100 CÂU BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CÓ LỜI GIẢI

Câu 1:Cho số thực x,y thỏa mãn các điều kiện 1≤ x ≤ 2 ; 1≤ y ≤ 2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lời giải: Câu 2:Cho các số thực a,b,c không âm và thỏa mãn điều kiện (a + b)c >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcLời giải: Câu 3:(1,0 điểm) : Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 2Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = Lời giải: Câu 4:Cho ba số x, y,z thuộc nửa khoảng (0;1 và thoả mãn: x + y ≥1+ z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = A. Pmin = 2 B. Pmin = 2 C. Pmin = D. Pmin = Lời giải:Do x, y ∊ (0;1 và x + y ≥ 1 + z => x ≥ z, y ≥ zTa có xy + z2 ≤ 2xy ≤ ≤ x + y do x + y ≤ 2P ≥ = (x+y) + ( y+z) +(z+x) ( ) 3 ≥ 3 = => P ≥ Dấu = xáy ra x = y =z =1Vậy Pmin = khi x = y =z =1Câu 5:Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 + (3x − 2)(y −1) = 0.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2 + x+ y+8 A. MaxP = 6+8√2 B. MaxP = 68√2 C. MaxP = 5+8√2 D. MaxP = 5 8√2Lời giải:Ta có giả thiết x2 + y2 + (3x 2)(y1) = 0 (x+y)2 – 3(x+y) + 2 = xy – yVì x, y không âm nên –xy – y ≤ 0. Suy ra (x+y)2 – 3(x+y) + 2 ≤ 0 1 3 > 0 với mọi t ∊ (1;2)Suy ra f(t) đồng biến trên 1;2. Do đó maxf(t) = f(2) = 6+8√2Suy ra P ≤ 6+8√2, dấu đẳng thức xảy ra khi . x=2, y=0Vậy giá trị lớn nhất của P là 6+8√2, đạt khi x=2, y=0

100 CÂU BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤTCâu 1:Cho số thực x,y thỏa mãn các điều kiện 1≤ x ≤ 2 ; 1≤ y ≤ 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải:

Câu 2:Cho các số thực a,b,c không âm và thỏa mãn điều kiện (a + b)c >0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lời giải:

Câu 3:(1,0 điểm) : Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

Lời giải:

Câu 4:Cho ba số x, y,z thuộc nửa khoảng (0;1] và thoả mãn: x + y ≥1+ z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P =

Vậy Pmin = khi x = y =z =1

Câu 5:Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 + (3x − 2)(y −1) = 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2 + x+ y+8

Ta có giả thiết x2 + y2 + (3x -2)(y-1) = 0 <= > (x+y)2 – 3(x+y) + 2 = -xy – y

Vì x, y không âm nên –xy – y ≤ 0 Suy ra (x+y)2 – 3(x+y) + 2 ≤ 0 <= > 1<x+y ≤2Đặt t = x+y, khi đó t ∊ [1;2]

Xét hàm số f(t) = t2 + t + 8 với t ∊ [1;2]

Ta có f’(t) = 2t +1 - , với mọi t ∊ [1;2]

Chú ý rằng f’(t) > 3 - > 0 với mọi t ∊ (1;2)

Suy ra f(t) đồng biến trên [1;2] Do đó maxf(t) = f(2) = 6+8√2

Vậy giá trị lớn nhất của P là 6+8√2, đạt khi x=2, y=0

Câu 6:Cho x và y là hai số thực thay đổi thuộc nửa khoảng (0;1] và x+y= 4xy Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

D MaxP = - ;MinP = -

Lời giải:

x; y ∊ (0;1] => (1-x)(1-y) ≥ 0 => 1 - (x+y) + xy ≥ 0 => 1 -4xy +xy ≥ 0=> xy ≤

Đặt t = xy thì P = 4t2 + - = f(t) với t ∊ [ ; ]

* MaxP = - đạt được khi và chỉ khi x = y =

* MinP = - đạt được khi và chỉ khi x = 1; y = hoặc x = ; y=1

Câu 7:Cho x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện x2 + y2 +z 2 =1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P =

