Đặt vấn đề:Trong quá trình giải bài toán Oxy đôi khi gặp bài toán cho khá nhiều dữ kiện về vị trí các điểm trên đường thẳng xác định,ví dụ:M là trung điểm AB,N thuộc AC sao cho thỏa mãn
Trang 1Một số kĩ thuật nhỏ khi giải bài toán hình phẳng Oxy.
Như chúng ta đã biết,câu 7 trong đề thi quốc gia chung hiện nay thường là câu hình phẳng Oxy,để giải được nó đòi hỏi người giải cần có con mắt cũng như tư duy tinh thế.giải được rồi nhưng làm sao có thể nhanh,chính xác thì không phải ai cũng làm được,bài viết này chia sẻ một số kinh nghiệm nhỏ về kỹ thuật giải Oxy!!!!
Vấn đề 1: Giải bài toán hình phẳng Oxy dưới con mắt “Chứng minh vuông góc” nhờ “tọa độ hóa”.
Đặt vấn đề:Trong quá trình giải bài toán Oxy đôi khi gặp bài toán cho khá nhiều dữ kiện về vị trí các điểm
trên đường thẳng xác định,ví dụ:M là trung điểm AB,N thuộc AC sao cho thỏa mãn tỉ lệ nào
đó………… mà ta phát hiện ra nút thắt là chứng minh vuông góc sẽ xong thì ta có thể tiến chọn cách làm
là gắn hệ tọa độ vào hình vẽ với quy trình sau:
Bước 1:Chọn hệ trục Oxy gắn vào hình cần chứng minh,gốc tọa độ O(0,0) thường được gắn vào những góc vuông của hình vuông,chữ nhật,thậm chí chân đường cao….sao cho thuận lợi nhất
Bước 2: Biểu diễn tọa độ của các điểm trên hình vẽ(đã biết vị trí) theo 1 hoặc 2 ẩn,nhưng tốt nhất là càng
ít ẩn càng tốt
Ví dụ: cho hình vuông ABCD,có M là trung điểm AD,N là trung điểm BC thì ta có thể biểu diễn như sau:
Chọn hệ trục Oxy với D(0,0),A(0,a),B(a,a),C(a,0) 3
(0, ), ( , )
a a a
M N ,(coi cạnh hình vuông là a)…còn nếu đề cho AM=5MD,thì ta giải hệ thức vecto tìm điểm M như khi ta giải oxy!
Bước 3: Sau khi tìm được tọa độ các điểm đề cho,ta đi tìm tọa độ của các điểm cần chứng minh vuông góc,nếu đề cho giả thiết để ta tìm được thì rất tốt,nếu không nói gì thêm,thì ta đi giải hệ giữa 2 đường thẳng đi qua điểm đó,nói chung tính toán như bình thường
Ví dụ muốn tìm D thì ta có thể viết phương trình AD giao DB hay DC….tùy thuộc đề cho số liệu
Bước 4(cuối),ta tính các vecto của các điểm cần chứng minh vuông góc ,rồi nhân tích vô hướng,nếu nó bằng số 0 thì điều ta mong muốn đã đạt được
***Lưu ý:
1,chúng ta nên nhớ là tọa độ đề bài không liên quan gì tới việc tham số D(0,0),A(0,a),B(a,a),C(a,0),
3 (0, ), ( , )
a a a
M N …của chúng ta,chúng ta giả sử tổng quát như vậy để chứng minh tính chất chứ không dùng tọa độ đề bài !
2, Càng ít ẩn càng dễ tính toán!
Trang 2Sau đây chúng ta sẽ đi đến một số bài toán cụ thể để hiểu rõ phương pháp!
Phần 2:Những ví dụ điển hình:
Bài 1 (k2pi -03-2015):Cho tam giác ABC vuông tại B và BC=2AB,M(2,-2) là trung điểm AC, điểm
N thuộc đường thẳng x+2y-6=0 và thuộc BC sao 4BN=BC,
4 8 ( , )
5 5
H
là giao điểm giữa BM và AN.Tìm 3 đỉnh tam giác ABC.
Phân tích,định hướng:Bài toán xoay quanh mối quan hệ giữa 3 điểm M,H,N,nhìn hình vẽ thấy đường thẳng AN,BM vuông, nếu như chúng ta chứng minh được vuông,nghĩa là thông qua tích vô hướng tìm được N,từ đó bài toán sẽ được giải quết!
LG: Chứng minh HN vuông góc HM
Gắn hệ tọa độ Oxy vào tam giác ABC,với B(0,0),A(0,a),C(2a,0) (chú ý là 2AB=BC nên ta gọi như vậy⇒ M(a,
2
a
),N(
2
a
,0),tauuur AN
=(
2
a
,-a), BMuuuur
=(a, 2
a
)
Tích vô hướng:uuur uuuur AN BM
=
2 2
a − a =0⇒AN vuông góc BM hay HN vuông HM
HM: 3x+y-4=0, AN: x-3y+4=0⇒N(2,2)
B(a,4-3a) thuộc HM,ta có cosNBH=cosABM= 2
5 .(1)
BN
uuur
=(2-a,3a-2),uuurBH
,3a
5−a − 5 ) (2).Từ (1) và (2) ta có phương trình:
5
=
Rút gọn được: 2
0 (0, 4)
( , )
= ⇒
= ⇒
Tham số C(a,b),nhờ BC uuur = 4 uuur BN:
TH1:B(0, 4)⇒ C(8, 4)− ⇒ −A( 4,0) ( thỏa mãn A thuộc AN)
B − ⇒C ⇒A − (Loại vì A không thuộc AN)
Trang 3Kết luận:A(-4,0),B(0,4),C(8,-4).
Bình luận:Có nhiều cách để chứng minh vuông góc với bài toán trên,ta chọn cách gán tọa độ vào vì đề cho khá rõ ràng vị trí các điểm!Việc tính cosAMB là theo hướng của tôi,nếu như bạn đọc viết phương trình BM(qua M,H),tham số B,nhờBC uuur = 4 BN uuur =>C,M là trung điểm AC=>A,rồi ta đi tính tích vô hướng .
AB BC
uuur uuur
=0 vẫn giải bình thường!!!
Bài 2 (Toanhoc24h lần 9-2015): Cho hình vuông ABCD, Các điểm I,K là trung điểm AD, BC,điểm
M nằm trên cạnh CD sao cho MD=
3
5 MC,
10 ( 1, ) 3
G − −
là trọng tâm tam giác BDK,phương trình IM:3x-y-11=0.Viết phương trình BD.
Phân tích,định hướng:Bài toán xem ra khá khó nếu chúng ta chưa định hướng được lời giải rõ ràng,nếu…có giải theo cách thông thường là tính cos,viết phương trình,tích vô hướng…tỏ ra rất khó làm và khó loại nghiệm.Vậy,chúng ta cần quan sát mối quan hệ giữa những dữ kiện đề bài cho,cho mỗi 1 phương trình và tọa độ 1 điểm,đây là dạng toán tìm nút thắt,thường là chứng minh vuông là coi như bài toán kết thúc.thử xem giữa IM và đường thẳng nào đó qua G xem chúng có vuông góc không.Quan sát thấy có DG,từ đó ta định hướng chứng minh IM vuông góc DG.
Nếu làm theo phương pháp thông thường có thể vẫn làm được nhưng phương pháp gắn hệ tọa độ
mà chúng ta đang đi tỏ ra khá hiệu quả bởi vị trí các điểm đã rõ,ta đi vào lời giải:
LG:Gắn hệ tọa độ Oxy vào hình vuông ABCD sao cho D(0,0),I(0,
2
a
),B(a,a).C(a,0) từ đây ⇒M(3
8
a
,0),
K(a,
2
a
) là trung điểm BC,G là trọng tâm tam giác ABK nên dễ dàng tìm được G(2
,
3 2
a a
),giờ ta đi tính tích vô hướng củaDG IMuuur uuur,
2 2
.Gọi O là giao của IM và DG
11 22
Giờ hướng đi tiếp theo của ta là sẽ đi tìm I,tìm được I nghĩa là sẽ tìm được D và trung điểm L của IK,từ
đó đi viết phương trình BD.đi tìm vtpt AD đã.Lưu ý là tam giác DGC không vuông tại G,vì mọi người mắc sai lầm khi sử dụng 2 tam giác ODM và GDC đồng dạng 3
8
OG GD
⇒ = ,điều này sai lầm,vì nhìn vuông chứ chưa chứng minh được vuông!
