PHẦN 11 bài TOÁN TỔNG hợp

www.TOANTUYENSINH.com PHẦN 11 BÀI TOÁN TỔNG HỢP 11.1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z x  y  z  Tìm giá x z trị nhỏ biểu thức: P   Ta có x  xz  x, z Từ suy z  3y y z  yz  z y P x z   y  x  xz  z  yz  y z y  2( x  z )  y ( x  y  z )  xz  yz  2( x  z )  y  x ( y  z ) Do x  y  z nên x( y  z )  Từ kết hợp với ta P x z   y  2( x  z )  y  2(3  y )  y  ( y  1)   z y Vậy giá trị nhỏ P đạt x=y=z=1 Câu Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Ta có : P P x (y  z) y (z  x) z (x  y)   yz zx xy x x y2 y2 z2 z2      y z z x x y (*) Nhận thấy : x2 + y2 – xy  xy x, y  R Do : x3 + y3  xy(x + y) x, y > Tương tự, ta có : hay x y2  xy y x x, y > y2 z2   yz z y y, z > z2 x  zx x z x, z > Cộng vế ba bất đẳng thức vừa nhận trên, kết hợp với (*), ta được: P  2(x + y + z) = x, y, z > x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = x = y = z = Vì vậy, minP = Câu Cho a, b, c số thực thoả mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  4a  9b  16c  9a  16b  4c  16a  4b  9c + Đặt u  2a ;3b ; 4c , v  2c ;3a ; 4b , w  2b ;3c ; 4a  M  u  v  w  M  uvw  Nguyễn Văn Lực       2a  2b  2c   3a  3b  3c    4a  4b  4c  2 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com + Theo cô – si có 22  2b  2c  33 2a b c  Tương tự … + Vậy M  29 Dấu xảy a  b  c  Câu Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn : x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x3 y3 z3     xy  yz  zx  3 y  z  x  27 x3 y  y2  y  x3 x Áp dụng bđt Cauchy cho số dương:   3  y 8 27 27 729 Tương tự, thu : x3 y3 z3 x  y  z  15    1 y  z  x3  27 2 x  y  z   xy  yz  zx   x  y  z  P     27 27 1 P  x  y  z   P  9 Câu Cho số thực dương x, y, z thỏa x  y  z  Tìm giá tri ̣nhỏ nhấ t biểu xy  yz  zx thức P  x  y  z  x y  y2 z  z2 x Áp dụng BĐT TBC-TBN cho hai số dương, ta có x3  xy  x y, y  yz  y z , z  zx  z x  x3  y  z   x y  y z  z x    xy  yz  zx  1 Mă ̣t khác, x  y  z  nên 3 x2  y2  z    x  y  z   x2  y  z   x  y  z   x y  y z  z x    xy  yz  zx    Từ (1) (2), ta có x  y  z  x y  y z  z x Do P  x  y  z  xy  yz  zx x2  y  z Ta có  x  y  z   x  y  z   xy  yz  zx  Đặt t  x  y  z  xy  yz  zx  Do x  y  z 2  x  y  z  9t 2 t 3 9t 2t  t  ,t   P  ,t  Khi P  t  2t 2t 2t  t  , 3;   Xét hàm số f  t   2t Lập bảng biến thiên, ta có hàm f đồng biến 3;    P  f  t   f  3  t 3 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Kết luận : P   x  y  z  x Câu Cho x,y  R x, y > Tìm giá trị nhỏ P  Đặt t = x + y ; t > Áp dụng BĐT 4xy  (x + y)2 ta có xy  P  y3    x2  y2  ( x  1)( y  1) t t  t  xy (3t  2) t2 Do 3t - >  xy   nên ta có xy  t  t (3t  2) t2 P  t2 t2  t 1 t2 t  4t ; f '(t )  ; f’(t) =  t = v t = Xét hàm số f (t )  t2 (t  2) t3  t2  t f’(t) - + + + + f(t) x  y  x    xy  y  Do P = f (t ) = f(4) = đạt  (2; ) Câu Cho x, y, z thức P  x  y  16 z 3 x  y  z  thoả mãn x+y+z > Tìm giá trị nhỏ biểu 3  x  y  (biến đổi tương đương)  Trước hết ta có: x  y 3    x  y   x  y   x  y   64 z  a  z   64 z  Đặt x + y + z = a Khi P    1  t   64t 3 (với t = 3 a a z ,  t 1) a Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t   0;1 Có f '(t )  64t  1  t   , f '(t )   t   0;1   Lập bảng biến thiên Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  Minf  t   t 0;1 16 64  GTNN P đạt x = y = 4z > 81 81 Câu Cho số thực không âm a,b,c thõa mãn a+b+c =1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  3(a2b2  b2c2  c2a )  3(ab  bc  ca)  a  b2  c Đặt t=ab+bc+ca ( t  ),ta có a2+b2+c2  ab+bc+ca =>1=(a+b+c)2= a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)  