PHẦN 11 bài TOÁN TỔNG hợp

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Câu 1... Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcCâu 1.. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:... Tìm giá trị lớn nhất của biểu abc P... Chứng minh rằng:... Do

PHẦN 11 BÀI TOÁN TỔNG HỢP

11.1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 1 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z≥ ≥ và x y z+ + =3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x z 3y

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 đạt khi x=y=z=1

Câu 2 Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức:

x (y z) y (z x) z (x y) P

P ≥ 2(x + y + z) = 2 ∀x, y, z > 0 và x + y + z = 1Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 13 Vì vậy, minP = 2

Câu 3 Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a b c+ + = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcM = 4a +9b+16c + 9a +16b+4c + 16a +4b+9 c

+ Vậy M ≥ 3 29. Dấu bằng xảy ra khi a b c= = = 1.

Câu 4 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn : x y z+ + = 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của

15 1

Câu 6 Cho x,y ∈ R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của ( 3 3) ( 2 2)

− ≥ − nên ta có2

3 2

2 2

4

2 1

1 )

(

1 )

(

1

z y z

x y

+ +

1 )

1 (

1 )

1 (

1 )

1 ( 8

1 )

1 (

1 )

1 (

1

x z

y x

y z

P

+

−

+ +

+ +

1 (

1 )

1

(

1

y z y

z yz yz

z

+

≥ +

+

2 2

2 2 2

2

) ( ) 1 )(

( 2

)

1

(

) 1 ( 2 ) )(

1 ( ) 1 ( 2 ) 1

)(

(

2

y z zy y

z zy

yz zy z

y zy yz

zy y

z

+ + + + +

+

≥

+ +

− +

+ + + +

+

⇔

0 4 ) ( ) 1 ( 2

4 2 ) )(

1

0 ) 1 ( )

) 1 ( 2

2 2

2

x x

z y

) 1 ( 1

1 1

1 )

1 (

1 )

1

(

1

x x

yz z

+

≥

⇒

x x

≥

8

1 4

4

Xét

t t t

f

−

+ +

=

8

1 4

4 )

) 8 ( ) 4 (

240 72 3 )

8 (

1 )

4 (

4 )

( '

t t

t t t

t t

f

− +

− +

−

=

−

+ +

−

=

20

; 4 0

240 72 3 0

T 0 4 8

f’(t) - 0 +

f(t)

8 9

∞ +

4 3

Do đó

4

3 ) ( ≥

=

=

= +

1

3 1

1

4 ) 1

z y

x z

y x

z y x

Vậy

4

3 minP= khi x= − 3 ,y=z= 1

Câu 11 Cho các số thực dương a,b,c thỏa a + b + c =3 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1

Vậy MinP 3 = khi a = b = c = 1

Câu 12 Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện (x+ y) 3 + 4xy≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức P= 3 (x2 +y2 ) 2 − 2 (x+y) 2 −xy( 3xy− 4 ) + 2015

Với mọi số thực x, y ta luôn có (x+y) 2 ≥ 4xy, nên từ điều kiện suy ra

− +

+ +

2

+ +

− + +

+

Do

2

) ( 2 2 2 4

− +

Do đó GTNN của P bằng

16

32233, đạt được khi và chỉ khi

a c c b

c b b a

b a S

2 2

2

3 3 3 3 3 3

+

+ + +

+ + +

7 2

+

x x

1 (

18

*

2

2 3

≥ +

−

⇔

+ +

≥ +

⇔

x

x

x x

b b

a

;

;

; 18

5 18

7

2

2 2

5 18

7 2

2 2 3

c b

5 18

7 2

2 2 3

a c

a

+ +

Từ các đảng thức trên suy ra ( ) 2

18

a 12

S ≥ 2 +b2 +c2 =Vậy MinS =2 khi a=b=c=1

Câu 19 Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: 2 2 2 3

4

x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= 8xyz+ 1 + 1 + 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng4 3 Dấu bằng xảy ra khia b c= = = 3.

Câu 21 Cho x y, ∈ ¡ thỏa mãn

b P

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng

-16

1 khi

+

= + +

=

2

1 4

2

2

b

c a c

b a

c b c b a

c b

x= = =y z

11.2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 1 Cho a b c, , là các số dương và a b c+ + = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 3 Cho x y z, , là ba số dương có tổng bằng 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: P= 1 − +x 1 − +y 1 −z

+ Áp dụng BĐT AM-GM, ta có

( )

2 1

P khi a = b = c = 1 Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 12 khi a = b = c = 1

Câu 6 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: yz zx xy 1

x + y + z = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1

≤ + = Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =1/3

Câu 7 Cho a b c, , là các số thực dương và a b c+ + = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu

abc P

6, đạt được khi và và chi khi : a b c= = = 1.

Câu 8 Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a2009 + b2009 + c2009 = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a4 + b4 + c4

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2005 số 1 và 4 số a2009 ta có:

2009

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4 2005

1 1 11 4 2 43+ + + +c +c +c +c ≥ 2009. c .c .c .c = 2009 (3)c

Từ (1), (2), (3) ta được: 6015 4( + a2009 +b2009 +c2009 ) 2009( ≥ a4 + +b4 c4 )

⇔ 6027 2009( ≥ a4 + +b4 c4 ) Từ đó suy ra P a= 4 +b4 + ≤c4 3

Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3

Câu 9 Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn 5(x2 +y2 +z2 ) = 9(xy+ 2yz zx+ ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 1 3

x P

12 6

y z

y z

y z

Câu 10 Cho các số thực dương x y, thỏa mãn 3 ln 1 9 3 3

3

x y

xy x y xy

+ + + = − − Tìm giá trị

) 2 (

Câu 14 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 8(a2 +b2+c2)=3(a+b+c)2.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a(1 – a3) + b(1 – b3) + c

+) Từ giả thiết ta có: 5c2 – 6 (a+b)c + (a+b)2 ≤ 0 ⇔ 1( )

5 a b+ ≤ ≤ +c a b.+) Ta có 4 4 1( )4 ,

+ 0 - f(t)

3

3 4 2

+) MaxP =

3 3

3

4

3 4

2 2

4

a b c

Câu 15 Cho 3 số thực không âm x, y, z thoả x2 + y2 + z2 = 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = xy + yz + zx + x+5y+z

− >0 ;

3 ≤ ≤t 3 f( 3)= 5/ 3 ; f(3)=14/3

Vậy Max f(t) = 14/3 với 3 ≤ ≤t 3

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1

Vậy Max A = 14/3 khi x=y=z =1

Câu 16 Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn:

2 2

x + y z + + + x + + + z y = + +Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

+ +

≤ + + +

+ +

Xét hàm số: 1 362 6

2

x f(x)

3x

+

= +

+ với x>0.

Đẳng thức xảy khi và chỉ khi x = 8 ⇒ m ax ( ) 12 2 4 7f x = + khi x= 8.

Vậy min ( ) 2f x = khi x= 2 và m ax ( ) 12 2 4 7f x = + khi x= 8

Câu 2 Cho x, y là các số thực thỏa mãn ( 2 2 )2 2 2 2 2

Câu 3: Cho x,y là 2 số thực thỏa mãn 4 4 ( )2

x +16y + 2xy+1 =2 Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : P=x x +3 +2y 4y +3( 2 ) ( 2 )

Câu 4 Cho ba số thực x y z, , thoả mãn: x2 +y2 +z2 ≤ 2x− 4y− 1 Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 2(x z+ − ) y.

• Với T = − 2 thì M là giao điểm của mp( )β : 2x y− + 2z+ = 2 0

Và đường thẳng ∆ đi qua I và ⊥( )β

x y z

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b c= = = 1

Câu 2 Cho a > 0, b > 0, c > 0 Chứng minh rằng

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c= = =1

Câu 3 Cho a b c, , là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ab bc ca+ + = 3. Chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc= 1,ab bc ca+ + = ⇒ = = = 3 a b c 1, ( , ,a b c> 0).

Câu 4 Cho x, y, z là ba số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 3

Chứng minh rằng với ∀ ≥a 1 ta luôn có : 1x 1y 1z x x y y z z.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 (đpcm)

Câu 5 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng:

Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương

*áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 2;b= 3;c= 1.

Vậy bất đẳng thức (2) đúng Do đó bất đẳng thức (1) được chứng minh

Câu 9 Cho a, b, c là ba số thuộc đoạn [0; 1] Chứng minh: