Phân tích kỹ thuật giải đề toán thpt quốc gia 2015

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1... Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d và viết phươn

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

y= −x +3x −4 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b) Tìm m để đường thẳng d có phương trình y = mx + 2m 16 + cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

A, B, C cố định và tổng 2 hệ số góc của 2 tiếp tuyến với (C) tại B và C bằng (−15)

Câu 2: (1,0 điểm)

4 tan x − 4 tan x.sin x = 1 Tính giá trị của biểu thức 2

log x+ 2 + 2 log x− 5 + log 8 = 0

Câu 4: (0,5 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 1; 7;5( ) và đường thẳng

0

I= ∫ e x+ e −1 dx

của BC Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và SB

điểm M thuộc đường thẳng d : x + y = 0 Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là các

tiếp điểm) Viết phương trình của đường tròn (C) biết AB : 3x + y 2 − = 0 và khoảng cách từ I đến d bằng 2 2

nhiên 4 viên bi Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu

Câu 9: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

Câu 10: (1,0 điểm) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 2x + 3y + z = 40

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2

- HẾT -

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1a: Cho hàm số y= −x3+3x2−4 (1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

+ y ' 0, x> ∀ ∈(0; 2)⇒ hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)

+ y ' 0, x< ∀ ∈ −∞( ;0) và (2; +∞ ⇒) hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 2);(2; +∞)

* Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (0; 4− ) Hàm số đạt cực đại tại điểm (2;0)

- Giao của đồ thị với trục Oy: x 0 = ⇒ = − y 4 ⇒ đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 4− )

Câu 1b:Cho hàm số y = − x 3 + 3x 2 − 4 (1) Tìm m để đường thẳng d có phương trình

y mx 2m 16 = + + cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C cố định và tổng 2 hệ số góc của 2 tiếp tuyến với (C) tại B và C bằng (−15)

2

± Trong trường hợp này, phương trình (*) ta nhẩm thấy 1 nghiệm là x = − 2, thực hiện phép chia đa thức (x3− 3x2+ + 4 mx 2m 16 : x 2 + + ) ( + ) ta có phương trình (*) tương đương với:(x 2 x + ) ( 2 − 5x m 10 + + )= 0 (**)

* Để (d) cắt đồ thị hàm số (C) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (**) phải có 3 nghiệm phân biệt ⇔phương trình x 2 − 5x m 10 0 (***) + + = phải có 2 nghiệm phân biệt khác (−2)

* Theo giả thiết, do điểm A cố định nên ⇒A 2;16(− ) Gọi hoành độ của B và C lần lượt

là x ; x1 2 ⇒ x ; x1 2 là nghiệm của phương trình (***) 1 2

Vậy m = − 5 (thỏa mãn điều kiện (1)) là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Chú ý: Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx c 0 + = có 2 nghiệm x ; x1 2 thì 1 2

1 2

b

x x

a c

x x

a

 + = −

A 2 sin 2x c 2x 2 sin 2x 1 sin 2x sin 2x sin 2x 1

2 os

+ So với điều kiện, vậy phương trình có nghiệm là x =6

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 1;7;5( ) và đường thẳng

− Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d

và viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I, cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt M, N sao cho tam giác IMN có diện tích bằng 2 6012

* Trước hết, ta phân tích I thành tổng của 2 tích phân:

0

I = ∫ xe dx,

ln 2

x x 2

Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và SB

+ Ý 2: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và SB

* Chú ý: Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2, trước hết ta phải

chứa ∆2 Khi đó, bài toán tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2 ta đưa về 1 trong 2 trường hợp sau đây:

TH1: ∆ ⊥1 (P) tại M, khi đó ta dựng MN ⊥ ∆2 tại N ⇒ MN là đoạn vuông góc chung của

TH2: ∆1/ /(P) , khi đó khoảng cách giữa 2 đường thẳng ∆1 và ∆2 sẽ bằng khoảng cách từ

