PHẦN 3 số PHỨC

www.TOANTUYENSINH.com PHẦN SỐ PHỨC 3.1 Tính toán với số phức Câu Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (1 + 2i) z + (2 − 3i) z = −2 − 2i Tính mô đun z Gọi z=x+yi ( x, y ∈ R ) Phương trình cho trở thành: ( + 2i ) ( x + yi ) + ( − 3i ) ( x − yi ) = −2 − 2i ⇔ ( x − y ) + ( x + y ) i + ( x − y ) + ( −3x − y ) i = −2 − 2i ⇔ ( x − y ) + ( − x − y ) i = −2 − 2i 3 x − y = −2 x =1 ⇔ ⇔  − x − y = −2 y =1 Do z = 12 + 12 = Câu Tìm môđun số phức z thoả mãn điều kiện z + (2 + i ) z = + 5i Giả sử ,z=x+yi(x,y ∈ R ).Ta có z + (2 + i ) z = + 5i x+yi +(2+i)(x-yi)=3+5i 3x+y+(x-y)i=3+5i 3 x + y =  x=2   x− y =5  y = −3  Vậy z=2-3i Do môđun số phức z 13 Câu Tìm số phức z có môđun nhỏ thỏa : z + − 5i = z + − i Giả sử : z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) từ gt ,ta có : x + + ( y − ) i = x + − ( y + 1) i ; ⇔ ( x + 1) + ( y − ) = ( x + ) + ( y + 1) ⇔ x + y − = ⇔ x = − y 2 2 Khi z = x + y = 10 y − 24 y + 16 z nhỏ khi: z = + i 5 Câu Cho số phức z thỏa mãn z − ( + 3i ) z = − 9i Tìm môđun số phức z Gọi z = a + bi, a, b ∈ ¡ ; Khi z − ( + 3i ) z = − 9i ⇔ a + bi − ( + 3i ) ( a − bi ) = − 9i ⇔ − a − 3b − ( 3a − 3b ) = − 9i Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  −a − 3b =  a = ⇔  Vậy môđun số phức z : z = 22 + (−1)2 = a − b = b = −   Câu Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (2 − i)(1 + i ) + z = − 2i Tính môđun z Đặt z = a + bi , ( a, b ∈ R ), z = a − bi Theo ta có (2 − i )(1 + i ) + a − bi = − 2i ⇔ a + + (1 − b)i = − 2i a + = a = ⇔ ⇔ Do z = 1+ 3i , suy z = 12 + 32 = 10 − b = − b =   Câu Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + ( − i ) z = + i Tính mô đun số phức w = + iz + z 3a − b = a = ⇔  −a − b = b = −2 Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Từ giả thiết ta có:  Do z = − 2i Suy w = + iz + z = + i ( − 2i ) + ( − 2i ) = −3i Vậy w = z2 + 2z + z +1 z + 2z + Tìm môđun số phức z, biết z = z +1 + Điều kiện z ≠ −1 + Gọi z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) , Câu Tìm môđun số phức z, biết z = z2 + 2z + ⇔ ( a − bi ) ( a + bi + 1) = ( a + bi ) + ( a + bi ) + ta có : z = z +1 ⇔ ( −2b + a + ) + ( 2ab + 3b ) i =  −2b + a + = a = −3 ⇔ ⇔ b =  2ab + 3b = hay  a=−    b = ±   Với a = −3, b = , ta có z = a + b = 3 , ta có z = a + b2 = + = 4 Vậy môđun số phức z hay Với a = − , b = ± Câu Tìm môđun số phức z thỏa mãn số phức thời z − − i = Nguyễn Văn Lực z + + 2i số ảo đồng z − − 4i Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Đặt z=a+bi : Đk : z ≠ + 4i a + b + 4a − 2b + 12 = a = a = ⇔ (L)V  ⇒ z = − 2i ⇒ z = 2 Theo đề :  2 b =  b = −2 ( a − ) + ( b − 1) = 25 ( ) Câu Cho số phức z thỏa mãn (1 + i )z = z + i Tính môđun số phức z Đặt z = a + bi,(a, b ∈ ¡ ); z = a − bi Do (*) Û (1 + i )(a + bi ) = (a - bi + 2)i Û (a - b) + (a + b)i = b + (a + 2)i a − b = b ⇔ ⇔ a + b = a +  a = ⇒ z = 42 + 22 =  b =    Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: z  − i ÷ = + i Tính môđun số phức 2   w=1+I+z 3+ i = 35 + 12 i ⇔z = 37 37 3− i   z  − i ÷= + i   w =1+ i + z = 72 49 + i 37 37 7585  72   49  ⇒ w =  ÷ + ÷ = 37  37   37  Câu 11 Trong số phức thỏa mãn z − + 3i = Tìm số phức z có môđun nhỏ 2 *Gọi z=x+yi z − + 3i = ⇒ … ⇒ ( x − ) + ( y + 3) = * Vẽ hình ⇒|z|min ⇒z ĐS: z = 26 − 13 78 − 13 + i 13 26 z − 4i z − 11 = z − Hãy tính z + 2i z−2  z = + 3i z − 11 = z − ⇔ z − z + 13 = , ∆ ' = −9 = 9i ⇒  z−2  z = − 3i Câu 12 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  z = + 3i ⇒ Nguyễn Văn Lực z − 4i − i =1 = z + 2i − i Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  z = − 3i ⇒ z − 4i − 7i = = z + 2i + 5i 53 29 Câu 13 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz + z = − i Tính mô đun số phức w = iz + Gọi z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) ta có: ⇔ (2a − b) + ( a − 2b)i = − i  2a − b = a = ⇔ ⇔ a − 2b = −1 b = ⇒ z = − i ⇒ w = + i ⇒| w |= 26 Câu 14 Gọi x1 , x2 hai nghiệm tập số phức phương trình x + x + = Tính x1 + x2 ∆′ = − = 4i , x1 = −1 + 2i , x2 = −1 − 2i , x1 + x2 = Câu 15 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z −4 z +29 =0 Tính 4 A = z1 + z2 ∆ ' = −25 < Phương trình cho có hai nghiệm phức z1 = − 5i , z2 = + 5i Khi z1 = z2 = 29 ⇒ A = 1682 Câu 16 Cho z số phức Tìm m để phương trình m z − (m − 1)z − i = có hai nghiệm phân biệt z ; z cho | z | + | z |≥ Để pt có nghiệm (*) Với pt cho pt bậc hai có nên pt có nghiệm Theo : Kết hợp với điều kiện (*) ta thỏa mãn toán Câu 17 Gọi z1 ; z2 nghiệm phức phương trình sau: Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com z − z + = 0,( z ∈ C ) Tính A= z1 + z2 8 + i; z = − i 2 2 z1 = z2 = ± i = ⇒ z1 + z2 = 2 z1 = Câu 18 Cho z1 , z2 nghiệm phức phương trình z − z + 11 = Tính giá trị biểu thức A = Giải pt cho ta nghiệm: z1 + z2 ( z1 + z2 )2 z1 = − 3 i , z2 = + i 2 3  22 Suy | z1 |=| z2 |= +  = ; z1 + z2 = ÷ ÷   2 z + z2 11 = = Đo ( z1 + z2 )2 Câu 19 Tính mô đun số phức z biết rằng: ( z − 1) ( + i ) + ( z + 1) ( − i ) = − 2i Gọi z= a+ bi (a, b∈ R ) Ta có ( z − 1) ( + i ) + ( z + 1) ( − i ) = − 2i ⇔ ( 2a − 1) + 2bi  ( + i ) + ( a + 1) − bi  ( − i ) = − 2i ⇔ ( 2a − 2b − 1) + ( 2a + 2b − 1) i + ( a − b + 1) − ( a + b + 1) i = − 2i  a=  3a − 3b =  ⇔ ( 3a − 3b ) + ( a + b − ) i = − 2i ⇔  ⇔ a + b − = −2 b = −  Suy mô đun: z = a + b = Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 