PHẦN 8 HÌNH học KHÔNG GIAN

www.TOANTUYENSINH.com PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 8.1 Hình chóp tam giác Câu Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông A , AB  AC  a , I trung điểm SC , hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng  ABC  trung điểm H BC , mặt phẳng  SAB  tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S ABC tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  SAB  theo a Sj Gọi K trung điểm AB  HK  AB (1) Vì SH   ABC  nên SH  AB (2) Từ (1) (2) suy  AB  SK Do góc  SAB  với đáy góc SK M HK SKH  60 B H C Ta có SH  HK tan SKH  K a A 1 Vậy VS ABC  S ABC SH  AB AC.SH  a3 12 Vì IH / / SB nên IH / /  SAB  Do d  I ,  SAB    d  H ,  SAB   Từ H kẻ HM  SK M  HM   SAB   d  H ,  SAB    HM Ta có 1 16 a a     HM  Vậy d  I ,  SAB    2 HM HK SH 3a 4 Câu Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 8a, tam giác ABC cạnh 4a; M, N trung điểm cạnh SB BC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com *) Ta có: AN  AB  BN  2a S Diện tích tam giác ABC là: S ABC  BC AN  4a Thể tích hình chóp S.ABC là: M 1  S ABC SA  4a 3.8a 3 VS ABC C A 32a 3 (đvtt)  H N *) Ta có: B VB AMN BA BM BN   VS ABC BA BS BC 8a 3 VB AMN  VS ABC  2 Mặt khác, SB  SC  5a  MN  SC  5a ; AM  SB  5a Gọi H trung điểm AN MH  AN ,  MH  AM  AH  a 17 2 Diện tích tam giác AMN SAMN  AN MH  2a 3.a 17  a 51 Vậy khoảng cách từ B đến (AMN) là: d ( B, ( AMN ))  3VB AMN 8a 3 8a 8a 17    SAMN 17 a 51 17 Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, cạnh SA vuông góc với mặt đáy Góc SCB 600 , BC = a, SA SB.Tính thể tích khối chóp MABC BC SA (SAB ) BC AB (SAB ) Mà BC (SBC ) nên (SBC ) Ta có, SB BC tan SCB AB S MAB S SAB Nguyễn Văn Lực SB S (SAB ) (do SA cắt BC) BC (SAB ) a.tan 600 SA2 1 SA AB 2 a Gọi M trung điểm a a (a 3)2 (a 2)2 a M 60 C A a a2 B Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Thể tích khối chóp M.ABC: V 1 B h S MAB BC 3 (đvdt) a2 a3 a 12 Câu Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông C , AC  a, AB  2a , SA vuông góc với đáy Góc mặt phẳng  SAB  mặt phẳng  SBC  60 Gọi H , K hình chiếu A lên SB SC Chứng minh AK vuông góc HK tính thể tích khối chóp S ABC SA  BC, AC  BC  BC   SAC   BC  AK Mà AK  SC  AK   SBC   AK  HK a2 , AK  AH sin 60  AH S ABC  2 1 1  2   (1), 2 AH SA AB SA 4a 1 1 3  2   2 2   (2) 2 2 AK SA AC AH SA a AH 4SA 4a a Từ (1) (2) suy   SA  S A2 a 2 VS ABC a3  12 Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a; AC = 2a Mặt bên (SBC) tam giác cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Biết góc hai mặt (SAB) (ABC) 300 Tính thể tích khối chóp SABC khoáng cách hai đường thẳng SC AB theo a Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Tính VS.ABC Gọi H trung điểm BC Do SBC cân S nên SH  BC (SBC)  (ABC)  Ta có: (SBC)  (ABC)  BC  SH  (ABC) SH  BC  Gọi K trung điểm AB  HK // AC mà AC  AB  HK  AB SH  AB (do SH  (ABC) )  AB  (SHK)  AB  SK (SAB)  (ABC)  AB   Góc (SAB) (ABC) SKH  30o SK  AB  HK  AB  SH a a3 tan 30   SH   VS.ABC  SH.SABC  HK 3 o  Tính d(SC,AB) Vẽ hình chữ nhật BKEC  CE // AB mà AB  (SHK)  CE  (SHK) d(AB,SC) = d(AB,(SEC)) = d(K,(SEC)) = d(H,(SEC)) Kẻ HF  SE HF  CE  HF  (SEC) Ta có: a 1 a       HF   d(H,(SEC)) =  d(AB,SC) = a 2 HF HE SH a a a 2 Câu Cho hình chóp S ABC có đường cao SA 2a , tam giác ABC vuông C có AB  2a, CAB  30 Gọi H hình chiếu vuông A SC Tính theo a thể tích khối chóp H ABC Tính cô-sin góc hai mặt phẳng  SAB  ,  SBC  S K H A B I C Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Trong mặt phẳng  SAC  , kẻ HI song song với SA HI   ABC  2 Ta có CA  AB cos 30  a Do S ABC  AB AC.sin 30  2a.a 3.sin 30  a2 HI HC HC.SC AC AC 3a        HI  a 2 2 2 SA SC SC SC SA  AC 4a  3a 7 1 a a Vậy VH ABC  S ABC HI  a 3 7 (Cách khác: VH ABC  VB AHC  S AHC BC ) Gọi K hình chiếu vuông góc A lên SB Ta có AH  SC , AH  CB (do Ta có CB   SAC  ), suy AH   SBC   AH  SB Lại có: SB  AK , suy SB   AHK  Vậy góc giữa hai mặt phẳng  SAB  ,  SBC  HKA 1 1 a.2 ;  2  2 2  AH  2 AH SA AC 4a 3a 12a 1 1 1  2     AK  a 2 AK SA AB 4a 4a 2a Tam giác HKA vuông H (vì AH   SBC  ,  SBC   HK ) a.2 AH   cos HKA  sin HKA   AK a Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S.ABC diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a +) Từ giả thiết suy tam giác ABC cạnh a SH(ABC) với H tâm tam a SH đường cao hình chóp S.ABC Từ giả thiết => SA = a => tam giác vuông SAH vuông H có giác ABC => AH = SH  SA2  AH  6a +) Diện tích tam giác ABC bằng: S ABC  a2 a3  VS ABC  S ABC SH  +) SH trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, mặt phẳng (SAH) kẻ đường trung trực cạnh SA cắt SH I => I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính R = IS Hai tam giác vuông SMI SHA đồng dạng => Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com SI  SM SA  a SH +) Diện tích mặt cầu là: S  4 R  27 a S M I A C H … B Câu Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông A, BC = 2a, Góc ACB  600 Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mp(ABC), tam giác SAB cân S, tam giác SBC vuông S Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC) S A 600 H C K B a) Gọi H trung điểm cạnh AB, từ gt có SH  ( ABC ) VS ABC  S ABC SH Tam giác ABC vuông A có: AB  2a sin 600  3a; AC  2acos600  a Nên S ABC  AB AC  a Gọi K trung điểm cạnh BC Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 1 BC  a; HK  AC  a cos 600  a 2 SH  SK  KH  a  SH  a Suy VS ABC  a b) Ta có SB  SH  HB  a 2 3a 7a 2 2 HC  AC  AH  a   4 SK  3a 7a 10   a 4 1 10 15 SSBC  SB.SC  a a a 2 2 3 a 3VS ABC Vậy d ( A;( SBC ))    a S SBC 15 15 a SC  SH  HC  Câu Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  , ABC  900 , AB  a, BC  a 3, SA  2a Chứng minh trung điểm I cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC tính diện tích mặt cầu theo a S I A C B Vì SA   ABC   SA  BC Mặt khác theo giả thiết AB  BC , nên BC   SAB  BC  SB Ta có tam giác SBC vuông đỉnh B; tam giác SAB vuông đỉnh A nên IA  IB  SC  IS  IC (*) Vậy điểm I cách bốn đỉnh hình chóp, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Từ (*) ta có bán kính mặt cầu R  SC Ta có AC  AB  BC  2a SC  SA2  AC  2a  R  a Diện tích mặt cầu 4 R  8 a Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 8.2 Hình chóp tứ giác Câu Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính thể tích hình chóp S A 60 B D O 2a C  Gọi O tâm mặt đáy SO (ABCD ) SO đường cao hình chóp hình chiếu SB lên mặt đáy BO, SBO 600 (là góc SB mặt đáy) SO BD SO BO tan SBO tan SBO  Ta có, tan SBO BO a 2.tan 600 a  Vậy, thể tích hình chóp cần tìm V B.h AB.BC SO 2a.2a.a 4a Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, AB  BC  a , CD  2a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SA  a Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) Kẽ đường thẳng qua C song song với AB cắt AD E Ta có: AE  BC  a ; DE= DE  (2a)2  a  a Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  Suy diện tích hình thang ABCD là: SABCD  a2  Vậy: VS ABCD  SA.S SABCD  a     Vì AD//(SBC) nên d ( D, ( SBC ))  d ( A, ( SBC )) Kẻ AI vuông góc SB I, chứng minh AI vuông góc (SBC) Nên d ( A, ( SBC ))  AI Trong tam giác SAB vuông A có AI đường cao nên:   AI Suy ra: AI  SA.AB  a SB SA AB Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a E , F trung điểm AB BC , H giao điểm AF DE Biết SH vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) góc đường thẳng SA mặt phẳng ( ABCD ) 60 Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng SH , DF Do ABCD hình vuông cạnh 2a nên S ABCD  4a SH  ( ABCD )  HA hình chiếu vuông góc SA mp  ABCD   SAH  600  SH  AH ABF  DAE  c.g.c   BAF  ADE Mà: AED  ADE  900 Nên BAF  AED  900  AHE  900  DE  AF Trong ADE có: AH DE  AD AE  AH  Nguyễn Văn Lực 2a Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com * Tính thể tích khối chóp S.HCD: AM AD   nên đồng dạng, AD DC Suy ADH  DCH , mà ADH  HDC  90  DHC  90 Hai tam giác vuông AMD DAC có  ADC vuông D: AC2  AD2  DC2  AC  a Hệ thức lượng  ADC: DH.AC = DA.DC DC.DA 2a  Suy ra: DH  AC 4a  DHC vuông H: HC  DC2  DH  Do diện tích  HCD: SHCD  DH.HC  4a Thể tích khối chóp SHCD: VS.HCD  SH.SHCD  4a 15 Tính khoảng cách SD AC: Dựng HE  SD Ta có SH  (ABCD) nên SH  AC DH  AC , AC  (SHD) Mà HE  (SHD) nên HE  AC Từ HE đoạn vuông góc chung SD AC nên HE  d SD; AC   SHD vuông H nên: HE  SH2   HE  HD2 2a Vậy d SD; AC   HE  2a Câu 10 Cho hin ̀ h chóp S.ABCD có đáy ABCD là hiǹ h thang với đáy lớn là AD; đường thẳng SA, AC và CD đôi mô ̣t vuông góc với nhau; AC  CD  a và AD  BC Tính thể tích của khố i chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳ ng SB và CD Ta có: SA  AC và SA  CD  SA  (ABCD)  ACD vuông cân ta ̣i C  AD = 2a  BC = a Go ̣i I là trung điể m AD  AI = BC, AI // BC và CI  AD  ABCI là hin ̀ h vuông Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ S K I A D H B C  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  AB  AD Do đó SABCD = (AD  BC).AB  3a Vâ ̣y VSABCD = SABCD SA  3a a  a 3 2 Ta có CD // BI  CD // (SBI)  d(SB, CD) = d(CD, (SBI)) = d(C, (SBI)) Go ̣i H = AC  BI và AK  SH ta ̣i K Ta có AK  (SBI)  d(A, (SBI)) = AK Ta có AK  SA  AH2   d(A; (SBI)) = AK = a 10 2a2  a 10 Vâ ̣y d(CD, SB) = 2a2  2a2  AK = a 10 Vì H là trung điể m AC nên d(C; (SBI)) = d(A; (SBI)) = a 10 Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , tâm O SO vuông góc với mặt phẳng ABCD Trên cạnh SA lấy điểm M cho MA = 2MS Gọi N trung điểm CD , SNO 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a cosin góc MN với mặt phẳng (ABCD ) a Xét SON vuông ta ̣i O, cóON  , SNO  600 S SO  ON tan 600  M a Diện tích hình vuông ABCD là SABCD  a a3 SO.SABCD  SO (H  BD )  MH  (ABCD )  VS ABCD  A D Kẻ MH Khi đó, ta có hiǹ h chiế u vuông góc của MN C B (ABCD) là HN suy góc giữa MN và (ABCD) là   MNH H O N 2 Vì MH SO, MA  2MS  BH  2HO nên ta có HD  BD  a 3 Xét HND , ta có HN  HD  DN  2HD.DN cos 450  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ 17 a 17 a  HN  16  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Xét MHN vuông ta ̣i H, ta có tan   MH 51   cos   HN 17 17 29 Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết SD  2a góc tạo đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) Gọi H trung điểm AB Suy SH  ( ABCD ) S SCH  300 Ta có: SHC  SHD  SC  SD  2a Xét tam giác SHC vuông H ta có: K A D I SH  SC.sin SCH  SC.sin 300  a H B HC  SC.cos SCH  SC.cos 300  3a C Vì tam giác SAB mà SH  a nên AB  2a Suy BC  HC  BH  2a Do đó, S ABCD  AB.BC  4a 2 4a Vì BA  2HA nên d  B,  SAC    2d  H ,  SAC   Vậy, VS ABCD  S ABCD SH  Gọi I hình chiếu H lên AC K hình chiếu H lên SI Ta có: AC  HI AC  SH nên AC   SHI   AC  HK Mà, ta lại có: HK  SI Do đó: HK   SAC  Vì hai tam giác SIA SBC đồng dạng nên Suy ra, HK  HS HI HS  HI 2  HI AH AH BC a   HI   BC AC AC a 66 11 Vậy , d  B,  SAC    2d  H ,  SAC    2HK  2a 66 11 Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, mặt bên SAD tam a Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng AD, SB theo a giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, SC  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com S D C H A B Gọi H chân đường cao hạ từ S tam giác SAD Suy ra: SH  a SH   ABCD  a 2 a 3a 2  a  DH  DC  CH   HDC  600 cos HDC   a DH DC 2 .a Trong tam giác vuông HSC có HC  a2 2 1a a 3 VS ABCD  SH S ABCD   a 3 2 Ta có ADC cạnh a  CH  AD  CH  BC hay BC   SHC   BC  SC  CSB vuông C Suy S ABCD  DA.DC.sin ADC  a3 a3  Lại có VD.SBC  VS BCD  VS ABCD  a3 3a3  d  D;  SBC   SSBC   d  D;  SBC    8.SSBC 3a3 a  a CS CB .a 2 a Vậy d  AD; SB   d  D;  SBC     d  D;  SBC    Nguyễn Văn Lực 3a3  Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông, cạnh AB  2a Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm G tam giác ABC, góc SA mặt phẳng ( ABCD ) 30 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD cosin góc đường thẳng AC mặt phẳng (SAB) S H K A I B G O M D C Gọi M trung điểm BC, O giao điểm AC BD Ta có AM  AB  BM  a  AG  SA mặt đáy tan SAG  tan 300  2 5a Vì SG vuông góc với mặt đáy, nên góc AM  3 SAG  300 Xét tam giác vuông SGA, ta có SG 5a   SG  AG 3 1 5a 15a3 (đvtt) S ABCD  4a Suy VS ABCD  SG.S ABCD  4a  3 3 27 Hạ GI vuông góc với AB, I thuộc AB Nối S với I, hạ GK vuông góc với SI, K thuộc SI Khi K hình chiếu vuông