Dao ham khao sat ham so hk1

Đạo hàm,KS hàm số BT liên hệ - Trang - Gv soạn: Phạn Văn Luật Phần I ĐẠO HÀM Đònh nghóa đạo hàm: Cho hàm số y=f(x) xác đònh (a;b) x0∈(a;b) f (x + ∆ x) − f (x ) ∆y = lim a) f’(x0) = lim đạo hàm f(x) x0 ∆ x→ ∆ x ∆ x→ ∆x ∆y b) f’(x0+) = lim+ đạo hàm bên phải f(x) x0 ∆ x→ ∆ x ∆y c) f’(x0−) = lim− đạo hàm bên trái f(x) x0 ∆ x→ ∆ x Sự có đạo hàm: f’(x0+) = f’(x0−) = A ⇔ f’(x0) = A d) f(x) có đạo hàm khoảng (a;b) ⇔ f(x) có đạo hàm ∀x0∈(a;b)  f (x) có đạo hàm (a; b)  + e) f(x) có đạo hàm [a;b] ⇔  ∃ f' (a )  ∃ f' (b − )  Dùng đònh nghóa để tính đạo hàm hàm số y=f(x) x ∈(a;b) ⊂ D (Tập xác đònh hàm số): • Cho x số gia ∆x, tìm ∆y = f(x+∆x) − f(x) ∆y • Lập tỷ số ∆x ∆y = f ' (x) , giới hạn tồn • Tìm lim ∆ x→ ∆x Tiếp tuyến đường cong phẳng (C): y = f(x): A Ý nghóa hình học đạo hàm: Hệ số góc tiếp tuyến (C): y = f (x) tiếp điểm M0(x0;y0) k = f’(x0) B Phương trình tiếp tuyến: Của (C): y = f(x) M0(x0;y0) có dạng: y−y0 = f’(x0)(x−x0) (1) Viết (1) phải tìm x0; y0 f’(x0) Bảng quy tắc tính đạo hàm: Cho u,v,w hàm số có biến số x, có đạo hàm theo x u’,v’,w’ Ta có: 1) (u ± v)’ = u’ ± v’ Mở rộng :(u ± v ± w)’ = u’ ± v’± w’ 2) (u.v)’ = u’v+u v’ Hệ : (ku)’ = k.u’ , k: số u u' v − u v' 3) ( )’ = v v2 k kv' Hệ : ( )’ = − , v≠0, k: số v v 4) (y[u(x)])’ = y’u.u’x ( đạo hàm hàm số hợp ) Đạo hàm,KS hàm số BT liên hệ - Trang - Gv soạn: Phạn Văn Luật Bảøng đạo hàm : Đạo hàm hàm số sơ cấp (C)’ = với C số (x)’ = (x α )’ = αxα − 1 ( )’ = − (x≠0) x x ( x )’ = (x>0) x (sinx)’ = cosx (cosx)’ = − sinx π (tgx )' = = 1+tg2x (x ≠ + kπ , k ∈ Z ) cos x (cot gx)' = − = − (1+cotg2x) sin x (x ≠ kπ , k ∈ Z ) (ex)’ = ex (ax)’ = ax.lna (0  f ' (x ) =  ⇒ x0 điểm cực đại hàm số y = f(x)  f ' ' (x ) < Các quy tắc tìm cực trò hàm số y = f(x) : Quy tắc I Phương pháp: • Tìm tập xác đònh D hàm số • Tìm f’(x) tìm điểm tới hạn x0∈ D • Xét dấu f’(x) bảng biến thiên • Dựa vào dấu hiệu I suy điểm cực trò Quy tắc II Phương pháp: • Tìm tập xác đònh D hàm số • Tính f’(x) giải phương trình f’(x)= để tìm nghiệm xi (i=1,2….) • Tính f’’(x) • Từ dấu f’’(xi), dựa vào dấu hiệu II, suy tính chất cực trò f(x) Một số vấn đề có liên quan đến cực trò : • Đường thẳng qua cực đại cực tiểu đồ thò hàm số y = f(x) = ax3+bx2+cx+d (a≠0 b2−3ac>0) thực theo bước : o Tìm y’ Tìm điều kiện để hàm số có cực trò ⇔ a≠0 ∆’ = b2−3ac>0 o Chia y cho y’ ta dư αx+β o Khi hàm số y = f(x) = ax3+bx2+cx+d = (Ax+B)y’ +αx+β o Gọi x0 điểm cực trò hàm số y = f(x) Theo đònh lý Fermat: ⇒ y’(x0) = ⇒ y(x0) = (Ax0+B)y’(x0) +αx0+β = αx0+β Vậy đường thẳng qua cực đại cực tiểu đồ thò hàm số y = f(x) = ax3+bx2+cx+d (a≠0 b2−3ac>0) d: y = αx+β  Phương trình đường thẳng qua điểm cực trò đồ thò hàm bậc : y= b2 bc (c − )x + d − 3a 9a  Đường thẳng qua cực đại cực tiểu (nếu có) đồ thò hàm số y = f(x) = ax + bx + c có phương trình : a' x + b' y= (ax + bx + c)' 2ax + b = (a' x + b' )' a' Đạo hàm,KS hàm số BT liên hệ - Trang - Gv soạn: Phạn Văn Luật III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1.