5
ID DIM
DM
= = = − gọi vtpt AD=(a,b) (a2+b2 >0).Ta có:
Trang 42 2
3
9 5
10.
13
a b
b a
=
−
=
1: 3 vtptAD (3,1), AD IG vtptIG (1, 3) IG : x 3 y 9 0
I IM IG (3, 2)
TH a b
I
uur uuur
Từ đây BD:x+2y+6=0!
9
2 :
13
b
TH a= −
ta cũng làm tương tự trên, được BD:2x+11y+47=0
KL:BD: x+2y+6=0 hoặc DB: 2x+11y+47=0
Bình luận:Ta hoàn toàn có lời giải tự nhiên khi dùng phương pháp tọa độ,cần có con mắt quan sát tốt,nối những điều cần thiết,ta sẽ đoán được ý đồ đề bài là chứng minh vuông,đây cũng là một trong những bài toán hay về phương pháp “tìm nút thắt” cho bài toán,ở đây chính là chứng minh IM vuông góc DG,tất nhiên là cũng cần tư duy thêm hướng giải để cho bài toán nhẹ nhàng,không nên dùng tích vô hướng nếu không cần thiết!!!!!
Bài 4 : (Toanhoc24h-22-2015):Cho hình vuông ABCD,có M là trung điểm BC,trên tia đối tia BD lấy
E sao cho ED=3EB.Đường thẳng DM cắt CE tại
13 1
5 5
và đi qua K(5,3),biết C nằm trên đường thẳng d:x+3y+6=0 và có hoành độ dương.Tìm 4 đỉnh hình vuông.
Phân tích:
Bài toán khá hay,để giải được nó thì việc nối B với F là việc làm hàng đầu,dự đoán nó vuông tại F,cứ cho là chứng minh được thì ta mới chỉ viết được phương trình qua B,mọi thứ chưa được sang tỏ?Ta cần một chút hình học phẳng THCS nữa để nhận ra góc DBF= góc DFC=45 độ ,nghĩa là ta sẽ viết được phương trình qua F,tạo với phương trình DF đã biết góc 45 độ,giao với d tìm được C thỏa mãn.Chưa nhìn ra cách chứng minh bằng hình phẳng,vecto,ta có thể làm theo tọa độ như sau:
Lời giải : Gắn hệ tọa độ Oxy vào hình vuôn với C(0,0),D(-a,0),B(0,a),M(0,
2
a
)
2 2
a a
DE= BE⇒E
uuur uuur
.thấy F là giao của DM và EC,chỉ có thể tìm F bằng việc lấy giao 2 đường trên vì F không có tính chất gì đặc biệt
DM:x-2y+a=0, CE:3x-2y=0
Trang 5Từ đó 2 2
uuur uuur
⇒ BF:3x+4y-7=0
Tứ giác DCFB có 2 góc BFD=DCB=90 độ cùng chắn cung BD⇒Tứ giác DCFB nội tiếp
⇒DBC=DFC=45 độ.Ta có vtpt DF=(4,-3),gọi vtpt FC=(a,b) ( 2 2
0
a +b > )
2 2
cos
2 5.
7
=
Kết luận: A(-3,-1), B(1,1), C(3,-3), D(-1,-5).
Bình luận:
Bài toán khá hay và độc đáo,tùy vào cách giải mỗi người mà bài toán có thể giải nhanh hay chậm,phát hiện ra việc BF vuông góc DF và chứng minh nó không hề đơn giản nếu như ta không nắm chắc kiến thức hình phẳng hay các phương pháp khác,gắn tọa độ trở nên mạnh mẽ trong lời giải.Xin nhấn mạnh thêm ở chỗ tìm B,không nên dùng tích vô hướng nào đó vì gây thêm sự lo lắng khi ra 2 nghiệm
hình,chưa biết cách loại chẳng hạn,đi thi ta sẽ bị trừ ít điểm,thay vào đó hãy suy ra điểm M qua tham số rồi thay vào phương trình đường thẳng,tính toán nhẹ nhàng mà có 1 nghiệm hình,ra được B,C là bài toán kết thúc vì tìm D,A khá dễ dàng!
Bài 5 :( Tilado lần 2-2015):Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2BC.Gọi
5 ( , 1) 2
K −
là trung điểm của
AD.Trên cạnh CD lấy 2 điểm E,F sao cho DF=CE=
1
4 CD,đường thẳng vuông góc với EK tại E cắt
đường thẳng BC tại M.Tìm 4 đỉnh hình chữ nhật biết phương trình qua 2 điểm M,F là d:10x-6y-15=0
Phân tích:
Ta thắc mắc tại sao đề nhiều dữ kiện vậy mà cho mỗi 1 phương trình
Trang 6Và tọa độ 1 điểm? phải chăng ý đồ đang được dấu ở đây?phần đa số khi cho ít như vậy,người ra đề
Đã dấu đi ý tưởng chứng minh cái vuông góc, giờ ta lật tẩy nó ra!
Dự đoán MF vuông FK bằng trực quan,giả sử chứng minh được,hướng đi tiếp của ta là tìm F là giao giữa MF,FK,thấy tam giác FDK vuông cân tại D⇒phương trình trung trực của KF qua
D,nghĩa là đã tham số D được 1 ẩn,phép toán quen thuộc là tích vô hướng DK DF uuur uuur
là ra D,từ đó tìm A,C,cuối cùng tìm B.Đi vào chi tiết bài toán như sau:
Lời giải:
Gắn hệ tọa độ Oxy vào hình chữ nhật với D(0,0),K(0,
2
a
),F(
2
a
,0),E(3 2
a
,0),C(2a,0),B(2a,a)
EM:6x-2y-9a=0(qua E vuông góc KE), BC:x=2a,M là giao của của ME và BC⇒M(2a,3
2
a
),KFuuur
=( 2
a
,-2
a
), MFuuur
=(-3
2
a
,-3 2
a
),
KF MF = − + = ⇒ KF ⊥ MF
uuur uuur
.⇒ KF:6x+10y+25=0,F=FK giao
FM⇒ (0, 5)
2
F −
Ta có phương trình trung trực KF: 5x-3y+1=0,đường thẳng này qua D
2 ( 2, 3) A( 3,1), B( , ), (6, 1).
DK vuông D
F
C
:
A( 3,1), B( , ), (6, 1), ( 2, 3).
2 2
KL
Bài 6: Cho hình thang vuông ABCD tại A,D,AD=AB= 2
DC
,E(2,4) thuộc đoạn AB và
1 3
AE
AB =
.Điểm
F thuộc BC thỏa mãn tam giác DEF cân tại E,phương trình EF:2x+y-8=0.Tìm 4 đỉnh hình thang vuông biết D thuộc d:x+y=0 và xA<2,A thuộc d’:3x+y-8=0.
Phân tích: Bài toán cho nhiều dữ kiện nhưng chốt lại chỉ cần chứng minh DE vuông góc DF là
xong!đề cho rất rõ tỉ lệ các cạnh,vị trí….nên dễ dàng đưa các điểm theo 1 tham số.
Trang 7Lời giải:
Gắn hệ tọa độ Oxy vào hình thang với D(0,0),B(a,a),C(2a,0)⇒E(
3
a
,a),ta tìm tọa độ F theo a là xong
Phương trình BC:x+y=2a,tham số F(b,2a-b),cần tìm b theo a,khá đơn giản dựa vào DE=EF,từ đó tìm được b=4
3
a ⇒F(4 2
,
a a
)
2 2
a
−
=
uuur uuur
KL : A(1,5), (4, 2), (4, 4), ( 2, 2).
Loai
uuur uuur
uuur uuur
Bình luận:
Nút thắt vuông góc đóng vai trò quyết định trong lời giải bài này!
Bài 7 (bắc ninh lần 1-2015) Cho tam giác ABC vuông cân tại A,M là trung điểm của BC,G là trọng tâm tam giác ABM.Điểm D nằm trên cạnh MC sao cho GA=GD,biết D(7,-2),phương trình AG:3x-y-13=0,xA<4.viết phương trình AB.
Phân tích:
Biết phương trình AG,biết D⇒dự đoán AG vuông GD.ở bài này dù là chứng minh kiểu gì cũng
gặp khó khăn.Nếu ta chứng minh được điều trên⇒ phương trình GD,giao của GA,GD=G,tham số
A thuộc AG,AG=DG⇒A thỏa mãn xA<4,tìm được trung điểm BM dễ dàng thông qua
2
3
AG= AH
uuur uuur
.Biết H,D mình sẽ tìm được vtpt BC,phương trình AB sẽ được viết nếu ta tìm được vtpt AB, mà có góc ABC=45 độ rồi,từ đó bài toán được giải quyết.Sau đây là lời giải chi tiết:
Lời giải:
Gắn hệ tọa độ Oxy vào Tam giác ABC với A(0,0),B(0,a),C(a,0) ( , ) G( , )
a a a a M
Thấy tam giác ABG cân tại G⇒GA=GB, mà GA=GD⇒GA=GB=GD, hay G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
Trang 8⇒C (G,GA):
2
BC: x+y=a,thấy D là giao của phương trình đường tròn (G,GA) và BC
2
( , )
3 3
a a
D
⇒ (Loại 1 điểm vì trùng B)
Thấy
2 2
GA GD uuuruuur = − + = ⇒ GA GD ⊥
( ,3 13)( 4).
(3, 4)
a Loai A
− <
=
Gọi H là trung điểm BM,do 2 9 1
( , ) vtptBC(1,1)
AG= AH ⇒H ⇒
uuur uuur
,gọi vtpt AB=(a,b) ( 2 2
0
a +b > )
Do góc BAc=45 độ nên ta có:
2 2
cos
2
:
a b BAC
AB y
KL
AB x
+
+ =
Bình luận:
Tất nhiên ta có chứng minh AG vuông góc DG nhanh như sau theo hình học phẳng: Thấy tam giác ABG cân tại G⇒GA=GB,mà GA=GD⇒GA=GB=GD,hay G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD,⇒ góc AGD=2ABD=2.45=90 độ.Vậy đã có điều phải chứng minh rồi!Bài trên ta có thể không tìm H mà ta
đi viết luôn phương trình AB tạo với AG góc… ,như vậy bài toán cũng được giải quyết!
Bài 8(Đặng Thành Nam): Cho tam giác ABC vuông tại A có A(1,2),đường cao AE,F là điểm đới xứng của E qua A,H(1,-1) là trực tâm tam giác FBC.Tìm B,C biết diện tích tam giác FBC bằng 78
và điểm B có hoành độ âm.
Phân tích:
Trang 9Tổng kết vấn đề:
1, Thuận lợi: Sử dụng tọa độ trong giải toán là việc làm khá tự nhiên và dễ hướng tới,phù hợp với
nhiều bạn học sinh,mọi bài toán nếu thỏa mãn có góc vuông,biết được một số tỉ lệ về điểm
ta hoàn toàn có thể sử dụng nó vào việc chứng minh vuông góc,dẫn tới các bước làm khác được thuận lợi.
2, Khó khăn:Tính toán khá nhiều,đôi khi phải làm đi làm lại vì tính sai nên tích vô hướng khác
0.Giả sử gặp bài nút thắt vuông góc nhưng chả tìm thấy tỉ lệ nào thì phương pháp này “bó tay” rồi,vì vậy chúng ta cần chọn phương pháp khác để chứng minh như dung “Tứ giác nội tiếp,lượng giác,vecto”,đây chỉ là một phương pháp nhỏ.Sau đây là một số bài tập để bạn đọc
áp dụng:
Bài 1:Cho hình chữ nhật ABCD có A(-4,8).Gọi M là điểm thuộc tia BC thỏa mãn CM=2BC,N là
hình chiếu vuông góc của B trên DN.Tìm tọa độ đỉnh B biết
83 1
13 13
và đỉnh C thuộc đường thẳng 2x+y+5=0
Bài 2:Cho hình vuông ABCD,điểm F thuộc cạnh AB sao cho 7BF=5AF.Đường thẳng d qua trung
điểm E của AD và trọng tâm G của tam giác ABC có phương trình d:11x-7y+6=0,biết
13 3
F −
,yB<0.Tìm 4 đỉnh của hình vuông!
Bài 3:Cho hình chữ nhật ABCD có E(4,-1) là điểm nằm trên cạnh BC sao cho EB=2EC,Đường tròn
ngoại tiếp tam giác ADE cắt cạnh AB tại F,phương trình đường thẳng DF:7x+y-2=0,biết F là trung điểm AB và điểm D có hoành độ dương.Tìm 4 đỉnh hinh chữ nhật.
Vấn đề 2: Những điều lưu ý khi giải bài toán có chứa các phương trình đường thẳng
và cos giữa chúng
Đặt vấn đề:
Việc cài cắm tính chất hình phẳng vào bài toán Oxy là một vấn đề mà tác giả thường hướng tới.Nhưng người ra đề có thể dấu đi một tính chất nào đó hoặc làm lạc hướng người giải thông qua góc giữa 2 đường thẳng,đặc biệt thông qua Cos giữa 2 đường thẳng
Ví dụ hình chữ nhật có góc giữa một cạnh và đường chéo bằng 45 độ thì hình chữ nhật trở thành hình vuông, tính toán thuận tiện hơn rất nhiều,…đó cũng là một cách dấu ý tưởng khiến người giải cảm thấy khó chịu và phải tính toán vất vả,sau đây là ví dụ điển hình cho dạng toán vừa rồi!
Bài 1:Cho hình chữ nhật ABCD,phương trình AD:3x-y=0,Lấy M đối xứng với D qua C,phương trình BM:2x+y-10=0,diện tích hình chữ nhật bằng 10,xB>0.tìm tọa độ 4 đỉnh hình chữ nhật.
Phân tích:
Trang 10Nếu như ta kéo dài BM cắt AD tại K thì vẫn có thể giải được.Nhưng chú ý rằng,đề cho phương trình BM,AD,tuy rằng 2 đường thẳng này không hợp với nhau góc nào nhưng nghĩ sao nếu góc
giữa (BM,AD) chính là góc giữa (BC,BM) vì AD//BC.Tính
0
1
2
CBM = ⇒ CBM =
,theo nhận xét trên ta kết luận tứ giác ABCD là hình vuông.
Lời gải:
=>Tam giác BCM vuông cân tại C,mà DC=CM=>DC=BC,mà ABCD đang là hình chữ nhật=>ABCD trở thành hình vuông.Ta có:
2 ( , )2 10 ( , ) 10.
| 5 10 |
10
ABCD
a
a Loai
−
⇔ =
Thấy ABMC là hình hình hành do AC song song và bằng BM
(3, 1) (0,0)
AC x y BC AD BC x y
Kết luận: A(1,3), B(4,2), C(3,-1), D(0,0).
Bình luận:
Bài toán trở nên dài dòng,khó khăn nếu ta không phát hiện ra góc CBM=45 độ.đây cũng là một kinh nghiệm nhỏ khi thấy đề cho 2 phương trình có tạo với nhau một góc hoặc có thể quy về một góc như bài trên!đôi khi không chỉ là cho để tham số mà ta cần phám khá nó một cách triệt để để có lời giải hay cho bài toán!
Bài 2:( Toanhoc24h-24-2015): Cho hình chữ nhật ABCD,phương trình AB:x-3y+7=0,phương trình AC:x+y-1=0.Điểm E thuộc cạnh AC sao cho 4EC=AE,biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE bằng 10 ,xB>0.tìm 4 đỉnh hình chữ nhật.