TUYỂN TẬP ĐỀ THI ĐỀ XUẤT TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII NĂM 2016 MÔN TOÁN KHỐI 10 Có đáp án chi tiết

B GIO DC V O TO & TUYN TP THI XUT TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII NM 2016 MễN TON KHI 10 Cú ỏp ỏn chi tit 2016 DANH MC: : thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 chuyờn H Giang 2: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 chuyờn H Long 3: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 chuyờn Hựng Vng Phỳ th 4: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 chuyờn Lo Cai 5: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 chuyờn Sn La 6: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 chuyờn Thỏi NGuyờn 7: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 chuyờn tuyờn quang 8: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 chu an lng sn 9: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 chuyờn vnh phỳc 10: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 hong th hũa bỡnh 11: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 Lờ Hng phong Nam nh 12: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 Chuyờn Lờ Quý ụn in Biờn 13: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 Lờ Quý ụn Lai Chõu 14: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 NGuyn Tt Thnh Yờn Bỏi 15: Toỏn 10 vựng cao Vit Bc TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII THI MễN TON TRNG THPT CHUYấN TNH H GIANG THI ẩ XUT Cõu (04 im): Gii h phng trỡnh LP 10 ( ny cú 01 trang, gm 05 cõu) x + xy + x y y = y + y x + y = x Cõu (04 im): Cho tam giỏc ABC ( AB > AC ) cỏc ng cao BB v CC ct tai H Gi M , N ln lt l trung im ca cnh AB, AC v O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc AH ct BC E , AO ct MN F Chng minh EF / /OH Cõu (04 im): Cho a, b, c l cỏc s thc tha ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) Chng minh rng: 2 4abc a b c a b c + + ữ + ữ + ữ + a + b b + c c + a ( a + b) ( b + c) ( c + a) a + b b + c c + a Cõu (04 im): Cho a giỏc u (H) cú 14 nh Chng minh rng nh bt kỡ ca (H) luụn cú nh l cỏc nh ca mt hỡnh thang Cõu (04 im): Gi x1 , x2 l nghim ca phng trỡnh x x + = Vi mi s nguyờn n, t S n = x1n + x2n , chng minh rng S n l mt s nguyờn khụng chia ht cho .HT Ngi T Toỏn-Tin HNG DN CHM MễN: TON- LP10 Lu ý: Cỏc cỏch gii khỏc hng dn chm, nu ỳng cho im ti a theo thang im ó nh Cõ u Ni dung x + xy + x y y = y + 4(1) y x + y = x 1(2) xy + x y y k: y x y Ta cú (1) x y + ( x y ) ( y + 1) 4( y + 1) = x y x y +3 = ( y + > 0) y +1 y +1 x y =1 y +1 i m 1,00 T ú cú x = y + , thay vo (2) ta c : y y + y = y y y ( y 1) + ( y 2) y2 y + y + ( 1,00 y2 =0 y +1 ( y 2) + y y + y y = ( vỡ ) y 1 = ữ= y +1 ữ y2 y + y + Vi y = thỡ x = (Tha K) Vy nghim (x;y) ca h PT l ( 5; ) 1,00 > 0y ) y +1 1,00 A I J M T K N F O E C' B' H B C T gi thit cú MN / / BC v t giỏc BCBC ni tip T ú suy t giỏc BC MN ni tip Gi T l giao im ca BC v MN ; I , J theo th t l trung im ca AO v AH