Các định lý tổng quát của động lực học

-148- Chơng 12 Các định lý tổng quát động lực học Các định lý tổng quát động lực học hệ định luật Niu-Tơn Nó thiết lập mối quan hệ đại lợng chuyển động chất điểm hay hệ với đại lợng đo tác dụng lực.lên chất điểm hay hệ Các định lý tổng quát động lực học cho phép ta nghiên cứu tính chất quan trọng chuyển động mà không cần biết chi tiết chuyển động Vì cho phép ta giải thuận lợi số toán động lực học đặc biệt toán động lực học hệ mà áp dụng phơng trình vi phân để giải gặp nhiều khó khăn 12.1 Các đặc trng hình học khối hệ vật rắn Khi khảo sát động lực học hệ ngời ta phải để ý đến khối lợng chúng phân bố khối lợng không gian Các đặc trng liên quan đến phân bố khối lợng hệ hay vật rắn khối tâm mô men quán tính 12.1.1 Khối tâm hệ Xét hệ N chất điểm M1, M2, Mn có khối lợng m1, m2, m.N Véc tơ định r r r vị chúng là: r 1, r 2, r N.( Hình 12.1) Ta có định nghĩa sau: Khối tâm hệ điểm C xác định r r2 z biểu thức: M1 r m k rk N r rC = k =1 M r r1 ; N mk k =1 Chiếu biểu thức (12-1) lên trục C Mn r rC r rn O (12-1) Với M = M2 y x Hình 12.1 -149toạ độ oxyz (hình 10-1) ta đợc: N mk xk xc = k =1 M N mk yk yC = k =1 M (12-2) N mkzk zC = k =1 M Trong xC, yC, zC toạ độ khối tâm C; xk, yk, zk toạ độ chất điểm thứ k hệ Trờng hợp đặc biệt trờng trọng lực hệ vật rắn khối tâm trùng với trọng tâm vật 12.1.2 Mô men quán tính vật 12.1.2.1 Mô men quán tính vật tâm Mô men quán tính vật tâm ký hiệu Jo tổng tích số khối lợng chất điểm với bình phơng khoảng cách chất điểm với điểm O (hình 10-1) N Jo = mk rk2 (12-3) k =1 12.1.2.2 Mô men quán tính vật trục Mô men quán tính vật trục z ký hiệu Jz tổng tích khối lợng mk chất điểm vật với bình phơng khoảng cách dk từ chất điểm đến trục (hình 12-1) N Jz = mkd2k (12-4) k =1 Gọi toạ độ chất điểm Mk hệ toạ độ oxyz xk,yk, zk mô men quán tính hệ trục toạ độ ox, oy, oz gốc toạ độ O viết đợc: -150Jx = m k ( y 2k + z 2k ); Jy = m k ( x 2k + z 2k ); Jz = m k ( y 2k + x 2k ); Jo = m k rk2 = m k ( x 2k (12-5) + y 2k + z 2k ) Từ suy ra: J x + J y + J z = J o (12-6) Trong kỹ thuật ta tính mô men quán tính vật trục theo biểu thức: Jz = M.2 M khối lợng vật, gọi bán kính quán tính vật với trục z 12.1.2.3 Mô men quán tính số vật đồng chất - Vật mỏng đồng chất Gọi chiều dài l, khối lợng M Chọn trục Ax dọc theo (hình 12-2) Xét phần tử có chiều dài dx vị trí cách A đoạn xR, có khối lợng dm = 1.dx y mk A xk khối lợng riêng đơn vị chiều dài = M/l Biểu thức mô men quán tính B dx Hình 12-2 D A lấy trục Az vuông góc với y x A là: JAz (127) = l3 2 x dm = x dx = = Ml i 0 3 l dx l B x C Hình 12.3 x -151- Vật phẳng hình chữ nhật (hình 12-3) Gọi cạnh hình a, b, khối lợng phẳng M Chia hình thành nhiều giải nhỏ song song với trục o giải có bề rộng dx, có mô men quán tính trục Ax