3(ab+bc+ca)=3t => a2+b2+c2=1-2t với t  Theo bất đẳng thức Cô-si T2=(ab+bc+ca)2  3(a2b2+b2c2+c2a2) Do M  t2+3t+2  2t Xét hàm số f(t)= t2+3t+2  2t tập D  0;  ,  3 f’(t)= 2t   f’’(t)=   2t (1  2t )3  0t  D =>f’(t) nghịch biến D =>f’(t)  f’(1/3)= 11  => f(t)đồng biến D =>f(t)  f(0)=2 Vậy minM =2 đạt t=0,tức với a,b,c không âm thõa mãn  a b  c 1   ab  bc  ca ab  bc  ca   < =>a,b,c số (0;0;1),(0;1;0),(1;0;0) Câu Cho số thực x; y thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x2  y  x   x2  y  2x   y  Xét điểm M(x−1; −y) , N(x+1; y) Ta có OM + ON ≥ MN  ( x  1)2  y  ( x  1)2  y   y  P   y  y   f ( y ) TH1: y ≤ 2: f ( y)   y   y  f '( y)  2y  y2 1 y  f '( y )   y   y    y 3 y  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  3   2   Lập bảng biến thiên f(y)  f ( y )  f  x( .2] TH2: y ≥ 2: f ( y)   y  y  ≥   Vậy P   x; y Do MinP   x = ; y = 3 Câu 10 Cho x, y, z số thực thỏa mãn   2  x  1  2 , y  0, z  x  y  z  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1   2 ( x  y) ( x  z )  ( y  z ) 1 1 1      2 2 (1  z ) (1  y )  (1  x) (1  y ) (1  z )  (1  x) 1   Ta chứng minh 2 (1  y ) (1  z )  yz 1 Thật vậy:    (1  yz )[(1  z )  (1  y ) ]  [(1  z )(1  y )]2 2 (1  y ) (1  z )  yz Ta có P   (1  yz )(2  z  y  z  y )  (1  zy  z  y )  2( z  y)(1  zy)  2(1  yz)  (1  zy)( y  z )  zy(1  yz)  (1  zy)  2( z  y)(1  zy)  ( z  y)  (1  zy )( y  z )   yz  y z  (1  yz )  ( y  z )  yz   yz ( y  z )  (1  yz )  (hiển nhiên đúng) Dấu “=” xảy y  z  yz (1  x) (1  x)  yz  yz  yz      4   1 1     Do 2 (1  x) (1  y ) (1  z )  yz  (1  x) 1 4 P   (1  x)  ( x  1) 2 Ta lại có Do   2  x  1  2 nên ( x  1)  [0;8) Đặt t  (1  x)  t  [0;8) P  Xét f (t )   4t 8t 4  3t  72t  240    với t  [0;8) f ' (t )   4t 8t (4  t ) (8  t ) (4  t ) (8  t ) f ' (t )   3t  72t  240   t  4; t  20 (loại) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Bảng biến thiên T f’(t) - + f(t)  (1  x)   x  3 3   Do P  f (t )  P   y  z  4  x  y  z  1  y  z   Vậy P  x  3, y  z  Câu 11 Cho số thực dương a,b,c thỏa a + b + c =3 Tính giá trị nhỏ biểu a  bc b  ca c  ab   b  ca c  ab a  bc 2 a  bc b  ca c2  ab Xét P    3b  3ca 3c  3ab 3a  3bc thức P  Ta có 3b  3ca  b(a  b  c)  3ca  b(a  b  c)  ca  2ca mà a  c  2ac nên 3b  3ca  ab  b  bc  ca  a  c Chứng minh tương tự ta có: 3c  3ab  ac  c  bc  ab  a  b 3a  3bc  a  ab  ac  bc  c  b a  bc  b  ca  c2  ab Khi P  1  P  3 ab  b2  bc  ca  a  c2 Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy MinP  a = b = c = Câu 12 Cho x, y hai số thực thỏa mãn điều kiện ( x  y )  xy  Tìm giá trị nhỏ biếu thức P  3( x  y )  2( x  y )  xy(3xy  4)  2015 Với số thực x, y ta có ( x  y )  xy , nên từ điều kiện suy ( x  y )3  ( x  y )  ( x  y )3  xy   ( x  y )3  ( x  y )    x  y  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 3 Ta biến đổi P sau P  ( x  y )  ( x  y )  2( x  y  xy)  xy(3xy  4)  2015 3 ( x  y )  ( x  y )  2( x  y )  2015 (3) 2 (x2  y )2 Do x  y  nên từ (3) suy P  ( x  y )  2( x  y )  2015 Đặt x  y  t t  (do x  y  1) 1 9 Xét hàm số f (t )  t  2t  2015 với t  , có f ' (t )  t   , với t  nên hàm số 2   32233 f(t) đồng biến  ;  Suy f (t )  f    1  16 2 2  t ;     Do GTNN P  32233 , đạt x  y  16 Câu 13 Cho x, y, z  0; 2 thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1    xy  yz  zx 2 x  y  y  z  z  x2  2 Ta có x  y    x  1   y  1   x  y  ,….; xy  1 1 xy  ,…  Nên P      xy  yz  zx  3 x y y  z z  x  Ta có  x  y  z  xy  yz  zx   xyz  x  y  z  xy  yz  zx   x  y  y  z    y  z  z  x    x  y  z  x    x  y  y  z  z  x    x  y  z  xy  yz  zx   xyz  1    x y yz zx  x  y  y  z  