www.k2pi.net TÀI LIỆU TOÁN THPT Năm 2006 T119 Trong không gian cho hình chóp S A1A2…An (n 3, n N) Một mặt phẳng ( ) cắt cạnh SA1, SA2, , SAn (không kể đầu mút) hình chóp điểm B1, B2, , Bn Khi n>3, chứng minh điều kiện cần đủ để hai đa giác A1A2…An B1B2…Bn đồng dạng (theo thứ tự đỉnh)là ( )//(A1A2…An) Khi n=3 khẳng định có không? T124 ABCD tứ diện có cạnh Các điểm M, N chuyển động đoạn AB AC cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đặt AM=x, AN=y a, Tính diện tích toàn phần tứ diện ADMN theo x, y b, Xác định giá trị lớn nhất, nhỏ diện tích toàn phần tứ diện ADMN T138 Gọi E, F trung điểm hai cạnh AD BC tứ diện ABCD Các điểm M, N nằm hai cạnh EF CD cho góc MNC= , góc NME= Hỏi MN tương ứng chia đoạn EF CD theo tỉ số T155 Cho tứ diện ABCD; lấy M thuộc mặt bên (BCD) Qua M dựng đường vuông góc đến mặt bên (ABC), (ABD), (ACD) MH, MK, ML Chứng minh VMHKL< VABCD 45 T159 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Mặt phẳng (P) thay đổi cắt cạnh SA, SB, SC, SD A,B,C,D ( A,B,C,D không trùng với đầu mút đoạn thẳng SA, SB, SC, SD) Chứng minh hai tỉ SA SC SB.SD số có tỉ số không lớn mặt phẳng SB SD SA.SC (P) thay đổi T163 Qua đường cao tứ diện kẻ mặt phẳng cắt mặt phẳng chứa mặt bên theo đường thẳng tạo với mặt phẳng đáy tứ diện góc , , Chứng minh rằng: tan tan tan 12 T167 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh đường cao hạ từ S qua tâm ABCD Gọi O, K tâm hai hình cầu tương ứng tiếp xúc với mặt cạnh hình chóp S.ABCD Xác định thể tích hình chóp biết O, K cách đáy hình chóp T173 Cho tứ diện ABCD, mặt phẳng (P) qua BC cắt AD E Tính tỉ số thể tích tứ diện ABCE BCDE Biết tan góc hai mặt phẳng (P) mặt phẳng (BCD) T181 Cho tứ diện A1A2A3A4 Diện tích mặt A2A3A4; A3A4A1; A4A1A2; A1A2A3 lập thành cấp số Gọi G, O trọng tâm tâm đường tròn nội tiếp tứ diện A1A2A3A4 Chứng minh đường thẳng GO, A1A4, A2A3 song song với mặt phẳng www.k2pi.net TÀI LIỆU TOÁN THPT T192 Trên cạnh AB, BC, CD, DA, AC BD tứ diện ABCD lấy điểm M, N, P, Q, S R Gọi V1, V2, V3, V4 V thể tích khối tứ V4 diện AMSQ, BMNR, CNPR, DPQR, ABCD Tìm giá trị nhỏ của: V1V2 V3 V4 T196 Cho điểm O bên tứ diện ABCD Các tia AO, BO, CO, DO cắt mặt đối diện tai A1, B1, C1, D1 OA1 OB1 OC1 OD1 Tìm giá trị nhỏ F= OA OB OC OD T198 Cho tứ diện ABCD có tất góc nhị diện góc nhọn trọng tâm G Gọi M, N, P, Q, S, R hình chiếu G lên đường thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD Biết tổng thể tích khối tứ diện GQRS, GNPS, GMPR thể tích tứ diện ABCD Chứng minh tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện T211 Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc với Đặt OA=x, OB=y, OC=z với x+y+z=3 Tìm giá trị lớn bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện T236 Cho hình chóp S.ABCD có đường chéo BD chia tứ giác ABCD thành hai tam giác tương đương AB=1; BC=CD; SA+SD= VS.ABCD= Chứng minh S.ABCD có mặt cầu ngoại tiếp Xác định tâm bán kính mặt cầu Năm 2007 T138 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy d số đo góc nhị diện [B, SC, D] 150 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo d T138 Cho tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC Gọi , , góc mặt (ABD), (ABC), (ACD) tạo với mặt (BCD) hình chiếu A lên mặt (BCD) thuộc miền tam giác (BCD) Chứng minh rằng: 3cos +cos 3cos +cos 3cos +cos 3 cos.3cos +cos cos.3cos +cos cos.3cos+cos T143 Tứ diện ABCD có AC=BD, AD=BC Gọi I, J trung điểm AB, CD Mặt phẳng thay đổi qua I, J cắt BC, AD tương ứng M, N Xác định vị trí M cho diện tích tứ giác IMJN đạt cực đại, thể tích khối chóp AIMJN có đạt cực đại không T152 Cho tứ diện ABCD có diện tích toàn phần S, thể tích V, bán