Jk = m k a (theo hình 12-3) Trong mk khối lợng giải xét Mô men quán tính hình trục Ax : Jx = n n 1 n J = m a = a mk ; kx k k =1 k =1 k =1 Jx = a M (12-8) Tơng tự suy ra: Jy = b M y (12- 9) R - Vật vành tròn đồng chất Gọi bán kính khối lợng vành R C x M Tính mô men quán tính vành trục Cz vuông góc với mặt phẳng vành qua Hình 12.4 tâm C (hình 12-4) Ta có: n Jcz = k =1 y m k rk2 n R = mkR ; drk k =1 n Jcz = R m k = MR (12-10) k =1 x rk O Công thức (12-10) dùng để tính mô men quán tính ống trục tròn đồng chất trục Hình 12.5 -152- Vật phẳng tròn đồng chất Gọi bán kính khối lợng R M Ta tính mô men quán tính trục Cz ký hiệu Jcz mô men quán tính trục Cx hay Cy trùng với đờng kính ký hiệu Jx, Jy Chia thành nhiều vành nhỏ tâm C bán kính vành thứ k rk Bề rộng vành thứ k drk Khối lợng lớp vành thứ k : mk = .2.rk.drk Trong khối lợng riêng đơn vị diện tích = M R Theo công thức (12-10) mô men quán tính lớp vành thứ k trục Cz viết đợc Jkcz = mkrk2 = 2.rk3drk Mô men quán tính tục Cz viết đợc: Jcz = n n k =1 k =1 J czk = 2rk3 drk hay: Jcz = R o 2rk3 drk = R Cuối ta có: Jcz = MR 2 (12-11) Để tính Jcz Jcy ta có nhận xét điểm có zx = 0, theo (12-5) viết đợc: n Jcx = Jcy = m k (y k =1 k n + z ) = m k y 2k ; k k =1 n n k =1 k =1 m k ( x 2k + z 2k ) = m k x 2k ; -153n Jcz = m k ( x 2k k =1 + y 2k ) Từ biểu thức suy trờng hợp này: Jcz = Jcx + Jcy Do đối xứng nên phân bố khối lợng trục cx cy hoàn toàn nh Ta có: Jcx = Jcy = Jcz/2= MR2/4 (12-11) Công thức (10-11) tính mô men quán tính cho vật trục tròn đồng chất trục 12.1.2.4 Mô men quán tính trục song song -Định lý Huy-Ghen: Mô men quán tính vật trục z1 mô men quán tính trục z song song với trục z1 qua khối tâm vật cộng với tích khối lợng vật với bình phơng khoảng cách hai trục Jz1 = Jcz + Md2 (12-12) Chứng minh: Theo định nghĩa Jz1 = z m k d' 2k z' (a) B k dk d Kẻ trục cz song song với z1 qua khối Mk tâm c (hình 12-6) d'k Ta có: xk yk C d' 2k = dk2 + d2 - 2dkdcosk Gọi toạ độ điểm Mk xk, yk, zk x xk = dkcosk suy ra: d'k2 = dk2 + d2 - 2dxk Hình 12.6 Thay kết vào biểu thức (a) đợc: Jz1 = mk(dk2 + d2 - 2xkd) = mkdk2 + mkd2 - mkdxk), y -154trong đó: mkdk2 = Jcz; mkd2 = Md2 mkdxk = d mkxk = dMxC Do gốc toạ độ trùng với khối tâm c nên xC =0 Do đó: mkdxk = Cuối đợc: Jz1 = Jcz + Md2 Định lý đợc chứng minh 12.2 Định lý động lợng định lý chuyển động khối tâm 12.2.1 Định lý động lợng 12.2.1.1 Động lợng chất điểm hệ r Động lợng chất điểm đại lợng véc tơ ký hiệu k tích khối lợng véc tơ vận tốc chất điểm r r k = m v (12-14) r Động lợng hệ đại lợng véc tơ ký hiệu K tổng hình học động lợng chất điểm hệ r K= n k=1 r kk = n r mv v k (12-15) k=1 Đơn vị đo động lợng kgm/s Ta biểu diễn động lợng hệ qua khối lợng vận tốc khối tâm hệ Từ (12-1) suy ra: r mk r k = M r r c Đạo hàm hai vế theo