HI CC TRNG CHUYấN THI XUT MễN TON VNG DUYấN HI NG BNG BC B KHI 10-NM 2015 TRNG THPT CHUYấN Lấ QUí ễN Thi gian lm bi 180 phỳt TP NNG ( cú 01 trang, gm 05 cõu) Cõu (4,0 im) Gii h phng trỡnh ỡù ( - x) - x +( y - 11) - y = ùù ( x, y ẻ Ă ) ùù ( y - 2) + y ( x + 8) = x ùợ Cõu (4,0 im) Cho tam giỏc ABC nhn ni tip ng trũn ( O ) , hai ng cao BE , CF ct ti H Gi M l im trờn cung nh BC ca ( O ) , ng thng MC ct ng thng BE ti L, ng thng FC ct ng thng BM ti K Chng minh rng ng thng EF i qua trung im on KL Cõu (4,0 im) Cho p ( p > 3) l s nguyờn t v m, n l cỏc s nguyờn tha C p0- 1.2 + C1p- 2.3 + C p2- 3.4 + + C pk- ( k +1)( k + 2) + + C pp 33 ( p - 2)( p - 1) = m n Chng minh 2m - n chia ht cho p (Vi cỏc s nguyờn x y , kớ hiu C xy ch s cỏc t hp chp y ca hp gm x phn t) Cõu (4,0 im) Cho a, b, c l cỏc s thc dng Chng minh bt ng thc 2 ổa ổb ổc 10abc ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ + + + ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ố ữ ố ữ ( a + b)( b + c )( c + a ) ỗ ỗa + c ứ ỗa + b ứ ốb + c ứ Cõu (4,0 im) Trong lp hc cú hc sinh nam v 13 hc sinh n Trong thỏng, mi hc sinh nam u n chi nh mi hc sinh n ỳng ln Chng minh rng thỏng no ú cú hc sinh nam cựng n chi nh hc sinh n HT P N +BIU IM CHM MễN TON KHI 10 Cõu í Ni dung im iu kin x Ê 3; y Ê Phng trỡnh ban u bin i thnh ( 2( - x) +1) - x = ( 2( - y ) +1) - y ( *) t f ( t ) = ( 2t +1) t vi t thỡ ( *) : f ( - x ) = f ( - y ) (1) Nhn xột Vi mi s khụng õm Ê t1 t2 thỡ ( ) f ( t2 ) - f ( t1 ) t2 + t2t1 + t1 +1 = >0 t2 - t1 t + t1 2,0 Vy f ( t ) l hm s ng bin trờn [ 0;+Ơ ) Do ú ( 1) : - x = - y y = x + Thay vo phng trỡnh cũn li c x + ( x + 2) ( x - x + 4) = x ( x - x + ) - ( x + ) + ( x + 2) ( x - x + ) = t t = x +2 phng trỡnh trờn thnh x2 - 2x + 2,0 2t - t - = t =1 ị x + = x - x + ị x ẻ {1;2} Vy h cú nghim ( 1;3) ;( 2;4) Kộo di EF ct LK ti X , tam giỏc HLK cú im thng hng E , F , X nờn theo nh lớ Menelaus , ta cú XK EL FH XK EH FK EH FK =1 = = ( *) XL EH FK XL EL FH FH EL 1,0 Bn im A, F , H , E cựng thuc mt ng trũn ng kớnh AH FH cos B = nờn FH = AH cos B, HE = AH cos C ị HE cos C 1,0 ( 1) EC = BC cos C , BF = BC cos B ị BF cos B = EC cos C ã Vỡ ECL = ãABK nờn hai tam giỏc BFK v CEL ng dng nờn 1,5 FK BF cos B = = ( 2) EL EC cos C T ( 1) ,( 2) v ( *) cú c C pk- p- t Ap = k =0 2.k !C k p- XK =1 , iu phi chng minh XL ( k +1)( k + 2) Vi mi Ê k Ê p - ta cú 2( p - 3) ! = = 2( p - k - 2)( p - k - 1) ( p - 3) ( p - k - 3) ! k ( - 1) ( k + 2)( k +1) k !( mod p ) k Do ú 2C pk- ( - 1) ( k + 2)( k +1)( mod p ) nờn tn ti s nguyờn ak tha k 2C pk- = pak +( - 1) ( k +1)( k + 2) ị 2C pk- ( k +1)( k + 2) = 0,5 pak k +( - 1) , k = 0,1,2, , p - ( k +1)( k + 2) 1,5 ị ổp- 2m ak pA ữ ữ = Ap = p ỗ + = +1 ỗ ữ ỗ ữ ỗ n k + k + B ( )( ) ốk =0 ứ 2,5 ị ( 2m - n) B = npA 0( mod p ) Trong ú A, B l cỏc s nguyờn v B = ( p - 1) ! - 1( mod p ) nờn 2m n ( mod p ) Bin i bt ng thc nh sau a ( a + b)( a + c ) +10abc 2ế( a + b) b +c ộa ( a + bc ) ự 3ỳ - a ỳ+( 2ồ a +10abc ) 2ế( a + b) b +c ỳ ỷ a ( a - b)( a - c ) + 2( a + 5abc - ế( a + b) ) b +c 1,5 a ( a - b)( a - c) + 2ồ ( a + abc - a ( b + c ) ) b +c a ( a - b)( a - c) + 2ồ a ( a - b)( a - c ) b +c ( a + 2b + 2c) a ( a - b)( a - c ) b +c 1,5 Theo bt ng thc Schur thỡ bt ng thc cui ỳng nờn bt ng thc ban u c chng minh 1,0 Kớ hiu hc sinh nam : B1, B2,, B7; 13 hc sinh n G1,G2,,G13 Xột cỏc b gm (2 nam-1 n) m bn nam ú cựng n chi nh n cựng thỏng C nh bn n Gi n1, n2, n3 l s bn nam n thm bn n ú thỏng th 1, thỏng th v thỏng th 3, ta cú n1+n2+n3=7, suy s b thu c l 2,0 n1 + n22 + n32 ) - ( n1 + n2 + n3 ) ( 2 1 ( n1 + n2 + n3 ) - ( n1 + n2 + n3 ) 2 7 14 ị T - = T = Cn21 + Cn22 + Cn23 = Vy cú khụng di b ng vi bn n ú Xột bng G1 B1-B2 G2 G3 G13 X B1-B3 X B6-B7 2,0 X Ta s ỏnh du x vo cỏc ụ ca bng nu cú hai bn nam cựng n chi nh bn n cựng thỏng Vy mi ct cú khụng di du x Suy cú khụng ớt hn 5.13=65 du x bng nờn cú mt ộ65 ự ỳ hng cú khụng ớt hn ờC72 ỳ+1=4 du x Vy cú mt cp B i-Bj n ỷ chi nh bn n thỏng, suy cú mt cp B i-Bj n chi nh hai bn n cựng thỏng