Do t giỏc BC MN ni tip nờn suy TM TN = TC .TB Do ú AT l trc ng phng ca hai ng trũn ngoi tip t giỏc AMON v ABHC T ú : TA IJ (1) D thy OA BC (2) ã ã BH ( t giỏc ABHC ni tip) ; ãAMN = ãABC ( t Ta cú MAK =C giỏc BC MN ni tip) M Cã BA + Cã BB = 900 T ú suy ã ã KMA + KAM = 900 hay TF AE (3) T (2) v (3) suy F l trc tõm ca tam giỏc TAE Do vy EF TA (4) T (1) v (4) suy IJ / / EF , m I J l ng trung bỡnh ca tam giỏc AOH nờn OH // I J Do ú E F // OH 1,00 1,00 1,00 1,00 a b c ,y= ,z = a+b b+c c+a ( x ) ( y ) ( z ) = xyz t x = + xy + yz + zx = xyz + x + y + z 1,00 + ( x + y + z ) = xyz + ( x + y + z ) + x + y + z 2 1 xyz + ( x + y + z ) + x + y + z = ( x + y + z ) + x + y + z 4 1,00 1 xyz + ( x + y + z ) + x + y + z = ( x + y + z ) + ( x + y + z ) 4 x + y + z + xyz x + y + z a b 1,00 c 1,00 4abc a b c + + Vy ữ + ữ + ữ + a + b b + c c + a ( a + b) ( b + c) ( c + a) a + b b + c c + a Ta luụn chng minh c : Nu AB v CD l hai dõy cung bng 1,00 ca ng trũn tõm (O) thỡ A, B, C, D l nh ca mt hỡnh thang Gi A1 A2 A14 l a giỏc u 14 nh ni tip ng trũn (O) Suy cỏc ng chộo qua tõm ca a giỏc l A1 A8 , A2 A9 , , A7 A14 ( ta gi tm 1,00 l ng chộo chớnh) Cỏc ng chộo ca a giỏc xut phỏt t A1 v i xng qua A1 A8 thỡ bng Nh vy chỳng ch cú di bng Xột tng t cho cỏc ng chộo chớnh cũn li Do A1 A2 A14 l a giỏc u v t cỏc nhn xột trờn suy cỏc ng chộo cũn li khụng phi 1,00 ng chộo chớnh ca a giỏc u ny ch cú di ụi mt khỏc Vi im bt kỡ, khụng cú im no thng hng (l nh ca a giỏc u), cú (6.5) : = 15 on thng ni chỳng li vi nhau, 1,00 ú cú khụng quỏ on thng l cnh Do vy cú ớt nht 10 on thng l ng chộo M cỏc ng chộo ch cú di khỏc nờn tn ti ng chộo bng l dõy cung ca ng trũn ngoi tip a giỏc u v ú t nh thuc hai ng chộo ny s cho ta mt hỡnh thang Hin nhiờn x1 , x2 khỏc khụng v x1 + x2 = 6, x1 x2 = 1,00 Vi n l s nguyờn, ta cú cỏc trng hp sau: + n = 0, S = thuc Z v khụng chia ht cho + Vi n > , Ta cú: S1 = 6, S = x12 + x22 = 34 l cỏc s nguyờn v khụng chia ht cho Gi s S , S1 , S , , S n1 Z v khụng chia ht cho 5, vi n , ta chng minh S n l s nguyờn v khụng chia ht cho Ta cú: 1,00 n Sn = x + x = x + x + x x n n n 1 = x1 ( x +x n n n n 1 ) + x2 ( x n 1 +xx +x n n x x n2 ) x1 x2 ( x n 1 xx + x2n2 ) = ( x1 + x2 )( x1n + x2n ) x1 x2 ( x1n2 + x2n2 ) = 6( x1n1 + x2n1 ) ( x1n2 + x2n2 ) T ú suy ra: S n = 6S n1 S n2 = 6(6S n2 S n3 ) S n2 = 35S n2 6S n3 Do S n2 , S n3 l cỏc s nguyờn nờn S n cng l s nguyờn Hn na, 35S n2 chia ht cho v S n3 khụng chia ht cho nờn S n khụng chia ht cho 1,00 + Vi n < , t n = m vi m l s nguyờn dng Khi ú: S n = x1n + x2n = x1m + x2m = x1m + x2m x1m + x2m 1 + = = = xm + xm x1m x2m x1m x2m ( x1 x2 ) m 1,00 Vi m l s nguyờn dng, tng t nh chng minh trờn x1m + x2m l s nguyờn v khụng chia ht cho Hay S n l s nguyờn v khụng chia ht cho Kt lun: S n l s nguyờn v khụng chia ht cho TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII THI MễN TON TRNG THPT CHUYấN H LONG TNH QUANG NINH THI ẩ XUT cõu) LP 10 ( ny cú 01 trang, gm