thời gian nhận đợc: r r mk v k = M v o Động lợng hệ tích khối lợng véc tơ vận tốc khối tâm hệ -15512.2.1.2 Xung lợng lực (xung lực) Lực tác dụng khoảng thời gian nhỏ bé dt đại lợng véc tơ đo tích lực với khoảng thời gian vô bé xung lợng phần tử r r r (12-17) lực F ký hiệu d s = F dt r Nếu lực F tác dụng khoảng thời gian hữu hạn từ to đến t đại lợng véc tơ tính tích phân xung lực phần tử khoảng thời gian r r gọi xung lợng lực F khoảng thời gian từ to đến t ký hiệu s r s = r tr d to s = to Fdt t (12-18) r Theo (10-18) lực F = const thì: r r s = F = t - to 12.2.1.3 Định lỹ động lợng Định lý 12.1: Đạo hàm theo thời gian động lợng chất điểm hợp lực lực tác dụng lên chất điểm d r (mv) = dt n r Fi (12-19) i =1 Chứng minh: Xét chất điểm có khối lợng m chuyển động với vận tốc v r r r dới tác dụng hệ lực ( F 1, F 2, F n) Phơng trình viết cho chất điểm: r mW = n r Fi i =1 r r dv Thay W = vào biểu thức đợc: dt n r r d r m W = (mv) = Fi dt i =1 Định lý đợc chứng minh Biểu thức (12-19) thực chất phơng trình viết dới dạng động lợng cho chất điểm -156Định lý 12.2: Biến thiên động lợng chất điểm khoảng thời gian từ to đến t1 tổng hình học xung lợng lực tác dụng lên chất điểm khoảng thời gian r n r r F dt = to k Sk n r mv1 - mvo = t1 k =1 (12-20) k =1 Chứng minh: Từ phơng trình (10-19) suy ra: n r d(m v ) = r to Fk dt t1 k =1 Tích phân hai vế phơng trình tơng ứng với cận to t1 có: n t1 n r t1 r r d ( m v ) = F dt = to Fdt; mvo to k mv1 k =1 r r n mv1 - mvo = k =1 r Sk k =1 Định lý đợc chứng minh Định lý 12.3: Đạo hàm theo thời gian động lợng hệ véc tơ ngoại lực tác dụng lên hệ r dK N r = Fke dt k =1 (12-21) Chứng minh: Xét hệ gồm N chất điểm Ký hiệu hợp ngoại lực hợp nội r r lực đặt lên chất điểm thứ k F ke F ki Phơng trình động lực học viết cho chất điểm là: r r r (a) mk( Wk ) = F ke + F ki Viết cho N chất điểm hệ ta có N phơng trình (a) nghĩa k = N Cộng vế với vế N phơng trình với ta đợc: N r N r r m W = F + k k ke Fki N k =1 k =1 k =1 Theo định luật Niu Tơn lực tác dụng tơng hỗ độ lớn, -157cùng phơng nhng ngợc chiều tổng hình học nội lực ( lực tác dụng tơng hỗ cuả chất điểm hệ) luôn không r F ki = Ta có: Còn lại: N r r m k Wk = Fke N k =1 k =1 r N N r dv k d v r Thay m k Wk = m k = m k v k = K, dt dt k =1 k =1 k =1 N d v N r Ta có: K = Fke dt k =1 Định lý đợc chứng minh Định lý 12.4: Biến thiên động lợng hệ khoảng thời gian từ to đến t1 tổng hình học xung lợng ngoại lực tác dụng lên hệ khoảng thời gian r r k1 - k0 = r N S ke (12-22) k =1 Chứng minh: Từ phơng trình (12-10) suy ra: r dk = N r Fke dt k =1 Tích phân hai vế biểu thức tơng ứng với cận thời điểm đầu cuối đợc: r t1 t1 r dk = F dt = ko to ke to Fke dt ; k1 r r k1 - ko = r s ke Định lý đợc chứng minh Chý ý biểu thức (10-19); (10-20), (10-21) (10-22) biểu