Đònh nghóa : Cho hàm số y = f(x) xác đònh tập D Đònh nghóa:  ∀ x ∈ D : f (x ) ≤ M Max f (x) = M ⇔  D  ∃ x ∈ D : f (x ) = M  ∀ x ∈ D : f (x) ≥ m Min f (x) = m ⇔  D  ∃ x ∈ D : f (x ) = m Hẳn nhiên : Nếu D=[a;b] M m đồng thời tồn m ≤ f(x) ≤ M với ∀x∈[a;b] Cách tìm giá trò lớn giá trò nhỏ hàm số: • Xác đònh tập D • Tìm điểm tới hạn xi∈D (i = 1,2,…) (nếu có) Tìm: o Giá trò f(xi) tương ứng (nếu có); o Giá trò mút (nếu D = [a;b] tìm f(a) f(b) ); o Tìm giới hạn bên (nếu D=(a;b) tìm xlim f(x) xlim f(x) ); → a+ → b− • o Tìm giới hạn vô tận (nếu D = (−∞ ; a] tìm xlim → − ∞ f(x) D = [a;+∞) tìm xlim → + ∞ f(x) ) Lập bảng biến thiên (hoặc so sánh giá trò hàm số đoạn), dựa vào mà kết luận IV TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ o 1)Khái niệm tính lồi, lõm điểm uốn : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp khoảng (a;b), có đồ thò (C) Giả thiết điểm thuộc khoảng (a;b) đồ thò (C) có tiếp tuyến Xét cung ACB với A(a;f(a)); B(b;f(b)) C(c;f(c))  Cung cung lồi (C) điểm cung nằm phía (C) Khoảng (a;c) gọi khoảng lồi đồ thò tiếp tuyến  Cung cung lõm (C) điểm cung tiếp tuyến nằm phía (C) Khoảng (c;b) gọi khoảng lõm đồ thò Điểm C phân cách cung lồi cung lõm gọi điểm uốn đồ thò Tại điểm uốn tiếp tuyến xuyên qua đồ thò Đạo hàm,KS hàm số BT liên hệ - Trang - Gv soạn: Phạn Văn Luật 2) Dấu hiệu lồi, lõm điểm uốn : 1) Đònh lý : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai khoảng (a;b) a Nếu f”(x) < với x∈(a;b) đồ thò hàm số lồi khoảng b Nếu f”(x) > với x∈(a;b) đồ thò hàm số lõm khoảng 2) Đònh lý : Cho hàm số y = f(x) liên tục lân cận điểm x0 có đạo hàm tới cấp hai lân cận Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu x qua x0 điểm M0(x0;f(x0)) điểm uốn đồ thò hàm số cho 3) Tóm tắt : a) Tính lồi, lõm đồ thò: x a b X a b − y” y” + Đồ thò Đồ thò lồi hàm lõm hàm số số b) Điểm uốn đồ thò: x y” Đồ thò hàm số x0 + (−) − (+) Điểm uốn M0(x0;f(x0)) V TIỆM CẬN 1) Đònh nghóa : a) Giả sử M(x;y)∈(C):y = f(x) Ta nói (C) có nhánh vô cực hai tọa độ x, y điểm M(x;y) dần tới ∞ Khi ta nói điểm M(x;y) dần tới ∞ (vì OM= x + y → + ∞ ) Ký hiệu M→ ∞ b) Giả sử đồ thò (C) có nhánh vô cực Cho đường thẳng d Kí hiệu MH khoảng cách từ điểm M(x;y)∈(C) đến đường thẳng d lim MH = d tiệm cận (C)⇔ (MM→∈ (∞C )) 2) Cách xác đònh tiệm cận (C): y = f(x) : 1.Tiệm cận đứng : Đònh lý : f (x) = ∞ d: x = x0 tiệm cận đứng (C) Nếu xlim → x Mở rộng : lim f (x) = ∞ f (x) = ∞ ) d: x = x tiệm cận đứng bên Nếu x → x +0 (hoặc xlim − → x0 trái (bên phải) (C):y = f(x) Đạo hàm,KS hàm số BT liên hệ -Trang - Gv soạn: Phạn Văn Luật 2.Tiệm cận ngang : f (x) = y d: y = y0 tiệm cận ngang (C) Đònh lý : Nếu lim x→ ∞ f (x) = y (hoặc xlim f (x) = y ) d: y = y0 tiệm cận ngang bên Mở rộng : Nếu xlim → −∞ → +∞ trái (bên phải) (C):y = f(x) 3.Tiệm cận xiên : Đònh lý : Điều kiện có đủ để đường thẳng d:y = ax+b (a≠0) tiệm cận xiên đồ thò (C) : lim[f (x) − (ax + b)] = x→ + ∞ hoặc Mở rộng : lim[f (x) − (ax + b)] = x→ − ∞ lim [f (x) − (ax + b)] = x→ ∞ [f (x) − (ax + b)] = d:y=ax+b (a≠0) tiệm cận xiên bên phải Nếu xlim → +∞ (C):y=f(x) [f (x) − (ax + b)] = d:y=ax+b (a≠0) tiệm cận xiên bên trái • Nếu xlim → −∞ (C):y=f(x) [f (x) − (ax + b)] = d:y=ax+b (a≠0) tiệm cận xiên hai bên • Nếu lim x→ ∞ (C):y=f(x) Cách tìm hệ số a b đường tiệm cận xiên y = ax+b: f (x) [f (x) − ax] Tìm giới hạn : a= lim b= lim x→ ∞ x→ ∞ x Chú ý : f ( x) [f (x) − ax] d:y = ax+b (a≠0) tiệm cận xiên bên trái • Nếu a= xlim b= xlim → −∞ → −∞ x (C):y = f(x) f ( x) [f (x) − ax] d:y = ax+b (a≠0) tiệm cận xiên bên phải • Nếu a= xlim b = xlim → +∞ → +∞ x (C):y = f(x) VI KHẢO SÁT HÀM SỐ A.Đường lối chung : 1.Tập xác đònh Tính chẵn, lẻ, tuần hoàn ( có) hàm số 2.Đạo hàm y’: Để khảo sát tính đơn điệu, cực trò hàm số 3.Đạo hàm y’’ : Để tìm khoảng lồi, lõm điểm uốn đồ thò 4.Các giới hạn, tiệm cận đồ thò ( có ) hàm số 5.Bảng biến thiên: Ghi chiều biến thiên kết y’, y 6.Giá trò đặc biệt : Thường cho x = để tìm giao điểm đồ thò với Oy (nếu có) Cho • Đạo hàm,KS hàm số BT liên hệ - Trang - Gv soạn: Phạn Văn Luật Đạo hàm,KS hàm số BT liên hệ -Trang 10- Gv soạn: Phạn Văn Luật y=0 để tìm giao điểm đồ thò với trục Ox (nếu có) ta tìm thêm vài điểm khác 7.Vẽ đồ thò nhận xét đồ thò : Nét vẽ mảnh, đẹp đúng, đủ Thể cực trò, điểm uốn , lồi, lõm, tiệm cận (nếu có) đồ thò Nhận xét tính chất đặc trưng đồ thò B.Khảo sát vẽ đồ thò : I.Hàm số y = f(x) = ax3+bx2+cx+d (a≠0) : Dạng đồ thò : Stt Tính chất ad-bc > Tính chất Dạng d c a Tiệm cận ngang y = c Tiệm cận đứng x = − Dạng a>0 ad-bc < b' ax + bx + c (Điều kiện: ax + bx + c ≠ với x0= − a’ ≠ 0) a' a' x + b' Dạng đồ thò : Đồ thò hàm số hữu tỉ 2/1 nhận giao điểm I hai tiệm b' a cận x = − y= x + p làm tâm đối xứng có bốn dạng: a' a' IV Hàm số y = f(x) = y’> ( y’≥ 0) y’ = ⇔ x = x1 V x = x2 a0 a0 cực trò, điểm uốn b0 y’> y’ = ⇔ x = x1 V x = x2 III.Hàm số y = f(x) = Đồ thò hàm số hữu tỉ 1/1 nhận giao điểm I hai tiệm cận x = − y’ = ⇔ x = x1 V x = x2 d a y = c c aa’