Cõu ( iờm) xy y y + = ( x y ) Gii h phng trỡnh: 3x a) 2x + y = Gii phng trỡnh sau trờn s thc x + + 2 x + = ( x 1)( x ) b) Cõu (3 iờm) Cho a,b,c l cỏc s thc dng Chng minh rng: a ab + b + b bc + c + c ca + a Cõu ( iờm ) Cho tam giỏc ABC khụng cõn ni tip ng trũn (O) B l im i xng vi B qua AC BM l trung tuyn ca tam giỏc ABC, BM ct (O) ti N Ly K cho AKCN l hỡnh bỡnh hnh HM ct (O) ti D Gi H l trc tõm ca tam giỏc ABC Chng minh rng a, BD, HK, AC ng quy b, KB ct AC ti P ng trũn ngoi tip tam giỏc BPC giao AB ti X khỏc B ng trũn ngoi tip tam giỏc ABP giao vi BC ti Y khỏc B Chng minh ng trũn (BXY) i qua im K Cõu (4 iờm) Tỡm p nguyờn t tha p + p | p + p Cõu (3 iờm) Cho 81 s nguyờn dng phõn bit cho cỏc c nguyờn t ca chỳng thuc {2,3,5} Chng minh rng tn ti s 81 s trờn m tớch ca chỳng l ly tha bc ca s nguyờn no ú HT Ngi Pham Vn Ninh 0977245380 ng Thu Hng 01634029724 HNG DN CHM MễN: Toỏn LP: 10 Cõ u Ni dung iờm 1,0 a) im + K: x ; y + Bin i (1) c: ( xy y ) + xy y + = ( x + y ) ( ) 2 xy y + = ( x + y ) y = x + Th vo (2) ta c: 2x + x = 3x 1,0 p dng BT Cauchy ta c: 2x = x3 = Suy ( x ) ( x 3) 2x + x 2x + 2x = 2 x 3+1 x = 2 3x Du ' = ' xy v ch x = Vy nghim ( x; y ) cn tỡm l ( 4;2 ) 1,0 b) im iu kin: x Nhn thy x = l mt nghim ca phng trỡnh Xột x > Khi ú phng trỡnh ó cho tng ng vi ( ) ( x +1 + ) x + = x x x 12 4( x 3) 4( x 3) + = ( x 3)( x + x + ) x +1 + 2x + + 4 ( x 3) + ( x + 1)2 ữ = (1) x + + 2 x + + 4 + < 3, vỡ vy Vỡ x > nờn x + > v x + > Suy x +1 + 2x + + 4 + ( x + 1)2 < x +1 + 2x + + Do ú phng trỡnh (1) x = x = Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l x = hoc x = a b c a b c + + = b + c + a Ta cú 2 a b c ab + b bc + c ca + a +1 +1 +1 b c a 1,0 ổa b cữ ỗ ữ ỗ + + ữ ỗ ữ ỗ b c a ữ ố ứ (Bunhiacopski) a b c +1+ +1+ +1 b c a a b c t x = , y = , z = ị xyz = b c a Ta cú ổa b cữ ỗ ữ ỗ ỗ b + c + aữ ữ x + y + z ữ ỗ ố ứ = a b c x +1+ y +1+ z +1 +1+ +1+ +1 b c a ( ( x + y + z) + 2( xy + yz + 3( x + y + z + 3) Suy a zx ) ) x +y +z +6 3( x + y + z + 3) S +3 ( S = x + y + z + 6) 3S ab + b bc + c ca + a S ổ S 3ữ 3 ỗ ữ = +ỗ + + = Ta cú S + ữ ỗ ữ 2 ữ ỗ S Sứ 2 ố Suy b + S +3 + c 1,0 Bt ng thc c chng minh 3S Du bng xy a = b = c 1,0 Cú th chia im thnh tng phn nhng khụng di 0,25 im v phi thng nht c t chm im ton bi l tng s im cỏc phn ó chm, khụng lm trũn im Ht TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII TRNG THPT CHUYấN Lấ QUí ễN - TNH LAI CHU THI XUT THI MễN TON LP 10 ( ny cú 01 trang gm cõu) Cõu (5,0 im): Gii h phng trỡnh x + 3xy y + ( x + xy y ) = x xy y ( x, y Ă 2 x + 10 xy + 34 y = 47 ) Cõu (5,0 im): Cho tam giỏc nhn ABC, gi H l trc tõm ca tam giỏc, M l ã ã trung im ca BC, I l giao im cỏc phõn giỏc ca ABH v ACH Chng minh MI i qua trung im ca AH Cõu (4,0 im): Cho ba s dng a, b, c v a + b + c = Chng minh rng: a b c + + 2 1+ b 1+ c 1+ a Cõu (4,0 im): Tỡm b ba s nguyờn t liờn tip (lin k) cho tng bỡnh phng ca chỳng cng l mt s nguyờn t Cõu (2,0 im): Mt hỡnh trũn c chia thnh 10 ụ hỡnh qut, trờn mi ụ ngi ta t mt viờn bi Nu ta c di chuyn cỏc viờn bi theo quy lut: mi ln ly ụ bt k mi ụ viờn bi, chuyn sang ụ lin k theo chiu ngc thỡ cú th chuyn tt c cỏc viờn bi v cựng ụ hay khụng ? .HT Ngi Lờ Th L Quyờn (S in thoi: 0986722886) HNG DN CHM MễN TON - LP 10 Lu ý: cỏc cỏch gii khỏc hng dn chm, nu ỳng cho im ti a theo thang im ó quy nh Cõu Ni dung chớnh cn t iờm x xy y K: 2 x + xy y 0,5 Chuyn v nhõn liờn hp phng trỡnh (1), ta c 2 x + xy y + ữ= ( ) 2 2 ữ x + xy y + 3x xy y x = y +4>0 2 2 x = y x + xy y + x xy y 2,0 x =1 y =1 Vi x = y, thay vo (2), ta c: x = x = y = 1,0 Vi x = -6y thay vo (2) ta c 47 x = y = 82 82 y = 47 47 x=6 y = 82 1,0 47 82 47 82 47 47 47 47 ; ; KL: S = ( 1;1) , ( 1; 1) , ữ, ữ 82 82 82 82 0,5 Do H l trc tõm ca ABC BH AC, CH AB AEH, ADH l cỏc tam giỏc cú cnh huyn AH 0,5 Gi N l trung im ca AH, ta cú EN = DN = M BEC, BDC l cỏc tam giỏc vuụng nờn AH 0,5 0,5 EM = DM = BC E v D i xng qua MN ã ECB ã Ta li cú DBC = 90 C, = 90 B 1,0 ( ) ã ã = 45 A ABI = IBD = 90 A 2 1à ã ã = ICH = 450 A Tng t ta cú ACI 1à ã ã ã IBC = IBD + DBC = 135 A C 1à ã = 1350 A B Chng minh tng t ta cú IBC ã ã BIC = 180 2IBC = 90 IM = BC MI = ME = MD v ã ã ã ã = 90 A IME = IMB EMB = 180 2IBC 180 2B ( ã Chng minh tng t ta cú IMD = 90 A 1,0 EMI = DMI ( c.g.c ) IE = ID I thuc ng trung trc ca ED M, I, N thng hng 0,5 a ab ab ab Ta cú = a a = a + b2 + b2 2b b bc c ca Tng t ta cú b ; c 2 1+ c 1+ a 1,0 T ú suy ) 1,0 a b c ab + bc + ca ab + bc + ca ( *) + + a + b + c = 2 1+ b 1+ c 1+ a 2 ( a + b + c ) = ( ** ) Mt khỏc, ta bit ab + bc + ca T ( * ) v ( ** ) ta cú iu phi chng minh Gi s nguyờn t liờn tip l p, q, r vi p < q < r 2 B ba s nguyờn t liờn tip u tiờn l 2,3,5 + + = 38 khụng 0,5 1,0 1,0 0,5 1,0 l s nguyờn t nờn khụng tha bi 2 1,0 B ba s nguyờn t liờn tip tip theo l 3,5,7 + + = 83 l s nguyờn t nờn tha bi Xột p > thỡ hin nhiờn q, r > , nhn thy rng cỏc s nguyờn t ny u cú dng ( mod ) vỡ khụng chia ht cho v 3, vỡ th nờn tng bỡnh 2,0 phng ca chỳng luụn chia ht cho nờn khụng phi l s nguyờn t.Vy b ba s nguyờn t liờn tip ( 3,5,7 ) l b s nguyờn t liờn tip nht tha bi Trc tiờn, ta tụ mu xen k cỏc ụ hỡnh qut, nh vy s cú ụ c tụ mu (ụ mu) v ụ khụng c tụ mu (ụ trng) Ta cú nhn xột: Nu di chuyn bi ụ mu v bi ụ trng thỡ tng s bi ụ mu khụng i Nu di chuyn ụ mu, mi ụ bi thỡ tng s bi ụ mu gim i Nu di chuyn ụ trng, mi ụ bi thỡ tng s bi ụ mu tng lờn Vy tng s ụ mu hoc khụng i, hoc gim i 2, hoc tng lờn Núi cỏch khỏc, tng s bi ụ mu s khụng thay i tớnh chn l so vi ban u Ban u tng s bi ụ mu l viờn (s l) nờn sau hu hn ln di chuyn bi theo quy lut trờn thỡ tng s bi ụ mu luụn khỏc v khỏc 10, ú khụng th chuyn cỏc viờn bi v cựng ụ TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII TRNG THPT CHUYấN NGUYN TT THNH TNH YấN BI THI MễN TON LP 10 THI ẩ XUT ( ny cú 01 trang, gm cõu) 0,5 0,5 0,5 0,5 Cõu (4 im) Gii phng trỡnh: x = x x + x x + x x Cõu (4 im) Cho tam giỏc nhn ABC v im P nm tam giỏc ABC Gi D, E, F ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca P trờn cỏc cnh BC, CD, AB Ly im Q nm tam ã ã ã ã giỏc ABC cho ãACP = BCQ Chng minh rng nu DEF ; BAQ = CAQ = 900 thỡ Q l trng tõm ca tam giỏc BDF Cõu (4 im) 2 Cho s thc khụng õm tha mó iu kin: x + y + z = tỡm giỏ tr ln nht ca x2 y+z + yz + biu thc: P = x + yz + x + x + y + z + Cõu (4 im) Cho 2016 hp m mi ny u cha ỳng 40 phn t Bit rng hai tựy ý cỏc ny u cú ỳng phn t chung Chng minh rng tn ti mt phn t thuc tt c 2016 ó cho Cõu (4 im) 2 Tỡm cỏc nghim nguyờn dng ca phng trỡnh: x y + z = 16 vi ( y < x < 10 ) .HT Ngi Nguyn Trung Ngha - 0985820747 HNG DN CHM MễN: TON, LP: 10 Lu ý: Cỏc cỏch gii khỏc hng dn chm, nu ỳng cho im ti a theo thang im ó nh Cõu Ni dung iờm Gii phng trỡnh: x = x x + x x + x x 4,0 K x t u = x u = x ( u 0) v = x v2 = x ( v 0) w = x w2 = x Suy 1,0 ( w 0) x = u = uv + wv + wu 1,0 x = v = uv + wv + wu x = w = uv + wv + wu u + v = ( u + v ) ( u + w ) = Ta cú h: ( u + v ) ( v + w ) = v + w = v + w u + w = ( ) ( ) u + w = 30 239 Suy ra: u = x = u2 = 60 120 Vy phng trỡnh cú nghim x = 30 30 30 239 120 Cho tam giỏc nhn ABC v im P nm tam giỏc ABC Gi D, E, F ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca P trờn cỏc cnh BC, CD, AB Ly im ã ã ã Q nm tam giỏc ABC cho ãACP = BCQ Chng minh ; BAQ = CAQ ã rng nu DEF = 900 thỡ Q l trng tõm ca tam giỏc BDF 1,0 1,0 5,0 Gi giao im ca AQ vi PF v EF ln lt l H, K, giao im ca CQ vi PD ln lt l M, N Ta cú: PE AC ; PF AB nờn t giỏc PEAF ni tip 1,0 ã ã ã ã ã ã Suy PFE theo gi thit BAQ ú PFE suy = PAE = BAQ = PAE AQ EF ti K, Chng minh tng t ta cú CQ DE Ti N ã ã T giỏc QKEN cú QKE = QNE = 900 ã Ta thy DEF = 900 ãAQC = 900 1,0 ã ã Do ãACP = BCQ ãACQ = BCP QCA : QCA Suy ra: DC QC ã ã DCQ : PCQ = v CAP = BCQ CP CA ã ã ã ã (do AFPE ni tip) DQC = PAC PAE = PFE ã ã Suy ra: DQC = PFE PF / / DQ DQ AB ,0 Tng t ta chng minh c: FQ BC 1,0 Suy Q l trc tõm ca tam giỏc BDF 2 Cho s thc khụng õm tha mó iu kin: x + y + z = tỡm giỏ tr ln x2 y+z + yz + nht ca biu thc: P = x + yz + x + x + y + z + Ta cú: 2 ( yz + 1) = x + ( y + z ) x ( y + z ) 5,0 yz + x ( y + z ) x2 + ( y + z ) V yz + = 1,0 Suy ra: x2 + ( y + z ) x2 y + z + yz x2 y+ z P= + + x + yz + x + x + y + x + x + x( y + z) x + y + z + x2 + ( y + z ) x y+ z P + x+ y + z +1 x+ y + z +1 18 x2 + ( y + z ) x+ y+ z P x+ y + z +1 18 2 1,0 x2 + ( y + z ) P x+ y + z +1 18 ( x 0) x2 + ( y + z) +1 Mt khỏc: x v y + z 2 2 2 x +1 ( y + z) +1 x + ( y + z) + Suy ra: x + y + z + = 2 2 x + ( y + z) P 18 x + ( y + z) + +1 2 x2 + ( y + z ) P 18 x + ( y + z) + 2 x2 + ( y + z ) + P 1+ + 18 x + ( y + z ) + 18 x2 + ( y + z ) + 2 + P Mt khỏc: 2 18 x + ( y + z) + 1,0 1,0 Vy GTLN ca P l 5 t c x = y = 1, z = Cho 2016 hp m mi ny u cha ỳng 40 phn t Bit rng hai tựy ý cỏc ny u cú ỳng phn t chung Chng minh rng tn ti mt phn t thuc tt c 2016 ó cho Xột A tựy ý 2016 ó cho Vỡ A cú phn t chung vi tng 2015 cũn li nờn A phi tn ti phn t a no ú thuc ớt nht 51 cũn li (Do nu ta gi s 40 phn t ca A ch thuc 50 cũn li, thỡ s ó cho khỏc A s l 50.40=2000 < 2016 vụ lý) Nh vy phn t a thuc 52 gi s 52 ú l A, A1 , A2 , A51 Ta s chng minh phn t a thuc bt k B 2015 cũn li Do hai bt k ch cú nht phn t chung nờn cỏc A, A1 , A2 , A51 khụng th cú phn t chung no khỏc a Gi s phn t a khụng thuc B Khi ú vi mi Ai (1 i 51) B phi cú phn t chung b v cỏc phn t ny cng phi khỏc (vỡ nu = a j thỡ Ai , Aj ( i; j 51) s cú ớt nht hai phn t chung l a v ) Do ú B cha khụng it hn 52 phn t Vụ lý Do ú a thuc B m B l bt k 1964 cũn li Vy a thuc tt c 2016 ó cho 2 Tỡm cỏc nghim nguyờn dng ca phng trỡnh: x y + z = 16 vi ( y < x < 10 ) Phng trỡnh ó cho tng ng vi: ( x ) z = x y (1) Do < y < x v x nguyờn dng nờn x Ta thy phng trỡnh ó cho cú nghim ( x; y; z ) = ( 2;1;1) 2 Nu x {3;4;5} thỡ x > y > nờn x y > v z > nờn z Suy ra: ( x ) z trng hp ny phng trỡnh ó cho khụng cú nghim nguyờn dng 2 2 Xột x  y < x nờn x y = 11 T phng trỡnh (1) suy ra: 2 ( x ) z 11 ( x ) > 11 x < 10 x {8;9} Vi x = thay vo (1) ta c 16 z = 64 y ( y z ) ( y + z ) = 48 (2) T (2) suy ra: y > z > y + z = y = Kt hp vi y < x = ta suy y z = z = 4,0 1,0 1,0 1,0 1,0 4,0 2 Vi x = thay vo phng trỡnh (1) t c 25 z = 81 y (3) Vỡ 25 z < nờn 81 y < y > mt khỏc y < x = nờn y 1,0 1,0 1,0 1,0 Suy y = thay vo (3) ta cú z = (loi) Vy phng trỡnh ó cho cú nghim: ( x; y; z ) = ( 2;1;1) , ( 8;7;1) TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII TRNG PT VNG CAO VIT BC THI XUT - THI MễN TON - KHI 10 Nm hc 2015 - 2016 Thi gian lm bi: 180 phỳt ( ny cú trang, gm cõu) Cõu (4 im) Gii phng trỡnh 2x2 - 6x - 1= 4x - Cõu (4 im) Cho tam giỏc ABC cõn ( AB = AC ) Gi M l trung im ca BC , D l im trờn ng thng AM cho DB ^ AB, P l im bt k thuc cnh ỏy BC Qua P k ng thng ct AB, AC ln lt ti E ,F Chng minh rng DP ^ EF v ch DE = DF Cõu (4 im) Cho hai s thc dng x,y tha iu kin: x + 2y - xy = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P= x2 y2 + + 8y 1+ x Cõu (4 im) Trờn bng cho a thc f ( x) = x + 5x + Thc hin trũ chi sau, nu trờn bng ó cú a thc P ( x) thỡ c phộp vit thờm lờn bng mt hai a thc sau ổ1 ữ ữ Q ( x) = x2.f ỗ + , R ( x) = f ( x + 2016) ỗ ữ ữ ỗ ốx ứ Hi sau mt s bc ta cú th vit c a thc g( x) = 31x + 7x - 16 hay khụng? Cõu (4 im) Tỡm phn d chia 32k cho 2k+3 , ú k l s nguyờn dng HT Ngi H tờn: - in thoai: TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII TRNG PT VNG CAO VIT BC HNG DN CHM - HNG DN CHM MễN TON - KHI 10 Nm hc 2015 - 2016 Lu ý: Cỏc cỏch gii khỏc hng dn chm, nu ỳng cho im ti a theo thang im ó nh Cõu Ni dung KX 4x + x + PT (2x - 3)2 = 4x + + 11 (1) iờm 0,5 ỡù (2x - 3)2 = 4y + ù t 2y - = 4x - ta cú h ùớù (2y - 3)2 = 4x + ùùợ ộy = x ị ờy = - x - 0,5 0,5 0,5 Vi ta cú pt ỡù 4x + = (2x - 3)2 4x + = 2x - ùớ ùù 2x - ùợ 0,5 x = + (tmk) 0,5 0,5 Vi ta cú pt 4x + = - 2x - ỡù 4x + = (2x + 5)2 ùớ (VN) ùù - 2x - 0,5 ùợ Vy PT ban u cú mt nghim A E M B P C D F Chỳ ý rng nu E thuc on AB thỡ F nm ngoi on AC v ngc li *) Nu DP EF ã ã +) t giỏc BDPE ni tip (vỡ DBE + DPE = 1800 ) ã ã ằ ) (1) (cựng chn DP DBP = DEP +) D AM DB = DC tam giỏc DBC cõn ti D ã ã (2) DBP = DCP +) ABD = ACD (c.c.c) ãACD = ãABD = 900 , ú t giỏc ã ã CPDF ni tip (vỡ DPF = DCF = 900 ) ã ã ằ ) (3) (cựng chn DP DFP = DCP 1 ã ã T (1), (2), (3) ta cú DEP = DFP DE = DF *) Nu DE = DF +) Hai ng trũn ngoi tip hai tam giỏc vuụng DBE , DCF bng Gi P l im chung th hai ca hai ng trũn ny, DP l trc ng phng ca hai ng trũn, d thy EF DP v E , P, F thng hng ã ã ằ ằ = s CF +) DBE = DCF BDE = CDF s BE ã E = CP ã F , m E , P, F Vỡ hai ng trũn bng nờn BP thng hng B, P, C thng hng P = BC I EF hay P P Vy DP EF T gi thit suy ra: x + 2y = xy Theo bt ng thc AM-GM ta cú (x + 2y)2 8xy Suy (xy)2 - 8(xy) xy (do x,y > 0) Li theo bt ng thc AM-GM ta cú: x2 y2 x2 4y2 P= + = + + 8y 1+ x + 8y + 4x x2.4y2 xy = (4 + 8y)(4 + 4x) (1 + 2y)(1 + x) 2xy 8xy = + (x + 2y) + 4(x + 2y) 8xy = xy + 4xy Vy giỏ tr nh nht ca P l khi: x = 4;y = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a thc P ( x) = ax + bx + c cú bit thc D P = b2 - 4ac Ta cú Q ( x) = ( a + b + c) x2 + ( 2a + b) x + a 1 R ( x) = ax2 + ( 4032a + b) x + 20162a + 2016b + c Do DQ = D R = b - 4ac = D P nờn cỏc a thc c vit thờm v a thc ban u cú cựng bit thc D Vỡ hai a thc f ( x) v g( x) cú bit thc D khỏc nờn khụng th vit c a thc g( x) Ta cú ( k k ) 32 = 32 + 1 1 22 = (3 1)(3 + 1)(3 + 1)(3 + 1) (3 2 k + 1) + n D thy + 2(mod 4) , vi n N * Do ú cỏc s (32 + 1), (3 + 1), (32 + 1) + chia ht cho m khụng chia ht cho Hay + = p n , vi n N * v p n l s l Suy (3 + 1)(3 + 1) (3 + 1) + = k 1.(2m + 1), m N Vy = 2.4.2 k (2m + 1) + = m.2 k +3 + k + + Vỡ k + + < k + + k + = k +3 nờn phn d chia cho k +3 l k + + k n k 1 k k Ngi phn bin ỏp ỏn H tờn: - in thoai: [...]... 2.2015 2 .2016 l 20152 + 2014 nghim a 1,0 thc P( x) = x 2 20152 2014 Suy ra ( ) ( P S 20162 + 2015 = 0 S 20162 + 2015 ) 2 20152 2014 = 0 S 2 2 S 20162 + 2015 + 20162 20152 + 1 = 0 ( ) S 2 + 20162 20152 + 1 ( 2 1,0 = 4 S 2 (20162 + 2015) ) S 4 + 2 (20162 20152 + 1) 4 (20162 + 2015) S 2 + (20162 20152 + 1) 2 = 0 Do ú S = 20152 + 2014 + 20162 + 2015 l nghim ca a thc ( ) Q ( x) = x 4 + 2 (20162 ... (0) | 1 x 2 2 2 ) ( ( ) 100 8 x 2 + x + x 2 x + 2016 1 x 2 Vỡ ( x 2 + x)( x 2 x) = x 2 ( x 2 1) 0, x [ 1;1] nờn vi mi f v vi mi x [ 1;1] , ta cú ( ) ( ) f ( x) 100 8 x 2 + x x 2 x + 2016 1 x 2 = 2016 x 2 + 2016 | x | +2016 2 1 = 2016 | x | ữ + 2520 2520 2 1,0 Vy max max f ( x) ữ = 2520 , chng hn vi f x[ 1;1] 1,0 f ( x) = 2016 x 2 + 2016 x + 2016 Bi 4 (4,0 iờm) Trờn na... hai im u mỳt l A v B ta ly 2016 cung c1, c2 , , c2016 tha món: hai cung bt kỡ luụn cú im chung Chng minh rng cỏc cung c1, c2 , , c2016 cú im chung Hng dn chm 4,0 iờm Chiu vuụng gúc cỏc cung c1, c2 , , c2016 xung ng thng AB ta c 1,0 2016 on thng A1B1, A2 B2 , , A2016 B2016 ( Ai gia A v Bi ) tng ng tha món: giao ca hai on thng bt kỡ luụn khỏc rng Coi AB l mt trc s vi chiu dng l chiu t A n B Gi s