Phân tích kỹ thuật giải đề toán thpt quốc gia 2015

LUYỆN ĐỀ THI THPT QUỐC GIA ĐỀ LUYỆN THI SỐ 01 NĂM 2015 MÔN : TOÁN GV biên soạn: Nguyễn Hữu Biển (Lưu hành nội bộ) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số y = − x + 3x − (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b) Tìm m để đường thẳng d có phương trình y = mx + 2m + 16 cắt (C) điểm phân biệt A, B, C cố định tổng hệ số góc tiếp tuyến với (C) B C ( −15) Câu 2: (1,0 điểm) a) Cho biết tan x − tan x.sin x = Tính giá trị biểu thức A = + sin 2x − cos2 2x b) Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) z − − 4i = Tính mô đun số phức liên hợp số phức z Câu 3: (0,5 điểm) Giải phương trình: log ( x + ) + log ( x − 5) + log = Câu 4: (0,5 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (1;7;5 ) đường thẳng d: x −1 y − z = = Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc I lên đường thẳng d −1 viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I, cắt đường thẳng d hai điểm phân biệt M, N cho tam giác IMN có diện tích 6012 ln Câu 5: (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫e x (x + ) e x − dx Câu 6: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, SA = 2a M trung điểm BC Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách đường thẳng AM SB Câu 7: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm I, bán kính 2, điểm M thuộc đường thẳng d : x + y = Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B tiếp điểm) Viết phương trình đường tròn (C) biết AB : 3x + y − = khoảng cách từ I đến d 2 Câu 8: (1,0 điểm) Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, viên bi vàng viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi lấy đủ màu  x + y + = y − 3x + Câu 9: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  2  y − + 2y + = x + x + xy + 3y Câu 10: (1,0 điểm) Cho x , y , z ba số thực thỏa mãn : 2x + 3y + z = 40 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x + + y + 16 + z + 36 HẾT http://boxtailieu.net KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐỀ LUYỆN THI SỐ NĂM 2015 MÔN : TOÁN GV biên soạn: Nguyễn Hữu Biển (Lưu hành nội bộ) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1a: Cho hàm số y = − x + 3x − (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Phân tích hướng dẫn Câu khảo sát hàm số câu mặc định đề thi THPT Quốc gia môn Toán Cấu trúc cách trình bày theo mẫu chuẩn đáp án BGD hàm bậc gồm bước sau: (1) TXĐ: D = R (2) Sự biến thiên * Chiều biến thiên: ta có y ' = −3x + 6x x = x = + y ' = ⇔ −3x + 6x = ⇔  + y ' > 0, ∀x ∈ ( 0; ) ⇒ hàm số đồng biến khoảng ( 0; ) + y ' < 0, ∀x ∈ ( −∞; ) ( 2; +∞ ) ⇒ hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; ) ; ( 2; +∞ ) * Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu điểm ( 0; −4 ) Hàm số đạt cực đại điểm ( 2; ) * Giới hạn: lim y = −∞; lim y = +∞ x →+∞ x →−∞ * Bảng biến thiên: x y’ y −∞ +∞ ց −4 + ր 0 +∞ - ց −∞ (3) Đồ thị - Giao đồ thị với trục Oy: x = ⇒ y = −4 ⇒ đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm ( 0; −4 )  x = −1 ⇒ đồ thị hàm số x = - Giao đồ thị với trục Ox: cho y = ⇒ − x + 3x − = ⇔  cắt trục hoành điểm có tọa độ ( −1; ) ( 2; ) Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 Câu 1b:Cho hàm số y = − x + 3x − (1) Tìm m để đường thẳng d có phương trình y = mx + 2m + 16 cắt (C) điểm phân biệt A, B, C cố định tổng hệ số góc tiếp tuyến với (C) B C ( −15) Phân tích hướng dẫn * Ta có phương trình hoành độ giao điểm (d) (C) là: − x + 3x − = mx + 2m + 16 ⇔ x − 3x + + mx + 2m + 16 = (*) Chú ý: trương chương trình toán phổ thông, em gặp phương trình bậc có chứa tham số thường đề cho phương trình nhẩm nghiệm Các nghiệm nhẩm phương trình thường giá trị ±1; ±2; ±3; ±4 ± m; ±2m; , gặp trường hợp nghiệm ± Trong trường hợp này, phương trình (*) ta nhẩm thấy nghiệm x = −2 , thực phép chia đa thức ( x − 3x + + mx + 2m + 16 ) : ( x + ) ta có phương trình (*) tương đương với: ( x + ) ( x − 5x + m + 10 ) = (**) * Để (d) cắt đồ thị hàm số (C) điểm phân biệt phương trình (**) phải có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình x − 5x + m + 10 = (***) phải có nghiệm phân biệt khác ( −2 ) 15  ∆ = −4m − 15 > m < − ⇔ ⇔ (1) ( −2 ) − ( −2 ) + m + 10 ≠ m ≠ −24 Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 * Theo giả thiết, điểm A cố định nên ⇒ A ( −2;16 ) Gọi hoành độ B C  x1 + x =  x1x = m + 10 x1 ; x ⇒ x1 ; x nghiệm phương trình (***)  ⇒ hệ số góc tiếp tuyến B y ' ( x1 ) = −3x12 + 6x1 C y ' ( x ) = −3x 2 + 6x * Theo đề bài, để y ' ( x1 ) + y ' ( x ) = −15 thì: −3x12 + 6x1 − 3x 2 + 6x = −15 ⇔ −3 x12 + x 2 + ( x1 + x ) = −15 ( ) ⇔ −3 ( x1 + x ) − 2x1x  + ( x1 + x ) = −15   ⇒ −3 52 − ( m + 10 )  + 6.5 = −15 ⇔ m = −5 Vậy m = −5 (thỏa mãn điều kiện (1)) giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu toán b  x1 + x = −   a Chú ý: Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = có nghiệm x1 ; x  x x = c  a (định lý Vi - et học lớp 9) Câu 2a: Cho biết tan x − tan x.sin x = Tính giá trị biểu thức A = + sin 2x − cos 2x Phân tích hướng dẫn + Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ, k ∈ Z + Theo giả thiết ta có : tan x − tan x.sin x = ⇔ tan x − sin x = ⇔ tan x.cos2 x = ⇔ sin 2x = ⇔ sin 2x = ( ) + Vậy A = + sin 2x − cos2 2x = + sin 2x − (1 − sin 2x ) = sin 2x + sin 2x + = Câu 2b: Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) z − − 4i = Tính mô đun số phức liên hợp số phức z Phân tích hướng dẫn + Theo đề ta có : + 4i ( + 4i )(1 − i ) + 2i − 4i + 2i = = = = + 2i (1 + i ) z − − 4i = ⇔ z = 1+ i − i2 (1 + i )(1 − i ) Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 ⇒ z = − 2i ⇒ z = 32 + ( −2 ) = 13 Câu 3: Giải phương trình: log ( x + ) + log ( x − 5) + log = Phân tích hướng dẫn + Điều kiện: x > + Ta có log ( x + ) + log ( x − 5) + log = ⇔ log ( x + ) + log ( x − 5) = log x = ⇔ ( x + )( x − ) = ⇔   x = −3 < + So với điều kiện, phương trình có nghiệm x = Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (1;7;5 ) đường thẳng d: x −1 y − z = = Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc I lên đường thẳng d −1 viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I, cắt đường thẳng d hai điểm phân biệt M, N cho tam giác IMN có diện tích 6012 Phân tích hướng dẫn I d M N H + Do H ∈ d ⇒ H (1 + 2t;6 − t;3t ) , t ∈ ℝ ⇒ IH = ( 2t; − t − 1;3t − 5) + Đường thẳng d có vectơ phương u = ( 2; −1;3) + Do H hình chiếu vuông góc I lên đường thẳng d ⇒ u.IH = ⇔ 4t + t + + 9t − 15 = ⇔ t = ⇒ H ( 3;5;3) ⇒ IH = ( 2; −2; −2 ) ⇒ IH = + Mặt khác tam giác IMN cân I nên ta có SIMN = IH.HM = 6012 ⇒ HM = 2004 (2 3) + ( ⇒ mặt cầu (S) có bán kính R = IM = IH + HM = 2 2004 ) = 2016 + Vậy phương trình mặt cầu (S) là: ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2016 ln Câu 5: Tính tích phân I = ∫e x (x + ) e x − dx Phân tích hướng dẫn Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 * Trước hết, ta phân tích I thành tổng tích phân: ln + Ta có I = ∫e x (x + e − dx = ln + Đặt I1 = ∫ xe dx , I ln ) x ln ∫ xe dx + ∫ e x x e x − 1dx ln x = ∫e x e x − 1dx * Với tích phân I1 có dạng tích đa thức hàm mũ nên sử dụng phương pháp tính tích phân phần: u = x du = dx + Đặt  ⇒ ⇒ I1 = xe x  x x dv = e dx  v = e ln ln − ∫ e dx = xe x x ln − ex ln = ln − * Với tích phân I ta thấy biến đổi để đưa vào dấu vi phân: ln + I2 = ∫e ln x x e − 1dx = ∫ e − 1d e − = x Vậy I = I1 + I2 = ln − ( x ) (e x ) −1 ln = 3 Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, SA = 2a M trung điểm BC Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách đường thẳng AM SB Phân tích hướng dẫn * Ý 1: tính thể tích khối chóp S.ABC + Do S.ABC chóp nên ta gọi G trọng tâm ∆ABC ⇒ SG ⊥ ( ABC ) ⇒ SG đường cao khối chóp S.ABC ⇒ thể tích khối chóp S.ABC V = S∆ABC SG + Do ∆ABC cạnh a ⇒ S∆ABC = a2 + Ta có ∆SGA vuông G 2 2  ⇒ SG = SA − AG = SA −  AM  = 3  2 ( 2a ) 2 a 3 a 33 −   = 3  a 11 (đơn vị thể tích) Vậy V = 12 + Ý 2: Tính khoảng cách đường thẳng AM SB * Chú ý: Để tính khoảng cách đường thẳng chéo ∆1 ∆ , trước hết ta phải tìm mặt phẳng (P) chứa đường thẳng, không tính tổng quát ta giả sử (P) Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 chứa ∆ Khi đó, toán tính khoảng cách đường thẳng chéo ∆1 ∆ ta đưa trường hợp sau đây: TH1: ∆1 ⊥ (P) M, ta dựng MN ⊥ ∆ N ⇒ MN đoạn vuông góc chung ∆1 ∆ ⇒ d ( ∆1 ; ∆ ) = MN (TH thường (P) cho sẵn) ∆1 ∆2 M P N TH2: ∆1 / /(P) , khoảng cách đường thẳng ∆1 ∆ khoảng cách từ điểm M ∆1 đến mặt phẳng (P) ⇒ d ( ∆1 ; ∆ ) = d ( M; ( P ) ) = MH (TH thường (P) chưa cho sẵn) M H ∆1 ∆2 P * Vận dụng vào ý xét ta thấy toán áp dụng giải theo TH2 (do hình sẵn mặt phẳng (P) chứa đường vuông góc với đường lại) * Để vận dụng TH2 ta tạo mặt phẳng (P) chứa đường thẳng SB song song với AM sau: Qua B kẻ đường thẳng d // AM, gọi (P) mặt phẳng chứa đường thẳng d SB ⇒ (P) / /AM Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 S A C d G M B * Lúc việc tính khoảng cách ∆1 ∆ đưa toán tính khoảng cách từ điểm AM đến mặt phẳng (P) Vấn đề đặt lúc ta chọn điểm “bất kỳ” AM ? - để trả lời vấn đề này, em theo dõi tiếp phương pháp xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng sau đây: * Chú ý: Ngoài phương pháp tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) thông qua thể tích phương pháp phổ biến để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) ta thường thông qua khoảng cách từ chân đường vuông góc đến mặt phẳng cần tính theo mẫu sau đây: S H ∆ A P M + Xây dựng mặt phẳng chứa A vuông góc (P) cách: từ A kẻ AM ⊥ ∆ M ⇒ ( SAM ) ⊥ (P) theo giao tuyến SM + Kẻ AH ⊥ SM H ⇒ AH ⊥ ( P ) ⇒ d ( A; ( P ) ) = AH * Qua việc nhắc lại phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, trở lại toán xét ta thấy G chân đường vuông góc ⇒ d ( AM, ( P ) ) = d ( G, ( P ) ) Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 S H A C d G M I B + Kẻ GI ⊥ d I ⇒ (SGI ) ⊥ ( P ) theo giao tuyến SI (tự chứng minh) + Kẻ GH ⊥ SI H ⇒ GH ⊥ ( P ) ⇒ d ( G, ( P ) ) = GH + ∆SGI vuông G, đường cao GH ⇒ 1 1 47 a 11 a 11 ⇒ GH = Vậy d ( AM,SB ) = = 2+ = + = 2 2 GH GI GS 11a 47 47  a   a 33      2   (chú ý: ý câu giải phương pháp cài tọa độ với gốc tọa độ đặt M) Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm I, bán kính 2, điểm M thuộc đường thẳng d : x + y = Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B tiếp điểm) Viết phương trình đường tròn (C) biết AB : 3x + y − = khoảng cách từ I đến d 2 Phân tích hướng dẫn + Gọi K = d ∩ AB, E = MI ∩ AB + Gọi I(a; b) , ta có: d(I;d) = AH = 2 ⇒ a + b = (1) ( ) + Ta có cos MIH = IH 2 = (*), mà MIH = K (cùng phụ với KMI ), mặt khác K MI MI góc tạo đường thẳng d AB Vậy thay vào (*) ta có: ⇒ (1;1) ( 3;1) (1;1) ( 3;1) = 2 ⇒ MI = 10 MI 4 ⇒ d(I; AB) = ⇒ 3a + b − = (2) 10 10 Cuối ta giải hệ (1) (2) để tìm a, b ⇒ phương trình đường tròn (C) + Lại có: IB2 = IE.IM ⇒ IE = Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 (Các em tự giải hệ nhé) K AB:3x+y-2=0 H B d:x+y=0 E I M A 2 2 2 2 Đáp số: ( x − 1) + ( y − 3) = 4; ( x − 1) + ( y + ) = 4; ( x − 3) + ( y + ) = 4; ( x − 5) + ( y − ) = Câu 