góc G (SAB) Ta có GI  MB  GK  GS GI GS  GI 2  2a , 10a Gọi H hình chiếu vuông góc O lên (SAB), ta có OH  GK  10a Khi AH hình chiếu AO lên (SAB) suy góc AC (SAB) OAH Xét tam giác vuông OHA, ta có sin OAH  Nguyễn Văn Lực OH 10a 11    cos OAH  OA 2.a 4 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SD  3a Hình chiếu vuông góc H đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm đoạn AB Gọi K trung điểm đoạn AD Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng HK SD S F C B E H O K A D Từ giả thiết ta có SH đường cao hình chóp S.ABCD 3a a )  ( )  a2  a 2 1 a3 Diện tích hình vuông ABCD a , VS ABCD  SH S ABCD  a.a  3 Từ giả thiết ta có HK / / BD  HK / /( SBD) SH  SD  HD  SD  ( AH  AD )  ( Do vậy: d ( HK , SD )  d ( H ,( SBD )) (1) Gọi E hình chiếu vuông góc H lên BD, F hình chiếu vuông góc H lên SE Ta có BD  SH , BD  HE  BD  ( SHE )  BD  HF mà HF  SE nên suy HF  ( SBD)  HF  d ( H , ( SBD)) (2) a +) HE  HB.sin HBE  sin 450  a +) Xét tam giác vuông SHE có: a a  (3) a 2 ( )  a2 a +) Từ (1), (2), (3) ta có d ( HK , SD )  SH HE HF SE  SH HE  HF   SE Nguyễn Văn Lực a Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi I trung điểm AB, H giao điểm BD với IC Các mặt phẳng (SBD) (SIC) vuông góc với đáy Góc (SAB) (ABCD) 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SA IC S Ta có VS.ABCD  SH.SABCD , SABCD  a Do (SIC),(SBD) vuông với đáy suy SH  (ABCD) F A D K P M C I H Dựng HE  AB   SHE   AB , suy SEH góc (SAB) (ABCD)  SEH  600 Ta có SH  HE.tan 600  3HE HE HI a    HE  CB IC 3 E B  SH  a 3 a 3a a  3 Suy VS.ABCD  SH.SABCD  Gọi P trung điểm CD, suy AP song song vớiCI  d  SA, CI   d  CI, SAP    d  H, SAP   Dựng HK  AP , suy  SHK    SAP  Dựng HF  SK  HF  SPA   d  H, SPA    HF 1   (1) 2 HF HK HS2 1 1    Dựng DM  AP , ta thấy DM  HK  2 HK DM DP DA 1 1 a       HF  Thay vào (1) ta có    2 HF DP DA HS a a a a 2 a Vậy d  SA, CI   2 Do SHK vuông H  Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), đáy ABCD hình chữ nhật có AD = 3a, AC = 5a, góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD tính góc đường thẳng SD mặt phẳng (SBC) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com - Tính thể tích +) Ta có: AB  AC  BC  4a S K +) Mà   SCD  ,  ABCD    SDA  450 H nên SA = AD = 3a A Do đó: VS ABCD D  SA.S ABCD  12a (đvtt) B C - Tính góc… +) Dựng điểm K cho SK  AD Gọi H hình chiếu vuông góc D lên CK, đó: DK   SBC  Do đó:  SD,  SBC    DSH +) Mặt khác DH  DC.DK 12a  , SD  SA2  AD  3a KC SH  SD  DH  3a 34 Do đó:  SD,  SBC    DSH  arccos SH 17  arccos  340 27 ' SD Câu 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, hai đường chéo AC  3a, BD  2a , BD = 2a; hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết góc đường thẳng SB mặt phẳng (SAC) 30 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách đường thẳng SB AC Tính VS ABCD d(SB , AC) Cm góc SB mp (SAC) góc BSO  300 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 1 VS ABCD  S ABCD SO  AC.BD.SO  2a 3 Vẽ OH vuông góc SB Chứng minh d(SB , AC) = OH (đường vuông góc chung) Tính được: d(SB , AC) = OH  a  Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC  60 Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 600 Gọi I trung điểm BC, H hình chiếu vuông góc A lên SI a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) theo a S  a) Do ABC =600 nên tam giác ABC đều, suy SABCD  a AC  a  Mặt khác SA  ( ABCD)  SCA  60 K H A D E B I C a3  SA  AC.tan 600  a  VS.ABCD  SA.SABCD  2 HS HS.IS AS AS     b)Ta có 2 IS IS IS IA  AS 2  d  H,  SCD    d  I,  SCD    d  B,  SCD    d  A,  SCD   5 ( I trung điểm BC AB//(SCD)) Gọi E trung điểm CD, K hình chiếu A lên SE, ta có AE  DC  DC  (SAE)  AK  (SCD) Suy d  H, SCD    d  A, SCD    AK  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ SA.AE 2a 15  2 SA  AE 25  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Biết SA  ( ABCD ) , SC hợp với mặt phẳng ( ABCD ) góc  với tan   , AB  3a khối chóp y x -8 -6 -4 -2 -5 y x -8 -6 -4 -2 -5 Tính thể tích khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC ) S H A D 3a α B C 4a  Xác định góc SCA   3 Thể tích VSABCD  S ABCD SA  3a.4a .5a  16a Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) Xác định dược khoảng cách d D, (SBC   d  A, (SBC   AH Tính d D, ( SBC )   AH  12a Vậy : D(0; 0; 0) D( 6; 0; ) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 8.3 Hình lăng trụ đứng Câu Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' , ABC có cạnh a , AA '  a đỉnh A ' cách A, B, C Gọi M , N trung điểm cạnh BC A ' B Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( AMN )  Gọi O tâm tam giác ABC  A’O  (ABC) a a , AO  AM  3 a a a2 ; SABC  A ' O  AA '2  AO  a   3 Ta có AM  a2 a a2 Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' : V  SABC A ' O   4 A' ’ C' ’ B' ’ N E A C O M B  Ta có VNAMC  SAMC d  N ,( ABC )  d C ,( AMN )  3VNAMC SAMC a2 a S AMC  S ABC  ; d  N ,( ABC )  A ' O  2 1a a a Suy ra: VNAMC   48 a lại có : AM  AN  , nên AMN cân A Gọi E trung điểm AM suy AE  MN , MN  Nguyễn Văn Lực A 'C a  2 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 3a a a 11 a 11 ; S AMN  MN AE    16 16 3a a 11 a 22 (đvđd)  d C ,( AMN )  :  48 16 11  AE  AN  NE  Câu Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc A’ lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng cách AA’ BC Gọi M trung điểm BC ta thấy: a AM  BC    BC  ( A' AM ) A' O  BC   Kẻ MH  AA' , (do A nhọn nên H thuộc đoạn AA’.) BC  ( A' AM )    HM  BC Vậy HM đọan vuông góc chung HM  ( A' AM ) AA’và BC, d ( AA' , BC)  HM  a A' O HM  Xét tam giác đồng dạng AA’O AMH, ta có: AO AH AO.HM a a a    suy A' O  AH 3a 1aa a3 Thể tích khối lăng trụ: V  A' O.S ABC  A' O.AM.BC  a 23 12 Do Câu Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A ' B'C' D ' có đáy hình thoi cạnh a, BAD  120o AC'  a Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A ' B'C' D ' khoảng cách hai đường thẳng AB' BD theo a Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com A' Gọi O tâm hình thoi ABCD Do hình thoi ABCD có BAD  120o  ABC, ACD  AC  a Ta có: SABCD  2SABC D' C' B' A a2  D H 120o O B C Mà ABCD.A ' B'C' D ' lăng trụ đứng  ACC ' vuông C  CC'  AC'2  AC2  5a2  a2  2a a2  a3 Tứ giác AB'C' D hình bình hành  AB' // C' D  AB' // (BC ' D)  d(AB',BD)  d(AB',(BC' D))  d(A,(BC' D))  d(C,(BC ' D)) Vậy VABCD.A'B'C'D'  CC'.SABCD  2a  Vì BD  AC,BD  CC'  BD  (OCC')  (BC' D)  (OCC') Trong (OCC'), kẻ CH  OC' (H  OC')  CH  (BC' D)  d(C,(BC' D))  CH OCC' vuông Vậy d(AB',BD)  C 2a 1 2a      CH  2 CH CO CC' a 4a 17  17 Câu Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A , AB  a, ABC  600 Góc đường thẳng A ' C mặt phẳng ( ABC ) 450 Tính thể tích khối lăng trụ theo a cosin góc đường thẳng AB ' mặt phẳng ( A ' BC ) A' C' B' I K A C H B Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Theo giả thiết, ta có AB  BC.cos ABC  BC  a  2a  AC  3a Góc A ' C cos 600 (ABC) A ' CA  450  AA '  AC  3a 3a Vậy thể tích khối lăng trụ V  AA ' AB AC  2 Gọi I tâm hình chữ nhật ABB’A’, H hình chiếu vuông góc A BC, K hình  BC  AH chiếu vuông góc A A’H Ta có   BC  AK Do BC  A ' A  AK  ( A ' BC ) Vậy IK hình chiếu IA lên ( A ' BC ) , hay góc AB’ mặt phẳng ( A ' BC ) AIK Dễ thấy AB '  AA '2  A ' B '2  2a  IA  a Ứng dụng hệ thức tam giác vuông, ta có 1 1 1 3a       Suy AK  2 2 2 AK AA ' AH AA ' AB AC 3a Xét tam giác vuông AKI ta có sin AIK  AK   cos AIK  AI 5 Câu Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cạnh a , góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 tính khoảng cách hai đường thẳng AA1 B1C1 theo a Do AH  ( A1 B1C1 ) nên góc AA1 H góc AA1 (A1B1C1), theo giả thiết góc AA1 H 300 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com a Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc AA1 H =300  AH  VABCA1B1C1  AH S A1B1C  a a a3   Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc AA1 H =300  A1 H  A1B1C1 tam giác cạnh a, H thuộc B1C1 A1 H  a Do tam giác a nên A1H vuông góc với B1C1 Mặt khác AH  B1C1 nên B1C1  ( AA1 H ) Kẻ đường cao HK tam giác AA1H HK khoảng cách AA1 B1C1 Ta có AA1.HK = A1H.AH  HK  Nguyễn Văn Lực A1 H AH a  AA1 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 [...]... ADC  1 a3 a3  2 4 8 1 2 Lại có VD.SBC  VS BCD  VS ABCD  1 a3 3a3  d  D;  SBC   SSBC   d  D;  SBC    3 8 8.SSBC 3a3 a 6  1 4 a 6 8 CS CB 4 .a 2 2 a 6 Vậy d  AD; SB   d  D;  SBC    4  d  D;  SBC    Nguyễn Văn Lực 3a3  Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.1 68. 309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh AB  2a Hình chiếu vuông góc... )  A ' O  2 8 2 6 2 2 1a 3 a 6 a 2 Suy ra: VNAMC   3 8 6 48 a 3 lại có : AM  AN  , nên AMN cân tại A 2 Gọi E là trung điểm AM suy ra AE  MN , MN  Nguyễn Văn Lực A 'C a  2 2 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.1 68. 309 www.TOANTUYENSINH.com 3a 2 a 2 a 11 1 a 2 11 ; S AMN  MN AE    4 16 4 2 16 2 3a 2 a 11 a 22 (đvđd)  d C ,( AMN )  :  48 16 11  AE  AN 2  NE 2  Câu 2 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’... Kiều – Cần Thơ  0933.1 68. 309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD  3a Hình chiếu 2 vuông góc H của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB Gọi K là trung điểm của đoạn AD Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD S F C B E H O K A D Từ giả thiết ta có SH là đường cao của hình chóp S.ABCD và 3a... là hình chiếu của A lên SE, ta có AE  DC  DC  (SAE)  AK  (SCD) Suy ra d  H, SCD    d  A, SCD    AK  2 5 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ 2 5 2 SA.AE 2a 15  2 2 5 SA  AE 25  0933.1 68. 309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Biết SA  ( ABCD ) , SC 4 5 hợp với mặt phẳng ( ABCD ) một góc  với tan   , AB  3a và của khối chóp y 5 x -8 -6... 91 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.1 68. 309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA  a, SA  (ABCD) Gọi M là trung điểm của SA Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.BCMN và khoảng cách giữa SB và AC // AD nên mp này cắt mp (SAD) theo giao // AD Do (BCM) tuyến MN  BC  AB  BC  BM   BC  SA Ta có Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là a a 5...  A' O.S ABC  A' O.AM.BC  a 2 23 2 12 Do Câu 3 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A ' B'C' D ' có đáy là hình thoi cạnh a, BAD  120o và AC'  a 5 Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A ' B'C' D ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BD theo a Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.1 68. 309 www.TOANTUYENSINH.com A' Gọi O là tâm hình thoi ABCD Do hình thoi ABCD có BAD  120o  ABC, ACD đều  AC  a... Ta có Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là a a 5 MN  ; BM  2 2 a a 5   a   3a 2 5 2 2   Diện tích hình thang BCMN là S BCMN  2 8 Dụng SK  BM , do BC  ( SAB)  BC  SK  SK  ( BCMN ) đường cao, Có SK  d  A, BM   a 5 1 3a 2 5 a 5 a3 Vậy VS BCMN   5 3 8 5 8 Trong mặt phẳng (ABCD) dựng  qua B song song với AC Đặt (P) = (  , SB) Khi đó, AC // (P) và d(AC; SB) = d(AC; (P))... Cần Thơ  0933.1 68. 309 www.TOANTUYENSINH.com 1 1 1 VS ABCD  S ABCD SO  AC.BD.SO  2a 3 3 3 2 Vẽ OH vuông góc SB Chứng minh được d(SB , AC) = OH (đường vuông góc chung) Tính được: d(SB , AC) = OH  a 3 2  Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC  60 0 Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 600 Gọi I là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông... Gọi I là hình chiếu của H lên AC và K là hình chiếu của H lên SI Ta có: AC  HI và AC  SH nên AC   SHI   AC  HK Mà, ta lại có: HK  SI Do đó: HK   SAC  Vì hai tam giác SIA và SBC đồng dạng nên Suy ra, HK  HS HI HS  HI 2 2  HI AH AH BC a 6   HI   BC AC AC 3 a 66 11 Vậy , d  B,  SAC    2d  H ,  SAC    2HK  2a 66 11 Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi... định dược khoảng cách d D, (SBC   d  A, (SBC   AH Tính đúng d D, ( SBC )   AH  12a 5 Vậy : D(0; 0; 0) và D( 6; 0; 0 ) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.1 68. 309 www.TOANTUYENSINH.com 8. 3 Hình lăng trụ đứng Câu 1 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' , ABC đều có cạnh bằng a , AA '  a và đỉnh A ' cách đều A, B, C Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và A ' B Tính theo a thể tích