1 điểm M bất kỳ trên ∆1 đến mặt phẳng (P) ⇒ d(∆ ∆ 1 ; 2)= d M; P( ( ) )= MH(TH này thường (P) chưa cho sẵn)

* Để vận dụng TH2 ta sẽ tạo ra mặt phẳng (P) chứa đường thẳng SB và song song với

AM như sau: Qua B kẻ đường thẳng d // AM, gọi (P) là mặt phẳng chứa 2 đường thẳng d

và SB ⇒ (P) / /AM

C M

G A

S

B d

* Lúc này việc tính khoảng cách giữa ∆1 và ∆2 sẽ đưa về bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên AM đến mặt phẳng (P) Vấn đề đặt ra lúc này là ta chọn điểm nào “bất kỳ” trên AM đây ? - để trả lời vấn đề này, các em cùng theo dõi tiếp phương pháp xác định khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng sau đây:

* Chú ý: Ngoài phương pháp tính khoảng cách từ 1 điểm A đến 1 mặt phẳng (P) thông qua thể tích thì phương pháp phổ biến nhất để tính khoảng cách từ 1 điểm A đến 1 mặt phẳng (P) ta thường thông qua khoảng cách từ chân đường vuông góc nào đó đến mặt phẳng cần tính theo mẫu sau đây:

+ Xây dựng 1 mặt phẳng chứa A và vuông góc (P) bằng cách: từ A kẻ AM ⊥ ∆ tại M

I

C

M G

A

S

B d

+ Kẻ GI ⊥ d tại I ⇒(SGI) ( )⊥ P theo giao tuyến SI (tự chứng minh)

(chú ý: ý 2 câu 6 có thể giải bằng phương pháp cài tọa độ với gốc tọa độ đặt tại M)

thuộc đường thẳng d : x y 0 + = Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là các tiếp

điểm) Viết phương trình của đường tròn (C) biết AB : 3x y 2 0 + − = và khoảng cách từ I đến d bằng 2 2

os = = (*), mà MIH K= (cùng phụ với KMI), mặt khác K còn

là góc tạo bởi đường thẳng d và AB Vậy thay vào (*) ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

1;1 3;1 2 2

MI 10 MI

Đáp số: (x 1 − )2+(y 3 − )2 = 4; x 1( − )2+(y 5 + )2 = 4; x 3( − )2+(y 5 + )2 = 4; x 5( − )2+(y 9 − )2 = 4

viên bi Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu

Phân tích và hướng dẫn

* Tổng số viên bi trong hộp là 24 Gọi Ω là không gian mẫu

* Lấy ngẫu nhiên 4 viên trong hộp ta có 4

24

C cách lấy hay n( Ω ) = 4

24

C Gọi A là biến cố lấy được các viên bi có đủ cả 3 màu Ta có các trường hợp sau:

+) 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh: có 2 1 1

C C C = cách +) 1 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh: có 1 2 1

C C C = cách +) 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 2 bi xanh: có 1 1 2

+ Ở bài này ta sẽ không xuất phát từ (1), bởi vì có 2 số 3 và 7 rời nhau nên nếu giải thường sẽ cho nghiệm không phải số nguyên

+ Xét phương trình (2) để “xử lý” ta thấy:

- Nếu cho y 1 = ⇒ x x + 2 + x 0 = ⇔ x 1 x x( + + x)= 0 ⇔ x 0 =

- Nếu cho y 2 = ⇒ x x + 2 + 2x 4 = , bấm máy giải phương trình ⇒ = x 1

+ Như vậy đến đây ta dự đoán y x 1 = + ⇔ y x 1 0 − − = , vậy nhân tử chung dự đoán sẽ là

(y x 1− − ), bây giờ ta tìm cách ép nhân tử chung từ phương trình (2) như sau:

+ Ta cần phân tích đa thức ở vế phải của (3) thành nhân tử với nhân tử chung là

(y x 1− − ), công việc này không hề đơn giản Cách xử lý khéo léo là ta coi VP của (3) là phương trình bậc 2 ẩn x: x 2 + xy +(3y 2y − 2 − 1)= 0

hơn nữa nếu xét phương trình

+ Ý tưởng làm bài lúc này là ta sẽ chứng minh cho VT của (5) là hàm đơn điệu để suy ra

x 2 = là nghiệm duy nhất của (5)

Vậy x 2 = là nghiệm duy nhất của (5) KL: (x; y) (2;3) =

Câu 10: Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 2x + 3y + z = 40

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = 2 x2 + + 1 3 y2 + 16 + z2 + 36

- Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 20 5đạt được khi : x= 2,y= 8,z= 12

KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015

Phụ trách: thầy NGUYỄN HỮU BIỂN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

x 1 (1)

−

= + a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b) Tìm m để đường thẳng d có phương trình y = x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho 2 2

b) (2 cosx+sinx−cos 2x)cosx= +1 sinx

Câu 4: (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=xlnx, trục hoành

− Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d Tìm tọa độ điểm

B thuộc trục Ox sao cho khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P) bằng 3

31 em nam và 19 em nữ Trong phòng thi này có 50 bộ bàn ghế được đánh số theo thứ tự từ

1 đến 50 Giám thị ghi số báo danh của mỗi thí sinh vào một bàn một cách ngẫu nhiên rồi gọi thí sinh vào phòng thi, tính xác suất để thí sinh dự thi ngồi bàn số 1 và bàn số 50 đều là thí sinh nam

AB = a, BC = a 3, ∆ SAC vuông tại S Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của AI Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảnh cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAB)

Câu 8: (1,0 điểm) ∆ ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD, M(3; 1) − là trung điểm cạnh

BC Đường cao kẻ từ B của ∆ ABC đi qua điểm E( 1; 3) − − , điểm F(1;3) nằm trên đường thẳng AC Tìm tọa độ đỉnh A và viết phương trình cạnh BC biết D(4; 2) −

x + x − 19x 16 − = 3x x + 1

Câu 10: (1,0 điểm) Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn a + b ab + = 3 Tìm giá trị lớn

3a 3b ab

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

x 1 (1)

−

= + Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

Phân tích và hướng dẫn

Câu khảo sát hàm số là câu mặc định trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán Cấu

trúc cách trình bày theo mẫu chuẩn đáp án của BGD đối với hàm phân thức y b

mx n

ax +

= +

⇒ hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 1) và (− +∞1; )

- Giao của đồ thị với trục Oy: x = 0 ⇒ = − y 1 ⇒ đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 1− )

- Giao của đồ thị với trục Ox: cho y = 0 ⇒ = x 1 ⇒ đồ thị hàm số cắt Ox tại 2 điểm (1; 0)

Câu 1b: Cho hàm số y x 1

x 1 (1)

−

= + Tìm m để đường thẳng d có phương trình y = x + m

cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho 2 2

Vậy m= −1 (thỏa mãn điều kiện (1)) là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán

x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0; x = 1

Câu 3b: Giải phương trình:(2 cosx+sinx−cos 2x)cosx= +1 sinx

Phân tích và hướng dẫn

2

2 cos x 1 sin cosx x cos 2 cosx x sinx

⇔ − + − = ⇔ cos 2x− cos 2 cosx x+ sin cosx x− sinx= 0

2 4

= −

2

e 1 4

+ Gọi B(b;0;0)∈Ox; d(B, (P)) 3 | b | 3

3

= ⇔ = ⇔| b | 3= ⇔b= ± ⇒3 B( 3;0;0)± Vậy (P) : x+y+z=0; B( 3;0;0)±

nam và 19 em nữ Trong phòng thi này có 50 bộ bàn ghế được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 50 Giám thị ghi số báo danh của mỗi thí sinh vào một bàn một cách ngẫu nhiên rồi gọi thí sinh vào phòng thi, tính xác suất để thí sinh dự thi ngồi bàn số 1 và bàn số 50 đều