8: Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, viên bi vàng viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi lấy đủ màu Phân tích hướng dẫn * Tổng số viên bi hộp 24 Gọi Ω không gian mẫu * Lấy ngẫu nhiên viên hộp ta có C244 cách lấy hay n( Ω ) = C244 Gọi A biến cố lấy viên bi có đủ màu Ta có trường hợp sau: +) bi đỏ, bi vàng bi xanh: có C102 C81C61 = 2160 cách +) bi đỏ, bi vàng bi xanh: có C101 C82C61 = 1680 cách +) bi đỏ, bi vàng bi xanh: có C101 C81C62 = 1200 cách Do đó, n(A) = 5040 Vậy, xác suất biến cố A P ( A) = n( A) 5040 = ≈ 47, 4% n(Ω) 10626  x + y + = y − 3x + (1) Câu : Giải hệ phương trình  2  y − + 2y + = x + x + xy + 3y (2) Phân tích hướng dẫn  y ≥ 3x  + ĐK  y ≥ x ≥  Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 e + Xét x ln x = ⇔ x = Trên đoạn [1; e] , ln x ≥ ⇒ S = ∫ x ln xdx 1  du = dx  u = ln x  x + Đặt  , diện tích hình phẳng cần tính ⇒ dv = xdx v = x  e e e x2 1 e2 e2 e e + S = ln x − ∫ x dx = − ∫ xdx = − x = (đơn vị diện tích) 2 x 2 4 1 Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; −1;0 ) đường thẳng x +1 y −1 z = = Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa A d Tìm tọa độ điểm B −3 thuộc trục Ox cho khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P) Phân tích hướng dẫn d: + Đường thẳng d qua M ( −1;1;0 ) có vtcp u = (2;1; −3) Ta có MA = (2; −2;0) + Mặt phẳng (P) qua A (1; −1;0 ) có vtpt n =  MA, u  = ( 6;6;6 ) Chọn n = (1;1;1) + Phương trình tổng quát (P) là: 1(x − 1) + 1(y + 1) + 1(z − 0) = ⇔ x + y + z = |b| = ⇔| b |= ⇔ b = ±3 ⇒ B(±3;0;0) + Gọi B(b;0;0) ∈ Ox; d(B, (P)) = ⇔ Vậy (P) : x + y + z = ; B(±3;0;0) Câu 6: Một phòng thi THPT quốc gia có 50 thí sinh đăng ký dự thi, có 31 em nam 19 em nữ Trong phòng thi có 50 bàn ghế đánh số theo thứ tự từ đến 50 Giám thị ghi số báo danh thí sinh vào bàn cách ngẫu nhiên gọi thí sinh vào phòng thi, tính xác suất để thí sinh dự thi ngồi bàn số bàn số 50 thí sinh nam Phân tích hướng dẫn + Số cách đánh số báo danh n ( Ω ) = C50 cách + Gọi A biến cố “Thí sinh ngồi bàn số bàn số 50 thí sinh nam”, ta có: ⇒ số cách chọn nam vào bàn bàn 50 n ( A ) = C31 + Xác suất cần tìm p ( A ) = n (A) n (Ω) = C31 93 = C50 245 Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm I, AB = a, BC = a , ∆SAC vuông S Hình chiếu vuông góc S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H AI Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảnh cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAB) Phân tích hướng dẫn S E A D K H a I B C a * Theo đề ta có SH đường cao khối chóp S.ABCD nên ⇒ VS.ABCD = SH.SABCD + Ta có ABCD hình chữ nhật ⇒ SABCD = AB.BC = a.a = a + ∆SHI vuông H có SH = SI − IH = a − a2 a a3 = ⇒ VS.ABCD = (đvtt) 2 (chú ý: ta tính AC = 2a , ∆SAC vuông S, I trung điểm AC ⇒ IS = IA = IC = a ) * Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta đưa khoảng cách từ chân đường vuông góc đến mặt phẳng Trong trường hợp H chân đường vuông góc + Kẻ HK ⊥ AB K ⇒ (SHK ) ⊥ (SAB ) theo giao tuyến SK ⇒ kẻ HE ⊥ SK E ⇒ HE ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( H, ( SAB ) ) = HE + ∆SHK vuông H ⇒ 1 1 a a = + , mà HK = BC = ,SH = 2 HE SH HK 4 ⇒ d ( H, ( SAB ) ) = HE = a 20 Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 Câu 8: ∆ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD, M(3; −1) trung điểm cạnh BC Đường cao kẻ từ B ∆ABC qua điểm E(−1; −3) , điểm F(1;3) nằm đường thẳng AC Tìm tọa độ đỉnh A viết phương trình cạnh BC biết D(4; −2) Phân tích hướng dẫn A? E(-1;-3) F(1;3) H C B M(3;-1) D(4;-2) + Trước hết, gặp loại tập mà tam giác nội tiếp đường tròn, kiện cho đường cao tam giác ta thường nghĩ đến việc tạo hình bình hành cách: - Nếu tam giác có đường cao ta việc kẻ đường kính qua đỉnh lại (không chứa đường cao kia) - Nếu tam giác có đường kính qua đỉnh đường cao ta kẻ đường cao thứ (bài toán ta làm vậy) + Với toán ta tạo điểm H trực tâm ∆ABC ⇒ ta chứng minh BHCD hình bình hành (xem chứng minh phần đóng khung bên dưới) + Ta có ABD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) ⇒ BA ⊥ BD , mà BA ⊥ CH ⇒ BD / /CH (1) Chứng minh tương tự ta có CD / /BH (2) + Từ (1) (2) ⇒ tứ giác BHCA’ hình bình hành + Công việc chuẩn bị xong, ta làm theo bước suy luận sau nhé: - Thấy H trung điểm AC ⇒ H(2; 0) - Lập phương trình BH (qua điểm H E) ⇒ BH : x − y − = - Lập phương trình DC (qua D // BH) ⇒ DC : x − y − = - Lập phương trình AC (qua F ⊥ BH ) ⇒ AC : x + y − = - Tọa độ C = AC ∩ DC , giải hệ ⇒ C(5; −1) - Lập phương trình BC qua điểm M C ⇒ BC : y + = - Lập phương trình AH (qua H ⊥ BC ) ⇒ AH : x − = - Tọa độ A = AH ∩ AC , giải hệ ⇒ A(2; 2) Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 Câu 9: Giải phương trình x + x − 19x − 16 = 3x x + Phân tích hướng dẫn + ĐK: x ≥ −1 + Nhận thấy biểu thức VP là: x + = ( x + 1) ( x − x + 1) nên sở ta phân tích VT phương trình, thật vậy: ( ) ( − 19x − 16 = ( x + 1) ( x ) − x + 1) + ( x x + x − 19x − 16 = x + + x − x + − 18 ( x + 1) ⇔ x3 + x2 2 ) − x + − 18 ( x + 1) + Phương trình cho trở thành: ( x + 1) ( x − x + 1) + ( x − x + 1) − 18 ( x + 1) = ( x + 1) − 1 ( x + 1) ( x − x + 1) (1) a = x + ≥ + Đặt ẩn phụ  b = x − x + ≥ thay vào (1) ta được: a b + b − 18a = ( a − 1) ab (2) + Phương trình (2) muốn giải cách phân tích đa thức thành nhân tử, công việc phân tích dễ dàng, dùng mẹo sau để phân tích: - Trước hết ta biến đổi để đưa (2) phương trình bậc biến b: ( ) ( ) ( ) a b + b − 18a = a − ab ⇔ a + b − 3a − 3a b − 18a = (3) - Phương trình (3) tính ∆ = ( 3a − 3a ) + ( a + 1)(18a ) = = 9a ( a + 3)  3a − 3a + 3a a + b = = 3a  b − 3a = a2 +1 ⇒ phương trình (3) có nghiệm  ⇔  3a − 3a − 3a a + a b + b + 12a = −12a b = = a2 +1 a2 +1  + Vậy (2) : a b + b − 18a = a − ab ⇔ ( b − 3a ) a b + b + 12a = ( ) ( ) ( ) ( ) x = x = + Do a b + b + 12a = ⇔ a = b = (do a, b ≥ ) ⇒ x + = x − x + ⇔  + Thử lại vào PT cho thấy x = 0; x = không nghiệm (loại) + Vậy khả b = 3a ⇒ x − x + = x + ⇔ x = ± 33 Câu 10: Cho a, b số thực không âm thỏa mãn a + b + ab = Tìm giá trị lớn biểu thức P = 3a 3b ab + + − a − b2 b +1 a +1 a + b Phân tích hướng dẫn + Ta thấy a b đối xứng có vai trò nên phương pháp giải thường đặt x = a + b, y = ab ⇒ x + y = ⇔ y = − x + Biến đổi P để xuất a + b ab ta : P= 3a + 3b + ( a + b ) ( a + 1)( b + 1) ⇒P= ( a + b ) − 2ab  + ( a + b ) ab ab    2 + − a +b = + − ( a + b ) − 2ab    a+b ab + a + b + a+b ( ) 3x − 6y + 3x y 1 + − x + 2y = = − x + x + + (do y = − x ) x+y x 4 x Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 ⇒ P' = −2x + x − 12 4x + Bây ta cần tìm điều kiện cho x lập bảng xét dấu P’ x ≥  x ≤ −6 (lo¹i ) - Do x = a + b, y = ab ⇒ x ≥ 4y ⇔ x ≥ ( − x ) ⇔  −2x + x − 12 , x ≥ ⇒ dấu P’ phụ thuộc vào dấu −2x + x − 12 4x x = 2 - Xét f ( x ) = −2x + x − 12 ⇒ f ' ( x ) = −6x + 2x = ⇔  x =  - Vậy P ' = - Ta có bảng xét dấu sau: x −∞ f '(x) - + - +∞ | f (x) | −24 ց - Từ bảng xét dấu ⇒ P ' < 0, ∀x ≥ ⇒ ta có bảng xét dấu cho P sau: x −∞ - P' P + Vậy max P = +∞ ց a + b = ⇔ ⇔ a = b =1 ab = KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 Phụ trách: thầy NGUYỄN HỮU BIỂN Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang LUYỆN ĐỀ THI THPT QUỐC GIA ĐỀ LUYỆN THI SỐ 03 NĂM 2015 MÔN : TOÁN GV biên soạn: Nguyễn Hữu Biển (Lưu hành nội bộ) Câu 1: (1,0 điểm) Cho hàm số y = Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) 3x + (1) x+2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b) Tìm