Bất đẳng thức khó

Sáng tạo BĐT August 1, 2015 Câu 1: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ac  3b   a  b  c  Tìm giá trị nhỏ 3 a  c b3 P  8(a  c)  b  2a  2c  a  b  c 2 Hướng đi: Thoạt nhìn biểu thức P thật phức tạp, nhìn kĩ, biểu thức phân phần, phần đối xứng gồm (a,c) Và phần không đối xứng gồm b Nên bạn đừng lo lắng Cốt lõi toán nằm thứ Và ta dự đoán a  c 2 Giải:  a  b  c   b  2b ( a  c )   a  c   ac  3b   a  c   3b  b  2( a  c )  ( ta quy biểu thức ac a  c a  c Và bạn đừng ngại, thử hết đó, có gọn nhất) Và để ý tí ta cần thứ 2( a  b  c )   b Đến biểu thức P: P  Đặt t  3a  c b3 abc  ac      8(a  c)  b  2a  2c  a  b  c  4a  c  a  b  c  ac (cái khó mà tìm điều kiện chặt t, ta cần điều kiện t>0 đủ) abc P  f (t )  t  f '(t )  2t  4t 1 0t 4t Bảng biến thiên: Theo bảng biến thiên, MinP  Dấu xảy 1 t   b  1, a  c  2 Câu 2: Cho số thực x; y; z   0;1 thỏa mãn x  y   z Tim giá trị nhỏ biểu thức: P xy  x2 y2   x  y  z  xy  z  1  z  Creation August 1, 2015 Sáng tạo BĐT Hướng đi: Nhìn vào biểu thức P ta thấy choáng váng khó suy nghĩ điều Nhưng may đề lại cho x; y; z   0;1 x  y   z nên ta dự đoán x  y  z  (Dự đoán dựa vào cảm giác mà bạn tiếp xúc với BĐT thường xuyên) Và dựa vào giả thiết, ta tìm mối liên hệ với P Đối với dạng có điều kiện x; y; z   0;1 ta thường có BĐT sau: 1  x 1  y   1  x 1  y 1  z   Nhưng toán xuất biểu thức liên quan xyz, xy  yz  zx x  y  z nên ta dường sử dụng 1  x 1  y 1  z   Nên ta thử xoay quanh 1  x 1  y   Và ngẫu nhiên từ ta có BĐT xy   x  y Và đặc biệt ta cần sử dụng kết mà ý, z  z (vì z  z  1  z   0;1 ) Giải: 1  x 1  y    xy   x  y z  z Và ta có x   x  y  z; y   x  y  z (vì x; y; z   0;1 ) Ta tiếp tục có  z   z  x  y   xy Từ đó, P  Đặt t  xy  x y z x y z xy  x yz     x  y  z  xy  1  xy  1 x  y  z xy  xy  4 , t   P  t   t  x y z 9t 9t Vậy MinP  xy  t     x  y  z 1 3 x y z Câu 3: Cho a, b, c   0; 2 a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P    a  b2  c   a  b3  c3  a  b2  c 5 ab  bc  ca  Ta dự đoán dấu số 0, số số lại Giải: Cách 1: Bài toán có tính hoán vị biến nên để giải toán ta phải giả sử a  max a; b; c  a  1; 2 Nên ta có BĐT  a  1 a    Creation Sáng tạo BĐT August 1, 2015 3  Mặt khác a  b3  c3  a   b  c   3bc  b  c   a   b  c   a    a   a  3a     Đến ta khảo sát hàm số tìm max a  3a  Tuy nhiên, để ý dấu ta   biến đổi a  3a    a  1 a      a  b3  c3  Tương tự 2 a  b  c  a   b  c   2bc  a   b  c   a    a   2a  a    a  1 a     Và cuối đến ab  bc  ca  Vậy P    a  b  c   a2  b2  c2     a  b2  c2  2   19  25 bc   Dấu  a  1 a      a; b; c   1;0;  hoán vị a  b  c   Nhưng để trực quan ta biến đổi biến để khảo sát hàm số sau: Cách 2: P   ab  bc  ca   13   ab  bc  ca  ab  bc  ca  Đặt t  ab  bc  ca, t   2;3  P  2t  f ' t    23  t  5  P  f  2  2t  13  f t  t 5   f  t  đồng biến  2;3 19 Câu 4: Cho số thực không âm thỏa x  y   z Tìm giá trị lớn biểu thức: P 4z  z  xy  z 1 x  1 y Hướng đi: Nhìn vào toán ta dự đoán x  y  z   x Creation Sáng tạo BĐT August 1, 2015 P  x  1 x 1 f ' x    x  1   x  1  3x   f  x   x  1  2 x 1 2x   Thấy x  nghiệm f '  x    x  1 x  Vây ta dự đoán x  y  0; z  Giải: Vì dự đoán x  y  biểu thức P có chứa  x   y nên nhiều khả ta sử dụng BĐT phụ  x   y    x  y (BĐT sử dụng nhiều kì thi HSG) Mình chứng minh cách tương đương:  x   y    x  y   x  y  1  x 1  y    x  y   x  y   x  1 y  1   x  y  xy  (luôn đúng) Suy  x   y    x  y   z Mặt khác z  x  y   z  xy  x  y   xy   x  1 y  1 P  x  y  2   z  1  4z 4z   z  1  z   z 1  f  z  1 z 1 z f ' z   z 4 1  z        1 z z  z   z  z 1   0 2 2 1 z 1 z      z 1 Vẽ bảng biến thiên, ta MaxP  f 1  x  y  0; z  Để khó hay xin đưa câu với tư tương tự: Câu 5: Cho số thực không âm thỏa x  y   z Tìm giá trị lớn biểu thức: P 2z  z  xy  z 1 x   y Creation Sáng tạo BĐT August 1, 2015 Giải:  x   y    x  y   z  z  x  y   z  xy  x  y   xy   x  1 y  1 P    x  y  2  2  z  1  1 2z   z  1  z   z 1  2 1 z 1 1 z 1 z 1     z  1   z     z  1  2 42  42 Vậy MaxP   2 x  y  0; z  Câu 6: Cho số dương a; b; c Tìm giá trị lớn biểu thức: P  a  b  c  1 3   a  1 b  1 c  1 Hướng đi: Nhìn vào biểu thức P ta thấy a, b, c có vai trò nên ta dự đoán a  b  c  1 Khi P   3a3  1 f ' a    a  1 3a  3a  1  3a  1 3   f a  a  1  Đến ta dùng máy tính SOLVE thấy a  nghiệm phương trình Vì ta dự đoán a  b  c  Giải: Trước tiên ta cần chứng minh a b  a  b   a3  b3  ab  a  b    a3  a 2b    b3  b a     a  b   a  b     a  b   a  b   Tương tự ta chứng minh: c  a  b3  c3   Creation  c  1 1  (vì ta dự đoán c  ) 1 3 a  b    c  1    a  b  c  1   16 4 August 1, 2015 Sáng tạo BĐT Và ta dùng AM-GM cho ba số:  a  1 b  1 c  1 Do P  27 54  a  b  c   a  b  c  3 Đặt t  a  b  c  3, t   P  f ' t    a  b  c  3  2 t  2  54   f t  t2 t 162   t  81 t   t  t      t  9t  18  t  9t  18    t   t  9  17  Mà t   t  Vẽ bảng biến thiên ta thấy P  f    a  b  c  Câu 7: Cho a, b, c  thỏa c  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a  b2   c  a  1 b  1 c  1 8 Nhìn vào BĐT ta dự đoán a  b chắn toán đưa dồn biến c Giải: a  b 2 3  c  3   c   c  f c Cách 1: P  2  a  b    c  1 8   c   c  1 8  c  c  c   c  2 c  c   c                    f '(c )       (khúc đạo c  c          hàm thấm) Nên f  c  nghịch biến  P  f 1  a  b  c  Creation Sáng tạo BĐT August 1, 2015 Nhưng cách thời gian cho công việc đạo hàm tìm nghiệm đạo hàm Chính đưa thêm cách để bạn so sánh với cách Cách 2: Để ý ta thấy c  dự đoán a  b nên ta thử ngầm a  b  c  ta có cách sau 2 27  a  b  3  c   c a  b2 3 P   c   c 16 8  a  1 b  1 c  1 