<=> <=> t =

Lập bảng biến thiên suy ra max f(t) =

Câu 8:Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a +b+ c = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bình phương rồi biến đổi tương đương ta được 5x(x-3) ≤ 0 đúng với mọi x ∊ [0;3]

Lần lượt cho x = a; b ;c rồi cộng các vế của bất đẳng thức ta được

Giá trị lớn nhất của P là 8 xảy ra khi chẳng hạn a=3, b=c=0

Câu 9:Cho các số thực không âm x,y,z thoả mãn xz +yz +1 = xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

Vậy maxP = maxf(c) = f(√3) = đạt được khi x = y =2+√3 , z = √3

Câu 10:Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn c(a2 + b2) = a+b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P =

A Pmin =-

Xét hàm số f(c) = , f'(c) = = 0 <=> c=

Lập bảng biến thiên: có f(c) ≥ f( ) =

Suy ra P ≥ f(c) ≥ => Pmin = <=> c= , a=b=5

Câu 11:Cho các số thực không âm x,y,z thoả mãn xz + yz + 1 = xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Vậy maxP = maxf(c) = f(√3) = đạt được khi x = y = 2 + √3, z = √3

Chú Ý : Có thể giải bài BPT theo phương pháp lượng giác hóa

= tan ; = tan ; z = tan , (A, B,C ∈ (0;π)) => A + B + C = π

Câu 12:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn:2x + 4y + 7z = 2xyz.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y + z

A minf(x;y) = -4

Ta đưa bài toán về tìm min của f(x,y) = x+y+ , với x, y >0, 2x - 7 >0

Cố dịnh x, coi f(x,y) là hàm số theo biến y ta có:

f'(x,y) = 1 - , f'(x;y) = 0 <=> y0 =

Ta có: g'(x) = 1 - , g'(x) = 0 <=> x= 3

Xét dấu g'(x) ta được x=3 là diểm cực tiểu

Vậy minf(x;y) = g(3) =

Câu 13:Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 5( a + b + c) - 2 ab

Ta có f'(t) = 1 - = => f'(t) ≤ 0 ∀t ∈ (0;10]

=> f'(t) nghịch biến trên (0;10] => f(t) ≥ f(10), ∀t ∈ (0;10] ; f(10) = 58 => P ≥ 58

Vậy minP = 58 đạt được khi

Câu 14:Xét các số thực a,b,c thỏa mãn a + b + c = 0; a +1 > 0; b +1 > 0; 2c +1 > 0

A 0

B 1

C 2

P = 1 khi a= b = c = 1

Vậy MinP = 1 khi a = b = c = 1

Câu 16:Cho các số thực dương a, b, c : ab+bc+ca =3 Chứng minh rằng:

Lời giải:

Suy ra: 1+a 2(b+c) ≥abc+a2(b+c) =a(ab+bc+ca) =3a =>

Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:

≤

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc =1, ab+bc+ca = 3 => a=b=c=1, (a, b, c >0)

Câu 17:Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng:

Lời giải:

Đặt x= , y = , z = Khi đó, VT (1) =

Theo Cô si ta có:

Cộng các BĐT trên vế với vế ta được VT (1) ≥

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Câu 18:Cho x và y là hai số thực dương thay đổi sao cho log2 (x+y)= 3+log2 x+log2 y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=

A -10

B

C -

D 10

Lời giải:

Từ giả thiết log2 (x+y)= 3+log2 x+log2 ysuy ra x+y = 8xy ≤ 2(x+y)2 => x+y ≥

Bảng biến thiên:

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là

Câu 19:Cho x,y là các số thực và thoả mãn x,y >1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P=

Có f’(t) = => f’(t) =0 =>

f(t) =f(4) =8 => minP =8

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

Câu 20:Cho ba số thực x, y, z ∈ [1; 3] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 23:Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3.

