Pre VMO TỔNG HỢP MỘT SỐ BÀI TOÁN TỪ DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF

CÁC BÀI TOÁN ĐƯỢC ĐĂNGCâu 14: Đề của namcpnh Cho trước số nguyên dương n.. Chứngminh rằng đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, A2B2C2 đi qua trựctâm của tam giác

Trang 1

LƯU GIANG NAM

K14 - Khoa Toán Tin - ĐH Khoa học Tự nhiên

Trang 2

TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN

PRE VMO 2015

Người làm : Lưu Giang Nam (namcpnh)

K14, ĐH KHTN TPHCM Nguồn trang : diendantoanhoc.net/forum

Thành phố Hồ Chí Minh

Tháng 3 năm 2015

Trang 1

Trang 3

Câu 2: ( Đề của namcpnh )

Cho dãy số (an) thỏa mãn điều kiện:

= 12

h

f x2013

+ f y2014

i, ∀x, y ∈ R

Cho x, y, z là các số thực không âm đôi một khác nhau Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(x + y + z)2

1(x− y)2 + 1

(y− z)2 + 1

(z− x)2

Cho P (x) và Q(x) là hai đa thức hệ số nguyên sao cho đa thức P (x3) + xQ(x3) chia hết cho

x2+ x + 1 Gọi d là ước chung lớn nhất của P (k), Q(k) (k ∈ N∗) Chứng minh rằng d chia hếtcho k− 1

Câu 6: (Đề của Daicagiangho1998 )

Tìm tất cả các hàm f : R→ R ,f(0) = 0, f(1) = 2014 thỏa mãn:

(x− y)(f(f2(x))− f(f2(y))) = (f (x)− f(y))(f2(x)− f2(y))với mọi số thực x, y

Trang 4

1.1 ĐẠI SỐ- GIẢI TÍCH CHƯƠNG 1 CÁC BÀI TOÁN ĐƯỢC ĐĂNG

Tìm tất cả các hàm f : R→ R thỏa mãn với mọi số thực x, y:

f (f (x)− y) = f(x) + f(f(y) − f(−x)) + xCâu 8: (Đề của Daicagiangho1998 )

Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác Chứng minh rằng:

Cho a, b, c > 0, n là số nguyên dương Chứng minh rằng:

Câu 10: (Đề của Bui Ba Anh )

Cho a; b; c là các số thực không âm sao cho a + b + c > 0 CMR:

Câu 12: (Đề của Juliel )

Cho hai dãy số dương (xn), (yn) xác định bởi x1 = y1 = √3

2 và :

9xn+1 = 4xn+1y2

n+1− 9xn

9yn+1 = 4yn+1x2

n+1+ 9yn , ∀n ∈ N∗Chứng minh hai dãy này có giới hạn hữu hạn và tính các giới hạn này

Câu 13: (Đề của banhgaongonngon )

Cho dãy số (xn) xác định bởi:

Trang 5

Câu 14: (Đề của namcpnh )

Cho trước số nguyên dương n Xét đa thức P (x) và Q(x) không là đa thức 0 có hệ số thựcthỏa mãn:

i) Bậc của P (x) nhỏ hơn n + 1

ii) Q(x) là đa thức chuẩn tắc bậc n + 1 có đúng n + 1 nghiệm phân biệt bi đã sắp thứ tự.iii) P (bi).Q′(bi) < 0 với mọi số bi

Chứng minh rằng P(x) không có nghiệm bội

Cho dãy số xác định bởi:

u0 = 1, u1 =−1

un+1= kun− un −1,∀n ∈ NTìm tất cả các giả trị k ∈ Q để (un) là dãy tuần hoàn

Câu 18: (Đề của WhjteShadow )

Tìm hàm f liên tục R → R sao cho f(x) − f(y) ∈ Q∀x − y ∈ Q

Câu 19: (Đề của pndpnd )

Cho đa thức f (x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d thuộc R thỏa mãn f (x) 6 1 với mọi xthuộc R và |x| 6 1