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, AB = a, BC = a 3,

SAC

∆ vuông tại S Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của AI Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảnh cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAB)

Phân tích và hướng dẫn

I

a 3 a

D

C B

K A H E

(chú ý: ta tính được AC = 2a, ∆ SAC vuông tại S, I là trung điểm AC ⇒ IS = IA = IC = a)

* Để tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng ta đưa về khoảng cách từ chân đường vuông góc đến mặt phẳng đó Trong trường hợp này H chính là chân đường vuông góc

+ Kẻ HK ⊥ AB tại K ⇒(SHK) (⊥ SAB) theo giao tuyến SK ⇒ kẻ HE ⊥ SK tại E

Câu 8: ∆ ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD, M(3; 1) − là trung điểm cạnh BC Đường cao kẻ từ B của ∆ ABC đi qua điểm E( 1; 3) − − , điểm F(1;3) nằm trên đường thẳng

AC Tìm tọa độ đỉnh A và viết phương trình cạnh BC biết D(4; 2) −

Phân tích và hướng dẫn

F(1;3) H

+ Trước hết, khi gặp loại bài tập mà tam giác nội tiếp đường tròn, dữ kiện bài cho đường

cao của tam giác thì ta thường nghĩ đến việc tạo ra 1 hình bình hành bằng cách:

- Nếu tam giác có 2 đường cao thì ta chỉ việc kẻ 1 đường kính đi qua đỉnh còn lại (không chứa 2 đường cao kia)

- Nếu tam giác có đường kính đi qua đỉnh và 1 đường cao thì ta sẽ kẻ đường cao thứ 2 (bài toán này ta sẽ làm như vậy)

+ Với bài toán này ta sẽ tạo ra điểm H là trực tâm ∆ ABC ⇒ ta chứng minh được BHCD

là hình bình hành (xem chứng minh trong phần đóng khung bên dưới)

+ Ta có  0

ABD = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) ⇒ BA ⊥ BD, mà

BA ⊥ CH ⇒ BD / /CH (1) Chứng minh tương tự ta cũng có CD / /BH (2)

+ Từ (1) và (2) ⇒ tứ giác BHCA’ là hình bình hành

+ Công việc chuẩn bị đã xong, bây giờ ta sẽ làm theo các bước suy luận sau nhé:

- Thấy ngay H là trung điểm AC ⇒ H(2; 0)

- Lập được phương trình BH (qua 2 điểm H và E) ⇒ BH : x − y 2 − = 0

- Lập được phương trình DC (qua D và // BH) ⇒ DC : x − y 6 − = 0

- Lập được phương trình AC (qua F và ⊥ BH) ⇒ AC : x + y 4 − = 0

Câu 9: Giải phương trình 3 2 3

x + x − 19x 16 − = 3x x + 1

Phân tích và hướng dẫn

+ ĐK: x ≥ − 1

+ Nhận thấy biểu thức trong căn ở VP là: 3 ( ) ( 2 )

x + = 1 x 1 x + − x 1 + nên rất có thể đây là cơ

sở để cho ta phân tích VT của phương trình, thật vậy:

3 2 2

KHÓA HỌC PHÂN TÍCH KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015

Phụ trách: thầy NGUYỄN HỮU BIỂN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

x 2 (1)

+

=

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b) Tìm tọa độ 2 điểm A, B nằm trên 2 nhánh của (C) sao cho khoảng cách từ A và B đến tiệm cận đứng bằng nhau và độ dài đoạn AB bằng 32

nhiên 4 viên bi Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu

phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy Hai mặt bên (SAB) và (SAC) đều tạo với đáy một góc

0

60 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

Câu 8: (1,0 điểm) Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn, D(1;-1) là chân đường phân giác của A
,