Lời giải:

Áp dụng BDT Cosi cho 3 số dương , , ta được:

+

≥

Ta có: x2y2z2(x + y)(y + z)(z + x) = xyz(zx + yz)(xy + zx)(yz + xy)

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số dương xy, yz, zx:

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số dương zx + yz, xy + zx, yz + xy:

Từ (1) và (2) suy ra: x2y2z2(x + y)(y + z)(z + x) ≤ 8

Câu 24: Cho các số thực x, y thuộc đoạn [1; 2] Tìm tất cả các giá trị thực của z để biểu thức

Vì f(t) liên tục trên [ ; 2] nên có Max f(t) = M

Từ bảng biến thiên suy ra z ≥

Câu 25:Cho hai số a, b ∈ (0; 1) và a ≠ b

Lời giải:

Bất đẳng thức

⇔ (log2012b – log2012(1 - b) - log2012a + log2012(1 - a)) > 4

Trường hợp 1: Nếu b > a thì bất đẳng thức

⇔ log2012b – log2012(1 - b) - > log2012a - log2012(1 - a) -

Xét hàm số f(t) = log2012t – log2012(1 - t) - , t ∈ (0; 1)

Suy ra b > a ta có f(b) > f(a) từ đó có điều phải chứng minh

Trường hợp 2: b < a Chứng minh tương tự

Câu 26:Cho a, b, c, d là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện:

Câu 27:Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Ta có a + b + c = abc(a + b + c) = ab.ac + bc.ba + ca.cb ≤ (ab)2 + (bc)2 + (ac)2

((ab)(ac) + (ab)(bc) + (ca)(cb))

=> a + b + c

Khi a = b = c = 1 thì P = nên giá trị nhỏ nhất của P là

Câu 28:Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A minP =

= (a + b + c) + (a + b + c) + + (a + b + c) ≥ 4 + =

Vậy minP = xảy ra khi a = b = c = 1 hay x =y = z

Câu 29:Cho a, b là các số dương và thỏa mãn a + b ≤ 1

Câu 34:Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ta có 2x + 4y + 2x ≤ (x2 + 1) + (y2 + 4) + (z2 + 1) = x2 + y2 + z2 + 6 ≤ 3y + 6

Suy ra 2x + y + 2z ≤ 6 Dấu đẳng thức xảy ra khi x = = z = 1

Chú ý rằng với hai số dương a, b áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 1, y = 2, z = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt khi x = 1, y = 2, z = 1

Câu 38:Cho a, b ∈ R Chứng minh rằng: (a2 + b + )(b2 + a + ) ≥ (2a + )(2b + )

Lời giải:

Ta có: a2 + b + = a2 - a + + b + a + = + a + b + ≥ a + b +

P = x3 - x2 + x + 1

Từ (*) để tồn tại y và z khi va chỉ khi: (4 – x )2 ≥ 4(4 - 4x + x2 ) ⇔ x ∈ [0; ]

Như vậy bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Câu 42: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh rằng ≤ a2+ b2 + c2 + 2abc < 2

Đẳng thức bên trái xảy ra khi a = b = c =

Câu 43:Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện: a2 + 3b2 – ab ≤ 2 và b ≠ 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + ab+ 2b2

A Min P =

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =1

Câu 45:Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 và x > 1, y > 1, z > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

A Min P = √3 + 2

B Min P = √3 + 1

Mà + + ≥ + + = 1 (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra P ≥ √3 - 1

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = √3

Câu 46:Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 5(a + b + c) - 2ab

B √3

C 3√3

D 3

Lời giải:

Từ điều kiện (*) ta có x, y, z > 0 và xyz = 1

Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho 3 số dương ta có:

√3( ) ≥ √3.3 = 3√3

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

vậy giá trị nhỏ nhất của F là 3√3

Câu 48:Cho các số thực dương x, y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Tam giác ABC đều tâm O và OA = OB = OC = 1

Suy ra (2) tương đương MA + MB + MC ≥ OA + OB + OC (3)

Ta chứng minh (3)

Thực hiện phép quay tâm A góc 600.

C → C', M→M'

Suy ra MA = MM', MC = M'C'

Khi đó: MA + MB + MC = MB + MM' + M'C' ≥ BC' = OA + OB + OC

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M ≡ O ⇔ a = 0

Ghi chú: có thể giải bằng phương pháp vec tơ, không dùng các bất đẳng thức không có trong sách giáo khoa để chứng minh

Câu 50:Cho 3 số thực thỏa mãn a3 + 8b3 + 27c3 - 18abc - 1 = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = a2 + 4b2 + 9c2

A Min P = 3

B Min P = 2

Dấu "=" xảy ra khi x = 1

Vậy min P = 1 khi a = 1, b = c = 0 hoặc a = c = 0, b = hoặc a = b = 0, c =

Câu 51:Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

=> P ≥ f(4) = + + = + = g(y) với y ∈ (0; 4]

=> g(y) nghịch biến trên (0; 4] => g(y) ≥ g(4) = + 1 =

vậy min P = khi a = b = 1 và x = y = 4

Câu 53:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = | (4 - x2 ) + (x2 + 1)|

Vậy min y = 2 khi

Câu 54:Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 √3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

A minP =

B minP = -

C P = 0

D P = -1

Lời giải:

Từ giả thiết ta có: x2 + y2 + xy = x + y + 1 ⇔ xy = (x + y)2 - (x + y) - 1Đặt t = x + y, ta có: (x + y)2 ≥ 4xy

Suy ra: 3t2 – 4t - 4 ≤ 0 ⇔ - ≤ t ≤ 2 Khi đó P =

Do đó: f(- ) = f(2) = ; f(0) = -1

Vậy giá trị nhỏ nhất P = -1 khi t = 0 ứng với x = -1; y = 1 hoặc x = 1, y = -1

Câu 57:Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x2 + y2 + z2 = xyz

Lời giải:

Câu 58:Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thỏa mãn xy + yz + zx ≥ 2xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

+ + + + (điều phải chứng minh)

Dâu " = " xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Câu 61:Cho 3 số dương x, y , z có tổng bằng 1 Chứng minh bất đẳng thức:

Câu 63:Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn: z(z - x - y) = x + y + 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T =

A Max T = 1

B Max T =

Suy ra T ≤ (*)

Vậy Max T = khi x = 3, y = 4, z = 7

Câu 64:Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: 4(x + y + z) = 3xyz

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A maxP =

B maxP =

C maxP =

D maxP =

Lời giải:

Tiếp tục áp dụng BĐT Côsi ta đươc:

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2

Câu 65:Cho các số a, b, c dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2 Tìm giá trị lớn nhất của S =

≤ (a + c + )

Cộng vế với vế ta được:

Vậy max S = 2√3 dấu "=" xảy ra <=> a = b = c =

Câu 66:Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1.

Câu 67:Cho a, b, c là 3 số thực không âm có tổng bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F =(1 + a2) (1 + b2) (1 + c2)

abc ≤ =>( 1 – abc )2 ≥ (2)

ab + bc + ca ≤

(1 – ab – bc – ca )2 ≥ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi <=> a = b = c =

Vậy giá trị nhỏ nhất của F là

Câu 68:Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A Pmin = 4

B Pmin = 3

Vậy Pmin = 4 khi x = y = z =

Câu 69:Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn y2 ≥ xz và z2 ≥ xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = +

Đặt t = √c => 0< t ≤1

f'(t) =

Hàm số f(t) nghịch biến trên (0;1] Suy ra f(t) ≥ f(1) = 1008

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1008 khi và chỉ khi x = y = z

Câu 70:Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1.

Vậy (đpcm)

Câu 71:Cho a, b, c ε [1; 2] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Xét f(t)= 4t3 + (1 - t)3 với t ε (0;1) f’(t) = 12t2 – (1 - t)2 ; f’(t) = 0 <=> t =

Suy ra f(t) ≥

Dấu "=" xảy ra khi t =

=> P ≥ Dấu "=" xảy ra khi <=> 2a = b = cVậy giá trị nhỏ nhất của P là khi 2a = b = c

Câu 73:Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1

Lời giải:

Ta có

VT =

Do a, b, c dương và a + b + c = 1 nên a, b, c ∈ (0; 1) => 1 - a; 1- b; 1- c dương

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương ta được

D Min T =

Lời giải:

T = 2(a3 + b3 + c3 + 3abc ) + 3(a2 + b2 + c2 + 2abc)

Ta có a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 – 3(a + b)(b + c)(c + a)

=1 - 3(1 - c)(1 - a)(1 - b) = 1 - 3(ac + bc + ca – abc)

a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca) = 1 - 2(ab + bc + ca)

Do đó: T = 5 - 6[2(ab + bc + ca)- 3abc]

Đặt S = 2(ab + bc + ca) – 3abc Ta tìm giá trị lớn nhất của S

Xét hàm số f(c) = -3c3 + c + 2 trên (0; )

Ta được: f(c) ≤ f( ) = => S ≤ Dấu = xảy ra khi a = b = c =

Vậy: MinT = xảy ra khi a = b = c =

Do đó MinP = min f(a)(2;+∞) = 8

Dấu = xảy ra khi

Câu 76:Cho a, b, c dương, a + b + c = 3 Chứng minh rằng:

Cộng (*) và (**) ta được điều phải chứng minh, dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

Câu 77:Cho x,y,z là 3 số thực dương Chứng minh rằng

A

B

C

Vì a2 + b2 ≥ (a+ b)2 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

Lập BBT ta được f(t)≤ = f(4)

Vậy Q ≤ dấu bằng xảy ra khi x= y = z =1 (**) Từ (*) và (**) suy ra đpcm

Câu 78:Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x = y + z ≤ 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

A Min P = 9

B Min P = 8

≥

Do đó P ≥ 9 Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9, đạt được khi x = y = z = 1

Câu 79:Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y + xy = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M =

Lời giải:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1

Vậy giá trị lớn nhất của M bẳng khi x = y = 1

Câu 80:Cho a; b; c là 3 số dương thỏa mãn a + b + c = 3.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Câu 81:Cho a, b, c là ba số thự thỏa mãn ≤ 4abc Chứng minh rằng:

≤ 2014

Lời giải:

Theo giả thiết a, b, c > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số thực a, ta có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = > 0 và > 0

, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c > 0

- Tương tự , dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c > 0

Do đó:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c > 0 (1)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c > 0 (2)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c =

Câu 82:Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (9x + y)(9y + z)(z -

Câu 84:Cho x; y; z là 3 số dương thỏa mãn xyz + x + z = y

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

Đặt x = tan A, y = tan B, z = tan C với A, B, C ∈ (0, )

= 2cos2A – 2cos2B – 4sinC + 3sinC.cos2C

=cos2A – cos2B – 4sinC + 3sinC(1 - sin2C)

=-2sin(A + B)sin(A – B) - sinC -3 sin3C

=2sin(A + B)sinC – sinC – 3sin3C ≤ 2sinC – sinC – 3sin3C Xét hàm số f(x) = x - 3x3, x = sinC ∈ (0; 1)

f'(x)= 1- 9x2 = 0 ⇔ x= Lập BBT suy ra Max(0; 1) f(x) = f ( )=

Câu 85:Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a + b + c = 3

Chứng minh rằng

≥ 0

⇔(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (1 + ab)(1 + bc)(1 + ca)

Thật vậy: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (1 + ab)(1 + bc)(1 + ca)

Suy ra BĐT (*) đúng Đẳng thưc xảy ra khi và chỉ khi a=b

Áp dụng BĐT (*) ta có

Câu 87:Cho 3 số thực x , y , z thỏa mãn x ≥ y ≥ z > 0

Lời giải:

Bất đẳng thức tương đương

Xét hàm số f(t) = t5 - t2 + với t ≥ 1 => f'(t)= 5t4 -3t > 0 ∀ t ≥ 1

=> f'(t) luôn đồng biến ∀ t ≥ 1 => f'(t) ≥ f(1)= 0 => t5 ≥ t2 - đpcm

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c =1

Câu 89:Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=xyz Chứng minh rằng:

Lời giải:

Ta có xyz=x+y+z

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được xy+yz+zx

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=

Câu 90:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 4a + 8b + 6ab + 1 Với mọi số thực a, b thay đổi thỏa mãn điều kiện a2 + 4b2+4ab ≤ a + 2b + 2