Chứng minh với mọi x thuộc R và |x| 6 1 ta có |dx3+ cx2+ bx + a| 6 4

Câu 20: (Đề của deathavailable )

2015

X

n=1

14un+ 3, n∈ N, n ≥ 1

Tìm phần nguyên của Sn

Câu 22: (Đề của binvippro )

Giải hệ phương trình

x√y + y√

x + 2(x + y− xy) = 4

xp

x2+ 3xy + yp

y2+ 3xy = 4

Trang 6

Câu 23: (Đề của ducvipdh12 )

Hãy tìm tất cả các tập A gồm hữu hạn số thực có tính chất sau:

Nếu x thuộc A thì f (x) = x3− 3 |x| + 4 cũng thuộc A

n=1

1 4u n +3 với mọi n∈ N, n ≥ 1

Chứng minh dãy số Un có giới hạn và tìm giới hạn đó

Câu 28: (Đề của khanghaxuan )

Trang 7

1.2 HÌNH HỌC CHƯƠNG 1 CÁC BÀI TOÁN ĐƯỢC ĐĂNG

1.2 Hình học

Về phía ngoài tam giác ABC dựng các tam giác A1BC, B1CA, C1AB theo thứ tự vuông cân tại

A1, B1, C1.A2, B2, C2 theo thứ tự là ảnh đối xứng của A, B, C qua B1C1, C1A1, A1B1 Chứngminh rằng đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, A2B2C2 đi qua trựctâm của tam giác A1B1C1

Câu 2: (Đề của hoangtubatu955 )

Cho đường tròn (O) và điểm M cố định (M nằm ngoài (O)) Kẻ tiếp tuyến M A và cát tuyến

M BC ( B nằm giữa M và C) Một đường tròn tâm J thay đổi đi qua B, C lần lượt cắt

AB, AC tại H, G Gọi I là giao điểm của BG và CH; W là giao điểm của HG với BC.a) Chứng minh rằng giao điểm của JI và W A luôn di động trên một đường cố định

b) Chứng minh rằng đường trung bình tương ứng với cạnh W I của tam giác AIW luôn điqua một điểm cố định

Câu 3: (Đề của Nxb )

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Đường thẳng song song với BC cắt (O) tại

D và E Đường thẳng AD và AE lần lượt cắt tiếp tuyến tại B và C đối với (O) tại F và G

CF cắt BG tại H Chứng minh rằng AH đi qua trung điểm của BC

Câu 4: (Đề của BlackSelena )

Cho tam giác ABC và 1 đường tròn (O) Gọi A′B′C′ là tam giác đường tạo thành bởi 3 đườngđối cực của lần lượt A, B, C với (O)

Khi đó AA′, BB′, CC′ đồng quy

Câu 5: (Đề của BlackSelena )

Cho tam giác ABC, M là 1 điểm trong tam giác AM, BM, CM cắt BC, CA, AB tại A1, B1, C1.(AB1C1) cắt (O) tại A2 Tuơng tự có B2, C2 X ≡ B2C2∩ BC, tương tự có Y, Z

Chứng minh O là trực tâm △XY Z

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) H là hình chiếu của A xuống BC, AK là đườngkính của (O) I và J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc A của ∆ ABC.Chứng minh rằng [BIH = [CIK và [BJH = [CJK

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), E, F lần lượt thuộc cạnh AC, AB M, N, P lần lượt là trungđiểm EF, BE, CF Q là hình chiếu của O lên EF Chứng minh rằng M, N, P, Q đồng viên

Câu 9: (Đề bài của hoangtubatu955 )

Cho tam giác ABC có trực tâm H Đường cao BE, CF CF cắt đường tròn ngoại tiếp tamgiác ABC tại M Gọi X là điểm thỏa mãn \XM A = \XHB = 90o

Gọi K là điểm đối xứng của B qua CH Chứng minh rằng: CK, XA, EF đồng quy

Cho tứ giác ABCD hai đường chéo AC và BD giao nhau tại E.M, N thuộc AB sao cho

Trang 8

1.2 HÌNH HỌC CHƯƠNG 1 CÁC BÀI TOÁN ĐƯỢC ĐĂNG

AM = M N = N B; P, Q thuộc CD sao cho DP = P Q = QC M Q giao AC tại K N P giao

BD tại L M Q giao N P tại I

Chứng minh rằng EI luôn đi qua trung điểm của KL

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Đường tròn (ω) tiếp xúc với AB,AC và tiếp xúc trong với (O)tại S Đường tròn bàng tiếp góc A là (J) tiếp xúc với BC tại D Chứng minh [SAB = \DAC.Câu 12: (Đề của Daicagiangho1998 )

Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với 3 cạnh tại M, N, P Gọi R, Slần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và diện tích tam giác ABC Kí hiệu

PXY Z chỉ nửa chu vi của tam giác XY Z CMR:

P2

M N P ≤ PABC.S

2R

Cho ngũ giác ABCDE Điểm F thuộc AB sao cho ∆ADE ∼ ∆ECF ∼ ∆DBC Chứng minhrằng AFBF = EFCF22

Câu 14: (Đề của nntien )

Cho hình thoi ABCD có∠C = 60o Lấy một điểm M trên đường tròn tâm C, bán kính CB, Mkhác B, D Gọi A′, B′, D′ lần lượt là hình chiếu của M lên các đường thẳng BD, AD và AB.Chứng minh rằng tam giác A′B′D′ là tam giác vuông

Câu 15: (Đề của Huong TH Phan )

Cho 5 đường tròn (A);(B);(C);(D);(E) tiếp xúc vs nhau (đường tròn (C) nằm trong và 4 đườngtròn còn lại bao quanh sao cho 2 đường tròn lần lượt tiếp xúc nhau)

Biết các bán kính của 4 đtròn A, B, D, E là a, b, d, e Tính bán kính c của (C)

Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp (O), gọi P, Q theo thứ tự là giao của các cặp (AD, BC), (AB, CD).Gọi H, I, K theo thứ tự là trung điểm của BD, AC, P Q

Chứng minh PK/(O) = KH.KI

Câu 17: (Đề của tohoproirac )

Tam giác ABC có AB > AC D là chân đường phân giác trong của A.F, E lần lượt trên

AC, AB sao cho BCF E nội tiếp CM tâm ngoại tiếp (DEF ) là tâm nội tiếp tam giác ABCkhi và chỉ khi BE + CF = BC

Trang 7

Trang 9

1.3 TỔ HỢP- SỐ HỌC- RỜI RẠC CHƯƠNG 1 CÁC BÀI TOÁN ĐƯỢC ĐĂNG

1.3 Tổ hợp- Số học- Rời rạc

Câu 1: ( Đề của namcpnh)

Tô tập số nguyên bởi 4 màu x, y là số nguyên lẻ thỏa mãn |x|khác |y| CMR: tồn tại 2 sốnguyên cùng màu có hiệu thuộc x, y, x + y, x− y

Câu 2: ( Đề của namcpnh)

2014 lên bảng Ta thực hiện công việc xóa đi hai số a, b bất

kỳ trên bảng đồng thời điền lên bảng một số mới là a + b− 2014ab Sau một số hữu hạn lầnthực hiện, trên bảng chỉ còn một số Số đó là số nào?

Câu 3: (Đề của tohoproirac )

Tìm tất cả c∈ N sao cho tồn tại a, b ∈ Z thỏa mãn an+ 2n là ước của bn+ c với n∈ Z+ Vớimỗi bộ (a, b, c) ở trên mà c lớn nhất, chứng minh rằng a, b không đồng thời là hai số chínhphương

Câu 4: (Đề của Mikhail Leptchinski )

Chứng minh rằng:tồn tại 16 số tự nhiên liên tiếp sao cho không có số nào trong 16 số có thểbiểu diễn dưới dạng |7x2+ 9xy− 5y2|(a, b ∈ R)

Câu 5: (Đề của LNH )

Cho một ngôi trường có n khóa học và n học sinh Các học sinh đăng kí vào lớp học, không có

2 học sinh nào tham gia các khóa học hoàn toàn giống nhau CMR: ta có thể đóng cửa mộtkhoá học sao cho vẫn không có hai học sinh nào tham gia các khoá học hoàn toàn giống nhau.Câu 6: (Đề của LNH )

Cho 35 người đi dự một buổi họp Có tất cả 112 căp hai người quen nhau Chứng minh rằngtồn tại 4 người a, b, c, d sao cho a quen b, b quen c, c quen d và d quen a

Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố (p, q, r) thoả :

(p2− 7)(q2 − 7)(r2− 7)

là một số chính phương

Tìm các số nguyên dương m, n thoả :

10m− 8n = 2m3

Câu 9: (Đề bài của HoangHungChelski )

Tìm (a, b, m, n) nguyên dương thỏa mãn:

am− bm = (a− b)nCâu 10: (Đề của Zaraki )

Giải phương trình nghiệm nguyên 406 + 3n+ 9n+ 60n= m4

Trang 10

Câu 11: (Đề bài của namcpnh )

Hai người An và Bình chơi trò chơi bốc kẹo Trên bàn có 2015 viên kẹo Số kẹo mà hai người

có thể bốc là 1; 2; 6

a) Hỏi ai là người có chiến lược thắng?

b) Câu hỏi tương tự với 2016 viên kẹo?

Câu 12: (Đề của Ispectorgadget) Cho a1, a2, a3 là một dãy số thực dương Giả sử với một số nguyên

dương s cho trước, ta có:

an= max{ak.an−k : 1≤ k ≤ n − 1}

với mọi n > s

Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương l và N , với l≤ s thỏa mãn an = al.an −l∀n ≥ N

Câu 13: ( Đề của Ispectorgadget)

Cho dãy hữu hạn a0, a1,· · · , aN thỏa mãn a1 = aN = 0 và

ai+1− 2ai+ ai −1 = a2i, ∀i = 1, 2, 3, · · · , N − 1Chứng minh ai ≤ 0, ∀i = 0, 1, 2, · · · , n

Chứng minh rằng: p≥ q + 2

Câu 16: (Đề của maths281997)

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại các số thực phân biệt khác 0 a1, a2, anmà:

3 cm

Câu 18: (Đề của ducvipdh12 )

Có tồn tại hay không một đa giác đều 600 cạnh trong mặt phẳng tọa độ Descartes Oxy màtọa độ các đỉnh của nó đều là số hữu tỉ?

Câu 19: (Đề của pndpnd )

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất, n > 0 sao cho tổng Pn

i=1p2000

i chia hết cho 120 với p1; p2; p3;

là các số nguyên tố tùy ý lớn hơn 10

Trang 9

Trang 11

Câu 20: (Đề của Bui Ba Anh )

Các học sinh được phát bài kiểm tra, mỗi môn một bài trong n (n ≥ 3) môn học Biết rằngvới mỗi môn bất kỳ có 3 học sinh đạt điểm tối ưu, còn 2 môn tùy ý thì có 1 học sinh đạt điểmtối ưu cho cả 2 môn Xác định n bé nhất sao cho từ điều kiện suy ra có đúng 1 học sinh đạtđiểm tối ưu cho cả n môn

Câu 21: (Đề của halloffame )

Cho n là số nguyên dương khác 1 và A là tập các số nguyên từ 1 đến 2n Gọi tập con B của

A là chẵn chòi nếu với mỗi cặp (x; y) với x, y thuộc A, x khác y, x + y là một luỹ thừa của 2thì đúng một trong hai số x, y thuộc B Hỏi có bao nhiêu tập con chẵn chòi B như vậy ?

Câu 22: ( Đề của Trung Gauss )

Số nguyên lẻ n ≥ 3 được gọi là "đẹp" khi và chỉ khi tồn tại một hoán vị (a1, a2, , an) của các

số (1, 2, , n) sao cho các tổng sao đây đều là các số nguyên dương

a1−a2+a3− −an −1+an; a2−a3+a4− −an+a1; a3−a4+a5− −a1+a2; an−a1+a2− −an −2+an −1

Hãy xác định tập hợp tất cả các số nguyên dương "đẹp" như vậy

Trang 12

Chương 2

Bài giải được đăng

2.1 Đại số- Giải tích

Câu 1: (Bài giải của hoangtubatu955 )

Đầu tiên dễ thấy f hằng không thỏa mãn:

Khi đó từ giả thiết ta có ngay f đơn ánh

Cho y = 0 vào (1) ta có: f (0).f (x) + f (0) = 0;∀x ∈ R Từ đây ta có f(0) = 0

Thay y bởi f (y) vào (1) ta được:

f (f (x) + f (y)) = f (x).f (f (y)) + f (f (x)) + f (f (y))− xf(y); ∀x, y ∈ R(2)Hoán vị x và y trong (2) lại kết hợp (2) ta có:

f (f (x)) + x

f (x) =

f (f (y)) + y

f (y) ;∀x, y ∈ Rx, y khác 0

Từ đây ta có: f (f (x)) = a.f (x)− x; ∀x ∈ R, do x = 0 vẫn thỏa mãn

+Thay y bởi z + f (y) vào (1) ta có:

f (z + f (x) + f (y)) = (f (x) + 1).f (z + f (y)) + f (f (x))− x(z + f(y)); ∀x, y, z ∈ R

= (f (x) + 1)(f (y)f (z) + f (f (y)) + f (z)− yz) + f(f(x)) − xz − xf(y); ∀x, y, z ∈ R

= f (z).(f (x)+1)(f (y)+1)+(f (x)+1)(a.f (y)−y−yz)+a.f(x)−x−xz−xf(y); ∀x, y, z ∈ R(3)Cho z =−1 vào (3) ta thu được:

f (f (x)+f (y)−1) = f(−1).(f(x)+1)(f(y)+1)+a.f(x).f(y)+a(f(x)+f(y))−xf(y); ∀x, y ∈ RĐến đây, chỉ việc hoán vị x, y ta có ngay:

xf (y) = y.f (x);∀x, y ∈ Rhay f (x) = c.x;∀x ∈ R, do x = 0 vẫn thỏa mãn

Trang 13

2.1 ĐẠI SỐ- GIẢI TÍCH CHƯƠNG 2 BÀI GIẢI ĐƯỢC ĐĂNG

Hơn nữa, từ giả thiết ta có: g(x + y) = 1

2(g(ax) + g(by));∀x ∈ R (1), trong đó a = 2012

2013; b =2012

Như vậy, giả thiết đã cho có thể viết lại thành: g(x + y) = g(x) + g(y);∀x, y ∈ R

Từ đây, ta có: g(ax) = a.g(x);∀x ∈ R, do a là số hữu tỷ

a2 + 1

b2 + 1(a + b)2

Đặt t = a

b > 0⇒ P =

1 + 2t

√3

2 +

4

√3

√

2 −1

2.Vậy Pmin = 9 + 6√

3

Dấu bằng xảy ra khi (x, y, z)∼

√3

2 +

4

√3

Câu 5: (Bài giải của Juliel )

Ta sử dụng tính chất a− b | P (a) − P (b) với a, b nguyên

x2+ x + 1| P (1) + xQ(1)

Mà deg(P (1) + xQ(1)) < deg(x2+ x + 1) nên phải có P (1) + xQ(1)≡ 0 ⇒ P (1) = Q(1) = 0.Vậy ta đặt :

P (x) = (x− 1)U(x), Q(x) = (x − 1)V (x)Suy ra k− 1 | P (k) và k − 1 | Q(k)

Do vậy k− 1 | d = gcd(P (k), Q(k)

Trang 14

Câu 6: (Bài giải của Tru09 )