AB có phương trình 3x + 2y 9 − = 0, tiếp tuyến tại A có phương trình ∆:x + 2y 7 − = 0 Hãy viết phương trình BC

Câu 9: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) (các em tự làm)

b) Tìm tọa độ 2 điểm A, B nằm trên 2 nhánh của (C) sao cho khoảng cách từ A và B đến tiệm cận đứng bằng nhau và độ dài đoạn AB bằng 32

+ Vậy phương trình có nghiệm x 0; x = = − 1

Câu 3b: Giải phương trình: x4+x2+ +1 x= x(1−x2)

* TH1: Với x = 0 không phải nghiệm của phương trình

* TH2: Với x ≠0



+ Phương trình tổng quát của (P) là: 2(x 2) 3(y 1) 1(z 0) 0− − + + − = ⇔2x 3y z 7 0− + − =

viên bi Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu

Hướng dẫn

Tổng số viên bi trong hộp là 24 Gọi Ω là không gian mẫu

Lấy ngẫu nhiên 4 viên trong hộp ta có 4

24

C cách lấy hay n( Ω ) = 4

24

C Gọi A là biến cố lấy được các viên bi có đủ cả 3 màu Ta có các trường hợp sau:

+) 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh: có 2 1 1

C C C = cách +) 1 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh: có 1 2 1

C C C = cách +) 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 2 bi xanh: có 1 1 2

(SBC) vuông góc với mặt đáy Hai mặt bên (SAB) và (SAC) đều tạo với đáy một góc

I

K

C

A B

S

+ Do mặt phẳng (SBC) (⊥ ABC) theo giao tuyến BC ⇒ kẻ SH ⊥ BC tại H⇒SH⊥(ABC)

+ ∆ SHI = ∆ SHE(g.c.g) ⇒ HI HE = ⇒ AEHI là hình vuông ⇒ HE AE =

+ Mặt khác ∆ HEC vuông cân tại E ⇒ HE EC = ⇒E là trung điểm AC HE 1AB a

C

K

H

B (SAB)

(chú ý: có thể giải ý 2 của câu 7 bằng phương pháp cài tọa độ với gốc tọa độ là A)

Câu 8: Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn, D(1;-1) là chân đường phân giác của A, AB có phương trình 3x 2y 9 0 + − = , tiếp tuyến tại A có phương trình ∆:x 2y 7 0 + − = Hãy viết phương trình BC

Phân tích và hướng dẫn

3x+2y-9=0 x+2y-7=0

+ Với dữ kiện đề bài cho, trước hết ta xác định được ngay tọa độ A = ∆ ∩ AB ⇒ A(1;3)

+ Đường thẳng BC đi qua D(1;-1) nên để lập phương trình BC ta cần tìm tọa độ một

điểm nữa thuộc BC Gọi E = ∆ ∩ BC⇒ ∈ ∆ ⇒E E 7 2x; x( − )

+ Bây giờ cần thiết lập 1 phương trình để tìm x, vẽ hình chính xác sẽ cho ta dự đoán

EAD

∆ cân tại E ⇒ giải phương trình ED = EA sẽ tìm được x 1 = ⇒ E(5;1)

(chứng minh ∆ EAD cân tại E như sau: D1= C1+ DAC (góc ngoài ∆ ADC), mà

= = , DAC A =2⇒ D1= A1+ A2 =EAD ⇒ ∆ EAD cân tại E)

+ Đường thẳng BC đi qua 2 điểm E và D ⇒ BC : x 2y 3 0 − − =

- Nếu cho y 2 = ⇒ x x + 2 + 2x 4 = , bấm máy giải phương trình ⇒ = x 1

+ Như vậy đến đây ta dự đoán y x 1 = + ⇔ y x 1 0 − − = , vậy nhân tử chung dự đoán sẽ là

(y x 1− − ), bây giờ ta tìm cách ép nhân tử chung từ phương trình (2) như sau: