Toan 10_Thai Binh.Đề thi (đề xuất) kỳ thi HSG các trường THPT Chuyên khu vực DH&ĐBBB lần thứ VIII, năm 2015

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐB BẮC BỘ NĂM 2015 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DH VÀ ĐB BẮC BỘ TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI BÌNH ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN THI: TOÁN - LỚP: 10 (Thời gian làm 180 phút không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Câu 1(4 điểm) Giải hệ phương trình  xy = 16 x + y + x+ y   2x x3 x2 y x + = + − 8y 3y  Câu (4 điểm) Tìm tất ba số nguyên dương (a;b;c) cho a3 + b3 + c3 đồng thời chia hết cho a2b, b2c, c2a Câu (4 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD có cặp cạnh đối không song song Gọi P, Q, O giao AB CD, AD BC, AC BD ( B nằm A P, D nằm A Q) Gọi H hình chiếu vuông góc O đường thẳng PQ; M, N, R, S thứ tự hình chiếu vuông góc H đường thẳng chứa cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh M, N, R, S thẳng hàng thuộc đường tròn Câu (4 điểm) Cho a, b, c số thực không âm.Chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + ≥ 3 a + (b + c )3 b3 + ( c + a ) c3 + ( a + b ) Câu (4 điểm) Hai đội tuyển A B tham gia giải cầu lông Mỗi đội có người, thi đấu với theo thứ tự định Đầu tiên, người thứ đội A , đấu với người thứ đội B người thua bị loại Sau ; người chiến thắng chơi với người thứ hai đội Các bước người chơi tương tự Cuộc thi đấu không kết thúc tất người chơi đội bị loại đội lại chiến thắng Hỏi số cách diễn thi đấu Hết Họ tên: Phạm Quang Thắng- ĐT 0982810098 ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10 Câu Nội dung cần đạt  xy = 16 x + y + x + y   2x x3 x2 y x + = + − 8y 3y  Câu 1(4 điểm) Giải hệ phương trình ĐKXĐ: Điểm 4.0đ x + y ≥  x2 x + 3y ≥  Từ phương trình thứ hai hệ ta suy ra:  x2  + 8y   x +  3y  Ta có 2x y y > + ≥0  ⇔ x+ y≥0  ≥0  4 1.5đ xy xy x2 + y2 + = 16 ⇔ ( x + y)2 − 16 − xy + =0 x+ y x+ y ⇔ ( x + y − ) ( x + y)2 + 4( x + y) − xy  =   ⇔ ( x + y − )  x2 + y2 + 4( x + y) =   Do x+ y> x+ (*) y ≥ ⇒ (*) ⇔ x + y = 4 thay vào phương trình thứ hệ ta có Mặt khác, 2x y   + =  x + y÷ > 3  nên áp dụng bất đẳng thức AM1,5đ GM ta có: x2  x y  x2  x y  + + ÷≥ + ÷=  8y  2 8y  2 x3 x2 + 3y Suy phương trình thứ hai hệ ⇔ x2 x y = + 8y Do hệ cho x + y =  x + y =  ⇔  x2 x y ⇔  ⇔ 2 = + 3 x − 16 xy − 12 y =   8y 1đ x + y =    x = y, x = − y    x = ⇔ y =  24 7  x = −8   y = 12 nghiệm hệ Câu (4 điểm) Tìm tất ba số nguyên dương (a;b;c) cho a3 + b3 + c3 đồng thời chia hết cho a2b, b2c, c2a Do tính đẳng cấp biểu thức nên ta thấy: Nếu (a;b;c) nghiệm (ka;kb;kc) (với k nguyên dương) nghiệm Ngược lại gọi k = (a;b;c) (a/k;b/k;c/k) nghiệm Do ta 4.0đ 1đ cần xét trường hợp (a,b,c) = Gọi d = (a;b) Nếu d > tồn số nguyên tố p ước d Từ gt suy p|c nên d=1 Do a,b,c đôi nguyên tố Khi dễ thấy điều kiện đề 1đ cho tương đương với tìm a,b,c để P = a3 + b3 + c3 chia hết cho a2b2c2 Không tính tổng quát giả sử a ≥ b ≥ c Ta có: 3a ≥ a + b3 + c ≥ a 2b 2c ⇒ a ≥ b 2c Ta có b3 + c3 M a ⇒ 2b3 ≥ b3 + c3 ≥ a ≥ 1đ b 4c 18 ⇒ b ≤ , b ≥ c ⇒ c =1 c Với c= 1, cách chặn tương tự ta a=b=1 a=3; b=2 1đ KL: Nghiệm toán (a,b,c) = (k,k,k); (3k,2k,k) hoán vị với k số nguyên dương Câu (4 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD có cặp cạnh đối không song song Gọi P, Q, O giao AB CD, AD BC, AC BD ( B nằm A P, D nằm A Q) Gọi H hình chiếu vuông góc O đường thẳng PQ; M, N, R, S thứ tự hình chiếu vuông góc H đường thẳng chứa cạnh 4.0đ AB, BC, CD, DA Chứng minh M, N, R, S thẳng hàng thuộc đường tròn Q S D H N R C O A E M P B Gọi E,F thứ tự giao AB với QO, AC với PQ Ta có (ABEP) = -1 suy (ACOF) = -1( phép chiếu xuyên tâm Q) Hay ta H(ACOF) = -1 Theo tính chất chùm điều hòa từ HO vuông góc với HP suy HO phân giác góc tạo HC HA Đpcm tương đương ⇔ ( MR, MS) = ( NR, NS) ( mod π ) ⇔ ( MR, MH ) + ( MH , MS) = ( NR, NH ) + ( NH , NS) ⇔ ( PR, PH ) + ( AH , AS) = (CR, CH ) + (QH , QS) ⇔ ( PR, PH ) − (CR, CH ) = (QH , QS) − (( AH , AS) ⇔ ( HC , HP) = ( HQ, HA) ( PR ≡ CR, QS ≡ AS ) 1đ 1đ 1,5đ ⇔ ( HC , HO) + ( HO, HP) = ( HQ, HO) + ( HO, HA) ⇔ ( HC , HO) = ( HO, HA) Điều cuối hiển nhiên HO phân giác góc tạo HA HC Câu (4 điểm) Cho a, b, c số thực không âm.Chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + ≥ 3 a + (b + c )3 b3 + ( c + a ) c3 + ( a + b ) 0,5đ 4.0đ Bài giải: Theo AM-GM với x ≥ ta có: + x = (1 + x)(1 − x + x ) ≤ + Áp dụng: 1đ x 3đ a3 = a + (b + c )3 b+c 1+  ÷  a  ≥ 1b+c 1+  ÷ 2 a  ≥ 1+ b2 + c a2 = a2 a + b2 + c2 (1) Tương tự: b3 b3 + ( c + a ) ≥ b2 a + b2 + c (2) ≥ c2 a + b2 + c (3) c3 c3 + ( a + b ) Cộng vế theo vế (1),(2) (3) ta suy ra: a3 b3 c3 + + ≥ (Dpcm) 3 a + (b + c )3 b3 + ( c + a ) c3 + ( a + b ) Dấu ‘=’ xảy a = b = c Câu (4 điểm) Hai đội tuyển A B tham gia giải cầu lông Mỗi đội có người, thi đấu với theo thứ tự định Đầu tiên, người thứ đội A , đấu với người thứ đội B người thua bị loại Sau ; người chiến thắng chơi với người thứ hai đội 4.0đ Các bước người chơi tương tự Cuộc thi đấu không kết thúc tất người chơi đội bị loại đội lại chiến thắng Hỏi số cách diễn thi đấu Lời giải Trước hết , ta tìm số trình khác chơi A thắng Giả sử , người thứ I A thắng xi lần (i=1;2;….;7) 1đ x1 + x2 + + x7 = Thế số trình phân biệt chơi A thắng số nghiệm phương trình C77+−71−1 = C136 Tương tự ; số trình phân biệt chơi B thắng C136 Như số cách diễn thi đấu : 2.C136 = 3432 2đ 1đ Họ tên: Phạm Quang Thắng- ĐT 0982810098