Đặt f (0) = a Trong (1) cho x = y = 0 được f (a) = 2a

Trong (1) cho x = 0, y = a được f (a) = 0 Vậy 2a = f (a) = 0

Suy ra a = 0 Tức là f (0) = 0 Từ đó trong (1) cho x = 0 :

f (−y) = f(f(y)), ∀y ∈ R (∗)Trong (1) cho y = 0 :

Psin3A2 =P

2sin

C

2 + 4

Xsin3A

2 −XsinA

2 ≥ 0Mà







2PsinB2sinC2 =P

sinA2 sinB2 + sinC2

4Psin3 A

⇔X sinA

2

sinB

2 + sin

C2

+ 2

sin3B

2 + sin

3C2

−

sinB

2 + sin

C2

≥ 0Giờ ta sẽ chứng minh:

sinA2

sinB

2 + sin

C2

+ 2

sin3B

2 + sin

3C2

−

sinB

2 + sin

C2

− 1 ≥ 0Trang 13

Trang 15

⇔ sinA

2 + (1− cosB) +

cosB + C

2 − cosB − C

2

+ (1− cosC) − 1 ≥ 0

⇔ 1 + 2sinA

2 ≥ cosB + cosC + cosB− C

2Điều này luôn đúng do

Không mất tính tổng quát giả sử 0 < x ≤ y ≤ z < π2

BĐT cần chứng minh ⇔ sin(x − y)sin(x − z) + sin(z − y) [sin(z − x) − sin(y − x)] ≥ 0.Điều này đúng bời hàm số y = sinα là hàm đồng biến với 0 < α < π

2.

Do đó BĐT được chứng minh

Câu 9: (Bài giải của banhgaongonngon )

Bất đẳng thức này sai ngay từ n = 9 rồi (với bộ số (a, b, c) = (1, 22; 1, 21; 1, 2))

Còn với n = 8 xin đề xuất cách chứng minh dưới đây

Trang 16

X bc2a2+ bc =

X b2c2

2a2bc + b2c2 ≥ (

Pbc)2

2abcP

a +P

b2c2 = 1

Do đó ta có ĐPCM

Dấu = xảy ra khi a = 0, b = c và các hoán vị tương ứng

⇔ a = 2 +√3Khi đó :

u2 = 4

12

a +1a

3

− 3

12

a +1a

= 12

Câu 12: (Bài giải của banhgaongonngon )

Ta chứng minh quy nạp theo n rằng x2

Từ (∗) ta thấy với mỗi n thì −3 ≤ xn, yn≤ 3

Trang 17

Câu 13:

Câu 14: ( Bài giải của Karl Heinrich Marx )

Nếu Q(x) bậc n + 1 mà có n + 1 nghiệm phân biệt b1, b2, , bn+1 thì ta có:

Q′(bi)Q′(bi+1) < 0với mọi i = 1, 2, , n bởi vì một đồ thị liên tục mà cắt trục hoành 2 lần liên tiếp thì sẽ phải cómột lần đi xuống một lần đi lên

Từ đó suy ra P (bi)P (bi+1< 0 với i = 1, 2, , n

Từ đây có thể thấy luôn là P (x) phải có bậc n và có n nghiệm phân biệt

Câu 15: Cách 1 của Karl Heinrich Marx :

Một dãy số có dạng un+1− kun+ un −1 = 0 thì có tính chất un+1un −1− u2

n= c với c là hằng số.Dãy này mà tuần hoàn thì un+1un−1− u2

n cũng tuần hoàn do vậy tìm k sao cho c = 1 hoặc

c =−1 hoặc u2u0− u2

1 = 0 sau đấy kiểm tra lại kq

Bài này còn có thêm 1 số phần giải thích được đăng trong topic Ôn luyên VMO 2015 củaVMF, trang 4, các bạn có thể vào xem

q n trong đó pn+1 = p.pn− q2.pn −1 ∈ Z thỏa mãn (pn+1, q) = 1

Do q > 2, từ (1) suy ra un6= um với mọi n6= m

Nói riêng (un) không là dãy số tuần hoàn

TH 3: |k| ≤ 2, k ∈ Z thì ta xét 5 giá trị của k thì dễ dàng tìm được có 4 giá trị của k thỏamãn là −2, −1, 0, 1

