HI CC TRNG CHUYấN VNG DUYấN HI V NG BNG BC B THI MễN TON KHI 10 NM 2015 TRNG THPT CHUYấN Thi gian lm bi 180 phỳt Lấ HNG PHONG NAM NH ( ny cú trang, gm cõu) THI XUT Cõu ( im): Gii h phng trỡnh sau: 2 x xy y = 2 x 3x 3xy y + = Cõu (4 im): Cho a, b, c l cỏc s thc dng Chng minh rng: a ab + b + b bc + c + c ca + a Cõu (4 im): Cho t giỏc ABCD ngoi tip ng trũn (O) Gi M, N, P, Q ln lt l cỏc tip im ca ng trũn (O) vi AB, BC, CD, DA Gi X l giao im ca MN v PQ; E, F ln lt l giao im ca AC vi ng trũn (O) Gi H l ã hỡnh chiu vuụng gúc ca X trờn BD Chng minh rng Aã HE = CHF Cõu (4 im): Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng a < b < c < d cho mi s chỳng l c ca tng ba s cũn li Cõu (4 im): Cho 2016 cỏi ko vo 1008 cỏi hp cho khụng cú hp no cú nhiu hn 1008 cỏi ko v mi hp cú ớt nht mt cỏi ko Chng minh rng cú th tỡm thy mt s hp m tng s ko cỏc hp ú ỳng bng 1008 cỏi ko HT Ngi Nguyn Th Giang ST:0976138529 P N + BIU IM CHM MễN TON KHI 10 Cõu Ni dung im 2 x xy y = ( 1) 2 x 3x xy y + = ( ) Gii h phng trỡnh: i Phng trỡnh (2) ca h vit li nh sau 3 3x + 3x 2y - 3x + - ( x + y ) = ( x + y ) - 3x ( x + y ) = - 3x ( 3) 1,0 Ta thy x = khụng tha h phng trỡnh Chia v ca (3) cho x ta cú ổ ổ y y 0,5 ữ ỗ phng trỡnh ỗ ữ ữ + = 3ỗ + 1ữ ỗ ữ ữ ữ ữ x ỗ ỗ x ốx ứ ốx ứ y y 1 y + ữ + 1ữ + + 1ữ + = x x x x x x 0,5 PT (1) ca h c vit li nh sau x + 2xy + y + = 3x ( x + y ) 2 2 ổ y ỗ ữ + = 3x ỗ + 1ữ + = ( 4) ữ ỗ ữ x2 ốx ứ 0,5 ổ y 1ử y ữ = + = thay vo (4) ta cú ỗ + 1- ữ TH1: ỗ ữ ữ ỗ xứ x x ốx ộx = = ịị ờx = - x ổ y TH2: ỗ ữ + ỗ + 1ữ ữ ữ ỗ ốx ứ ộy = ờy = 0,5 ổ ử1 y ỗ ữ + 1ữ + - = kt hp vi (4) ta cú ỗ ữ ỗx ữx x ố ứ ổ y 1 y ữ ỗ ữ + = + = y = 1- x ỗ ữ ỗ ữx x x x ốx ứ 0,5 Thay vo (4) ta cng c hai nghim trựng vi hai nghim trờn Vy h phng trỡnh cú hai nghim l ( x ; y ) = ( 1; 0) ; ( - 1;2) 0,5 Cho a, b, c l cỏc s thc dng Chng minh rng: i a ab + b + b bc + c c + ca + a Ta cú a ab + b + b bc + c ổa ỗ ỗ ỗ b + ỗ ố a + 1+ b + c ca + a a b + a +1 b = b c + b +1 c c a c +1 a 1,0 cử ữ ữ ữ ữ aứ ữ b + c b + 1+ c c +1 a a b c t x = , y = , z = ị xyz = b c a Ta cú ổa ỗ ỗ ỗ b + ỗ ố a + 1+ b b + c cữ ữ ữ aữ ữ ứ b + 1+ c c +1 a = ( x + x + 1+ ( x + y + z ) + ( xy + yz + ( x + y + z + 3) zx ) y + y + 1+ z ) 1,0 z+1 x+y+z+6 ( x + y + z + 3) Suy a ab + b + Ta cú S + b bc + c S = + c ca + a S +3 ( S = x + y + z + 6) 3S S ổ ữ ỗ S ữ +ỗ + ữ ỗ ữ ỗ 2 ữ Sứ ố 3 + = 2 1,0 Suy S+3 3S Bt ng thc c chng minh Du bng xy a = b = c 1,0 Cho t giỏc ABCD ngoi tip ng trũn (O) Gi M, N, P, Q ln lt l cỏc tip i im ca ng trũn (O) vi AB, BC, CD, DA Gi X l giao im ca MN v PQ; E, F ln lt l giao im ca AC vi ng trũn (O) Gi H l hỡnh chiu vuụng ã gúc ca X trờn BD Chng minh rng Aã HE = CHF Trc ht ta chng minh kt qu sau: Gi J l giao im ca AC v BD Khi ú ta cú MP, NQ, BD, AC ng quy ti im J, X , A ,C thng hng v ( A CJX ) = - 1, ( FEJX ) = - Tht vy + K hai tip tuyn XS, XR ti ng trũn (O) Khi ú t giỏc MSNR l t giỏc iu hũa, suy tip tuyn ca (O) ti M, N v SR ng quy, hay B, S, R thng hng 1,0 Tng t D, S, R thng hng Suy ( FEJX ) = - + Gi I, K ln lt l giao im ca BD vi MN v PQ Ta cú ( X IMN ) = ( X KPQ ) = - Suy IK, MP, NQ ng quy hay BD, MP, NQ ng quy + Nu AC qua O d chng minh AC, MP, NQ ng quy Nu AC khụng qua O thỡ tip tuyn ti E v F ct tai mt im Tng t trng hp trờn ta cú AC, 0,5 MP, NQ ng quy Suy MP, NQ, BD, AC ng quy ti im J + Ta cú B ( X DA C ) = B ( X IMN ) = - = D ( X K QP ) = D ( X BA C ) Suy A, 0,5 X, C thng hng p dng nh lý Menelaus X A NC MB XA MA =1ị = X C NB MA XC NC cho tam giỏc ABC ta cú 0,5 Qua C ta k ng thng song song vi AB ct ng MP ti G D dng chng minh c tam giỏc CPG cõn ti C nờn CP=CG T ú theo nh lớ Thales: JA MA MA MA = = = JC CG CP CN X nm ngoi v J nm on AC nờn ( A CJX ) = - 0,5 Theo kt qu trờn ta cú ( A CJX ) = - kộo theo H ( A CJX ) = - Nhng vỡ HJ ^ HX Theo nh lớ v chựm iu hũa ta cú HJ l phõn giỏc ca gúc AHC D thy ( FEJX ) = - suy HJ l phõn giỏc ca gúc EHF 0,5 0,5 ã T ú d dng thy c iu cn chng minh Aã HE = CHF Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng a < b < c < d cho mi s chỳng l c i ca tng ba s cũn li ộa + b + c = d d | a + b + c a + b + c < d ị Do ( ) v ờa + b + c = 2d 0,5 0,5 TH1: a + b + c = d Do a | ( b + c + d ) nờn a | 2d Tng t b | 2d, c | 2d 1 a + b+ c = t 2d = ax = by = cz , ú < z < y < x v + + = x y z 2d +) Nu z = thỡ 1 + = ị ( x - 6) ( y - 6) = 36 Ta cú cỏc nghim x y ( x ; y ) ẻ { ( 42;7) , ( 24; 8) , ( 18;9) , ( 15;10) } Vỡ vy ( a;b;c;d ) ẻ { ( k ;6k ;14k ;21k ) , ( k ;3k ;8k ;12k ) , ( k ;2k ;6k ;9k ) , ( 2k ;3k ;10k ;15k ) } 1,0 Vi k l s nguyờn dng +) Nu z = thỡ 1 + = ị ( x - 4) ( y - 4) = 16 Ta cú cỏc nghim x y ( x ; y ) ẻ { ( 20;5) , ( 12;6) } Vỡ vy ( a;b;c;d ) ẻ { ( k ; 4k ;5k ;10k ) , ( k ;2k ; 3k ;6k ) } 0,5 Vi k l s nguyờn dng +) Nu z = thỡ 1 + = Suy ( 3x - 10) ( 3y - 10) = 100 x y 10 ( mod 3) Vỡ 3x - 10 ịị +) Nu z thỡ ộỡù 3x ờù ờớù 3y ờùợ ờỡ ờùù 3x ờớ ờùù 3y ởợ 10 = 20 10 = 10 = 50 10 = ộy = ờy = : vụ lý 0,5 1 1 1 1 1 + + < + + = : khụng tha + + = x y z 6 x y z TH2: a + b + c = 2d Khi ú a | 3d, b | 3d, c | 3d 1 t 3d = ax = by = cz , ú < z < y < x v + + = x y z Suy z 4, y 5, x Do ú 1 1 1 37 + + Ê + + = < : vụ lý x y z 60 1,0 Vy cỏc s ( a ;b;c; d ) tha bi l ( k ;6k ;14k ;21k ) , ( k ;3k ;8k ;12k ) , ( k ;2k ;6k ;9k ) , ( 2k ; 3k;10k;15k ) , ( k; 4k;5k;10k ) , ( k ;2k ; 3k ;6k ) Vi k l s nguyờn dng Cho 2016 cỏi ko vo 1008 cỏi hp cho khụng cú hp no cú nhiu hn 1008 cỏi ko v mi hp cú ớt nht mt cỏi ko Chng minh rng cú th tỡm thy mt s hp i m tng s ko cỏc hp ú ỳng bng 1008 cỏi ko +) Nu tt c cỏc hp cú s ko bng v bng thỡ ly 504 cỏi hp bt kỡ u cú tng s ko bng 1008 0,5 +) Nu tn ti hai hp cú s ko khỏc nhau, sp xp cỏc hp thnh mt hng ngang cho hai hp u tiờn khụng cú cựng s ko Kớ hiu l s ko hp th i, i = 1, 2, ,1008 Xột cỏc s sau S = a1, S = a + a 2, , S 1008 = a1 + a + + a1008 1,0 Nu hai s chỳng cú cựng s d chia cho 1008, gi s ú l S i , S j ( j > i ) 1008 Khi ú S j - S i = a i + + + a j M 1008 ị S j - S i = 1008 Hay Rừ rng Ê S j - S i < 2016 , m S j - S i M 1,0 + + + a j = 1008 Gi s dóy S 1, S 2, , S 1008 khụng cú s no cú cựng s d chia cho 1008 Xột 1009 s sau S 1, S 2, , S 1008, a Theo nguyờn lý Dirichlet tn ti hai s cú cựng s d chia cho 1008 a 2,1 a1, a 1008 , nờn a1, a khụng cựng s d chia cho Li cú S = a1 ạÊÊ 1008 Suy tn ti k = 2, 3, ,1008 tha S k , a cú cựng s d chia cho 1008 0,5 0,5 1008 Li cú Ê a1 + a + + a k < 2016 , Khi ú S k - a = a1 + a + + ak M suy a1 + a + + a k = 1008 0,5 Mi cỏch gii khỏc nu ỳng kt qu v lp lun cht ch u cho im tng ng Ngi Nguyn Th Giang ST: 0976138529