z  x   x  y  z   xy  yz  zx  x  y  y  z  z  x   x  y  z   xy  yz  zx    x  y  z  xy  yz  zx  27    xy  yz  zx  1 27 27   xy  yz  zx     xy  yz  zx  8 Suy P   Đặt t  xy  yz  zx Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Do x, y, z   0; 2    x   y   z    xy  yz  zx   xyz 2t 2 Mặt khác: xy  yz  zx   x  y  z    t  Vậy t   2;3 27 27 Ta có P    t    f  t   8t 8 27 8t  27  t   2;3 nên hàm số Xét hàm số f  t  với t   0; 2 ta có f '  t   t    2  8t  16t 15 f  t  đồng biến  2;3  f  t   f  3  15 15 Do P  f  t   P  Có P  x  y  z  4 15 Vậy giá trị nhỏ P đạt x  y  z  Câu 14 Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a  3c 4b 8c   a  2b  c a  b  2c a  b  3c  x  a  2b  c a   x  y  3z   Đặt  y  a  b  2c  b  x  y  z  z  a  b  3c c   y  z   P Do ta cần tìm giá trị nhỏ  x  y x  y  z 8 y  8z  x y   y z            17 x y z x   z y   y 4x y y 4z P2 2  17  12  17; y x z y P Đẳng thức xảy b  1   a, c     a Vậy GTNN P 12  17 Câu 15 Cho số thực x, y thỏa mãn  x     y    xy  32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x3  y   xy  1 x  y   2 Ta có  x     y    xy  32   x  y    x  y     x  y  2 A   x  y    x  y   xy    x  y   3  x  y    x  y   Xét hàm số: f  t   t  t  3t  đoạn  0;8 Ta có f '  t   3t  3t  3, f '  t    t  Nguyễn Văn Lực 1 1 t  (loại) 2 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com    17  5 17  5 , f 8  398 Suy A    4   Ta có f    6, f  1 17  5 dấu xảy Vậy giá trị nhỏ A 4 Câu 16 Cho số thực dương a, b thỏa mãn a  2b  12 Tìm giá trị nhỏ 4 biểu thức: P    a b  a  b 2 Khi x  y  Từ giả thiết bất đẳng thức CôSi ta có: a  2b  12  a   2b  16  4a  2b  16  4a.2b  16   ab  a 2b  4  ab  a b2      Do P     64  a b  8  a  b  16  b a  64 a  b  b a a b 1  Đặt t   (t  2) , ta có P  t  b a 16 64 t  1  (2; ) Xét hàm số f (t )  t  16 64 t  5 Ta có f '(t )  t  ; f '(t )   t  64  t   Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có   27 f (t )  f     2;    64 27 Suy P  , dấu xảy a  2, b  64 27 Vậy P đạt giá trị nhỏ a  2, b  64 Câu 17 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  Tìm giá trị nhỏ      1  1  1  ab  bc  ca  biểu thức P   Đặt A  P3    1  ab 1  bc 1  ca   1  1  1   ab  bc  ca   abc 2 Ta có: A   Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân có : a  b    a  b   a  b   1  a   1  b   1  c   ab    4  Tương tự có:  bc  1  c  1  a 1  b  1  a  1  c 1  b   ca  1  b  1  c 1  a  1 1    Do A   1   1  1      a  b  c    1 1  Mà: 1   1   1    1   4  a  b  c   abc  Do P = đạt a = b = c = Câu 18 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  Tìm giá a3  b3 b3  c3 c3  a3   a  2b b  2c c  2a x3   x  ( x  0) * Trước tiên ta chứng minh BĐT : x  18 18 *  18( x  1)  x  2 x  trị nhỏ biểu thức: S     x  1 11x  8  với x>0, dấu “=” xảy x=1 a b c ; ; b c a a  b a 5b b  c 7b 5c c  a 7c 5a   ;   ;   ; a  2b 18 18 b  2c 18 18 c  2a 18 18 12a  b  c  2 Từ đảng thức suy S  18 Áp dụng (*) cho x Vậy MinS =2 a=b=c=1 Câu 19 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn: biểu thức: Nguyễn Văn Lực P  xyz  x2  y  z  Tìm giá trị nhỏ 1   xy yz zx Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu Cho x, y, z ba số dương có tổng Tìm giá trị lớn biểu thức sau: P   x   y   z + Áp dụng BĐT AM-GM, ta có 1  x   3   3x 1 x  + Tương tự, ta thu 1  x   1  y   1  z   3x  y  3z    2 6 + Suy P  + Dấu xảy x  y  z  Câu Cho x, y số thực dương thỏa mãn xy  x  y  Tìm giá trị lớn y biểu thức x -8 -6 -4 -2 -5 Đặt t  x  y  xy   t ; x  y   x  y   xy  t    t   t  2t  x y Ta có xy     3t  t  t    Suy P   x2  y    x  y  xy  x  y  Xét hàm số f  t   t  t  Ta có f '  t   2t    xy 12   x  y   t  t   x y t 12  với t  t 2  0, t  Suy hàm số f  t  nghịch biến với t  t2  P  f t   f  2  Vậy giá trị lớn P x  y  Câu Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn abc = Tìm giá trị lớn biểu 1   2 a  2b  b  2c  c  2a  1 1   có a2+b2  2ab, b2 +  2b  a  2b  a  b  b   2 ab  b  1 1 1  ,  Tương tự 2 2 b  2c  bc  c  c  2a  ca  a  thức Ta P Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com P 1 1 1 ab b  1           ab  b  bc  c  ca  a    ab  b  b   ab  ab  b  P a = b = c = Vậy P đạt giá trị lớn Câu Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: a = b = c = yz zx xy    Tìm giá trị lớn x y z 1   1 x 1 y 1 z yz zx xy Ta có : a, b, c > vµ a  b2  c  Ta có: ,b  ,c  x y z biểu thức: A  Đặt a  A 1 bc ca ab Ta có:    3    bc  ca  ab  bc  ca  ab b  c  b  c   b2 c2       b2  c2 b2  a  c2  a 2  b2  a c2  a  1 ca  c2 a2  ab  a2 b2  Tương tự có:        vµ   ca  c  b a  b   ab  a  c b  c  bc   bc Từ đó: A    Dấu xảy x = y = z =1/3 2 Câu Cho a, b, c số thực dương a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  abc 3  ab  bc  ca 1  a 1  b 1  c  Áp dụng Bất đẳng thức: ( x  y  z )  3( xy  yz  zx) , x, y , z   ta có: (ab  bc  ca)  3abc(a  b  c)  9abc   ab  bc  ca  abc Ta có: (1  a)(1  b)(1  c)  (1  abc )3 , a, b, c  Thật vậy: 1  a 1  b 1  c    (a  b  c)  (ab  bc  ca)  abc   3 abc  3 (abc)2  abc  (1  abc )3 Khi đó: P  abc  Q (1) 3(1  abc )  abc  abc   1   Đặt abc  t ; a, b, c > nên  abc   2t  t  1  t  1 t2  , t   0;1  Q(t )   0, t   0;1 Xét hàm số Q  2 3(1  t )  t  t  t    Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Do hàm số đồng biến  0;1  Q  Q  t   Q 1  Vậy maxP = 1 (2) Từ (1) (2): P  6 , đạt và chi : a  b  c  Câu Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a2009 + b2009 + c2009 = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = a4 + b4 + c4 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2005 số số a2009 ta có:     a 2009  a 2009  a 2009  a 2009  2009.2009 a 2009 a 2009 a 2009 a 2009  2009.a (1) 2005 Tương tự:     b 2009  b 2009  b2009  b2009  2009.2009 b2009 b2009 b2009 b2009  2009.b4 (2) 2005     c 2009  c 2009  c 2009  c 2009  2009.2009 c 2009 c 2009 c 2009 c 2009  2009.c (3) 2005 Từ (1), (2), (3) ta được: 6015  4(a2009  b2009  c2009 )  2009(a4  b4  c4 )  6027  2009(a4  b4  c4 ) Từ suy P  a4  b4  c4  Mặt khác a = b = c = P = nên giá trị lớn P = Câu Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn 5(x x Tìm giá trị lớn biểu thức P y z (x y2 z2) 9(xy 2yz zx ) y z )3 Theo giả thiết ta có 5(x  y  z )  9(xy  2yz  zx )  5(x  y  z )2  9(xy  2yz  zx )  10(xy  yz  zx )  5(x  y  z )2  19x (y  z )  28yz  19x (y  z )  7(y  z )2  x  19x x  5  1  7    x  2(y  z ) y z y  z  y z Mặt khác ta có (y  z )2  2(y  z )  y  z  (y  z )2 2(y  z ) Vì P     y  z 27(y  z )3 2(y  z )  y  z (y  z )2   (6t  1)2 (2t  1)  16  16 Đặt t  y  z   P     t 27t 27t   x  2(y  z )  x  Vậy P  16 ; dấu đạt y  z   y  z  1 y  z   12  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com x  y 1  xy  x  y Tìm giá trị xy 3x 3y 1 lớn biểu thức: M     2 2 y ( x  1) x( y  1) x  y x y Từ giả thiết ta suy ln( x  y  1)  3( x  y  1)  ln(3xy )  3.3xy Xét hàm số g (t )  ln t  3t Câu 10 Cho số thực dương x, y thỏa mãn  ln t (0; ) , ta có g '(t )    với t  , suy g (t ) đồng biến (0; ) , từ g ( x  y  1)  g (3 xy )  x  y   xy (*) Theo (*) ta có 3xy   x  y  xy Đặt t  xy  3t  t    t  3x 3y 3x ( y  1)  y ( x  1) 36t  27t     y ( x  1) x( y  1) xy ( xy  x  y  1) 4t (2) 1 x2  y (3t  1)  2t 36t  32t        (3) x2 y x2 y t2 4t  Theo Cô si 5t  