Chun đề LTĐH Chuyên đề 5: Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn BẤT ĐẲNG THỨC TÓM TẮT GIÁO KHOA I Số thực dương, số thực âm: Nếu x số thực dương, ta ký hiệu x > Nếu x số thực âm, ta ký hiệu x < Nếu x số thực dương x= 0, ta nói x số thực không âm, ký hiệu x Nếu x số thực âm x= 0, ta nói x số thực không dương, ký hiệu x Chú ý: Phủ đònh mệnh đề "a > 0" mệnh đề " a " Phủ đònh mệnh đề "a < 0" mệnh đề " a " II Khái niệm bất đẳng thức: Đònh nghóa 1: Số thực a gọi lớn số thực b, ký hiệu a > b a-b số dương, tức a-b > Khi ta ký hiệu b < a Ta có: a b ab Nếu a>b a=b, ta viết a b Ta có: a b a-b Đònh nghóa 2: Giả sử A, B hai biểu thức số Mệnh đề : " A lớn B ", ký hiệu : A > B " A nhỏ B ", ký hiệu :A < B " A lớn hay B " ký hiệu A B " A nhỏ hay B " ký hiệu A B gọi bất đẳng thức Quy ước : Khi nói bất đẳng thức mà không rõ ta hiểu bất đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức III Các tính chất bất đẳng thức : a b Tính chất 1: ac b c Tính chất 2: Hệ 1: Hệ 2: Tính chất 3: Tính chất 4: Hệ 3: a b ac bc a b ac bc ac b a bc a b ac bd c d ac bc c > ab ac bc c < a b a b 27 Chun đề LTĐH Hệ 4: Tính chất 5: Tính chất 6: Tính chất 7: Tính chất 8: Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn a b c c c > ab a b c < c c a b ac bd c d 1 ab00 a b * n a b 0, n N a b n a b 0, n N * n a nb Hệ 5: Nếu a b hai số dương : a b a2 b2 Nếu a b hai số không âm : a b a b2 IV Bất đẳng thức liên quan đến giá trò tuyệt đối : x x ( x R) Đònh nghóa: x x x < Tính chất : x , x x , x x , -x x Với a, b R ta có : ab a b ab a b a b a b a.b a b a b a.b V Bất đẳng thức tam giác : Nếu a, b, c ba cạnh tam giác : a > 0, b > 0, c > bc a bc ca bca ab c ab a bc A B C VI Các bất đẳng thức : a Bất đẳng thức Cauchy: ab ab Cho hai số không âm a; b ta có : Dấu "=" xãy a=b Tổng quát : Cho n số không âm a1,a2, an ta có : a1 a2 an n a1 a2 an n Dấu "=" xãy a1 = a2 = = an 28 Chun đề LTĐH b Bất đẳng thức Bunhiacốpski : Cho bốn số thực a,b,x,y ta có : Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn (ax by )2 (a2 b2 )( x y ) Dấu "=" xãy ay = bx Tổng quát : Cho hai số (a1 , a2 , an ) (b1 , b2 , , bn ) ta có : (a1b1 a2 b2 an bn )2 (a12 a2 an )(b12 b2 bn ) a a1 a2 n với quy ước mẫu tử b1 b2 bn 1 1 ( ) c) Bất đẳng thức bản: Cho hai số dương a,b ta có: ab a b Dấu "=" xãy a=b Dấu "=" xãy Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức : Ta thường sử dụng phương pháp sau Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức biết Ví du1ï: Chứng minh bất đẳng thức sau: a2 b2 c ab bc ca với số thực a,b,c a2 b2 ab a b với a,b Ví dụ 2: a3 b ab Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b , chứng tỏ rằng: ( ) 2 Ví dụ 3: Chứng minh x>0 ( x 1) ( 1) 16 x x Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp Xuất phát từ bất đẳng thức biết dùng suy luận toán học để suy điều phải chứng minh Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có cạnh a,b,c, chứng minh : a2 b c 2(ab bc ca) Ví dụ 2: Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện x y Chứng minh rằng: 4 5 x 4x Ví dụ 3: Cho x,y,z số dương Chứng minh rằng: 3x y z xy yz zx 1 Ví dụ 4: Chứng minh với mọi x,y dương ta có: x y 2( x y ) x y 29 Chun đề LTĐH Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có cạnh a,b,c, chứng minh : ab(a b 2c) bc(b c 2a ) ca(c a 2b) Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Ví dụ6: Cho x,y,z xyz=1 Chứng minh : x y z x y z Ví dụ 7: Cho x, y, z > x+y+z=xyz Chứng minh : xyx 3 abc abc abc 9 Ví dụ 8: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh : a b c Ví dụ 9: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn x y z Chứng minh : 1 x y z 10 x y z Ví dụ 10: Cho a,b,c >0 abc=1 Chứng minh : bc ca ab a b c 3 a b c Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét tính chất hàm số Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx < x với x > x2 Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: cos x với x > Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ 4: Với x sin x tgx x với x (0; ) , chứng minh 2 sin x 2 tgx x 1 22 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1 Chứng minh x3 y3 1 y3 z3 z x3 3 xy yz zx Khi đẳng thức xảy ra? 1 Chứng minh : x y z 1 1 2x y z x y z x y 2z Bài 2: Cho x,y,z số dương thỏa mãn Bài 3: Với a,b,c ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức ab bc ca abc , chứng minh rằng: b 2a c 2b a 2c ab bc ca 30