z x > z − z + z ⇒ > ( z − 1) ( z + z + ) Do z + z + dương nên > z Tương tự ⇒ y > ⇒ x < ⇒ Vô lí Tương tự x < ⇒ vô lí.Vậy x = ⇒ y = ⇒ z = Bài tập luyện tập Giải hệ: x = ( y − 1)( z + ) 2) y = ( z − 1)( x + ) z = ( x − 1)( y + ) 1) x + y + z = 2 xy − z = x2 1 + x = y y2 4) =z y +1 2z2 =x z +1 y 21 x + y = 1988 z 3) 21 + z = 1988 y x 21 + x = 1988 z x2 + y2 + z2 = 5) x y z y + z + x =9 B.Đặt ẩn phụ: Đôi tóan phức tạp ta giải hệ với ẩn (x,y,z,…) sau phép đặt a = f ( x), b = f ( y ), c = f ( z ), Ví dụ 1:Giải hệ 12 xy x+ y = 18 yz = y+z xz 36 = x + z 13 1 Hướng dẫn: Đặt a = , b = , c = x y z Ví dụ 2: Giải hệ: x ( y + z ) = (3 x + x + 1) y z 2 2 y ( x + z ) = (4 y + y + 1) x z z ( x + y ) = (5 z + z + 1) x y Nếu x = dễ dàng suy được: y = z = Như ( x, y , z ) = (0, 0, 0) nghiệm hệ Ta tìm nghiệm khác ( 0,0,0 ) Chia hai vế cho x y z ta thu hệ tương đương: y + z 2 1 = 3+ + x x yz 1 x + z = 4+ + y y xz x + y = + + xy z z2 1 Ta lại đặt a = ; b = ; c = ta nhận được: x y z (a + b)2 = c + c + 5(1) 2 (b + c ) = a + a + 3(2) (a + c )2 = b + b + 4(3) (2) − (3) ⇒ (a − b) ( 2(a + b + c ) + 1) = Lấy (1) − (2) ⇒ (b − c)(2(a + b + c) + 1) = Từ suy a − b = b − c ⇒ a + c = 2b Thay vào (2) ta 3b − b + = Từ bạn dễ dàng giải tiếp toán Ví dụ 3: Giải hệ x (6 + 21 y ) = x( y − 6) = 21 Nếu giải hệ với ẩn ( x, y ) ta thật khó để thấy đwocj hướng giải Nhưng chuyện rõ ràng ta đặt x = z z = 21 y + y = 21z + Đây hệ đối xứng mà ta dễ dàng tìm đước hướng giải J Sau tập áp dụng dành cho bạn đọc: Bài tập luyện tập Bài 1: Giải hệ: