HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG TỈNH PHÚ THỌ ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10 NĂM 2015 Thời gian làm 180 phút Đề thi gồm có 01 trang, câu ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Câu (4,0 điểm) Giải phương trình x3 + x = x5 − x Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O Trung trực đoạn AH cắt cạnh CA, AB M ; N Chứng minh A tâm đường tròn bàng tiếp tam giác OMN Câu (4,0 điểm) Chứng minh p số nguyên tố có dạng 4k + có số tự nhiên a nhỏ p cho a + chia hết cho p Câu (4,0 điểm) Cho số thực không âm a, b, c thoả mãn a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức a + b + c + 3abc ≥ 3 8max { a 2b ; b 2c ; c a } ( a + b + c) Câu (4,0 điểm) Xác định tất tập A, B, C khác rỗng tập số nguyên dương ℵ* thoả mãn điều kiện sau 1) A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = ∅ ; 2) A ∪ B ∪ C = ℵ* ; 3) Với a ∈ A, b ∈ B c ∈ C , ta có c + a ∈ A, c + b ∈ B a + b ∈ C ………… HẾT……… Người đề: Kiều Đình Minh ĐT: 0989 848 965 ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10 Câu (4,0) Giải phương trình x3 + x = x5 − x Dễ thấy x = nghiệm Xét x ≠ , phương trình tương đương (x + x ) = ( x5 − x ) ⇔ x3 ( x + ) = x ( x − ) ⇔ ( x + ) = x ( x − ) 5 Đặt y = x + ⇒ y > 2(do x ≠ 0) x4 − = ( x4 − 4) + = ( x2 + 2) ( x2 − 2) + = y ( y − 4) + Ta có y2 − y + y = ( y − ) y ( y − ) + = ( y − ) ( y − ) − ⇔ ( y − ) ( y − ) − ÷ = (*) y t − 4t + 2 Dễ thấy f ( t ) = = t + − f ( t1 ) < f ( t2 ) < t1 < t2 Vì y = t t nghiệm phương trình (*) , x = ± nghiệm phương trình cho Kết luận: Phương trình cho có nghiệm là: x = 0; x = ± ■ 5 2 Câu (4,0) Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O Trung trực đoạn AH cắt cạnh CA, AB M ; N Chứng minh A tâm đường tròn bàng tiếp tam giác OMN Ta có ∆ANH : ∆AOC ⇒ ∆ANO : ∆AHC ⇒ ∠AON = ∠ACH (1) Tương tự có ∆AMH : ∆AOB ⇒ ∆AMO : ∆AHB ⇒ ∠AOM = ∠ABH (2) Từ ( 1) ( ) suy ∠AON = ∠AOM , hay OA phân giác góc ∠MON Lại có ∠BNO = ∠BAO + ∠NOA = ∠CAH + ∠ACH = 1800 − ∠AHC = ∠ABC = ∠ANM ⇒ NA phân giác tam giác ∆ONM Tương tự suy A tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ∆ONM ■ Câu (4,0) Chứng minh p số nguyên tố có dạng 4k + có số tự nhiên a nhỏ p cho a + chia hết cho p ( p − 1) !+ 1Mp với p = 4k + ( k ∈ ¥ * ) ( 4k ) !+ 1Mp (1) Mặt khác 2k + i ≡ −2k + i − 1( mod p ) với i = 1, 2, , 2k Do ( 2k + 1) ( 2k + ) ( 4k ) ≡ ( 2k ) !( mod p ) Suy ( 4k ) ! ≡ ( 2k ) ! ( mod p ) (2) Theo định lý Wilson 2 Từ ( 1) ( ) ta có ( 2k ) ! + 1Mp Gọi a dư phép chia ( 2k ) ! cho p a < p ( 2k ) ! ≡ a ( mod p ) , a + 1Mp (đpcm).■ Câu (4,0) Cho số thực không âm a, b, c thoả mãn a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức a + b3 + c3 + 3abc ≥ 8max { a 2b ; b 2c ; c a } ( a + b + c) Do tính đối xứng bất đẳng thức nên không tổng quát giả sử a ≥ b ≥ c ≥ Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có a + b3 + c3 + 3abc ≥ a + b3 ≥ 2ab ab ( 1) Và ( a + b + c) Từ ( 1) ( ) suy (a = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ≥ + 2ab ≥ ab ( ) + b3 + c + 3abc ) ( a + b + c ) ≥ 8a 2b ≥ 8max { a 2b ; b 2c ; c 2a } Hay a + b3 + c3 + 3abc ≥ Dấu đẳng thức xảy a = b = 1; c = Tóm lại : a + b + c + 3abc ≥ 3 8max { a 2b ; b 2c ; c a } ( a + b + c) 8max { a 2b ; b 2c ; c a } ( a + b + c) Dấu đẳng thức a = b = 1; c = hoán vị.■ Câu (4,0) Xác định tất tập A, B, C khác rỗng tập số nguyên dương ℵ* thoả mãn điều kiện sau : 1) A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = ∅ ; 2) A ∪ B ∪ C = ℵ* ; 3) Với a ∈ A, b ∈ B c ∈ C , ta có c + a ∈ A, c + b ∈ B a + b ∈ C Giả sử phần tử nhỏ C x Thế { 1, 2, , x − 1} ⊆ A ∪ B , với ∀a ∈ A, b ∈ B , ta có a + x ∈ A, b + x ∈ B Vậy tất số không chia hết cho x thuộc A ∪ B Do ∀c ∈ C bội x Từ ( 3) , tổng ∀a ∈ A, ∀b ∈ B bội x Giả sử x = Thì a ∈ A, b ∈ B suy a + 1∈ A, b + ∈ B ⇒ a + b ∈ A ∩ B , mâu thuẫn với ( 1) Giả sử x = Ta giả sử ∈ A Thì ( 3) , tất số nguyên dương lẻ nằm A Với b ∈ B , ta có + b ∈ C Do b lẻ, dẫn tới b ∈ A ∩ B , mâu thuẫn với ( 1) Giả sử x ≥ Thì { 1, 2,3} ⊆ A ∪ B , gọi y , z ∈ { 1, 2,3} ∩ A Lấy b ∈ B , ta có y + b, z + b ∈ C ( 3) o ( y + b ) − ( z + b ) = y − z bội x Nhưng y − z < x , dẫn đến mâu thuẫn Vì x = Ta nằm A (hay hai nằm B ) * • Nếu 1, ∈ A , ( 3) suy 3k + 1,3k + ∈ A, ∀k ∈ ℵ Lấy b ∈ B , ta có + b ∈ C , điều suy b = 3k + ∈ A Do b ∈ A ∩ B , mâu thuẫn với ( 1) • Do ∈ A, ∈ B , suy A = { 1, 4,7, } , B = { 2,5,8, } , C = { 3,6,9, } ∈ A,1 ∈ B B = { 1, 4,7, } , A = { 2,5,8, } , C = { 3,6,9, } ■