PHẦN 8 HÌNH học KHÔNG GIAN

www.TOANTUYENSINH.com PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 8.1 Hình chóp tam giác Câu Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông A , AB = AC = a , I trung điểm SC , hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm H BC , mặt phẳng ( SAB ) tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp S ABC tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( SAB ) theo a Sj M B H C Gọi K trung điểm AB ⇒ HK ⊥ AB (1) Vì SH ⊥ ( ABC ) nên SH ⊥ AB (2) Từ (1) (2) suy ⇒ AB ⊥ SK Do góc ( SAB ) với đáy góc SK · HK SKH = 60o · Ta có SH = HK tan SKH = K a A 1 Vậy VS ABC = S ABC SH = AB AC.SH = a3 12 Vì IH / / SB nên IH / / ( SAB ) Do d ( I , ( SAB ) ) = d ( H , ( SAB ) ) Từ H kẻ HM ⊥ SK M ⇒ HM ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( H , ( SAB ) ) = HM Ta có 1 16 a a = + = ⇒ HM = Vậy d ( I , ( SAB ) ) = 2 HM HK SH 3a 4 Câu Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 8a, tam giác ABC cạnh 4a; M, N trung điểm cạnh SB BC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com *) Ta có: AN = AB − BN = 2a S Diện tích tam giác ABC là: S ∆ABC = BC AN = 4a Thể tích hình chóp S.ABC là: VS ABC M 1 32a 3 = S ∆ABC SA = 4a 3.8a = 3 C A (đvtt) H *) Ta có: N VB AMN BA BM BN = B = VS ABC BA BS BC 8a 3 VB AMN = VS ABC = 2 Mặt khác, SB = SC = 5a ⇒ MN = SC = 5a ; AM = SB = 5a Gọi H trung điểm AN MH ⊥ AN , ⇒ MH = AM − AH = a 17 2 Diện tích tam giác AMN S∆AMN = AN MH = 2a 3.a 17 = a 51 Vậy khoảng cách từ B đến (AMN) là: d ( B, ( AMN )) = 3VB AMN 8a 3 8a 8a 17 = = = S∆AMN 17 a 51 17 Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, cạnh SA vuông · góc với mặt đáy Góc SCB = 600 , BC = a, SA = a Gọi M trung điểm SB.Tính thể tích khối chóp MABC ìï BC ^ SA Ì (SA B ) ï Þ BC ^ (SA B ) (do SA cắt BC) í ïï BC ^ A B Ì (SA B ) î Mà BC Ì (SBC ) nên (SBC ) ^ (SA B ) · Ta có, SB = BC t an SCB = a t an 600 = a A B = SB - SA = (a 3)2 - (a 2)2 = a S D MA B = 1 a2 ×S D SA B = × ×SA ×A B = 2 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 1 ×B ×h = ×S D MA B ×B C 3 Thể tích khối chóp M.ABC: (đvdt) a a3 = × ×a = 12 V = Câu Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông C , AC = a, AB = 2a , SA vuông góc với đáy Góc mặt phẳng ( SAB ) mặt phẳng ( SBC ) 60o Gọi H , K hình chiếu A lên SB SC Chứng minh AK vuông góc HK tính thể tích khối chóp S ABC SA ⊥ BC , AC ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ AK Mà AK ⊥ SC ⇒ AK ⊥ ( SBC ) ⇒ AK ⊥ HK a2 3 , AK = AH sin 60o = S ABC = AH 2 1 1 = + = + (1), AH SA2 AB SA2 4a 1 1 3 = + ⇒ = + ⇒ = + (2) AK SA2 AC AH SA2 a AH 4SA2 4a 2 a Từ (1) (2) suy = ⇒ SA = S A2 a 2 VS ABC a3 = 12 Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a; AC = 2a Mặt bên (SBC) tam giác cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Biết góc hai mặt (SAB) (ABC) 300 Tính thể tích khối chóp SABC khoáng cách hai đường thẳng SC AB theo a Tính VS.ABC Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Gọi H trung điểm BC Do ∆SBC cân S nên SH ⊥ BC (SBC) ⊥ (ABC)  Ta có: (SBC) ∩ (ABC) = BC ⇒ SH ⊥ (ABC) SH ⊥ BC  Gọi K trung điểm AB ⇒ HK // AC mà AC ⊥ AB ⇒ HK ⊥ AB SH ⊥ AB (do SH ⊥ (ABC) ) ⇒ AB ⊥ (SHK) ⇒ AB ⊥ SK (SAB) ∩ (ABC) = AB  · ⇒ Góc (SAB) (ABC) SKH SK ⊥ AB = 30o  HK ⊥ AB  SH a a3 o tan 30 = ⇒ SH = ⇒ VS.ABC = SH.S∆ABC = HK 3 • Tính d(SC,AB) Vẽ hình chữ nhật BKEC ⇒ CE // AB mà AB ⊥ (SHK) ⇒ CE ⊥ (SHK) d(AB,SC) = d(AB,(SEC)) = d(K,(SEC)) = d(H,(SEC)) Kẻ HF ⊥ SE HF ⊥ CE ⇒ HF ⊥ (SEC) Ta có: a 1 a ⇒ d(H,(SEC)) = ⇒ d(AB,SC) = a = + = + = ⇒ HF = 2 HF HE SH a a a 2 Câu Cho hình chóp S ABC có đường cao SA 2a , tam giác ABC vuông C có · AB = 2a, CAB = 30o Gọi H hình chiếu vuông A SC Tính theo a thể tích khối chóp H ABC Tính cô-sin góc hai mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) S K H A B I C Trong mặt phẳng ( SAC ) , kẻ HI song song với SA HI ⊥ ( ABC ) 2 Ta có CA = AB cos 30o = a Do S ABC = AB AC.sin 30o = 2a.a 3.sin 30o = Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ a2  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com HI HC HC.SC AC AC 3a = = = = = = ⇒ HI = a 2 2 2 SA SC SC SC SA + AC 4a + 3a 7 1 a a a= Vậy VH ABC = S ABC HI = 3 7 (Cách khác: VH ABC = VB AHC = S AHC BC ) Gọi K hình chiếu vuông góc A lên SB Ta có AH ⊥ SC , AH ⊥ CB (do CB ⊥ ( SAC ) Ta có ), suy AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SB Lại có: SB ⊥ AK , suy SB ⊥ ( AHK ) Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) · HKA 1 1 a.2 = 2+ = 2+ = ⇒ AH = ; 2 AH SA AC 4a 3a 12a 1 1 1 = 2+ = + = ⇒ AK = a 2 AK SA AB 4a 4a 2a Tam giác HKA vuông H (vì AH ⊥ ( SBC ) , ( SBC ) ⊃ HK ) a.2 AH 7 = ⇒ cos HKA · · sin HKA = = = AK a Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S.ABC diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a +) Từ giả thiết suy tam giác ABC cạnh a SH⊥(ABC) với H tâm tam a SH đường cao hình chóp S.ABC Từ giả thiết => SA = a => tam giác vuông SAH vuông H có giác ABC => AH = SH = SA2 − AH = 6a +) Diện tích tam giác ABC bằng: S ABC = a2 a3 ⇒ VS ABC = S ABC SH = +) SH trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, mặt phẳng (SAH) kẻ đường trung trực cạnh SA cắt SH I => I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính R = IS Hai tam giác vuông SMI SHA đồng dạng => SI = SM SA = a SH +) Diện tích mặt cầu là: S = 4π R = Nguyễn Văn Lực 27 πa Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com … Câu Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông A, BC = 2a, Góc ·ACB = 600 Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mp(ABC), tam giác SAB cân S, tam giác SBC vuông S Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC) S A 600 H C K B a) Gọi H trung điểm cạnh AB, từ gt có SH ⊥ ( ABC ) VS ABC = S ABC SH Tam giác ABC vuông A có: AB = 2a sin 600 = 3a; AC = 2acos600 = a Nên S ABC = AB AC = a Gọi K trung điểm cạnh BC 1 BC = a; HK = AC = a cos 600 = a 2 SH = SK − KH = a 3 ⇒ SH = a Suy VS ABC = a SK = Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com a 3a a HC = AC + AH = a + = 4 2 3a 7a 10 SC = SH + HC = + = a 4 1 10 15 S SBC = SB.SC = a a= a 2 2 3 a 3VS ABC d ( A ;( SBC )) = = = a Vậy S SBC 15 15 a b) Ta có SB = SH + HB = Câu Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ ( ABC ) , ·ABC = 900 , AB = a, BC = a 3, SA = 2a Chứng minh trung điểm I cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC tính diện tích mặt cầu theo a S I A C B Vì SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC Mặt khác theo giả thiết AB ⊥ BC , nên BC ⊥ ( SAB ) BC ⊥ SB Ta có tam giác SBC vuông đỉnh B; tam giác SAB vuông đỉnh A nên IA = IB = SC = IS = IC (*) Vậy điểm I cách bốn đỉnh hình chóp, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Từ (*) ta có bán kính mặt cầu R = SC Ta có AC = AB + BC = 2a SC = SA2 + AC = 2a ⇒ R = a Diện tích mặt cầu 4π R = 8π a Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 