Bất đẳng thức giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Chun đề LTĐH Chuyên đề 5: Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn BẤT ĐẲNG THỨC TÓM TẮT GIÁO KHOA I Số thực dương, số thực âm:  Nếu x số thực dương, ta ký hiệu x >  Nếu x số thực âm, ta ký hiệu x <  Nếu x số thực dương x= 0, ta nói x số thực không âm, ký hiệu x   Nếu x số thực âm x= 0, ta nói x số thực không dương, ký hiệu x  Chú ý:  Phủ đònh mệnh đề "a > 0" mệnh đề " a  "  Phủ đònh mệnh đề "a < 0" mệnh đề " a  " II Khái niệm bất đẳng thức: Đònh nghóa 1: Số thực a gọi lớn số thực b, ký hiệu a > b a-b số dương, tức a-b > Khi ta ký hiệu b < a Ta có: a  b  ab   Nếu a>b a=b, ta viết a  b Ta có: a  b  a-b  Đònh nghóa 2: Giả sử A, B hai biểu thức số Mệnh đề : " A lớn B ", ký hiệu : A > B " A nhỏ B ", ký hiệu :A < B " A lớn hay B " ký hiệu A  B " A nhỏ hay B " ký hiệu A  B gọi bất đẳng thức Quy ước :  Khi nói bất đẳng thức mà không rõ ta hiểu bất đẳng thức  Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức III Các tính chất bất đẳng thức : a  b Tính chất 1: ac  b  c Tính chất 2: Hệ 1: Hệ 2: Tính chất 3: Tính chất 4: Hệ 3: a  b  ac  bc a  b  ac  bc ac  b  a  bc a  b  ac  bd  c  d ac  bc c > ab ac  bc c < a  b   a  b 27 Chun đề LTĐH Hệ 4: Tính chất 5: Tính chất 6: Tính chất 7: Tính chất 8: Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn a b  c  c c > ab  a  b c <  c c a  b   ac  bd  c  d  1 ab00  a b * n a  b  0, n  N  a  b n a  b  0, n  N *  n a nb Hệ 5: Nếu a b hai số dương : a  b  a2  b2 Nếu a b hai số không âm : a  b  a  b2 IV Bất đẳng thức liên quan đến giá trò tuyệt đối :  x x  ( x  R) Đònh nghóa: x    x x < Tính chất : x  , x  x , x  x , -x  x Với a, b  R ta có :  ab  a  b  ab  a  b  a  b  a  b  a.b   a  b  a  b  a.b  V Bất đẳng thức tam giác : Nếu a, b, c ba cạnh tam giác :  a > 0, b > 0, c >  bc  a  bc  ca  bca  ab  c  ab  a bc A B C VI Các bất đẳng thức : a Bất đẳng thức Cauchy: ab  ab Cho hai số không âm a; b ta có : Dấu "=" xãy a=b Tổng quát : Cho n số không âm a1,a2, an ta có : a1  a2   an n  a1 a2 an n Dấu "=" xãy a1 = a2 = = an 28 Chun đề LTĐH b Bất đẳng thức Bunhiacốpski : Cho bốn số thực a,b,x,y ta có : Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn (ax  by )2  (a2  b2 )( x  y ) Dấu "=" xãy ay = bx Tổng quát : Cho hai số (a1 , a2 , an ) (b1 , b2 , , bn ) ta có : (a1b1  a2 b2   an bn )2  (a12  a2   an )(b12  b2   bn ) a a1 a2    n với quy ước mẫu tử b1 b2 bn 1 1  (  ) c) Bất đẳng thức bản: Cho hai số dương a,b ta có: ab a b Dấu "=" xãy a=b Dấu "=" xãy Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức : Ta thường sử dụng phương pháp sau Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức biết Ví du1ï: Chứng minh bất đẳng thức sau: a2  b2  c  ab  bc  ca với số thực a,b,c a2  b2   ab  a  b với a,b Ví dụ 2: a3  b ab Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b  , chứng tỏ rằng: ( ) 2 Ví dụ 3: Chứng minh x>0 ( x  1) (   1)  16 x x Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp Xuất phát từ bất đẳng thức biết dùng suy luận toán học để suy điều phải chứng minh Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có cạnh a,b,c, chứng minh : a2  b  c  2(ab  bc  ca) Ví dụ 2: Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  Chứng minh rằng: 4  5 x 4x Ví dụ 3: Cho x,y,z số dương Chứng minh rằng: 3x  y  z  xy  yz  zx 1 Ví dụ 4: Chứng minh với mọi x,y dương ta có: x  y    2( x  y ) x y 29 Chun đề LTĐH Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có cạnh a,b,c, chứng minh : ab(a  b  2c)  bc(b  c  2a )  ca(c  a  2b)  Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Ví dụ6: Cho x,y,z xyz=1 Chứng minh : x  y  z  x  y  z Ví dụ 7: Cho x, y, z > x+y+z=xyz Chứng minh : xyx  3 abc abc abc   9 Ví dụ 8: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh : a b c Ví dụ 9: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn x  y  z  Chứng minh : 1 x  y  z     10 x y z Ví dụ 10: Cho a,b,c >0 abc=1 Chứng minh : bc ca ab    a  b  c 3 a b c Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét tính chất hàm số Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx < x với x > x2 Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: cos x   với x > Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ 4: Với  x    sin x  tgx  x với x  (0; ) , chứng minh 2 sin x 2 tgx  x 1 22 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1 Chứng minh  x3  y3 1 y3  z3  z  x3   3 xy yz zx Khi đẳng thức xảy ra? 1    Chứng minh : x y z 1   1 2x  y  z x  y  z x  y  2z Bài 2: Cho x,y,z số dương thỏa mãn Bài 3: Với a,b,c ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức ab  bc  ca  abc , chứng minh rằng: b  2a c  2b a  2c    ab bc ca 30