8  a  b  c  3 8 c  4c  1  c   c    0 16 16 Vậy MinP  a  b  c  Cả hai cách có ưu điểm khuyết điểm, quan trọng ứng dụng vào chúng, thử sáng tạo theo hướng bạn hiểu lại có kết Câu 8: Cho số thưc dương x; y; z thỏa điều kiện xy  z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: z2 z2 x2  y   x2  z y  z z2 P Đây dạng bất đẳng thức quen thuộc ta dễ dàng dự đoán x  y ta lại có thêm x  z Như vậy, nhiều khả toán đưa đẩy ta x  y  z Giải: Đặt a  P x 1   z x y ; b   ab   a  b2  2ab  z z   1   2 1 x  y        a2  b2   a2  b2 2 2 z z  a  b  a  b y      z Đặt t  a  b  2, t   P  t 2 t Đến ta khảo sát hàm số dùng Cauchy (AM-GM) sau: P 4 t   t       t      t  t  t 4 Vậy MinP  x  y  z Câu 9: Cho số thực dương x; y thỏa mãn x  y  xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Creation August 1, 2015 P Sáng tạo BĐT x2  y x2  y xy x3 y    x2  y2  x2  y y2  x Rõ ràng BĐT đưa ta đến x  y  Từ ta gỡ rối từ từ Giải:  x  y  xy  xy  xy  xy   xy   y2  1  x2  P   x2  y      xy     x 1 y 1   x  2y y  2y  Đến ta thấy xy  nên dùng BĐT 1   x  y  1  xy 2  x  y Vì P   x  y   xy  xy x  y2   x  y  2 xy  x  y  xy xy     xy  xy x  y  xy  xy Đặt t  xy, t   P  f '(t )  1  t  4t t 1 t    f (t ) đồng biến  4;   Vậy P  f (4)  36 x  y  Câu 10: Cho số dương x; y thỏa x  y  P  x  y   Tìm giá trị nhỏ biểu thức 8x x4  x2 y  y  y 4 x2 y   y x  y x  x  y x y Giải: Ta thêm cho P chút này: P  8x x4  x2 y2  y  y 4x2 y2   y x  y x  x  y y x  y Và toán để ý kĩ ta thấy bậc biểu thức tử P chia thành loại bậc bậc Từ ta có cách nhóm sau Creation August 1, 2015 Sáng tạo BĐT  x4  2x2 y  y  x2 y   x y P         x x  y y  x  y    y  x  y  x  x  y      x  y 2   x2 y   x y        x  x  y  y  x  y    y  x  y  x  x  y     x2  y   x y 4x2 y2  P chia thành hai loại đối xứng bất đối xứng  y  x  y x  x  y x  x  y y  x  y Và với học sinh đến đường ta liều cho x  y (ta dựa giả thiết đề x2  y  x  y   4x2 y2 2   x  y  biểu thức áp dụng BĐT   x  y  1  x  y  x  x  y y  x  y 2 Scharwz.) x  y  xy   x  y   16  x y   x  y 16 P        x x  y  y  x  y x  y  y x   x  y x y x y Đặt t  x  y , t  1; 2  P  t  16  f (t ) t Đến ta khảo sát hàm số sử dụng Cauchy (AM-GM) sau: 8 8 P  t    3 t  12 t t t t Vậy MinP  12 x  y  Câu 11: Cho a, b, c sô thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 49 1   50 4a  3c  bc 2c  3a  4b    5a  6b 2  32c Giải: Nhìn vào biểu thức P ta nghĩ đến việc thoát bc P 49 1   50 4a  4b  4c 2c  3a  4b   5a  6b  4c Creation 2  5a  6b   32c Thật vậy: August 1, 2015 Sáng tạo BĐT  72 72 20    400  a  b  c  400  a  b  c  400  2c  3a  4b    5a  6b  4c  342  400  5a  6b  4c    5a  6b  4c Đặt t  5a  6b  4c  2, t  P 342   f t  400t t  f 't    6t  204  74t  204    t  34 400t  t   5a  6b  4c a  3    b  Vẽ bảng