8.2 Hình chóp tứ giác Câu Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính thể tích hình chóp  Gọi O tâm mặt đáy SO ^ (A BCD ) SO đường cao hình chóp hình chiếu SB lên mặt đáy BO, · SBO = 600 (là góc SB mặt đáy) ·  Ta có, t an SBO = · · SO BD Þ SO = BO t an SBO = t an SBO BO = a t an 600 = a  Vậy, thể tích hình chóp cần tìm V = 1 4a B h = A B BC SO = 2a 2a.a = 3 3 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, AB = BC = a , CD = 2a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SA = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) Kẽ đường thẳng qua C song song với AB cắt AD E Ta có: AE = BC = a ; DE= DE = (2a) − a = a Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com ( Suy diện tích hình thang ABCD là: SABCD = a 2 + Vậy: VS ABCD = SA.S SABCD = a ( + ) Vì AD//(SBC) nên d ( D, ( SBC )) = d ( A, ( SBC )) ) Kẻ AI vuông góc SB I, chứng minh AI vuông góc (SBC) Nên d ( A, ( SBC )) = AI Trong tam giác SAB vuông A có AI đường cao nên: Suy ra: AI = SA AB a = SB 1 = 2+ AI SA AB Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a E , F trung điểm AB BC , H giao điểm AF DE Biết SH vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) góc đường thẳng SA mặt phẳng ( ABCD) 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng SH , DF Do ABCD hình vuông cạnh 2a nên S ABCD = 4a SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ HA hình chiếu vuông góc SA mp ( ABCD ) · ⇒ SAH = 600 ⇒ SH = AH · ∆ABF = ∆DAE ( c.g c ) ⇒ BAF = ·ADE · Mà: ·AED + ·ADE = 900 Nên BAF + ·AED = 900 ⇒ ·AHE = 900 ⇒ DE ⊥ AF Trong ∆ADE có: AH DE = AD AE ⇒ AH = 2a 2a 8a 15 4a = Thể tích khối chóp S ABCD là: V = (đvtt) 15 Trong mp ( ABCD ) kẻ HK ⊥ DF K ⇒ d ( SH , DF ) = HK Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Trong ∆ADE có: DH DE = DA2 ⇒ DH = Trong ∆DHF có: HF = DF − DH = 5a − ⇒ HK = 4a Có : DF = a 16a 9a 3a = ⇒ HF = 5 HF HD 12a Vậy 12a = d ( SH , DF ) = DF 25 25 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B biết AB=AC=a, AD=2a, SA vuông góc với đáy (SCD) hợp với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Hình chiếu SB SC (ABC) AB AC , mà SB=SC nên AB=AC Ta có : BC2 = 2AB2 – 2AB2cos1200 ⇔ a2 = 3AB2 ⇔ AB = S SA2 = a − a ⇒ SA = a a a 1 a2 a2 S∆ABC = AB AC.sin120 = = 2 12 1a a a V = = (đvtt) 3 12 36 a C A a B Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng SB tạo với mặt phẳng ( SAD) góc 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Ta có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA chiều cao Đáy ABCD hình vuông cạnh a nên S ABCD = (a 2) = 2a Ta có góc [SB,(SAD)] = BSA = 60o Tam giác SAB vuông A có AB = a ⇒ SA = Nguyễn Văn Lực AB a a = = o tan 60 3 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Do theo giao (BCM) // AD nên mp cắt mp (SAD) tuyến MN // AD  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ BM   BC ⊥ SA Ta có Tứ giác BCMN hình thang vuông có BM a a MN = ; BM = 2 a a  a + ÷  Diện tích hình thang BCMN 3a 2 S BCMN =  = Dụng SK ⊥ BM , BC ⊥ (SAB ) ⇒ BC ⊥ SK ⇒ SK ⊥ ( BCMN ) đường cao, Có SK = d ( A, BM ) = a 3a a a Vậy VS BCMN = = 8 Trong mặt phẳng (ABCD) dựng ∆ qua B song song với AC Đặt (P) = ( ∆ , SB) Khi đó, AC // (P) d(AC; SB) = d(AC; (P)) = d(A; (P)) Từ A hạ AI ⊥ ∆ I; Từ A hạ AH ⊥ SI H suy AH = d(A; (P)) Ta có AI = a a → AH = Câu Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, biết AB=2a , AD= a a Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM = , cạnh AC cắt MD H Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S HCD tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC theo a * Tính thể tích khối chóp S.HCD: Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com AM AD = = nên đồng dạng, AD DC · · · · · Suy ADH , mà ADH = DCH + HDC = 90o ⇒ DHC = 90o ∆ ADC vuông D: AC2 = AD + DC2 ⇒ AC = a Hệ thức lượng ∆ ADC: DH.AC = DA.DC DC.DA 2a Suy ra: DH = AC = 4a 2 ∆ DHC vuông H: HC = DC − DH = Hai tam giác vuông AMD DAC có 4a DH.HC = 4a Thể tích khối chóp SHCD: VS.HCD = SH.SHCD = 15 Do diện tích ∆ HCD: SHCD = Tính khoảng cách SD AC: Dựng HE ⊥ SD Ta có SH ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ AC DH ⊥ AC , AC ⊥ (SHD) Mà HE ⊂ (SHD) nên HE ⊥ AC Từ HE đoạn vuông góc chung SD AC nên HE = d ( SD; AC ) ∆ SHD vuông H nên: HE = SH + HD Vậy d ( SD; AC ) = HE = ⇒ HE = 2a 2a Câu 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AD; đường thẳng SA, AC và CD đôi một vuông góc với nhau; AC = CD = a và AD = BC Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD Ta có: SA ⊥ AC và SA ⊥ CD ⇒ SA ⊥ (ABCD) ∆ ACD vuông cân tại C ⇒ AD = 2a ⇒ BC = a Gọi I là trung điểm AD ⇒ AI = BC, AI // BC và CI ⊥ AD ⇒ ABCI là hình vuông ⇒ AB ⊥ AD Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 1 3a2 a3 Do đó SABCD = (AD + BC).AB = 3a Vậy VSABCD = SABCD SA = a = 3 2 Ta có CD // BI ⇒ CD // (SBI) ⇒ d(SB, CD) = d(CD, (SBI)) = d(C, (SBI)) Gọi H = AC ∩ BI và AK ⊥ SH tại K Ta có AK ⊥ (SBI) ⇒ d(A, (SBI)) = AK Ta có AK = SA + AH = ⇒ d(A; (SBI)) = AK = a 10 2a + 2a = 2a ⇒ AK = a 10 a 10 Vì H là trung điểm AC nên d(C; (SBI)) = d(A; (SBI)) = Vậy d(CD, SB) = a 10 Câu 11 Cho hình chóp S A BCD có đáy A BCD hình vuông cạnh a , tâm O SO vuông góc với mặt phẳng ( A BCD ) Trên cạnh SA lấy điểm M cho MA = 2MS · Gọi N trung điểm CD , SNO = 600 Tính thể tích khối chóp S A BCD theo a cosin góc MN với mặt phẳng (A BCD ) a · = 600 Xét ∆SON vuông tại O, cóON = , SNO S SO = ON t an 600 = M Diện tích hình vuông ABCD là S A BCD = a A H a D O N a3 ⇒ V S A BCD = SO S A BCD = MH P SO ( H ∈ BD ) ⇒ MH ⊥ (A B CD ) Kẻ Khi đó, ta có hình chiếu vuông góc của MN · (ABCD) là HN suy góc giữa MN và (ABCD) là ϕ = MNH B C 2 Vì MH PSO , MA = 2MS ⇒ BH = 2HO nên ta có HD = BD = a 3 Xét ∆HND , ta có HN = HD + DN − 2HD DN cos 450 = 17 a ⇒ HN = a 17 16 MH 51 17 Xét ∆MHN vuông tại H, ta có t an ϕ = = ⇒ cos ϕ = HN Nguyễn Văn Lực 17 Ninh Kiều – Cần Thơ 29  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết SD = 2a góc tạo đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) Gọi H trung điểm AB Suy SH ⊥ ( ABCD) · SCH = 300 Ta có: ∆SHC = ∆SHD ⇒ SC = SD = 2a Xét tam giác SHC vuông H ta có: SH = SC.sin SCH = SC.sin 300 = a HC = SC.cos SCH = SC cos 300 = 3a Vì tam giác SAB mà SH = a nên AB = 2a Suy BC = HC − BH = 2a Do đó, S ABCD = AB.BC = 4a 4a Vì BA = HA nên d ( B, ( SAC ) ) = 2d ( H , ( SAC ) ) Vậy, VS ABCD = S ABCD SH = Gọi I hình chiếu H lên AC K hình chiếu H lên SI Ta có: AC ⊥ HI AC ⊥ SH nên AC ⊥ ( SHI ) ⇒ AC ⊥ HK Mà, ta lại có: HK ⊥ SI Do đó: HK ⊥ ( SAC ) Vì hai tam giác SIA SBC đồng dạng nên Suy ra, HK = HI AH AH BC a = ⇒ HI = = BC AC AC HS HI = a 66 HS + HI 11 2 Vậy , d ( B, ( SAC ) ) = 2d ( H , ( SAC ) ) = HK = 2a 66 11 Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, mặt bên SAD tam a Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng AD, SB theo a giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com S D C H A B Gọi H chân đường cao hạ từ S tam giác SAD Suy ra: SH = a SH ⊥ ( ABCD ) a Trong tam giác vuông HSC có HC = a 3a 2 + a − DH + DC − CH =1 · · cos HDC = = ⇒ HDC = 600 a DH DC 2 .a 2 a2 2 1a a 3 VS ABCD = SH S ABCD = = a 3 2 a Ta có ∆ADC cạnh ⇒ CH ⊥ AD ⇒ CH ⊥ BC hay BC ⊥ ( SHC ) ⇒ BC ⊥ SC ⇒ ∆CSB vuông C Suy S ABCD = DA.DC.sin ·ADC = a3 a3 = Lại có VD.SBC = VS BCD = VS ABCD = a3 3a ⇔ d ( D; ( SBC ) ) S ∆SBC = ⇔ d ( D; ( SBC ) ) = 8.S ∆SBC 3a a = a CS CB .a 2 a Vậy d ( AD; SB ) = d ( D; ( SBC ) ) = ⇒ d ( D; ( SBC ) ) = Nguyễn Văn Lực 3a = Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông, cạnh AB = 2a Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm G tam giác ABC, góc SA mặt phẳng ( ABCD) 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD cosin góc đường thẳng AC mặt phẳng (SAB) S H K A I B G O M D C Gọi M trung điểm BC, O giao điểm AC BD Ta có 2 5a AM = Vì SG vuông góc với mặt đáy, nên góc 3 · SAG = 300 Xét tam giác vuông SGA, ta có AM = AB + BM = a ⇒ AG = SA mặt đáy · tan SAG = tan 300 = SG 5a = ⇒ SG = AG 3 1 5a 15a S ABCD = 4a Suy VS ABCD = SG.S ABCD = 4a = (đvtt) 3 3 27 Hạ GI vuông góc với AB, I thuộc AB Nối S với I, hạ GK vuông góc với SI, K thuộc SI Khi K hình chiếu vuông góc G (SAB) Ta có GI = MB = GK = GS GI GS + GI 2 = 2a , 10a Gọi H hình chiếu vuông góc O lên (SAB), ta có OH = GK = 10a Khi AH · hình chiếu AO lên (SAB) suy góc AC (SAB) OAH Xét tam giác · = vuông OHA, ta có sin OAH OH 10a 11 · = = ⇒ cos OAH = OA 2.a 4 Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SD = Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ 3a Hình chiếu  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com vuông góc H đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm đoạn AB Gọi K trung điểm đoạn AD Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng HK SD S F B H A C E O D K Từ giả thiết ta có SH đường cao hình chóp S.ABCD 3a a ) − ( ) − a2 = a 2 1 a3 Diện tích hình vuông ABCD a , VS ABCD = SH S ABCD = a.a = 3 HK / / BD ⇒ HK / /( SBD ) Từ giả thiết ta có Do vậy: d ( HK , SD ) = d ( H ,( SBD )) (1) SH = SD − HD = SD − ( AH + AD ) = ( Gọi E hình chiếu vuông góc H lên BD, F hình chiếu vuông góc H lên SE Ta có BD ⊥ SH , BD ⊥ HE ⇒ BD ⊥ ( SHE ) ⇒ BD ⊥ HF mà HF ⊥ SE nên suy HF ⊥ ( SBD) ⇒ HF = d ( H , ( SBD)) (2) a · = sin 450 = +) HE = HB.sin HBE a +) Xét tam giác vuông SHE có: a SH HE a HF SE = SH HE ⇒ HF = = = (3) SE a 2 ( ) + a2 a +) Từ (1), (2), (3) ta có d ( HK , SD) = a Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi I trung điểm AB, H giao điểm BD với IC Các mặt phẳng (SBD) (SIC) vuông góc với đáy Góc (SAB) (ABCD) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com khoảng cách hai đường thẳng SA IC Ta có VS.ABCD = SH.SABCD , SABCD = a Do (SIC),(SBD) vuông với đáy suy SH ⊥ (ABCD) · Dựng HE ⊥ AB ⇒ ( SHE ) ⊥ AB , suy SEH góc · (SAB) (ABCD) ⇒ SEH = 600 Ta có SH = HE.tan 600 = 3HE HE HI a = = ⇒ HE = CB IC 3 a ⇒ SH = 1 a 3a Suy VS.ABCD = SH.SABCD = a = 3 Gọi P trung điểm CD, suy AP song song vớiCI ⇒ d ( SA, CI ) = d ( CI, ( SAP ) ) = d ( H, ( SAP ) ) Dựng HK ⊥ AP , suy ( SHK ) ⊥ ( SAP ) Dựng HF ⊥ SK ⇒ HF ⊥ ( SPA ) ⇒ d ( H, ( SPA ) ) = HF 1 = + (1) 2 HF HK HS2 1 1 = = + Dựng DM ⊥ AP , ta thấy DM = HK ⇒ 2 HK DM DP DA a 1 1 + = + + = ⇒ HF = Thay vào (1) ta có ⇒ = + 2 2 HF DP DA HS a a a a a Vậy d ( SA, CI ) = 2 Do ∆SHK vuông H ⇒ Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), đáy ABCD hình chữ nhật có AD = 3a, AC = 5a, góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD tính góc đường thẳng SD mặt phẳng (SBC) - Tính thể tích Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com S +) Ta có: AB = AC − BC = 4a K +) Mà·( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = ·SDA = 450 H nên SA = AD = 3a A D Do đó: VS ABCD = SA.S ABCD = 12a (đvtt) B C - Tính góc… uuur uuur +) Dựng điểm K cho SK = AD Gọi H hình chiếu vuông góc D lên CK, đó: DK ⊥ ( SBC ) Do đó:·( SD, ( SBC ) ) = ·DSH +) Mặt khác DH = DC.DK 12a = , SD = SA2 + AD = 3a KC SH = SD − DH = 3a 34 SH 17 = arccos ≈ 340 27 ' Do đó:·( SD, ( SBC ) ) = ·DSH = arccos SD Câu 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, hai đường chéo AC = 3a, BD = 2a , BD = 2a; hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết góc đường thẳng SB mặt phẳng (SAC) 30 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách đường thẳng SB AC Tính V d(SB , AC) S ABCD · Cm góc SB mp (SAC) góc BSO = 300 1 VS ABCD = S ABCD SO = AC.BD.SO = 2a 3 Vẽ OH vuông góc SB Chứng minh d(SB , AC) = OH (đường vuông góc chung) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Tính được: d(SB , AC) = OH = a ∧ Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC = 60 Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 60 Gọi I trung điểm BC, H hình chiếu vuông góc A lên SI a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) theo a S ∧ a) Do ABC =600 nên tam giác ABC đều, suy SABCD = a ∧ Mặt khác SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SCA = 60 K H A D E B I AC = a C a3 ⇒ SA = AC.tan 600 = a ⇒ VS.ABCD = SA.SABCD = 2 HS HS.IS AS AS = = = = b)Ta có 2 IS IS IS IA + AS 2 ⇒ d ( H, ( SCD ) ) = d ( I, ( SCD ) ) = d ( B, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) 5 ( I trung điểm BC AB//(SCD)) Gọi E trung điểm CD, K hình chiếu A lên SE, ta có AE ⊥ DC ⇒ DC ⊥ (SAE) ⇒ AK ⊥ (SCD) 5 Suy d ( H, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = AK = SA.AE 2a 15 = SA + AE 25 Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Biết SA ⊥ ( ABCD) , SC hợp với mặt phẳng ( ABCD) góc α với tan α = , AB = 3a BC = 4a Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC ) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com ∧ Xác định góc SCA = α 3 Thể tích VSABCD = S ABCD SA = 3a.4a .5a = 16a Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) Xác định dược khoảng cách d ( D, ( SBC ) = d ( A, ( SBC ) = AH Tính d ( D, ( SBC ) ) = AH = 12a Vậy : D(0; 0; 0) D( 6; 0; ) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 8.3 Hình lăng trụ đứng Câu Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' , ∆ABC có cạnh a , AA ' = a đỉnh A ' cách A, B, C Gọi M , N trung điểm cạnh BC A ' B Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( AMN )  Gọi O tâm tam giác ABC ⇒ A’O ⊥ (ABC) Ta có AM = a a , AO = AM = 3 a2 a2 a ; S∆ABC = A ' O = AA ' − AO = a − = 3 2 a2 a a2 = Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' : V = S∆ABC A ' O = 4 A' ’ C' ’ B' ’ N E A C O M B  Ta có VNAMC = S ∆AMC d [ N ,( ABC )] ⇒ d [ C ,( AMN )] = a2 a S AMC = S ABC = ; d [ N , ( ABC ) ] = A ' O = 2 1a a a Suy ra: VNAMC = = 48 a lại có : AM = AN = , nên ∆AMN cân A Gọi E trung điểm AM suy AE ⊥ MN , MN = Nguyễn Văn Lực 3VNAMC S ∆AMC A 'C a = 2 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com a 11 3a a a 11 ; S AMN = MN AE = ⇒ AE = AN − NE = − = 16 16 3a 2 a 11 a 22 ⇒ d [ C ,( AMN ) ] = : = (đvđd) 48 16 11 2 · Câu Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A ' B'C'D ' có đáy hình thoi cạnh a, BAD = 120o AC' = a Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A ' B'C'D ' khoảng cách hai đường thẳng AB' BD theo a A' Gọi O tâm hình thoi ABCD Do hình thoi ABCD có · BAD = 120o ⇒ ∆ABC, ∆ACD ⇒ AC = a Ta có: SABCD = 2S∆ABC D' C' B' A a2 = D H 120o O B C Mà ABCD.A ' B'C'D ' lăng trụ đứng ⇒ ∆ACC' vuông C ⇒ CC' = AC'2 − AC2 = 5a2 − a2 = 2a a2 = a3 Tứ giác AB'C' D hình bình hành ⇒ AB' // C' D ⇒ AB' // (BC' D) ⇒ d(AB',BD) = d(AB',(BC' D)) = d(A,(BC' D)) = d(C,(BC ' D)) Vì BD ⊥ AC,BD ⊥ CC' ⇒ BD ⊥ (OCC') ⇒ (BC' D) ⊥ (OCC') Trong (OCC'), kẻ CH ⊥ OC' (H ∈ OC') ⇒ CH ⊥ (BC' D) ⇒ d(C,(BC' D)) = CH Vậy VABCD.A 'B'C'D' = CC'.SABCD = 2a × ∆OCC' vuông C ⇒ Vậy d(AB',BD) = 2a 17 1 2a = + = + ⇒ CH = 2 CH CO CC' a 4a 17 × Câu Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A , AB = a, ·ABC = 600 Góc đường thẳng A ' C mặt phẳng ( ABC ) 450 Tính thể tích khối lăng trụ theo a cosin góc đường thẳng AB ' mặt phẳng ( A ' BC ) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com A' C' B' I K A C H B Theo giả thiết, ta có AB = BC.cos ·ABC ⇒ BC = a = 2a ⇒ AC = 3a Góc A ' C cos 600 (ABC) ·A ' CA = 450 ⇒ AA ' = AC = 3a 3a Vậy thể tích khối lăng trụ V = AA ' AB AC = 2 Gọi I tâm hình chữ nhật ABB’A’, H hình chiếu vuông góc A BC, K hình  BC ⊥ AH ⇒ BC ⊥ AK Do AK ⊥ ( A ' BC ) chiếu vuông góc A A’H Ta có   BC ⊥ A ' A Vậy IK hình chiếu IA lên ( A ' BC ) , hay góc AB’ mặt phẳng ( A ' BC ) ·AIK Dễ thấy AB ' = AA '2 + A ' B '2 = 2a ⇒ IA = a Ứng dụng hệ thức tam giác vuông, ta có 1 1 1 3a = + = + + = Suy AK = 2 2 2 AK AA ' AH AA ' AB AC 3a Xét tam giác vuông AKI ta có sin ·AIK = AK · = ⇒ cos AIK = AI 5 Câu Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 có tất cạnh a , góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A 1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A 1B1C1 tính khoảng cách hai đường thẳng AA1 B1C1 theo a Do AH ⊥ ( A1 B1C1 ) nên góc AA1H góc AA1 (A1B1C1), theo giả thiết góc AA1 H 300 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com a Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc AA1H =300 ⇒ AH = VABCA1B1C1 = AH S A1B1C = a a a3 × = a Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc AA1H =300 ⇒ A1 H = Do tam giác A1B1C1 tam giác cạnh a, H thuộc B 1C1 A1 H = a nên A1H vuông góc với B1C1 Mặt khác AH ⊥ B1C1 nên B1C1 ⊥ ( AA1 H ) Kẻ đường cao HK tam giác AA1H HK khoảng cách AA1 B1C1 Ta có AA1.HK = A1H.AH ⇒ HK = Nguyễn Văn Lực A1 H AH a = AA1 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 [...]... ·ADC = 1 a3 a3 = 2 4 8 1 2 Lại có VD.SBC = VS BCD = VS ABCD = 1 a3 3a 3 ⇔ d ( D; ( SBC ) ) S ∆SBC = ⇔ d ( D; ( SBC ) ) = 3 8 8.S ∆SBC 3a 3 a 6 = 1 4 a 6 8 CS CB 4 .a 2 2 a 6 Vậy d ( AD; SB ) = d ( D; ( SBC ) ) = 4 ⇒ d ( D; ( SBC ) ) = Nguyễn Văn Lực 3a 3 = Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.1 68. 309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh AB = 2a Hình chiếu vuông... O = 2 8 2 6 2 2 1a 3 a 6 a 2 Suy ra: VNAMC = = 3 8 6 48 a 3 lại có : AM = AN = , nên ∆AMN cân tại A 2 Gọi E là trung điểm AM suy ra AE ⊥ MN , MN = Nguyễn Văn Lực 3VNAMC S ∆AMC A 'C a = 2 2 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.1 68. 