1 1    (4) Từ (2), (3), (4) ta có M  4t 2 x  y xy Xét hàm số f (t )  5t  [1;+) , ta có 4t 5.4t  (5t  1)8t  5t   0t  , suy f (t ) nghịch biến [1;+) , 16t 4t 3  max f (t )  f (1)   t   x  y  [1;  ) f '(t )  M max Câu 11 Cho ba số thực không âm x, y, z Tìm giá trị lớn biểu thức P x y z (x y ) (x 2z )(y 2z ) (y z ) (y 2x )(z 2x ) Với mo ̣i số thực không âm x, y, z Ta có: (x  2z )(y  2z )  x  y  4z x  y  4z  (x  y ) (x  2z )(y  2z )  (x  y ) 2 x  y  4z x  y  2xy  4yz  4zx   2(x  y  z )(1) 2 Vì 2xy  x  y 2; 4yz  2(y  z ); 4zx  2(z  x ) Mặt khác ta có: (x  y) y  z  4x  2(x  y  z ) (2) 4   2 2 2 x  y  z  2(x  y  z ) 2(x  y  z ) Tương tự ta có (y  z ) (y  2x )(z  2x )  (y  z ) Từ (1) và (2) ta suy P  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Hay P  x  y2  z  Khi đó P   Đă ̣t t  x  y  z  , t  2 2(x  y  z ) 9 Xét hàm số f (t )   ,t 2  t 2t  t 2t  4 9t (4  t )(4t  7t  4t  16) f '(t )     ; f '(t )   t  t (t  4)2 t (t  4)2 (do t > nên 4t  7t  4t  16  4(t  4)  t(7t  4)  Lâ ̣p bảng biế n thiên của hàm số f(t) Dựa vào bảng biế n thiên ta có MaxP  x  y  z  Câu 12 Cho x  y  thỏa điều kiện x  y  Tìm giá trị lớn biểu xy  thức P  xy  x y Ta có  xy    1   Đặt t  xy , điều kiện  t  Pt 1 t (t  2)   P/  1 t 1 t  1 (t  1) x P/ 0 + P Khi x  1; y  Vậy GTLN P  Câu 13 Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: xy   y Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x y x  xy  y  2y  x 6( x  y ) x y 1 1  1  Do x  0, y  0, xy  y  nên           y y y y  y 2 x t 1 t 2 t 1 1 Đặt t    t  Khi P      y t  t  6t  t  t  2(t  1)  3t Ta có P '(t )  t Nguyễn Văn Lực  t  3  2(t  1) Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Vì  t   t  t   t (t  1)   3;7  3t  6; t   ,  3t t  t  3   3t 1 1  ;    P '(t )   0 2 3 2(t  1) Vậy P (t ) đồng biến  0;  , suy P(t )  P      4   30 7 Khi x  ; y  ta có P    MaxP    x  ; y  2 30 30 Câu 14 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn 8(a2 +b2+c2)=3(a+b+c)2 Tìm giá trị lớn biểu thức P = a(1 – a3) + b(1 – b3) + c +) Từ giả thiết ta có: 5c2 – (a+b)c + (a+b)2   ( a  b)  c  a  b +) Ta có a  b4  (a  b)4 a, b => P  2(a  b)  (a  b) t4 +) Xét f (t )  2t  +) BBT:… t t3 (t  0), f '(t )   ; f '(t )   t  + f’(t) + f(t) - 33  33 a  b   +) MaxP =  c  Câu 15 Cho số thực không âm x, y, z thoả x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn biểu thức M = xy + yz + zx + x yz Đặt t= x+y+z ĐK t > t2   xy+yz+zx = 2 x  y2 x2  z z2  y2 ;0  xz  ;0  zy  Ta có  xy  2 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Suy  xy  yz  zx  x  y  z t2  3  3t 3 t2   Ta có M= t t2   Xét hàm số f(t) = với t t3  f’(t) = >0 ;  t  t f( )= 5/ ; f(3)=14/3  0 3t 3 Vậy Max f(t) = 14/3 với  t  Dấu “=” xảy x=y=z=1 Vậy Max A = 14/3 x=y=z =1 Câu 16 Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn: 2   (x  y)(x  z) 3x  2y  z  3x  2z  y  2(x  3)2  y  z  16 Tìm giá trị lớn biểu thức: P   2x  y  z (x  y  x  z)2 (2x  y  z)2  Ta có: (x  y)(x  z)  4   1 2    3x  2y  z  3x  2z  y   3(2x  y  z)  (2x  y  z)2  Từ giả thiết suy ra: 3(2x  y  z)  Đặt 2x  y  z  t (t  0)  t2   (t  2)(3t  8t  16)  3t   t   2x  y  z  2 Mà:  (2x  y  z)2  (22  12  12 )(x  y  z )  x  y  z   2x  y  z  12x  12x  Ta có: P   1 2 2 2x  y  z x  x2  y2  z2  1 12x  36x   1 2 3x  x2  Xét hàm số: f(x)   Nguyễn Văn Lực 36x  với x  3x  Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  x  1 (loaïi) 36(3x  x  2)  , f '(x)    Ta có: f '(x)  2 2 x  f    10 (3x  2)  3 Bảng biến thiên: x  y  ' 10 y  Suy ra: f(x)  10  P  10 3 Vậy giá trị lớn P 10 Dấu “=” xảy khi: x  ,y  z   Câu 17 Cho x, y, z số