cỏc im... , , c2016 Do ú cỏc cung c1, c2 , , c2016 cú im chung Bi 5 (4,0 iờm) Chng minh rng S = 20152 + 2014 + 20162 + 2015 l mt s vụ t Hng dn chm 4,0 iờm Gi s n 2 + k = n + Khi ú 2 + 2n k = 0 0 < = n + n 2 + k = 20152 + 2014 < 2015 + Suy ra 2014 v 2.2015 k n + n2 + k < k , n, k Ơ * 2n 20162 + 2015 < 2016 + 1,0 2015 2 .2016 Vy 2015 + 2016 < S < 2015 + 2016 + Mt khỏc, ta thy 2014 2015 + < 2015 + 2016. .. Vỡ [ Ai Bi ] A j B j ; i j; i, j = 1, 2016 nờn ỏp dng (*) ta c min{b1, b2 , , b2016 } max{a1, a2 , , a2016} Suy ra tn ti c ' tha món min{b1, b2 , , b2016 } c ' max{a1, a2 , , a2016} 1,0 2016 T ai c ' bi c ' [ai ; bi ],i = 1, 2016 c ' I [ai ; bi ] i =1 Gi s im C ' cú ta c ' trờn trc ó chn, suy ra C ' l im chung ca tt c cỏc on Ai Bi , i = 1, 2016 Gi d l ng thng qua C ' v 1,0 Hng dn... hp 1: 2 2n + 1 = q Vụ lý vỡ mt s chớnh phng chia 3 ch cú s d l 0 hoc 1 2 2n 1 = p Trng hp 2: 2 2n + 1 = 3q Khi ú p phi l s l 2 2 Gi s p = 2k + 1, k Ơ 2n = ( 2k + 1) + 1 n = k 2 + ( k + 1) , l iu phi chng minh 2,0 2,0 1,0 1,5 1,0 TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII TRNG THPT CHUYấN TUYấN QUANG THI XUT - THI MễN TON LP 10 Thi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thi gian giao ) ny cú 01 trang, gm 05 cõu)... = bk.(a.b a + c) c.(bk 1) = bk(ab a + c) c(b -1)(bk-1 + + b + 1) Do ú: (Tk+1 Tk ) Mm ( vỡ theo gi thit ta cú ab a + c v (b1)c Mm) M Tk M m (theo gi thit qui np), nờn Tk+1 Mm Vy Tn Mm n N TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII TON TRNG THPT CHUYấN THI NGUYấN THI XUT cõu) 1.0 1.0 1.0 1.0 THI MễN LP 10 ( ny cú 01 trang, gm 05 x + 2 y 2 + 1 y 2 + y + 1 = 0 ( 1) Cõu 1(4 im): Gii h phng trỡnh 2 4 ( x +... 20152 + 1) 4 (20162 + 2015) x 2 + (20162 20152 + 1) 2 Vỡ Q( x) Â[x] v h s ca ly tha bc cao nht ca Q( x) bng 1 nờn nu S l mt s hu t thỡ S phi l s nguyờn, vụ lớ theo chng minh trờn Vy S l mt s vụ t -Ht- 1,0 TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII THI MễN TON TRNG THPT CHUYấN CHU VN AN TNH LNG SN THI ẩ XUT LP 10 ( ny cú 01 trang, gm 05 cõu) Cõu 1 (4 im) Gii h phng trỡnh: x3 6 x 2 + 13x = y 3 + y + 10 , vi x, y... hc sinh phi chi tit, lp lun cht ch, tớnh toỏn chớnh xỏc mi c im ti a Cỏc cỏch gii khỏc nu ỳng vn cho im T chm trao i v thng nht chi tit nhng khụng c quỏ s im dnh cho cõu, phn ú 2 Mi vn phỏt sinh trong quỏ trỡnh chm phi c trao i thng nht trong t chm v ghi vo biờn bn TRNG THPT CHUYấN H LONG Ht TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII THI MễN TON TRNG THPT CHUYấN HNG VNG TNH PH TH THI XUT LP 10 ( ny cú 01... bc hai f ( x) = ax 2 + bx + c vi h s thc v tha món 2016 f (1), f (1), f (0) 2016 Tỡm max max f ( x) ữ f x[ 1;1] Bi 4 (4,0 iờm) Trờn na ng trũn vi hai im u mỳt l A v B ta ly 2016 cung c1, c2 , , c2016 tha món: hai cung bt kỡ luụn cú im chung Chng minh rng cỏc cung c1, c2 , , c2016 cú im chung Bi 5 (4,0 iờm) Chng minh rng S = 20152 + 2014 + 20162 + 2015 l mt s vụ t -HtGhi chỳ: - Thớ sinh khụng