Toan 10 yen bai Đề thi, đáp án (đề xuất) trại hè hùng vương

TRI Hẩ HNG VNG LN TH X TRNG THPT CHUYấN NGUYN TT THNH TNH YấN BI THI ẩ XUT THI MễN: TON KHI 10 Cõu (4 im) xy + ( x y )( xy 2) + x = y + y ( x + 1)( y + xy + x x ) = Gii h phng trỡnh: Cõu ( im) Cho tam giỏc nhn ABC (AB3, t 22 p n= Chng minh rng: ( 2n 2) Mn Ht - Giỏm th coi thi khụng gii thớch gỡ thờm! - Thớ sinh khụng c s dng ti liu v mỏy tớnh cm tay! Giỏm th 01: Giỏm th 02: Hng dn chm xut toỏn 10 Cõu NI DUNG P N im xy + ( x y )( xy 2) + x = y + y ( x + 1)( y + xy + x x ) = Cõu 1(4 im) Gii h phng trỡnh: x 0; y xy + ( x y )( xy 2) KX: 4,0 0,5 1,5 T pt(1) ta cú: ( xy + ( x y )( xy 2) y ) + ( x y ) = ( x y )( y + xy 2) xy + ( x y )( xy 2) + y x y + x+ y x = y y + xy + xy + ( x y )( xy 2) + y =0 x+ y = (3) T pt(2) rỳt c v dựng bin i tng ng d dng chng minh c : y + xy = + x2 x x +1 1,0 Do ú trng hp (3) b loi Vy ta c x = y Thay vo h v i chiu vi KX ta c nghim: 17 x = y = v x = y = Cõu ( im):Cho tam giỏc nhn ABC (AB APHQ ni tip ng trũn ng kớnh AH ta ã ã AQP = AHP cú Mt khỏc 1,0 ã HP = A ã BC A ( cựng ph vi gúc BAH) Suy BPQC ni tip - ng trũn ngoi tip tam giỏc BCP l ng trũn ngoi tip t giỏc BPQC Ta cú MP.MQ=MB.MC.(1) M MB.MC= MK.MA = kớnh AH => - M / (O ) ã KH = 900 A => t giỏc AKPQ ni tip ng trũn ng Gi A l im i xng ca A qua O ta cú ã KA = 900, A ã K H = 900 A' 1,0 1,0 Suy K, H, A thng hng Gi I l trung im ca HA.Ta chng minh rng I l tõm ng trũn ngoi tip t giỏc BPQC Tht vy: OI l trung bỡnh ca tam giỏc AHA nờn OI l trung trc on BC (3) - Gi E l trung im ca AH ta cú EI l ng trung bỡnh AAH nờn EI song - ã - ã ã A O ^ PQ =>EI APQ = ACB = A A ' B Suy song AO Ta cú ^ PQ nờn EI l trung trc on PQ (4) 1,0 T (3), (4) ta cú I l tõm ng trũn ngoi tip BPQC hay tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc BCP Vy K, H, I thng hng Câu 3: (4 điểm) a + b +c = Cho a,b,c số thực dơng thoả mãn Chứng minh : + ab bc + ca Ta có = ab ab ab = (2 + ab ) ab (4 ab ) ab 2,0 (vi < (2 + ab )( ab ) ( ab 1) 0) ab + bc + ca ab + Suy ra: a2 + b2 + c2 + =2 2,0 ab (dpcm) Suy : Du xảy a = b = c = { } Cú bao nhiờu cỏch chn Cõu (4 điểm) Cho hp s A cho hiu ca hai s bt kỡ s ú khụng nh hn Ta cn tỡm s phn t ca T sau: A = 1;2;3; ;18 { } T = (a1 ,a , ,a ) : a < a < < a ; a i 18; a i a j Xột hp 1,0 H = { (b1 ,b , ,b5 ) : b1 < b < < b5 ; b i 14} Xột ỏnh x f cho tng ng mi b xỏc nh nh sau: (a1 ,a , ,a ) vi b (b1 ,b , ,b5 ) 2,0 b1 = a1 ,b = a 1,b3 = a 2,b = a 3,b5 = a D thy ú f l mt song ỏnh, suy T=H (b1 ,b , ,b ) H l mt t hp chp ca 14 phn H = C14 = 2002 Vy T = 2002 Mt khỏc mi b t Do ú Cõu (4 điểm)Cho p l s nguyờn t, p>3, t 22 p n= Chng minh rng: 1,0 (2n 2) Mn Ta cú n = 22 p 4(2 p 1)( p + 1) = 3 Vỡ p l s nguyờn t l nờn : p 1(mod 3) p 1(mod p) Mt khỏc, theo nh lý Fecmat ta cú: (n 1) M(2 p) (2 p 1) M (3 p ) , ú ta cú : p > thỡ: Vỡ T ú suy : (2 n 1) M(2 2p 1) (2 p 1) Mn nờn suy Nhng n ( mod n ) (pcm) 1,0 n ( mod n ) hay 2,0 1,0