HI CC TRNG CHUYấN VNG DUYấN HI V NG BNG BC B THI MễN: TON, KHI: 10 NM 2015 TRNG PT VNG CAO VIT BC Thi gian lm bi: 180 phỳt THI XUT ( ny gm cú 01 trang, gm 05 cõu) Cõu (4 im) Gii h phng trỡnh sau 2 x + y x + 3x + y + x y + = 2 y + xy + y 3x = ( x, y Ă ) Cõu (4 im) Goi I v O lõn lt l tõm cac ng tron nụi tiờp v ngoai tiờp cua tam giac ABC Gi s tam giac ABC khụng ờu Chng minh rng ãAIO 900 v chi 2BC AB + AC Cõu (4 im) Tỡm tt c cac s t nhiờn x, y x + y l s chớnh phng Cõu (4 im) Cho a,b,c l cac s thc dng tha món: a + b + c = Tỡm gia tr nh nht cua biu thc: P = (ab + 1)(bc + 1)(ca + 1) abc Cõu (4 im) Cho a giac ờu cú 2015 canh Mi inh cua nú c tụ bng mụt cac mu xanh hoc Chng minh rng luụn cú ba inh l cac inh cua mụt tam giac cõn m chỳng c tụ cựng mụt mu Giỏo viờn Li Th Qunh Nguyờn (D: 0915.38.20.47) P N + BIU IM CHM MễN TON KHI 10 Cõu Ni dung chớnh cn t im Gii h phng trỡnh x3 + y x + 3x + y + x y + = ( x, y Ă ) 2 y + xy + y 3x = H phng trỡnh ó cho tng ng vi ( x + 1) + ( x + 1) y = y ( x + 1) y + y = ( x + 1) u + uy = y ( 1) ( *) t u = x + , ta cú h phng trỡnh uy + y = 2u D thy u = y = l mụt nghim cua h ( *) 0,5 1,0 u + t 2u = 2tu Cõu Xột u , t y = tu, t , ta cú h phng trỡnh 3 tu + 2t u = 3u Chia vờ theo vờ cua hai phng trỡnh h trờn ta c t = ( loai ) 1+ t2 2t = 4t t = t ( + 2t ) t = t = Vi t = , ta cú y = u , thờ vo ( 1) ta c 1,0 0,5 y =1 u =1 x = 2y = 2y y = u = x = Vi t = , ta cú y = u , thờ vo ( 1) ta c y = y (phng trỡnh vụ nghim) Vy, h ó cho cú nghim l: ( 0;0 ) , ( 2; 1) , ( 0; 1) 1,0 Cõu A + Kộo di AI ct ng tron ( O ) tai D ã + Vỡ AI l phõn giac gúc BAC nờn ã ã ã BD = CD v BCD = CBD = BAD I 1,0 O B C D ã ã ã ã ã + Ta cú BID hay tam giac DBI cõn tai = IAB + ãABI = CBD + CBI = IBD inh D nờn BD = CD = ID 1,0 + p dung nh lớ Ptoleme cho t giac nụi tiờp ABDC cú 1,0 AD.BC = AB.CD + AC.BD = BD.( AB + AC ) = ID.( AB + AC ) + ãAIO 900 v chi AD AB + AC AI ID AD ID 2 ID BC hay 2BC AB + AC (iờu phi chng minh) Tỡm tt c cac s t nhiờn x, y x + y l s chớnh phng x y Gi s + = k ( k Ơ ) Nờu x = thỡ + y = k k l s chn y k M4 , nhng + ( mod ) Do ú x T x + y = k ta suy k l v k khụng chia hờt cho Vi y = thỡ x + = k = ( 2m + 1) x = 4m ( m + 1) m = Khi ú x = 3, y = Th lai cú: 23 + 50 = l s chớnh phng Vi y : vỡ k khụng chia hờt cho nờn k 1( mod5 ) x T x + y = k suy 1( mod5 ) x chn Cõu y n n t x = 2n , ta cú = ( k + ) ( k ) k + 2n = 5a , vi a + b = y ( a > b; a, b Ơ ) n b k = 2n+1 = 5b ( 5a b 1) 5b = b = 0, a = y Lỳc ú 2n+1 = y - Nờu y = 2t thỡ 2n+1 = 52t 1M (vụ lý) y - Do ú ta cú l Khi ú 2n+1 = y = ( y + y + + + 1) Nờu y > thỡ y + y + + + l s l (vụ lý) Vy y = n = 1, x = 2, y = Th lai cú 22 + 51 = l s chớnh phng Cõu 1,0 1,0 0,5 0,5 1,0 1,0 ổ 1ửổ 1ửổ 1ử 1 1 ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ P = a + b + c + = abc + + + + +1 ỗ ỗ ỗ Ta cú: ữ ữ ữ ỗ ữỗ cứố ữỗ a ứ ữ abc a b c ố bứố Vỡ a + b + c = nờn t BT CauChy cho s dng ta cú: a +b + c = abc ị abc Ê 3 27 1 (27 - abc)(1- 27abc) - 27 = Do ú: abc + abc 27 27abc 1,0 1 730 27 + = abc 27 27 Mt khac ta lai cú: Suy ra: abc + 1,0 ổ 1 1ử 1 ỗ ữ a + b + c 9ị + + ( ) ỗỗa + b + cữ ữ ữ a b c ố ứ ổ 730 10ử T ú suy ra: P ữ + 9+ = ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ 27 ố3 ứ ổ 10ử ữ x =y =z = Vy P = ỗỗỗ ữ ữ ố3 ữ ứ Vỡ a giac cú s l inh nờn tn tai hai inh kờ c sn cựng mu Ta goi hai inh ú l A v B v gi s A, B cú cựng mu Do a giac ó cho cú s l canh nờn tn tai inh M nm trờn trung trc cua oan AB Rừ rng, MAB l tam giac cõn 1,0 1,0 0,5 0,5 Cú hai kh nng xy ra: - M mu : Khi ú, MAB l tam giac cõn (cú ba inh mu ) v bi toan ó c gii - M mu xanh: Goi E v F l cac inh kờ cua A v B (m khụng phi l A, B ) Do a giac ó cho l ờu nờn ằ = EA ằ EF / / AB BF = EA BF T ú, tam giac MEF cng l tam giac cõn 1,0 1,0 Cõu ý rng EAB v FAB cng l cac tam giac cõn Lai cú hai kh nng xy ra: E , F cựng xanh: Khi ú, tam giac MEF l tam giac cõn xanh Bi toan c gii Mụt hai inh E , F mu : Gi s E , ú EAB l tam giac cõn Nh thờ luụn tn tai ba inh cua a giac ờu ó cho lp nờn mụt tam giac cõn cựng mu 1,0