thực thuộc đoạn 0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức P  2( x3  y3  z3 )  ( x2 y  y z  z x) Đặt f ( x)  x3  yx  z x  2( y3  z )  y z Ta có: 6 xét: x1   0;1 , lập bảng biến thiên ta thấy x2   0;1 hay x2   0;1 f ' ( x)  x  yx  z ; f ' ( x)   x  x1  ( y  y  z ); x  x2  ( y  y  z ) Nhận Max f ( x)  Max  f (0); f (1) x0;1 Mà f (0)  2( y  z )  y z  2( y  z )  y z  (2  y  z )  f (1) (1)  f ( x)  f (1)  y3  zy -y  z  z  Lại đặt g ( y)  y3  zy - y  z  z  , 6 g ' ( y)  y  zy  1; g ' ( y)   y  y1  ( z  z  6); y  y2  ( z  z  6) Nhận xét tương tự suy Max g ( y)  Max  g (0); g (1) y 0;1 Lại có g (0)  z   z  z   z  (1  z)  g (1) Suy g ( y)  g (1)  z3   z  (1  z)  z  z  z  Cuối đặt h( z )  z  z  z  với z   0;1 , h' ( z )  z  z  h' ( z )   z1  (2) 1 1 Lập bảng biến thiên suy ra: Max h( z)  h(1)  (3) ; z2  z0;1 6 Dấu xảy (1), (2), (3) x = y = z = Vậy giá trị lớn P đạt x = y = z = Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 11.3 Tìm GTNN, GTLN biểu thức Câu Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số f ( x)  5x  8x  32  3x  24 x  3x  12 x  16 Ta có TXĐ: D  [0;8] Đặt : g ( x)  5x2  8x  32, h( x)  3x 12 x  16 Ta dễ dàng xác định x  [0;8] ,  g (2)  g ( x)  g (8)  12 2,  h(2)  h( x)  h(8)  x  3x  24 x  ( 3x  24 x    ) x  8( x  2)2 Do f ( x)   3x  12 x  16   h( x)   x  [0;8] 2 x  x  32  3x  24 x Đẳng thức xảy x =  f ( x)  x= Ta có f ( x)  5x2  8x  32  3x  24 x  3x  12 x  16  g ( x)  h( x)  12   x [0;8] Đẳng thức xảy x =  max f ( x)  12  x= Vậy f ( x)  x= max f ( x)  12  x= Câu Cho x, y số thực thỏa mãn GTNN biểu thức P  x  y  3x y x2  y   x2  y   3x y   x  y Tìm GTLN  x  y    x  y     x  3x y 2 * Mà  x2  3x2 y    x2  y    x2  y2    ; * Từ giả thiết ta có: * Đặt t  x2  y  t  3t     t  *Ta P x  y  3x y x2  y    Xét hàm số   x  y  x  3x y x2  y  f (t )  t2  t  t 1   x2  y    x2  y2    t  t  , t 1;2 t 1 x2  y   x   f (t )  f (1)   P  1,   1;2   y  1   , t  1;2   4  x   m ax f (t )  f (2)    m ax P  ,   1;2    y    Câu 3: Cho x,y số thực thỏa mãn x +16y4 +  2xy+1 =2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau : Nguyễn Văn Lực P=x  x +3 +2y  4y +3 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 2 2 Theo đề : 1   x   2y    1  2xy   x   2y    2xy   x  2y    2xy   x  2y   x  2y   1   x  2y   ( từ (1)   x  16y  16x y  xy    2xy  ) 2 : P  f  t   t   t  1 t  3t  2t  6t : t  3  1 MaxP  Maxf (t)  f 1  (t  1khi  x, y    0,  hay  x, y   1,  )  2 Đặt t = x+2y : 2xy = t -1 : t  1  MinP  Minf (t)  f  1  4 (t  1khi  x, y    0,   hay  x, y    1,  ) 2  Câu Cho ba số thực x, y, z thoả mãn: x2  y  z  x  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T  2( x  z )  y x  y  z  x  y    x  1   y    z  2 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Xét mặt cầu: 2  S  :  x  1   y    z  Có tâm I 1; 2;0  ,bán kính R  Xét mp   : x  y  z  T  G/s M  x; y; z  Từ 1 có điểm M nằm bên  S  kể mặt cầu  S   d  I ,     R  T   2  T  10  Với T  2 M giao điểm mp    : x  y  z   Và đường thẳng  qua I      x   2t   :  y  2  t  z  2t   4  M  ; ;   3 3 Với T  10 Tương tự M  ;  ;  3 3 Vậy T  2 Nguyễn Văn Lực   x    y  z    max T  10  x    y     z   Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 11.4 Chứng minh bất đẳng thức Câu Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: a  b2  c2  1 1      2 4b 4c 4a ab bc ca Ta có:  a2   b2   c2  VT              4b 4b   4c 4c   4a 4a  a b c 1 a b c   2 2   2 2 2 2b 2c 2a 2b c a  a b Mặt khác:   ;   ; b a b c2 b c a b Cộng theo vế BĐT ta được:   b c c   a2 c a c 1    a2 a b c Suy ra:  1   1   1   1   VT                    a b c   a b   b c   c a   1 4  1         VP  a  b b  c c  a a  b b  c c  a Đẳng thức xảy khi: a  b  c  Câu Cho a  , b  , c  Chứng minh a2   b2 b2   c2 c2   a2  1  1  1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn u  a;  , v  b;  , w  c;   b  c  a Từ bất đẳng thức u  v  w  u  v  w suy 1 a   b2   c   b c a a  b  c  1 1     a b c 2  111 1 1  abc   a  b  c      abc a b c     3 2 Dấu xảy a  b  c  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  Chứng minh rằng: 1 1    2  a (b  c)  b (c  a )  c (a  b) abc Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có:  ab  bc  ca  3 (abc)2  abc  Suy ra:  a (b  c)  abc  a (b  c)  a(ab  bc  ca)  3a  Tương tự ta có: 1  (1)  a (b  c) 3a 1 1  (2),  (3)  b (c  a) 3b  c (a  b) 3c Cộng (1), (2) (3) theo vế với vế ta có: 1 1 1 ab  bc  ca    (   )  2  a (b  c)  b (c  a)  c (a  b) c b c 3abc abc Dấu “=” xảy abc  1, ab  bc  ca   a  b  c  1, (a, b, c  0) Câu Cho x, y, z ba số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = Chứng minh với a  ta có : 1 x y z  y  z  x y z x a a a a a a * Vì a = ta thấy BĐT * Ta xét a > t Hàm số y= y  1    nghịch biến với t  R , a > at  a  Khi ta có Ta có : ( x  y )( 1 x y x y  y )  0, x, y  R Suy x  y  y  x (1) x a a a a a a Chứng minh tương tự y z z y  z  y  z (2) y a a a a Cộng vế với vế (1) ,(2) vµ (3) ta 2( Cộng vế (4) với biểu thức 3( z x x z  x  z  x (3) z a a a a x y z yz zx x y  y  z )  x  y  z (4) x a a a a a a x y z  y  z ta x a a a x y z x yz x yz x yz 1  y  z)    ( x  y  z )( x  y  z ) x x y z a a a a a a a a a Suy 1 x y z  y  z  x  y  z ( x + y + z = ) x a a a a a a Đẳng thức xảy x = y = z = (đpcm) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu Cho a,b,c là các số dương thỏa mañ a + b + c = Chứng minh rằng: *Biến đổi a b b c c a   3 ab  c bc  a ca  b a b 1c 1c   ab  c ab   b  a (1  a )(1  b ) *Từ VT  1c 1b 1a   (1  a )(1  b ) (1  c )(1  a ) (1  c )(1  b ) Do a,b,c dương a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương *áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta 1c 1b 1a =3 (đpcm) (1  a )(1  b ) (1  c )(1  a ) (1  c )(1  b ) VT  3 Đẳng thức xảy a  b  c  Câu Cho số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz xy yz zx    2 2 2 x y x zy z y z y xz x z x z yx y 1 Ta có : xy + yz + zx = 3xyz     x y z 1 1  (  ) ;x2 + y2 ≥ 2xy Với x >0; y > 0; z > ta có x3 + y3 ≥ xy(x + y) ; x y x y Chứng minh : 3  xy xy xy  1      2 2 x  y  x z  y z xy(x  y)  (x  y )z  xy(x  y) (x  y )z  3  xy 1 xy     2 x  y  x z  y z  (x  y) (x  y )z  1  1    1            (1)   x y  2z  16  x y  8z  3 1 1      (x  y) 2z  Chứng minh tương tự : yz 1 1 (2)     2 y  z  y x  z x 16  y z  8x zx 1 1     (3) 3 2 z  x  z y  x y 16  z x  8y 3 Công (1) ; (2); (3) theo vế ta đpcm Đẳng thức xảy x = y = z = Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: a a 2a b c      3a  b 3a  c 2a  b  c 3a  c 3a  b +) Vì a, b, c cạnh tam giác nên ta có: a  b  c; b  c  a; c  a  b +) Đặt x  VT = ab ca ;y ; z  a ( x, y, z  0) Ta có: x  y  z; y  z  x; z  x  y 2 ac ab 2a 2x 2y 2z x y z         3a  b 3a  c 2a  b  c y  z z  x x  y y  z z  x x  y (1) 2z z  x yz x y x 2x y 2y  (2);  (3) yz x yz zx x yz Lại có: x  y  z  z ( x  y  z )  2z( x  y )  CM tương tự ta có: Từ (1),(2) (3) ta có x y z 2x  y  2z    2 yz zx x y x yz  (đpcm) Câu Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:   a b c 2a 3b c    a  b  c 1 a b c  Bất đẳng thức tương đương với   a  2a   b  3b   c  c  a b c  6 a b c         a  b  c  a b c        a    b    c  1  a  b  c    a   b   c  1 a  b  c   a  2  b  3  c  1  a  b  c  6  2 a 2 2 b3 2 c 1 2  a b c  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có                 a 2  b   c 1    a  b  c   VP VT   a b c  a 2  b   c 1  Dấu xảy a  2;b  3;c  Vậy bất đẳng thức (2) Do bất đẳng thức (1) chứng minh Câu Cho a, b, c ba số thuộc đoạn [0; 1] Chứng minh: a b c    (1  a )(1  b)(1  c)  b  c 1 a  c 1 a  b 1 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Do vai trò a, b, c nên giả sử a  b  c, đó: Đặt S = a + b + c + => b + c +1 = S – a  S – c a + c +  S – c; a+b+1  S-c Ta có ( – a)(1 – b) ( +a +b)  (*) ( –a – b + ab) ( +a +b ) –  - a2 – b2 – ab + a2b + ab2  b( a + b)( a – 1) – a2  a, b  [0; 1] Vậy (*) Mà (*) ( – a)(1 – b) ( S - c)  ( – a)(1 – b)  S c 1 – a 1 – b  (1  c)  1 c S c Do đó: a b c    (1  a)(1  b)(1  c) b  c 1 a  c 1 a  b 1 a b c 1 c S  c đpcm      1 S c S c S c S c S c Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 [...]... phẳng tọa độ Oxy ta chọn u  a;  , v  b;  , w  c;   b  c  a Từ bất đẳng thức u  v  w  u  v  w suy ra 1 1 1 a  2  b2  2  c 2  2  b c a 2 a  b  c 2  1 1 1     a b c 2 2  111  1 1 1  6 abc 6   a  b  c      abc a b c     3 2 2 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 2 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 3... 2c  8a  3b  4c , Đẳng thức xảy ra khi  2 a  c  Vì chẳng hạn chọn được (a,b,c)=(3,8,6) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 3 Cho x, y, z là ba số dương có tổng bằng 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: P  1  x  1  y  1  z + Áp dụng BĐT AM-GM, ta có 2 1  x   3 2 3  5  3x 2 6 1 x  + Tương tự, ta thu được 1  x  2  3 1  y  2  3... trên [1;+) , ta có 4t 2 5.4t 2  (5t  1)8t 2  5t   0t  1 , suy ra f (t ) nghịch biến trên [1;+) , bởi vậy 16t 4 4t 3 3  max f (t )  f (1)   t  1  x  y  1 [1;  ) 2 f '(t )  M max Câu 11 Cho ba số thực không âm x, y, z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 4 x 2 y 2 4 z 2 4 (x y ) (x 5 2z )(y 2z ) (y z ) (y 2x )(z 2x ) Với mo ̣i số thực không âm x, y, z Ta có: (x  2z )(y  2z... z2  z0;1 6 6 Dấu bằng xảy ra ở (1), (2), (3) khi x = y = z = 1 Vậy giá trị lớn nhất của P là 3 đạt được khi x = y = z = 1 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 11. 3 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức Câu 1 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số f ( x)  5x 2  8x  32  3x 2  24 x  3x 2  12 x  16 Ta có TXĐ: D  [0;8] Đặt : g ( x)  5x2  8x  32, h(... +16y4 +  2xy+1 =2 Tìm giá trị lớn nhất 2 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : Nguyễn Văn Lực P=x  x 2 +3 +2y  4y 2 +3 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 2 2 2 2 Theo đề bài : 1   x 2   2y    1  2xy   x 2   2y   1  2xy   x  2y   1  2xy   x  2y  2  x  2y   1 4 2   x  2y   2 4 3 1 2 ( vì từ (1)  2  x 4  16y 4  2 16x 4 y 4  xy...  ;  ;  3 3 3 Vậy min T  2 khi Nguyễn Văn Lực 1   x   3  y  z   4  3 max T  10 khi 7  x  3  8  y   3  4  z  3  Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 11. 4 Chứng minh bất đẳng thức Câu 1 Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng: a 2  1 b2  1 c2  1 1 1 1      2 2 2 4b 4c 4a ab bc ca Ta có:  a2 1   b2 1   c2 1  VT   2  2  ... x)(1  z ) Khi đó 1 z 1 x 1 y 3 (1  x)(1  y ) (1  y )(1  z ) (1  x)(1  z ) 1 x yz 3 Vậy MinP  3 đạt được khi  33 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 11. 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Câu 1 Cho a, b, c là các số dương và a  b  c  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P bc 3a  bc  ca 3b  ca Vì a + b + c = 3 ta có Vì theo BĐT Cô-Si: Tương