3.2 Tìm số phức Z Câu Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i ) z − − 3i = Tìm phần ảo số phức w = − zi + z (1 + i ) z − − 3i =  z = => w = – i + 3i = 2+i 1+ i Số phức w có phần ảo - Câu Tìm phần thực phần ảo số phức w = ( z − 4i)i biết z thỏa mãn điều kiện ( + i ) z + ( − i ) z = − 4i Giả sử z = x + yi, ( x y ∈ ¡ ) , suy z = x − yi Thế vào gt ta tìm x= 3, y = Vậy z = +4i Do w = 3i w có phần thực 0; phần ảo Câu Tìm phần thực phần ảo số phức z thoả mãn điều kiện z + (2 + i ) z = + 5i Giả sử ,z=x+yi(x,y ∈ R ).Ta có z + (2 + i ) z = + 5i x+yi +(2+i)(x-yi)=3+5i 3x+y+(x-y)i=3+5i 3 x + y =  x=2   x− y =5  y = −3  Vậy phần thực phần ảo số phức z 2,-3 Câu Tìm phần thực phần ảo số phức: z = Ta có − 4i − (3 − 5i)(6 + i ) + 2i (3 − 4i )(3 − 2i ) − 18 − 3i + 30i + 5i 32 + 22 298 333 − 6i − 12i + 8i = − 23 + 27i Vậy phần thực: − , phần ảo: 2 13 13 +2 − 18i 298 333 = − 23 + 27i = − + i 13 13 13 z= Câu Cho số phức z = + 3i Tìm số nghịch đảo số phức: w = z + z z Với z = + 3i , ta có  w = z + z z = (1 + 3i )2 + (1 + 3i )(1 - 3i ) = + 6i + 9i + 12 - 9i = + 6i Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  1 - 6i - 6i - 6i = = = = = i w + 6i (2 + 6i )(2 - 6i ) - 36i 40 10 10 Câu Cho số phức: z = − 2i Xác định phần thực phần ảo số phức z + z Cho số phức: z = − 2i Xác định phần thực phần ảo số phức z + z z + z = ( − 2i ) + ( − 2i ) = − 14i Phần thực a=8; phần ảo b=-14 Câu Tìm phần ảo z biết: z + 3z = ( + i ) ( − i ) z + z = ( + i ) ( − i ) (1) Giả sử z=a+bi (1) ⇔ a + bi + 3a − 3bi = ( + 12i + 6i + i ) ( − i ) = ( + 11i ) ( − i ) ⇔ 4a − 2bi = − 2i + 22i − 11i = 20i + 15 ⇔ a = 15 ; b = −10 Vậy phần ảo z -10 Câu Tìm số phức liên hợp z = (1 + i )(3 − 2i ) + Ta có z = + i + 3+i 3− i 3− i = 5+ i + (3 + i)(3 − i) 10 Suy số phức liên hợp z là: z= 53 − i 10 10 Câu Tìm phần thực phần ảo số phức z biết: z + z = − 2i Gọi z = a + bi (a, b ∈ R ) => z = a − bi Ta có : 3a + bi = 3-2i Suy : a=1 b = -2 Vậy phần thực phần ảo -2 Câu 10 Cho số phức z = − 2i Tìm phần thực phần ảo số phức w = iz − z z = + 2i w = i ( − 2i ) − ( + 2i ) = −1 + i Phần thực -1, phần ảo Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  z + z = 10 Câu 11 Tìm phần thực, phần ảo số phức z, biết:  z = 13   z + z = 10 Tìm phần thực, phần ảo số phức z, biết:  z = 13  Giả sử z = x + yi => z = x– yi (x, y∈IR) 2 x = 10 x = ⇔ 2  y = ±12  x + y = 13 Theo đề ta có :  Câu 12 Tìm phần thực phần ảo số phức sau: z = Tìm phần thực phần ảo số phúc sau: − 5i + ( − 2i ) ( −3 − i ) + 4i − 5i + ( − 2i ) ( −3 − i ) + 4i ( − 5i ) ( − 4i ) + −15 − − 5i + 6i = ( ) + 16 = −1 − i + ( −17 + i ) z= = −18 Kết luận phần thực -18, phần ảo Câu 13 Cho số phức z = - 2i Tìm phần thực phần ảo số phức w = z + 2iz Ta có z = + 2i , w = (1 − 2i )2 + 2i(1 + 2i ) = − 4i + 4i + 2i + 4i = - - 2i Do đó, phần thực số phức w là: -7 phần ảo số phức w là: -2 Câu 14 Cho số phức z thỏa mãn ( + i ) z + ( − i ) z = − 6i Tìm phần thực, phần ảo số phức w = z + Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) ⇒ z = a − bi , đó: ( + i ) z + ( − i ) z = − 6i ⇔ ( + i ) ( a + bi ) + ( − i ) ( a − bi ) = − 6i ⇔ 4a − 2b − 2bi = − 6i 4a − 2b = a = ⇔ ⇔ ⇒ z = + 3i −2b = −6 b = Do w = z + = ( + 3i ) + = + 6i Vậy số phức w có phần thực 5, phần ảo Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 3.3 Giải phương trình nghiệm phức Câu Giải phương trình sau tập số phức: 2z - 2z + = 2z - 2z + = (*)  Ta có, D = (- 2)2 - 4.2.5 = - 36 = (6i )2  Vậy, phương trình (*) có nghiệm phức phân biệt: z1 = + 6i - 6i = + i ; z2 = = - i 2 2 Câu Giải phương trình 3z − z + 15 = tập hợp số thức + Tính ∆ ' = −36 < + Nêu hai nghiệm z1 = + 6i − 6i = + 2i , z2 = = − 2i 3 Câu Giải phương trình sau tập số phức z − z + = Ta có: ∆ = − = −3 = 3i bậc hai ∆ ±i Phương trình có nghiệm: z1 = 1+ i 3 = + i, z = − i 2 2 z+i Câu Giải phương trình nghiệm phức:   = 1, ( z ∈ C ) z − i   Đk: đó, pt cho tương đương (1) (t/m) (2) (t/m) Vậy pt có tập nghiệm z={-1;0;1} Câu Giải phương trình nghiệm phức: z − i = 0,( z ∈ C )  z = 1 z2 = (1 + i )2 ⇔  i = (2i) = (1 + i )  2  z = 2 + i 2 − 2 − i 2 Câu Giải phương trình sau tập số phức x + x + = ∆ = − 20 = −16 = 16i Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Căn bậc hai ∆ ±4i Phương trình có nghiệm: x1 = −1 − 2i, x2 = −1 + 2i Câu Giải phương trình sau tập số phức z + z − = Đặt t = z2 Phương trình trở thành: z2 =  z = ±1 t = t + 2t − = ⇔  ⇔ ⇔ t = −3  z = ±i  z = −3 Vậy phương trình có nghiệm: -1, 1, −i 3, i Câu Giải phương trình sau tập số phức: - z + 2z - = - Ta có, D = 22 - 4.(- 1).(- 5) = - 16 = (4i )2  Vậy, pt (*) có nghiệm phức phân biệt z = - - 4i = + 2i - z2 = - + 4i = - 2i - Câu Giải phương trình tập số phức: z − 3z + = ∆ = −19 = ( 19i ) Phương trình cho có hai nghiệm phức: z1 = − 19i 19 = − i; 2 z2 = + 19i 19 = + i 2 Câu 10 Giải phương trình sau tập số phức: 3x - 3x + = 3x - 3x + = Ta có: D = (- 3)2 - 4.3.2 = 12 - 24 = - 12 = (2 3i )2 Phương trình có nghiệm phức x1 = 3 + i;x = 3 3 i Câu 11 Giải phương trình sau tập số phức: x2 – 6x + 29 = ∆ = −20 Phương trình có nghiệm phức: x = ± 2i Câu 12 Giải phương trình sau tập số phức: x − x + 11 = ∆ ' = − 11 = −7 = ( 7i) x1,2 = ± 7i Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 [...]...www.TOANTUYENSINH.com Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0 933 .168 .30 9