THPT Lª Hång Phong-Thanh ho¸ MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN Dạng 1: Cho khối đa diện (T),M điểm chuyển động cạnh AB khối đa diện (P) mặt phẳng thay đổi qua M Xác định vị trí M để thiết diện tạo (P) khối đa diện có diện tích nhỏ lớn Phương pháp chung - Dựng thiết diện(phương pháp giao tuyến gốc) -Xác định hình dạng thiết diện(dựa vào tính chất mặt phẳng (P) hình dạng khối T) -Tìm cực trị MA x 0;1 Chọn đối số: x MB Lập hàm số: Lập công thức tính diện tích theo x kích thước cho trước S= S(x) Khảo sát chiều biến thiên 1) cho tứ diện ABCD, M điểm thuộc AB (P) mặt phẳng qua M // AC BD Xác định vị trí M để thiết diện tạo mp(P) tứ diện có diện tích lớn 2) Cắt hình lập phương mặt phẳng (P) qua đường chéo hình lập pjương Phải chọn mp(P) để thiết diện thu có diện tích nhỏ Dạng 2: Cho khối đa diện (T)có số điểm thay đổi số điểm cố định Xác định vị trí hình học đỉnh thay đổi để khối (T) tích nhỏ lớn Phương pháp chung TH1:- Nếu khối đa diện có kích thước x thay đổi biến số kích thước thay đổi -Lập công thức tính thể tích V=V(x)(xem x biết- Tìm tập xác định V(x) x D ) -Khảo sát chiều biến thiên TH2: Nếu thay đổi đối số hai kích thướcthì việc giải toán theo trình tự -Chọn biến x, y độ dài cạnh thay đổi -Tìm mối liên hệ biến x, y Có thể sử dụng hệ thức lượng tam giác, dùng tam giác đồng dạng dùng phương pháp so sánh (So sánh đại lượng q thông qua x,y cách để đưa hệ thức f(x,y)=0) - Lập công thức tính thể tích V=V(x,y) -Tìm cực trị 1) Cho hình chóp S.ABCD dấy ABCD hình vuông cạnh a,SA vuông góc với đáy SA= a , M N hai điểm chuyển động BC CD cho góc MAN=450 Xác định vị trí M,N để chóp S.ABCD tích lớn bé 2) (Đề 16) Cho tam giác nhọn ABC, đường thẳng (d) qua A vương góc với mp(ABC) Trên (d) lấy điểm S với SA=x, Gọi I trực tâm tam giác SBC, K trực tâm tam giác ABC, đường thẳng IK cắt (d) Q a) Chứng minh AK cắt SI điểm P, IK ( SBC ) vµ PQ SK b) Giả sử tam giác ABC cạnh a Tính V hình chóp S.QBC theo a x Xá định x để V nhỏ 3)(Đề 18) Trong mp(P) cho tam giác ABC có A=900, C=600; BC=2a Dựng đường thẳng Bx,Cy vuông gốc với (P) a) Xác địng điểm M Bx cho mặt cầu đường kính BM tiếp xúc với Cy b) L điểm di động Bx Hỏi L vị trí để Cy tìm điểm N cho tam giác BLN có góc vuông N ? c) vị trí L nói câu b) Hãy xác định điểm L cho hình chóp A.BLNC tích nhỏ 4) (Đề 36) CHo hai điểm A, B đối xứng qua mp(P) , I giao điểm AB mp(P), O điểm nằm (P) có hình chiếu vuông góc xuống mp(P) H M điểm chạy đường tròn đường kính HI vẽ (P) a) Chứng minh IM đường vuông góc chung AB OM THPT Lª Hång Phong-Thanh ho¸ b) Cho AB= 2a; HM=x; MI=y Tính thể tích khối tứ diện OMAB Xác định vị trí M để thể tích lớn c) Chứng minh hai điểm A,B cách đường thẳng OM 5) (Đề 147) Trong mp(P) cho tam giác OAB với OA=OB; AB=2a đường cao OH=h Trên đường thẳng (d) vuông góc với (P) O lấy điểm M với OM=x Gọi E, F hình chiếu vuông góc A lên MB OB; N giao điểm đường thẳng EF (d) a) Chứng minh: MB NA vµ MA MB b) Tính BF, BE thể tích tứ diện ABEF theo a, h x c) Tìm vị trí M thuộc (d) cho tứ diện MNAB tích nhỏ Dạng 3: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo a b ( a b ), AB đoạn vuông góc chung, M N hai điểm chuyển động a b cho M N thoả mãn điều kiện cho trước Gọi f đại lượng hình học liên quan đến tứ diện ABMN Xác định vị trí M N cho f đạt GTLN-GTNN Phương pháp chung -CM tứ diện ABMN có mặt tam giác vuông x AM -Chọn biến Từ mối liên hệ hình họcgiữa M,Ntìm mối liên hệ x, y g(x,y)=0 y BN -Tính f qua x, y -Tìm cực trị 1) Cho hai đường thẳng chéo a b a b , AB đoạn vuông góc chung, M N hai điểm chuyển động a b cho M N cho AM+BN=2k(k độ dài cho trước) a) Xác định vị trí M N cho bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN đạt GTNN b) CMR: Khi bán kính mặt cầu ngoai tiếp tứ diện nhỏ nhấtthì tứ diện ABMN tích lớn 2) Cho hai đường thẳng chéo a b a b , AB đoạn vuông góc chung cho AB=2k(k độ dài cho trước), M N hai điểm chuyển động a b cho cho AM+BN=MN a) Xác định vị trí M, N diện tích toàn phần tứ diện ABMN đạt GTNN b) Xác định vị trí M, N MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB r Dạng 4: Cho hình chóp S.A1A2 .An Xác định hình dạng hình chóp để tỷ số đạt max R Phương pháp chung -Gọi O1, O2 tâm mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp - Chon biến : a cạnh dáy, góc tạo mặt bên đáy r -Lập hàm tính r, R dẫn đến f ( ) R -Tìm cực trị ,đặt x tan x 0;1 r đạt max R r 2) Cho hình chóp S.ABCD Xác định hình dạng hình chóp để tỷ số đạt max R 3) (Đề 14) S.ABC hình chóp tam giác cạnh đáy a, đường cao SH= h a) Tính theo a h bán kính r, R hình cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp r b) Giả sử a cố định h thay đổi, Xác định h để tỉ số lớn R 1) Cho hình chóp S.ABC Xác định hình dạng hình chóp để tỷ số THPT Lª Hång Phong-Thanh ho¸ Dạng 5: Trong không gian cho khối đa diện (T) hai điểm M N chuyển động thoả mãn điều kiện ràng buộc cho trước Xác định vị trí M, N cho MN đạt max 1) Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh =a, M N hai điểm chuyển động hai đường chéo AD' BD cho AM=BN Xác định vị trí M, N cho MN min, max 2) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a M trung điểm BC, N trung điểm SD, SA vuông góc vớiđáy SA= 2a P Q hai điểm chuyển động đoạn thẳng AM CN AP CQ cho Xác định vị trí P, Q cho PQ min, max AM CN 3) (Đề 140) Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh 2a Trong mặt phẳng qua AB vuông góc với (P) dựng tam giác ABE Lấy điểm M thay đổi đoạn AB Đặt BM=x Từ E kẻ đường vuông góc với MC(N thuộc MC) Gọi F O theo thứ tự trung điểm AB CE a) Tìm quỹ tích điểm N M chuyển động đoạn AB b) Tính MO theo a x c) Xác định giá trị lớn nhỏ MO