kính mặt cầu ngoại tiếp r S1, S2, S3, S4 theo thứ tự diện tích mặt BCD, CDA, DAB Gọi M điểm nằm tứ diện A,B,C,D hình chiếu vuông góc M lên mặt phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) Chứng minh S S S S S bất đẳng thức sau: MA MB MC MD r www.k2pi.net TÀI LIỆU TOÁN THPT T158 Cho tứ diện OABC Lấy M điểm miền giới hạn tam giác ABC điểm A,B,C thuộc OA, OB, OC cho MA,MB,MC theo thứ tự song song với mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Chứng minh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC qua điểm cố định khác O M thay đổi T158 Cho hình lăng trụ đáy tứ giác ABCD.A1B1C1D1 Một mặt phẳng ( ) thay đổi song song với hai đáy lăng trụ cắt đoạn thẳng AB 1, BC1, CD1, DA1 M, N, P, Q Xác định vị trí mặt phẳng ( ) cho diện tích tứ giác MNPQ đạt cực tiểu T165 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc Gọi , , góc hợp mặt (OBC), (OCA), (OAB) với (ABC) Tìm giá trị lớn biểu thức: P= (cot .cot cot .cot cot .cot )2 6cot .cot .cot T169 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn (O) Gọi E, F điểm di động AB, CD AE CF PE AB cho: (E A, F C ) Gọi P EF cho Chứng minh rằng: EB FD PF CD VSAPD không phụ thuộc vào việc chọn hai điểm E, F VSBPC T175 Cho tứ diện SABC đặt ASB , BSC , CSA Biết d2 T181 Cho tứ diện ABCD có đường cao đồng quy H (H không trùng với đỉnh tứ diện) Gọi A1, B1, C1, D1 chân đường cao hạ từ A, B, C, D Chứng minh rằng: a) AB2 AC2 AD2 BC2 BD2 CD2 3(AH.AA1 BH.BB1 CH.CC1 DH.DD1 ) 1800 , SA=SB=SC=d Chứng minh SABC b) AB2 AC2 AD2 BC2 BD2 CD2 (AH+BH+CH+DH) T186: Cho tứ diện SABC Tên SA, SB lấy M, N cho 2SM=MA, SN=2NB Mặt phẳng () qua M N song song với SC chia tứ diện thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần T192 Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi vuông góc A I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện () qua I ( ) AI Chứng minh điều kiện cần đủ để điểm M nằm () là: MB2 MC2 MD2 3MA2 T204 Cho hình lập phương ABCD ABCD có cạnh a Quay hình lập phương xung quanh đường chéo A C góc 600 ta hình lập phương Tìm thể tích phần giao hai hình lập phương nói T204 Cho tứ diện ABCD thoả mãn điều kiện:AC=BC=BD=AD.Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD Mặt phẳng () qua M cắt cạnh AC, BD P, Q Xác định vị trí mặt phẳng () để diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị nhỏ www.k2pi.net TÀI LIỆU TOÁN THPT T211 Chứng minh hình tứ diện có mặt nha đường vuông góc chung đường thẳng chứa cặp cạnh đối diện qua trung điểm cạnh Năm 2008 T131 Cho hình chóp OABC có góc tam diện đỉnh O tam diện vuông M điểm AM BM CM thuộc miền tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ của: AO2 BO2 CO2 T151 Cho tứ diện ABCD tích V Mặt phẳng qua trọng tâm G tứ diện cắt cạnh AB, AC, AD B,C,D Tìm giá trị nhỏ của: T= VBBCD VCBCD VDBCD T186 Các điểm M, N trung điểm cạnh AC, SB tứ diện SABC Trên đường thẳng AS, CN ta chọn điểm P, Q cho PQ//BM Tính độ dài PQ biết cạnh tứ diện T216 Cho hình lập phương ABCD ABCD có cạnh Gọi (P) mặt phẳng qua CD, góc mặt phẳng (P) với mặt phẳng (BD DB ) Khi đạt giá trị nhỏ tính diện tích thiết diện (P) với hình lập phương T252 Cho tứ diện SABC có SA=SB=SC=1 Mặt phẳng thay đổi qua trọng tâm G tứ diện cắt cạnh SA, SB, SC D, E, F Tìm giá trị 1 lớn biểu thức: P= SD.SE SE.SF SF.SD Năm 2009 T27 Cho tứ diện ABCD cạnh a, cạnh BC, CD lấy M, N cho MC CN AP , Trên trung tuyến AH tam giác ABD lấy P cho MB CD PH Tính diện tích thiết diện tạo thành cắt tứ diện ABCD mặt phẳng (MNP) T29 Cho tứ diện ABCD có AD=b, BC=c cạnh lại a.Gọi I, J trung điểm cạnh AD, BC Tìm K IJ cho tổng KA+KB+KC+KD đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ T35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi E trung điểm SC Mặt phẳng (P) thay đổi chứa AE cắt SB, SD M, N Gọi V, V0 thể tích hình chóp S.ABCD S.AMEN Chứng minh: V0 V T35 Cho hình chóp P ABCD cho ABCD hình vuông có cạnh đường cao hạ từ P qua tâm ABCD Gọi K, D tâm hai hình cầu tương ứng tiếp xúc với cạnh mặt hình chóp P ABCD Tính thể tích khối chóp P ABCD biết K, D cách đáy hình chóp T43 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy Gọi M, N hai điểm thuộc cạnh AB, CA cho (SMN) vuông góc với (BAC) Đặt AM=x, AN=y a) Chứng minh rằng: x+y= 3xy b) Tính x, y để diện tích tam giác SMN đạt giá trị nhỏ www.k2pi.net TÀI LIỆU TOÁN THPT T46 Cho G điểm nằm tứ diện ABCD Gọi S giao điểm SG với mặt phẳng ABC, A giao điểm AG với mặt phẳng ABC, B giao điểm BG với mặt phẳng ABC, C giao điểm CG với mặt phẳng ABC Mặt phẳng ( ) qua G song song với mặt phẳng ABC cắt cạnh SA,SB,SC N, P, Q Gọi N,P,Q giao điểm SN, SP, SQ với mặt phẳng (ABC) Biết S trực tâm tam giác NPQ Chứng minh tam giác NPQ Năm 2010 T27 Cho tứ diện ABCD có AB (BCD) tam giác BCD tam giác vuông C Biết số đo góc hai mặt phẳng (ABD) (ACD) số đo góc CBD Chứng minh rằng: tan CBD.cos2 BAC T30 Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Kéo dài đường thẳng AG, BG, CG, DG cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A1, B1, C1, D1 Chứng minh rằng: GA1+GB1+GC1+GD1 GA+GB+GC+GD T32 Cho hình chóp S.ABC thay đổi có cạnh bên SA, SB, SC đôi vuông góc Gọi h đường cao hình chóp S1, S2, S3 diện tích mặt bên h2 Tìm giá trị lớn tỉ số: y S1 S2 S3 T38 Cho tứ diện gần ABCD với AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c (a, b, c>0) M điểm không gian Chứng minh rằng: Bình phương khoảng cách từ M đến đỉnh tứ diện không lớn tổng bình phương khoảng cách từ M đến ba đỉnh lại Gọi M, E, K, L điểm xảy dấu đẳng thức Tìm thể tích khối đa diện H phần chung tứ diện ABCD tứ diện MEKL theo a, b, c T42 Cho tứ diện S.ABC điểm M, N thuộc cạnh SA, SB SM SN cho: Mặt phẳng (P) qua hai điểm M, N song song với cạnh MA NB SC chia tứ diện thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần T45 Cho khối tứ diện ABCD tích Qua trung điểm cạnh AD, DM BC, mặt phẳng ( ) cắt CD M Cho biết d(A; ( )) =1 Tính diện CM tích thiết diện tạo khối tứ diện ABCD mặt phẳng ( ) T47 Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c Chứng minh abc rằng: VABCD T49 Cho hình lập phương ABCD ABCD Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng có hai điểm nằm hai đường thẳng ABvà BC đồng thời hợp với mặt phẳng (ABCD) góc 60 T50 Cho tứ diện S.ABC Tiếp tuyến đường tròn nội tiếp tam giác ABCCắt cạnh BC, BA M, N Xác định vị trí M, N để bán kính mặt cầu bàng tiếp góc tam diện đỉnh S tứ diện SBMN đạt giá trị lớn www.k2pi.net TÀI LIỆU TOÁN THPT T52 Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện nhau, thể tích V, ngoại tiếp mặt cầu (O) Gọi E tiếp điểm mặt cầu (O) với mặt phẳng (BCD) K trực tâm tam giác BCD Gọi F giao điểm AE KO Đường thẳng qua F song song với OE cắt SO H Mặt phẳng ( ) qua H cắt cạnh AB, AC, AD M, N, P.Tìm giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện AMNP T53 Cho đường cao SH tứ diện S ABC, dựng mặt phẳng (P) cắt mặt (SBC), (SAB), (SAC) theo đường thẳng tạo với mặt phẳng (ABC) góc , , Tính P= tan tan tan T36 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a, BC= a , góc đường thẳng CB1 BD1 45 Tính cạnh AA1 theo a T36 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AB, CD M di động AC MA NB Mặt phẳng (IMJ) cắt BD N Chứng minh: SMIJ SNIJ MC ND T39 Cho hình lập phương Mặt phẳng tiếp xúc hình cầu nội tiếp hình lập phương cắt hình lập phương theo