biến thiên ta suy MinP  f  34   c  4b 200 5a  6b  4c   34 c    Câu 12: Cho a, b, c số thực dương thỏa ab  2c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a 1   10c a b Ta dự đoán a  b  c  Giải: Cách 1: Nhìn vào biểu thức P ta thấy có xuất GM cho P  1  làm ta liên tưởng đến việc biến đổi AMb a a 1  dạng Vì ta làm sau: a a a a 1 5  1    10c       1   10c     10c  3 a b a b a a  b 10  10c    10c  ab c 10 Creation August 1, 2015 Sáng tạo BĐT c  c  2t  P   40t   f  t  t Đặt t  f '  t   160t  0t  t   19 2 Vẽ bảng biến thiên ta thấy MinP  f    Vậy MinP  19 a  b  1; c  2 Nhưng với cách giải ta thấy thật gò bó không tự nhiên nên xin dẫn cách sau: Cách 2: P  a 1 1 5a   10c     10c a b a a 2c Bài toán trở thành hai biến việc lại ta sử dụng AM-GM để loại bỏ hết hệ số a c Chú ý 1 a  3  2c  2a 2a 4c 1 1 a   P      10  5.2c  1919   a a 2a a 4c  2a  Vậy MinP       2a  19 a  b  1; c  2 Câu 13: Cho a, b, c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a  2ab  b  2bc  c  2ca  P    abc   a  b  c  b c a Giải: P   a  2ab  b  2bc  c  2ca     abc   a  b  c  b c a a b2 c 1 1     ab  bc  ca        abc   a  b  c  b c a a b c Ta có: a2  b  2a b 11 Creation b2  c  2b c c2  a  2c a 10 19  a     2c    4c  August 1, 2015 Cộng vế theo vế ta Sáng tạo BĐT a2 b2 c2    abc b c a 1 a, b, c    a   b   c     abc   ab  bc  ca    a  b  c     abc   ab  bc  ca   4  a  b  c    2 18 1 1      5a  b  c  8 abc a b c Từ 1    P   a  b  c    Đặt t  a  b  c, t   P  5t  f 't   18   f t  t 5t  18 5.62  18    f  t  đồng biến  6;    P  f    41 t2 t2 Vậy MinP  41 a  b  c  Câu 14: Cho x, y, z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P   x  y  z   xy  yz  xz  xyz  1  x  y x  2z Giải: Theo giả thiết x, y, z    x  1 y  1 z  1   xyz  xy  yz  zx  x  y  z    xyz  xy  yz  zx   x  y  z Và 1    x  y x  2z  x  y    x  2z  x  y  z  P   x  y  z  x  y  z  1 x y z Đặt t  x  y  z , t   P  t  t  f '  t   2t   Vậy MinP  12   f t  t 2 2t  t   t    t  t  1 23    t   P  f  3  2 t t 23 x  y  z  Creation [...]... 1 1 1 a  1  P  2  2  3  3  10  5.2c 2  1919  2  2 a 2 a 2a 2 a 4c  2a  Vậy MinP  2  1   3   2a  2 19 1 khi a  b  1; c  2 2 Câu 13: Cho a, b, c  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a 2  2ab 2  2 b 2  2bc 2  2 c 2  2ca 2  2 P    abc  8  a  b  c  b c a Giải: P   a 2  2ab 2  2 b 2  2bc 2  2 c 2  2ca 2  2    abc  8  a  b  c  b c a a 2 b2 c 2 1 1... f 't   18  8  f t  t 5t 2  18 5.62  18   0  f  t  đồng biến trên  6;    P  f  6   41 t2 t2 Vậy MinP  41 khi a  b  c  2 Câu 14: Cho x, y, z  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 P   x  y  z   xy  yz  xz  xyz  1 1  x  2 y x  2z Giải: Theo giả thiết x, y, z  1   x  1 y  1 z  1  0  xyz  xy  yz  zx  x  y  z  1  0  xyz  xy  yz  zx  1 