tọa độ điểm A, B nằm nhánh (C) cho khoảng cách từ A B đến tiệm cận đứng độ dài đoạn AB 32 Câu 2: (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn ( z − 1)( − i ) = + i Tính mô đun z + 2i z9 b) Giải phương trình sin 3x − 3cos3x + = cos x Câu 3: (1,0 điểm) Giải phương trình sau: a) 32 x +1 − 4.3x + = b) x + x + + x = x(1 − x ) Câu 4: (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ 3x (3 x −7 ) 4.3x − dx Câu 5: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 2; −1;0 ) đường thẳng d : x −1 y +1 z − = = Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa A d cho −1 AM = Câu 6: (1,0 điểm) Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, viên bi vàng viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi lấy đủ màu Câu 7: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân A, AB = a , mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy Hai mặt bên (SAB) (SAC) tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Câu 8: (1,0 điểm) Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn, D(1;-1) chân đường phân giác A , AB có phương trình 3x + 2y − = , tiếp tuyến A có phương trình ∆ : x + 2y − = Hãy viết phương trình BC  x + y + = y − 3x + (1) Câu 9: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  2  y − + 2y + = x + x + xy + 3y (2) Câu 10: (1,0 điểm) Cho số thực x, y thỏa mãn x − + y + + = x + y Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = ( 32 + xy x + y x y ( x − y) + ( y − x ) + 2 x+y HẾT http://boxtailieu.net ) KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐỀ LUYỆN THI SỐ NĂM 2015 MÔN : TOÁN GV biên soạn: Nguyễn Hữu Biển (Lưu hành nội bộ) Câu 1: Cho hàm số y = Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) 3x + (1) x+2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) (các em tự làm) b) Tìm tọa độ điểm A, B nằm nhánh (C) cho khoảng cách từ A B đến tiệm cận đứng độ dài đoạn AB 32 Phân tích hướng dẫn + Ta có y = − 4  , A, B nằm nhánh (C) ⇒ A  −2 − a;3 +  , a > , x+2 a  4  B  −2 + b;3 −  , b > b  + Theo đề ta có khoảng cách từ A B đến tiệm cận đứng ⇒ a = b ⇔ a = b (1) + Mặt khác độ dài đoạn AB 4 4 32 ⇒ AB = 32 ⇔ ( a + b ) +  +  = 32 (2) a b 2 + Từ (1) (2) ⇒ a − 8a + 16 = ⇔ ( a − ) = ⇔ a = ⇒ A ( −4;5 ) , B ( 0;1) Câu 2a: Cho số phức z thỏa mãn ( z − 1)( − i ) = + i Tính mô đun z + 2i Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net z9 trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 Phân tích hướng dẫn a ≠ b ≠ + Điều kiện: z + 2i = a + ( − b ) i ≠ ⇔  + Giả sử z = a + bi;a, b ∈ R thay vào ( z − 1)( − i ) = + i biến đổi ta có: z + 2i a + b − = a = a + b − + ( 7b − 3a − ) i = ⇔  ⇔ ⇒ z = 1+ i 7b − 3a − = b = ⇒ z9 = (1 + i ) = (1 + i )  (1 + i ) = ( 2i ) (1 + i ) = 16 + 16i ⇒ z9 = 162 + 162 = 16   Câu 2b: Giải phương trình sin 3x − 3cos3x + = cos x Phân tích hướng dẫn ⇔ sin 3x − 3cos3x = 2 cos x − = cos 2x ( ) sin 3x − cos3x = cos2x 2 π π ⇔ cos sin 3x − sin cos3x = cos2x 3 π  π π   ⇔ sin  3x −  = cos2x ⇔ cos  −  3x −   = cos2x 3   2  ⇔ π k2π  5π  − 3x = 2x + k2 π x = + 6  ⇔ ⇔ 5 k2 π π π  − 3x = −2x + k2π x = +   Câu 3a: Giải phương trình 32 x +1 − 4.3x + = Phân tích hướng dẫn + Ta có x +1 − 4.3 + = ⇔ ( x x ) 3x = x = − 4.3 + = ⇔  x ⇔  3 =  x = −1  x + Vậy phương trình có nghiệm x = 0; x = −1 Câu 3b: Giải phương trình: x + x + + x = x(1 − x ) Phân tích hướng dẫn  x ≤ −1 + Điều kiện:   ≤ x ≤1 * TH1: Với x = nghiệm phương trình * TH2: Với x ≠ Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 + Với < x ≤ Khi PT ⇔ x + Đặt t = 1 + x2 + + x = x −x ⇔ x x 1 − x ⇒ t4 = + x2 − ⇒ x x + Với x ≤ −1 Ta có − −x x t ≥ t2 + +1 = t ⇔  ⇔ t = −1 (loại) t − t + 2t + =  1 + x2 + + = − − x Đặt t = x x ⇒ t + = t + ⇔ t = ⇒ x2 + x − = ⇔ x = * So sánh ĐK ta nghiệm x = + x2 + + = x2 1 − x ⇒ t4 = + x2 − x x −1 ± −1 − −1 − Vậy PT cho có nghiệm x = 2 Câu 4: Tính tích phân I = ∫ 3x (3 x −7 ) 4.3x − dx Phân tích hướng dẫn + Đặt t = 4.3x − ⇒ t = 4.3x − ⇒ 2tdt = 4.3x.ln 3dx ⇒ 3x = t dt ln + Đổi cận: x t  t  3   dt 2 1  ln    ⇒I=∫ = dt = dt = −   dt ∫ ∫ ∫ ln t − 25 ln ( t − )( t + ) 5ln  t − t +    t +3 −  t    3  ⇒I= ln t − − ln t +  = ln   5ln ln  Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 2; −1;0 ) đường thẳng x −1 y +1 z − = = Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa A d cho AM = −1 Phân tích hướng dẫn d: A(2;-1;0) P d I(1;-1;2) + Đường thẳng d qua I (1; −1; ) có vtcp u = (2;1; −1) Ta có MA = (2; −2;0) + Mặt phẳng (P) qua A ( 2; −1;0 ) có vtpt n =  IA, u  = ( 2; −3;1) + Phương trình tổng quát (P) là: 2(x − 2) − 3(y + 1) + 1(z − 0) = ⇔ 2x − 3y + z − = + Do M ∈ d ⇒ M (1 + 2t; −1 + t; − t ) Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 2 + AM = ⇔ ( 2t − 1) + t + ( − t )  t = ⇒ M ( 3;0;1)  = ⇔ 6t − 8t + = ⇔  5 5 t = ⇒ M ;− ;   3 3 Câu 6: Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, viên bi vàng viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi lấy đủ màu Hướng dẫn Tổng số viên bi hộp 24 Gọi Ω không gian mẫu Lấy ngẫu nhiên viên hộp ta có C244 cách lấy hay n( Ω ) = C244 Gọi A biến cố lấy viên bi có đủ màu Ta có trường hợp sau: +) bi đỏ, bi vàng bi xanh: có C102 C81C61 = 2160 cách +) bi đỏ, bi vàng bi xanh: có C101 C82C61 = 1680 cách +) bi đỏ, bi vàng bi xanh: có C101 C81C62 = 1200 cách Do đó, n(A) = 5040 Vậy, xác suất biến cố A P ( A) = n( A) 5040 = ≈ 47, 4% n(Ω) 10626 Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân A, AB = a , mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy Hai mặt bên (SAB) (SAC) tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Phân tích hướng dẫn S K B 60 H C 600 E I A + Do mặt phẳng (SBC ) ⊥ ( ABC ) theo giao tuyến BC ⇒ kẻ SH ⊥ BC H ⇒ SH ⊥ ( ABC ) Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 + Kẻ HE ⊥ AC E ⇒ SE ⊥ AC ⇒ SEH = 600 + Kẻ HI ⊥ AB I ⇒ AB ⊥ SI ⇒ SIH = 600 1 a2 SH ⇒ VS.ABC = SH.S∆ABC , mà S∆ABC = AC.AB = , tan 600 = ⇒ SH = 3.HE 2 HE + ∆SHI = ∆SHE(g.c.g) ⇒ HI = HE ⇒ AEHI hình vuông ⇒ HE = AE + Mặt khác ∆HEC vuông cân E ⇒ HE = EC ⇒ E trung điểm AC ⇒ HE = AB = Thay vào tính toán, ta có đáp số VS.ABC = a a3 (đvtt) 12 * Để tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) ta đưa khoảng cách từ chân đường vuông góc H đến mặt phẳng (SAB) theo mô hình sau: C d(H,(SAB)) HB = d(C,(SAB)) CB B H K (SAB) + Ta có AB ⊥ HI   ⇒ AB ⊥ ( SHI ) , mà AB ⊂ ( SAB ) ⇒ ( SAB ) ⊥ ( SHI ) theo giao tuyến SI AB ⊥ SH  + Kẻ HK ⊥ SI K ⇒ HK ⊥ ( SAB ) ⇒ HK = d ( H, (SAB ) ) + Ta có ∆SHI vuông H, đường cao HK ⇒ 1 a = 2+ ⇒ HK = 2 HK HI HS + Dễ chứng minh H trung điểm BC ⇒ HK HB a = = ⇒ d ( C, ( SAB ) ) = 2.HK = d ( C, ( SAB ) ) CB (chú ý: giải ý câu phương pháp cài tọa độ với gốc tọa độ A) Câu 8: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn, D(1;-1) chân đường phân giác A , AB có phương trình 3x + 2y − = , tiếp tuyến A có phương trình ∆ : x + 2y − = Hãy viết phương trình BC Phân tích hướng dẫn Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 ∆ A x+2y-7=0 3x+2y-9=0 E B D(1;-1) C + Với kiện đề cho, trước hết ta xác định tọa độ A = ∆ ∩ AB ⇒ A(1;3) + Đường thẳng BC qua D(1;-1) nên để lập phương trình BC ta cần tìm tọa độ điểm thuộc BC Gọi E = ∆ ∩ BC ⇒ E ∈ ∆ ⇒ E ( − 2x; x ) + Bây cần thiết lập phương trình để tìm x, vẽ hình xác cho ta dự đoán ∆EAD cân E ⇒ giải phương trình ED = EA tìm x = ⇒ E(5;1) (chứng minh ∆EAD cân E sau: D1 = C1 + DAC (góc ∆ADC ), mà sdAB , DAC = A ⇒ D1 = A1 + A = EAD ⇒ ∆EAD cân E) + Đường thẳng BC qua điểm E D ⇒ BC : x − 2y − = C1 = A1 =  x + y + = y − 3x + (1) Câu 9: Giải hệ phương trình  2  y − + 2y + = x + x + xy + 3y (2) Phân tích hướng dẫn  y ≥ 3x  + ĐK  y ≥ x ≥  + Ở ta không xuất phát từ (1), có số rời nên giải thường cho nghiệm số nguyên + Xét phương trình (2) để “xử lý” ta thấy: - Nếu cho y = ⇒ x + x + x = ⇔ x + x x + x = ⇔ x = ( ) - Nếu cho y = ⇒ x + x + 2x = , bấm máy giải phương trình ⇒ x = + Như đến ta dự đoán y = x + ⇔ y − x − = , nhân tử chung dự đoán ( y − x − 1) , ta tìm cách ép nhân tử chung từ phương trình (2) sau: Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 y − + 2y + = x + x + xy + 3y ⇔ y − − x = x + xy + 3y − 2y − ⇔ y −1 − x = x + xy + 3y − 2y − (3) y −1 + x + Ta cần phân tích đa thức vế phải (3) thành nhân tử với nhân tử chung ( y − x − 1) , công việc không đơn giản Cách xử lý khéo léo ta coi VP (3) phương trình bậc ẩn x: x + xy + ( 3y − 2y − 1) = - Tính ∆ = y = 4.1 ( 3y − 2y − 1) = ( 3y − ) ≥ , phương trình x + xy + ( 3y − 2y − 1) = có nghiệm : − y + 3y −  x = x − y + = ⇔ ⇒ x + xy + 3y − 2y − = ( x − y − 1)( x + 2y − 1)   x + 2y − =  x = − y − 3y +  ( ) - Vậy (3) ⇔ y −1 − x = ( x − y − 1)( x + 2y − 1) y −1 + x   ⇔ ( y − x − 1)  + x + 2y − 1 =  y −1 + x      - Ta thấy với ĐK x ≥ 0; y ≥ ⇒  + x + 2y − 1 > ⇒ y − x − = ⇒ y = x + thay   y −1 + x  vào (1) ta được: x + x + + = x − x + + (4) , bấm máy thấy phương trình có nghiệm x = , ta biến đổi để xuất nhân tử chung ( x − ) : Bình phương vế biến đổi ta được: x − = 7x − 7x + − 3x + 3x + ⇔ x−2= ⇔ x−2= 4x − 10x + 7x − 7x + + 3x + 3x + ( x − )( 2x − 1) 7x − 7x + + 3x + 3x +   4x − ⇔ ( x − ) 1 − =0 7x − 7x + + 3x + 3x +   + Đến xuất nhân tử chung ( x − ) , nhiên đại lượng dấu  ngoặc thứ hai 1 −    ta chứng minh cho ≠ , 7x − 7x + + 3x + 3x +  4x − Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015  xét phương trình 1 −    = việc giải phương 7x − 7x + + 3x + 3x +  4x − trình khó + Bây ta phải quay trở phương trình (4) để đổi hướng làm sau: x + x + + = x − x + + (4) ⇔ x + x + − x − x + = − (5) + Ý tưởng làm lúc ta chứng minh cho VT (5) hàm đơn điệu để suy x = nghiệm (5) - Xét hàm số : f (x) = x + x + − x − x + ⇒ f '(x) = 2x + ⇔ f '(x) = ( 2x + 1) - Xét hàm số f (t) = t t +3 2 x + x +1 ( 2x − 1) , t ∈ R ⇒ f '(t) = ( t2 + ) ( 2x + 1) − +3 x2 − x +1 > 0, ∀t ⇒ f (t) hàm đồng biến 2x + ( 2x + 1) 2x + 2x − +3 - Mặt khác ta có 2x + > 2x − ⇒ g(2x + 1) > g(2x − 1) ⇒ ⇒ f '(x) = − 2x − − +3 2x + 2x − ( 2x − 1) 2 2x − > +3 ( 2x − 1) +3 > ⇒ f (x) hàm đồng biến +3 Vậy x = nghiệm (5) KL: (x; y) = (2;3) Câu 10: Cho số thực x, y thỏa mãn x − + y + + = x + y Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = ( 32 + xy x + y x y ( x − y) + ( y − x ) + 2 x+y ) Phân tích hướng dẫn + Ta mở dấu ngoặc, biến đổi rút gọn biểu thức P x y2 64 64 + + xy + = ( x + y) + 2 x+y x+y 64 + Đặt t = x + y ⇒ ta có hàm số f (t) = t + , vấn đề phải tìm điều kiện t P= t để xét MIN - MAX hàm f(t) + Theo đề bài, ta có x − + y + + = x + y ⇔ x + y − = x − + y + + Áp dụng BĐT Bu-nhi-a ta được: 2 x + y − ≤ x + y − ⇔ ( x + y − 1) ≤ ( x + y − 1) ⇔ ( t − 1) ≤ ( t − 1) ⇔ ≤ t ≤ + Đến toán đưa tìm MIN - MAX hàm số f (t) = t + + Ta có f '(t) = 64 với t ∈ [1;6] t t t − 32 129 64 = ⇔ t = , mặt khác f ( ) = 40, f (1) = , f ( ) = 18 + t t Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015  92 − 12 x = 129  25 ⇒ max f (t) = max P = ⇔ t =4⇔ x+y =4⇒  y = + 12  25 x = ⇒ f (t) = P = 40 ⇔ t = ⇔ x + y = ⇒   y = −1 KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 Phụ trách: thầy NGUYỄN HỮU BIỂN Thầy: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien http://boxtailieu.net trang