thiết diện tam giác Chứng minh thiết diện có diện tích nhỏ nửa diện tích mặt hình lập phương T41 Cho tứ diện P.ABC, PA, PB, PC vuông góc với đôi Gọi: S = SABC, S1 = SPAB, S2 = SPBC, S3 = SPAC Chứng minh : S32 S12 S22 S2 S12 S2 S22 S2 S32 Năm 2011 T31 Cho tứ diện S.ABC có tam giác ABC vuông B, AB=BC=a , tam giác SAC đều, mặt phẳng (SAC) (ABC) Gọi M trung điểm cạnh BC, ( ) mặt phẳng qua M vuông góc với SA Hãy dựng tính diện tích thiết diện mặt phẳng ( ) cắt tứ diện S.ABC T33 Cho tứ diện ABCD có cạnh Mặt phẳng (P) thay đổi qua D, vuông góc với mặt phẳng (ABC), cắt cạnh AB, AC M, N Tìm vị trí M, N để diện tích toàn phần khối tứ diện DAMN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Tìm giá trị T33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng (P) thay đổi cắt cạnh SA, SB, SC, SD A,B,C,D thỏa mãn hệ thức: SA SB SC SD SA SB SC SD a) Chứng minh mặt phẳng (P) qua điểm cố định b) Tính giá trị lớn nhỏ thể tích khối chóp S ABCD theo V thể tích khối chóp S.ABCD T34 Cho tứ diện ABCD với tam diện vuông đỉnh A M điểm tùy ý Chứng minh 3MA MB MC MD AB AC AD www.k2pi.net TÀI LIỆU TOÁN THPT T40 Cho tứ diện ABCD ( ) mặt phẳng thay đổi cắt cạnh AB, 1 1 AC, AD M, N, K cho không đổi Chứng AM AN AM AK minh ( ) chứa đường thẳng cố định T41 Cho hình chóp P.ABCD cho ABCD hình vuông có cạnh đường cao hạ từ P qua tâm hình vuông ABCD Gọi K, O tâm hai hình cầu tương ứng tiếp xúc với cạnh mặt hình chóp P.ABCD Hãy tính thể tích hình chóp P.ABCD biết Kvà O cách đáy hình chóp T41 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB=AC=A A Gọi M điểm cạnh AB, xác định vị trí M cho góc A B mặt phẳng ( A MC) 60 T42 Cho tứ diện ABCD, M điểm nằm tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song với AD, BD, CD tương ứng cắt mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABCD) A,B,C Tìm vị trí điểm M để MA.MB.MC đạt giá trị lớn T43 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Giả sử: AB+BC=AD+CD; BC+CA=BD+AD; CA+AB=CD+BD Chứng minh rằng: MON NOP POM O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD T44 Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi G trọng tâm tứ diện, N điểm đường thẳng BD cho DF=BD, M điểm thuộc BC cho CE=CB Xác định tính diện tích thiết diện cắt tứ diện mặt phẳng (GMN) T48 Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c Gọi S diện tích 1 toàn phần tứ diện Chứng minh rằng: 2 2 2 a b bc ca S T49 Cho tứ diện ABCD có điểm O cố định nằm tứ diện cho BOC DOA, COA BOD, AOB DOC Gọi M điểm không gian Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S= MA+MB+MC+MD T50 Cho hình lập phương ABCD ABCD có cạnh a Trên cạnh BC D D lây điểm M, N cho BM = ND = x (0 x a ) Chứng minh MN AC tìm x để MN có độ dài nhỏ T52 Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đôi vuông góc Lấy A,B,C tương ứng SA, SB, SC cho SA.SA SB.SB SC.SC Vẽ SH vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) H, SH cắt mặt phẳng (ABC) G Đặt SA=a, SB=b, SC=c với a b c a) Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC b) Chứng minh a (3 3)r với r bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp T51 Cho mặt cầu tâm O, bán kính R Xét ABCD tứ diện nội tiếp tmặt cầu Xác định giá trị lớn biểu thức: S= BC2 BD2 CD2 AB2 AC2 AD2 T53 Cho hình chóp tam giác có cạnh bên đôi vuông góc với Gọi , , góc xuất phát từ đỉnh cạnh bên với đường cao hình chóp www.k2pi.net TÀI LIỆU TOÁN THPT Chứng minh rằng: cos cos cos cos(+ )cos(- ) cos( +)cos( -) cos( +)cos(-) T54 Cho hình lập phương ABCD ABCD có cạnh a Trên cạnh A A kéo dài phía A lấy điểm M cạnh BC kéo dài phía C lấy điểm N cho MN cắt cạnh CD Tìm giá trị nhỏ độ dài cạnh MN 2