309 www.TOANTUYENSINH.com 1 a 2 11 3a 2 a 2 a 11 ; S AMN = MN AE = ⇒ AE = AN − NE = − = 2 16 4 16 4 3a 2 2 a 11 a 22 ⇒ d [ C ,( AMN ) ] = : = (đvđd) 48 16 11 2 2 · Câu 3 Cho hình lăng... 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD = Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ 3a Hình chiếu 2  0933.1 68. 309 www.TOANTUYENSINH.com vuông góc H của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB Gọi K là trung điểm của đoạn AD Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD S F B H A C E O D K Từ giả thiết ta có SH là đường cao của hình chóp... 0933.1 68. 309 www.TOANTUYENSINH.com ∧ Xác định đúng góc SCA = α 1 3 1 3 4 5 Thể tích VSABCD = S ABCD SA = 3a.4a .5a = 16a 3 Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) Xác định dược khoảng cách d ( D, ( SBC ) = d ( A, ( SBC ) = AH Tính đúng d ( D, ( SBC ) ) = AH = 12a 5 Vậy : D(0; 0; 0) và D( 6; 0; 0 ) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.1 68. 309 www.TOANTUYENSINH.com 8. 3 Hình lăng trụ đứng Câu 1 Cho hình. .. 91 Vậy Câu 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a, SA ⊥ (ABCD) Gọi M là trung điểm của SA Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.BCMN và khoảng cách giữa SB và AC Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.1 68. 309 www.TOANTUYENSINH.com Do theo giao (BCM) // AD nên mp này cắt mp (SAD) tuyến MN // AD  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ BM   BC ⊥ SA Ta có Tứ giác BCMN là hình thang vuông... AG 3 3 1 1 2 5a 2 8 15a 3 S ABCD = 4a 2 Suy ra VS ABCD = SG.S ABCD = 4a = (đvtt) 3 3 3 3 27 Hạ GI vuông góc với AB, I thuộc AB Nối S với I, hạ GK vuông góc với SI, K thuộc SI 2 3 Khi đó K là hình chiếu vuông góc của G trên (SAB) Ta có GI = MB = GK = GS GI GS + GI 2 2 = 2a , do đó 3 10a 6 3 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (SAB), ta có OH = GK = 10a Khi đó AH là 4 · hình chiếu của AO lên... BC ⊥ SA Ta có Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là a a 5 MN = ; BM = 2 2 a a 5  a + ÷  Diện tích hình thang BCMN là 3a 2 5 2 2 S BCMN =  = 2 8 Dụng SK ⊥ BM , do BC ⊥ (SAB ) ⇒ BC ⊥ SK ⇒ SK ⊥ ( BCMN ) đường cao, Có SK = d ( A, BM ) = a 5 1 3a 2 5 a 5 a 3 Vậy VS BCMN = = 5 3 8 5 8 Trong mặt phẳng (ABCD) dựng ∆ qua B song song với AC Đặt (P) = ( ∆ , SB) Khi đó, AC // (P) và d(AC; SB) =... AC) = OH (đường vuông góc chung) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.1 68. 309 www.TOANTUYENSINH.com Tính được: d(SB , AC) = OH = a 3 2 ∧ Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC = 60 0 Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 60 0 Gọi I là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A lên SI a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính khoảng... Gọi I là hình chiếu của H lên AC và K là hình chiếu của H lên SI Ta có: AC ⊥ HI và AC ⊥ SH nên AC ⊥ ( SHI ) ⇒ AC ⊥ HK Mà, ta lại có: HK ⊥ SI Do đó: HK ⊥ ( SAC ) Vì hai tam giác SIA và SBC đồng dạng nên Suy ra, HK = HI AH AH BC a 6 = ⇒ HI = = BC AC AC 3 HS HI = a 66 HS + HI 11 2 2 Vậy , d ( B, ( SAC ) ) = 2d ( H , ( SAC ) ) = 2 HK = 2a 66 11 Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi... là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao ⇒ Diện tích đáy S ABC D = 4S ∆ABO = 2.OA.OB = 2 3a 2 ; 1 1 1 a = + ⇒ SO = 2 2 2 OI OK SO 2 S a 2 đường cao của hình chóp SO = Thể tích khối chóp S.ABCD: VS ABC D = 1 S ABC D SO = 3 3a 3 3 I D O C A 3a a H B K Câu 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình