Bài tập trắc nghiệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (Có đáp án)

Bài tập trắc nghiệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (Có đáp án) tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án,...

BA PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ,BIỂU THỨC. Do LAISAC Biên soạn. A.BÀI TOÁN MỞ ĐẦU : Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số: y= (x + 1) 2 + (x – 3) 2 . Giải . Hàm số viết lại: y = (x 2 + 2x + 1) + (x 2 – 6x + 9) = 2x 2 – 4x + 10 . Cách 1.(Dùng Bất đẳng thức )(BĐT). Ta có y = 2x 2 – 4x + 10 = 2(x 2 – 2x + 1) + 8 = 2(x - 1) 2 + 8 8≥ .R x ∈ ∀ Đẳng thức xảy ra khi x = 1 .Vậy GTNN = 8 khi và chỉ khi x = 1 . Cách 2.(Dùng điều kiện phương trình có nghiệm)(PT). Gọi y là giá trị hàm số nên phương trình y = 2x 2 – 4x + 10 có nghiệm ( ẩn là x) Phương trình tương đương 2x 2 – 4x +10 – y = 0 có nghiệm khi và chỉ khi 8022040 ≥⇔≥+−⇔≥Δ y y . Đẳng thức xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x = 1. Do đó GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 . Cách 3 .(Dùng phương pháp đạo hàm)( ĐH). Xét hàm số y = 2x 2 – 4x + 10 có đạo hàm y’ = 4x - 4 khi y ‘ = 0 1= ⇔ x . Ta có bảng biến thiên : x 1 y’ - 0 + y - ∞ + ∞ 8 Dựa vào bảng biến thiên ta có GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 . B.NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP . Nội dung bài viết này chỉ nêu lên ba phương pháp cơ bản nhất mà ta thường sử dung để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay biểu thức nào đó. Tuỳ theo bài toán cụ thể mà ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp trên một cách tối ưu hơn.( Đôi lúc có nhiều bài sử dụng vectơ, phương pháp tọa độ, lượng giác hóa…) Lưu ý: Khi tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất ta luôn chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra. Ta hay nhầm lẫn trong trường hợp đánh giá không đúng cho một bất đẳng thức. Ví dụ trên, nếu không thận trọng ta nói : y= (x + 1) 2 + (x – 3) 2 … thì hỏng rồi! 0≥ BÀI TẬP MINH HOẠ. Ví dụ 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : xxS cossin += . HD.cách 1.( BDT). Ta có ≤+= xx 22 cossin1 1mincossin =⇒=+ SSxx . 2222) 4 sin(22)cos)(sin11(cossin =⇒≤+=++≤+= MaxSxxxxxS π . Cách 2.( ĐH) 2 sin cos sinx cos 2 sinx.cosSxxS x=+⇒=++ x. Đặt t = sinx + cosx. Dùng phương pháp đạo hàm để giải Ví dụ 2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 4sincos2 3sin2cos + − + + = xx x x S trong khoảng ( ); π π − . HD.cách 1.(PT). Để tồn tại giá trị S thì phương trình 4sincos2 3sin2cos +− + + = xx x x S phải có nghiệm x S x SS cos)21(sin)2(34 −++=−⇔ có nghiệm 2 11 2 )34()21()2( 222 ≤≤⇒−≥−++⇒ SSSS . Cách 2.( ĐH). Đặt 2 2 2 1 1 cos; 1 2 sin 2 t t x t t x x tgt + − = + =⇒= .Biến đổi S thành hàm số hữu tỉ ẩn t.Dùng phương pháp đạo hàm hoặc điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm ,suy ra kết quả. Ví dụ 3. Tìm gíá trị lớn nhất của biểu thức : 22 2.2 xxxxf −+−+= . HD.cách 1(ĐH).Dùng đạo hàm trực tiếp ,chú ý hàm số liên tục trong đoạn [ ] 2;2− . Cách VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí TRẮC NGHIỆM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Câu 1: Kết luận giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số A Có giá trị lớn giá trị nhỏ B Có giá trị nhỏ giá trị lớn C Có giá trị lớn giá trị nhỏ D Không có giá trị lớn giá trị nhỏ Câu 2: Trên khoảng hàm số A Có giá trị nhỏ -1 B Có giá trị lớn C Có giá trị nhỏ D Có giá trị lớn -1 Câu 3: Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số A Hỏi giá trị tích M.m là: B 25 C 25 Câu 4: Cho hàm số D Giá trị lớn hàm số khoảng A -1 B Câu 5: Cho hàm số A C Giá trị nhỏ hàm số B Câu 6: Cho hàm số A C D Giá trị lớn hàm số bằng: B C Câu 7: Giá trị lớn hàm số A -2 D B D C Câu 8: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số là: D 10 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí A B C D Câu 9: Gọi A, B giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Khi A - 3B có giá trị: A B C D Câu 10: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số [-4; 4] là: A 40; – 41 B 40; 31 C 10; – 11 Câu 11: Giá trị lớn hàm số A B là: C D Câu 12: Giá trị nhỏ hàm số A B D 20; – , C D -1 Câu 13: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = sinx - cosx là: A 1; – B C 2; – D -3; Câu 14: Tìm giá trị nhỏ hàm số y = x - lnx + A B C Câu 15: Giá trị lớn hàm số A B D [-1; 1] C D Câu 16: Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số là: A 1; -1 D 2; -2 B 2; C Câu 17: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số [-1; 1] là: A B C D Câu 18: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số A 17 B 15 C 16 D 14 Câu 19: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = sinx( + cosx) là: VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí A B C D Câu 20: Giá trị lớn hàm số A B đoạn [-1; 2] là: C D Một kết khác Câu 21: Giá trị lớn hàm số A B -2 [-2; 3] là: C 47 D 45 Câu 22: Với giá trị m [0; 2] hàm số có giá trị nhỏ -4 A B C D Câu 23: Giá trị lớn hàm số đạt x giá trị đây? A B C Câu 24: Giá trị nhỏ hàm số A B [e; e + 1] là: C Câu 25: Hàm số A D D đạt giá trị lớn x bằng: B C D Một đáp số khác Câu 26: Gọi M giá trị lớn nhất, m giá trị nhỏ hàm số Thế M - m bằng: A B C D Câu 27: Giá trị lớn hàm số A B [-1; 4] đạt tại: C Câu 28: Hàm số D đạt giá trị lớn hai giá trị x mà tích chúng là: A B Câu 29: Giá trị nhỏ hàm số thuộc khoảng đây? C D -1 đạt x VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí A B Câu 30: Hàm số A C D có giá trị lớn [0; 2] là: B C -1 D Câu 31: Tìm giá trị lớn hàm số A B đoạn C Câu 32: Giá trị lớn hàm số A B [-1; 1] là: C Câu 33: Giá trị nhỏ hàm số A B D D C là: D Câu 34: Trong số đây, số giá trị lớn hàm số đoạn [-2; 1] A B e C D Câu 35: Trong số đây, số ghi giá trị nhỏ hàm số A [-5; 3] B C Câu 36: Giá trị nhỏ hàm số A B -2 đoạn [-2; 0] C Câu 37: Giá trị lớn hàm số A B B D [1; 4] là: C 25 Câu 38: Giá trị nhỏ hàm số A D D 21 là: C D VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Câu 39: Giá trị lớn hàm số A B R là: C -2 D Câu 40: Giá trị lớn hàm số A B C D Câu 41: Giá trị nhỏ hàm số A B [-3; -1] là: C Câu 42: Giá trị lớn hàm số A -3 B D là: C -1 D Câu 43: Giá trị nhỏ hàm số y = 3sinx - 4cosx là: A B -5 C -4 D -3 Câu 44: Giá trị lớn hàm số A B là: C D Câu 45: Giá trị nhỏ hàm số A B bằng: C Câu 46: Giá trị lớn hàm số A B D bằng: C D Câu 47: Tổng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số [0; 3] bằng: A 12 B 17 C D 13 Câu 48: Trong hàm số sau đây, hàm số có giá trị nhỏ khoảng xác định: A B VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí C D Câu 49: Cho hàm số Trên khoảng hàm số có: A Giá trị lớn B Giá trị nhỏ C Không có giá trị lớn nhất, nhỏ D Có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Câu 50: Cho hàm số A Giá trị nhỏ hàm số B C D Câu 51: Giá trị nhỏ hàm số A B C với x > bằng: B C D Câu 53: Giá trị lớn hàm số A bằng: D Câu 52: Giá trị nhỏ hàm số A bằng: bằng: B C D ĐÁP ÁN A 11 A 21 C 31 D 41 D 51 B B 12 B 22 B 32 C 42 D 52 B A 13 B 23 A 33 B 43 B 53 A B 14 A 24 B 34 B 44 A D 15 C 25 B 35 A 45 C B 16 C 26 A 36 D 46 B C 17 D 27 B 37 C 47 A A 18 A 28 D 38 C 48 D B 19 B 29 B 39 A 49 C VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 10 A 20 C 30 A 40 D 50 A TRUNG TÂM BDKT VÀ LTĐH 36/73 NGUY ỄN HOÀNG TRUNG TÂM GIA SƯ Đ ỈNH CAO CH ẤT LƯỢNG SĐT: 01234332133-0978421673 CHUYÊN Đ Ề HÀM SỐ 12 LUY ỆN THI T ỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Hueá, thaùng 7/2012 * GTLN Và GTNN của hàm số * Ti ệm cận của đồ thị hàm số * KSHS hàm b ậc ba, trùng phương, hửu tỉ TRUNG TÂM GIA SƯ Đ ỈNH CAO CHẤT L ƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HU Ế Chuyên đ ề LTĐH Biên so ạn: Tr ần Đình Cư 1 M ỤC LỤC Bài 3. Giá t ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - D ạng 1: Tìm GTLN, GTNN c ủa hàm số bằng đỉnh nghĩa - D ạng 2: Đ ặt ẩn phụ tìm GTLL và GTNN - D ạng 3: Ứng dụng giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình - D ạng 4: Ch ứng minh bất đẳng th ức, tìm GTLN và GTNN trên một miền Bài 4. Ti ệm cận của đồ thị hàm số - D ạng 1: Tìm tiêm c ận ngang và tiệm cận đứng bằng định nghĩa - D ạng 2: M ột số bài toán liên quan đến tiệm cận. Tìm m thỏa điều kiện K cho trư ớc Chủ đề: Tiệm cận xiên (Thảo luận) - D ạng 3: Các bài toán liên quan đ ến tiệm cận hàm phân thức Bài 5. Kh ảo sát hàm số V ấn đề 1: Hàm trùng phương - D ạng 1: Kh ảo sát và vẽ đồ thị hàm số - D ạng 2: M ột số bài toán liên quan đên hàm trùng phương V ấn đề 2: Hàm b ậc ba - D ạng 1: Kh ảo sát và vẽ đồ thị hàm số - D ạng 2: M ột số bài toán liên quan đên hàm b ậc ba V ấn đề 3: Hàm phân th ức hữu tỉ - D ạng 1: Kh ảo sát và vẽ đồ thị hàm số - D ạng 2: M ột số bài toán liên quan đên hàm phân thức hữu tỉ www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ Đ ỈNH CAO CHẤT L ƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HU Ế Chuyên đ ề LTĐH Biên so ạn: Tr ần Đình Cư 2 BÀI 3. GIÁ TR Ị LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A. KI ẾN THỨC CẦN NẮM 1. Đ ịnh nghĩa: Gi ả s ử hàm số f xác đ ịnh trên miền D (D  R). a)              0 0 ( ) , max ( ) : ( ) D f x M x D M f x x D f x M b)              0 0 ( ) , min ( ) : ( ) D f x m x D m f x x D f x m 2. Tính ch ất: a) N ếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì   [ ; ] [ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a b a b f x f b f x f a . b) N ếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì   [ ; ] [ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a b a b f x f a f x f b . TRUNG TÂM GIA SƯ Đ ỈNH CAO CHẤT L ƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HU Ế Chuyên đ ề LTĐH Biên so ạn: Tr ần Đình Cư 3 B. PHƯƠNG PHÁP GI ẢI BÀI TẬP Cách 1: Thư ờng dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.  Tính f  (x).  Xét d ấu f  (x) và l ập bảng biến thiên.  D ựa vào bảng biến thiên đ ể kết luận. Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].  Tính f  (x).  Gi ải ph ương trình f  (x) = 0 tìm đư ợc các nghiệm x 1 , x 2 , …, x n trên [a; b] (n ếu có).  Tính f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n ).  So sánh các giá tr ị vừa tính và kết luận.     1 2 [ ; ] max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( ) n a b M f x f a f b f x f x f x     1 2 [ ; ] min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( ) n a b m f x f a f b f x f x f x BÀI T ẬP MẪU: Bài 1. Tìm GTLL và GTNN (n ếu có) của các hàm số sau:    3 1 ) 3 x a y x trên đo ạn [0;2] b)      2 2 3 1 1 x x y x x D ẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ Đ ỈNH CAO CHẤT L ƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HU Ế Chuyên đ ề LTĐH Biên so ạn: Tr ần Đình Cư 4 Hư ớng dẫn: b) B ảng biến thiên x  0 2  'y - 0 + 0 + y 3 11 3 D ựa vào bảng biến thiên, học sinh có thể dễ dàng xác đinh 2014 Bài tập trắc nghiêm,bài tập và bài giải MÔN: NGHIỆP VỤ NGÂN HÀNG THƯƠNG MẠI Câu 1: Thế nào là nguồn vốn của NHTM? A: Là toàn bộ nguồn tiền tệ được NHTM tạo lập để cho vay, kinh doanh B: Là toàn bộ nguồn tiền tệ được NHTM tạo lập để đầu tư, kinh doanh chứng khoán. C: Là toàn bộ nguồn tiền tệ được NHTM tạo lập để cho vay và đầu tư D: Là toàn bộ nguồn tiền tệ được NHTM tạo lập để cho vay, đầu tư và thực hiện các dịch vụ ngân hàng. Câu 2: Vốn chủ sở hữu của NHTM là gì? A: Là nguồn vốn mà chủ NHTM phải có để bắt đầu hoạt động B: Là nguồn vốn do các chủ NHTM đóng góp C: Là nguồn vốn thuộc sở hữu của NHTM D: Là nguồn vốn do nhà nước cấp Câu 3: Nguồn từ các quỹ được coi là vốn chủ sở hữu bao gồm những khoản nào? A: Quỹ dự trữ bổ sung vốn điều lệ, quỹ khấu hao cơ bản B: Quỹ dự trữ bổ sung vốn điều lệ, quỹ dự phòng tài chính, các quỹ khác C: Quỹ dự trữ vốn điều lệ, quỹ khen thưởng. D: Quỹ dự phòng tài chính, quỹ khấu hao sửa chữa lớn, quỹ khen thưởng. Câu 4: Các tài sản nợ khác được coi là vốn chủ sở hữu gồm những nguồn nào? A: Vốn đầu tư mua sắm do nhà nước cấp nếu có; vốn tài trợ từ các nguồn. B: Vốn đầu tư mua sắm do nhà nước cấp nếu có. Các khoản chênh lệnh do đánh giá lại tài sản, chênh lệch tỷ giá; các loại cổ phần do các cổ đông góp thêm. C: Vốn đầu tư mua sắm do nhà nước cấp nếu có. Các khoản chênh lệnh do đánh giá lại tài sản, chênh lệch tỷ giá, lợi nhuận được để lại chưa phân bổ cho các quỹ. 1 2014 D: Các khoản chênh lệnh do đánh giá lại tài sản, lợi nhuận được để lại chưa phân bổ cho các quỹ Câu 5: Vốn huy động của NHTM gồm những loại nào? A: Tiền gửi, vốn vay các tổ chức tín dụng khác và NHTW; vốn vay trên thị trường vốn, nguồn vốn khác. B: Tiền gửi, vốn vay NHTM; vay ngân sách nhà nước; vốn được ngân sách cấp bổ sung. C: Tiền gửi, vốn vay các tổ chức tín dụng khác; ngân sách nhà nước cấp hàng năm. D: Tiền gửi, vốn vay NHTW; vốn vay ngân sách, nguồn vốn khác. Câu 6: Vốn huy động từ tiền gửi bao gồm những bộ phận nào? A: Tiền gửi thanh toán (tiền gửi không kỳ hạn), tiền gửi có kỳ hạn, tiền đi vay NHTW B: Tiền gửi thanh toán, tiền gửi có kỳ hạn, tiền gửi tiết kiệm, tiền vay TCTD khác. C: Tiền gửi thanh toán, tiền gửi có kỳ hạn, tiền gửi tiết kiệm, tiền gửi khác. D: Tiền gửi thanh toán, tiền gửi tiết kiệm, tiền gửi khác. Câu 7: Tại sao phải quản lý nguồn vốn? A: Khai thác tối đa nguồn vốn nhàn rỗi trong nền kinh tế. Đảm bảo khả năng thanh toán, chi trả của NHTM để có vốn nộp lợi nhuận, thuế cho nhà nước. B: Khai thác tối đa nguồn vốn nhàn rỗi trong nền kinh tế; Đảm bảo nguồn vốn NHTM tăng trưởng bền vững, đáp ứng kịp thời, đầy đủ về thời gian, lãi suất thích hợp; Đảm bảo khả năng thanh toán, chi trả của NHTM và nâng cao hiệu quả kinh doanh. C: Đảm bảo khả năng thanh toán, chi trả của NHTM và nâng cao hiệu quả kinh doanh. Đảm bảo nguồn vốn NHTM tăng trưởng bền vững, đáp ứng kịp thời, đầy đủ về thời gian lãi suất thích hợp. D: Khai thác tối đa nguồn vốn nhàn rỗi trong nền kinh tế. Đảm bảo khả năng thanh toán, chi trả của NHTM và nâng cao hiệu quả kinh doanh. 2 2014 Câu 8: Quản lý vốn chủ sở hữu gồm những nội dung gì? A: Xác định vốn chủ sở hữu trong quan hệ với tổng tài sản có ; Xác định vốn chủ sở hữu trong quan hệ với tài sản có có rủi ro; Xác định vốn CSH trong mối liên hệ với các nhân tố khác. B: Xác định vốn chủ sở hữu trong quan hệ với tổng tài sản; xác định vốn chủ sở hữu với vốn cho vay; C: Xác định vốn chủ sở hữu trong quan hệ với tổng tài sản; Xác định vốn CSH trong mối liên hệ với các nhân tố khác. D: Xác định vốn chủ sở hữu trong quan hệ với tài sản rủi ro. Xác định vốn CSH trong mối liên hệ với các nhân tố khác; xác định vốn chủ sở hữu với quan hệ bảo lãnh, cho thuê tài chính. Câu 9: Phát biểu nào dưới đây về quản lý vốn huy động là đúng nhất? A: Quản lý quy mô, cơ cấu, quản lý lãi suất chi trả B: Quản lý CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỊNH LÝ LAGRANGE A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Định lý 1 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và có / f (x) 0> (hoặc / f (x) 0< ) trong khoảng (a; b) thì phương trình f(x) 0= có không quá 1 nghiệm trong khoảng đó. Ví dụ 1. Giải phương trình 2 2 log x x = . Giải Điều kiện: x > 0. Xét hàm số ( ) 2 2 f(x) log x , D 0; x = - = + ¥ ta có: / 2 1 2 f (x) 0, x 0 x ln 2 x = + > " > Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trong (0; )+ ¥ . Mặt khác f(2) = 0. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. Định lý 2 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và có / / f (x) 0> (hoặc / / f (x) 0< ) trong khoảng (a; b) thì phương trình f(x) 0= có không quá 2 nghiệm trong khoảng đó. Ví dụ 2. Giải phương trình x x 2 3 3x 2+ = + . Giải Xét hàm số x x f(x) 2 3 3x 2, D= + - - = ¡ ta có : / x x f (x) 2 ln 2 3 ln 3 3= + - , / / x 2 x 2 f (x) 2 (ln 2) 3 (ln 3) 0 x= + > " Î ¡ . Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm. Mà f(0) = 0, f(1) = 0. Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 1. Chú ý: i) Hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng (a; b), g(x) liên tục và nghịch biến trong khoảng (a; b) đồng thời f(c) = g(c) (với c thuộc (a; b)) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất x = c. ii) Hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trong (a; b) thì f(u) f(v) u v (a; b)= =Û Î . Ví dụ 3. Phương trình 3 log x 4 x= - có nghiệm duy nhất x = 3. Ví dụ 4. Giải phương trình 2 x 1 2x 2 3 3 x 2x 1 + - = - + - (1). Giải Đặt 2 u x 1, v 2x= + = , ta có : u v u v (1) 3 3 v u 3 u 3 v- = - + = +Û Û (2). Xét hàm số t / t f(t) 3 t f (t) 3 ln 3 1 0 t= + = + > "Þ Î ¡ (2) f(u) f(v) u v v u 0= = - =Þ Û Û Û 2 x 2x 1 0 x 1 + - = =Û Û Vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 1. Chú ý: Nếu f(x) đơn điệu trên hai khoảng rời nhau thì không áp dụng f(u) f(v) u v= =Û được. Chẳng hạn: 1 f(t) t t = - và 1 1 x y x y - = - x y 0=Þ ¹ là sai. B. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ – ĐỊNH LÝ LAGRANGE I. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) có MXĐ D và X là tập hợp con của D. i) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên X nếu 0 0 f(x) m x X f(x ) m, x X ì "³ Î ï ï ï í ï = Î ï ï î , ký hiệu: x X m min f(x) Î = . ii) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên X nếu 0 0 f(x) M x X f(x ) M, x X ì "£ Î ï ï ï í ï = Î ï ï î , ký hiệu: x X M max f(x) Î = . 2. Phương pháp giải toán 2.1. Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của f(x) trên đoạn [a; b] ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Giải phương trình / f (x) 0= (tìm điểm dừng). Giả sử có n nghiệm x 1 ; x 2 ; …; x n thuộc đoạn [a; b] (ta loại các nghiệm nằm ngoài đoạn [a; b]). Bước 2. Tính f(a), f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n ), f(b). Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên là các giá trị tương ứng cần tìm. Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 f(x) x 4x 5= - + trên đoạn [ 2; 3]- . Giải Ta có: 2 f(x) x 4x 5= - + liên tục trên đoạn [ 2; 3]- [ ] / 2 x 2 f(x) 0 x 2 2; 3 x 4x 5 - = = = -Û Î - + ( ) f( 2) 17, f 2 1, f(3) 2- = = = . Vậy [ ] [ ] x 2;3 x 2;3 min f(x) 1 x 2, max f(x) 17 x 2 - -Î Î = = = = -Û Û . Chú ý: i) Để cho gọn ta dùng ký hiệu min max f , f thay cho [ ] [ ] x 2;3 x 2;3 min f(x), max f(x) - -Î Î . ii) Nếu đề bài chưa cho đoạn [a; b] thì ta phải tìm MXĐ của hàm số trước khi làm bước 1. iii) Có thể đổi biến số t t(x)= và viết y f(x) g(t(x))= = . Gọi T là