Câu 16: Cách 1 của Whjte Shadow :

Do f liên tục và đơn ánh nên dễ thấy f đơn điệu

Đặt g(x) = 2x− f(x)∀x ∈ R, lúc đó g cũng liên tục và g(x0) = x0

Mặt khác ta có với g(x) = g(y) thì :

f (g(x)) = f (g(y)) ⇒ x = yVậy g cũng đơn ánh, ta cũng có g đơn điệu, từ 2) suy ra :

f (g(x)) = x ⇒ 2g(x) − g(g(x)) = x ⇒ g(g(x)) − g(x) = g(x) − x, (∗)

Kí hiệu g(n)(x) = g(g( (x) )) ( n dấu ( và ) ), lúc đó dễ thấy g(n)(x)−g(n −1)(x) = g(n −1)(x)−

g(n−2)(x) = = g(x)− x, nên

g(n)(x)− x = n.(g(x) − x) ⇒ g(n)(x) = n.(g(x)− x) + x

Trang 18

• TH1 : Nếu g đơn điệu giảm, lúc đó với x < y thì g(2k+1)(x) > g(2k+1)(y), g(2k)(x) <

Do đó:

gn(x)− gn(0) = ng(x)− ng(0) − (n − 1)x, ∀x ∈ R

hay

Trang 17

Trang 19

g(x)− g(0) − x = gn(x)− gn(0)− x

n ,∀x ∈ R(5) Bởi g tăng thực sự nên khi cho n →∝ ta được:

g (x)≥ x + g(0), ∀x ≥ 0g(x)≤ x + g(0), ∀x < 0

Ta sẽ chứng minh g là một toàn ánh

Thật vậy đặt m = inf{g(x) | x ∈ R} và M = sup {g(x) | x ∈ R}

Giả sử M <∝, khi đó chọn x = M + a − g(0) > 0 với a > 0 tùy ý ta được:

g(M + a− g(0)) ≥ M + a > M, mâu thuẫn

Chứng tỏ M =∝, tương tự m = − ∝, nên g là một toàn ánh

g đơn ánh và toàn ánh nên là song ánh, như vậy tồn tại ánh xạ ngược g−1

Ta thấy g−1 cũng tăng thực sự

Từ (5) cho n→ − ∝ ta có :

g (x)≤ x + g(0), ∀x ≥ 0g(x)≥ x + g(0), ∀x < 0Vậy g(x) = x + g(0),∀x ∈ R và f(x) = x − g(0) = x + f(0), ∀x ∈ R

Vì tồn tại x0 sao cho f (x0) = x0 nên f (x) = x,∀x ∈ R

Câu 17: (Bài giải của Black Selena )

Dựng tam giác đều ABC có cạnh là 1

Dựng điểm M cách BC một đoạn là a, cách CA một đoạn là b

Dễ có khoảng cách từ điểm m tới 3 cạnh tam giác là

√3

2 vậy khoảng cách từ M tới AB là c.Khi đó nghiệm duy nhất của hệ là x = M B2, y = M A2, z = M C2

Câu 18: (Bài giải của LNH )

Từ đây, ta chứng minh được g (x) = xg(1),∀x ∈ Q

Mà g liên tục trên R nên g (x) = xg (1) , ∀x ∈ R

Suy ra f (x)≡ ax + b với a, b ∈ Q (thử lại thấy thỏa mãn)

Trang 20

Đặt f∗(x) = dx3+ cx2+ bx + a thì ta có mối liên hệ sau đây:

f∗(x) = x3f

1x

.Với mọi x thuộc đoạn từ −1 đến 1:

Ap dụng công thức nội suy Lagarange cho bốn mốc (a0, a1, a2, a3) = (1, 1/2,−1/2, −1):

3

X

k=0

|f∗(x)| =

x3f

1x

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	1,27 MB
File đính kèm	Pre VMO.rar (1 MB)