TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII ĐỀ THI MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN CHU VĂN AN TỈNH LẠNG SƠN ĐỀ THI ĐÈ XUẤT LỚP 10 (Đề có 01 trang, gồm 05 câu) Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình: x3 − x + 13 x = y + y + 10 , với x, y ∈ ¡ 2 x + y + − − x − y = x − x − 10 y + Người đề (Nguyễn Tiến Tuấn -0904666896) Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC · Gọi AD đường phân giác BAC với D ∈ BC ; gọi S, T tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, ACD Gọi M trung điểm cung lớn BC (O) a Chứng minh ASTM hình thang cân b Các đường thẳng qua B, C vuông góc với AD cắt đường thẳng AO E, F Gọi P giao SE với TF Chứng minh AMPD hình chữ nhật Người đề (Nguyễn Thanh Dũng - 01689390545) Câu (4 điểm) Cho đa thức P ( x ) = x + ax + bx + cx + có hệ số a, b, c số thực không âm Giả sử phương trình P ( x ) = có nghiệm, chứng minh: a + b c 58 + ≥ 9 Người đề (Ngô Sơn -0983706448) Câu (4 điểm) Một lớp học có 17 học sinh nam và 20 học sinh nữ Hỏi có tất cả cách xếp 37 học sinh đó thành một hàng dọc cho xuất hiện đúng một cặp nam - nữ thỏa mãn nam đứng trước nữ? Người đề (Lương Quốc Tuấn -0983192113) Câu (4 điểm) Cho đa thức P ( x ) = x − 54 x + 243x + m , với m ∈ ¢ Chứng minh tồn n ∈ ¢ cho P ( n ) M821 với m Người đề (Hoàng Đức Cường -0983245181) HẾT HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN, LỚP:10 Lưu ý: Các cách giải khác hướng dẫn chấm, cho điểm tối đa theo thang điểm định Câu Nội dung x − x + 13x = y + y + 10 ( 1) , với x, y ∈ ¡ 2 x + y + − − x − y = x − x − 10 y + ( ) Điểm Lời giải Từ PT (1) ta có: ( x − 2) − y3 + x − y − = ⇔ ( x − − y ) ( x − ) + ( x − ) y + y + 1 = ⇔ x − − y = ⇔ y = x − Thế vào pt (2) được: ⇔ ( ) ( 3x + − − x = x − x − 10 x + 26 (ĐK: −1 ≤ x ≤ ) ) x + − + − − x = x − x − 10 x + 24 3x − 2x − + = ( x − ) ( x − x − 12 ) 3x + + + − x x = ⇔ + = x − x − 12 ( *) x + + + − x ⇔ 5 + > 0;VP = x − x − 12 < ⇒ PT (*) vô Với x ∈ −1; VT = 3x + + + − x nghiệm Vậy hệ có nghiệm (2;0) 1 0,5 a) A B −C 0 · · + CAD = 900 − C − = Dễ thấy ·ABS = 90 − ·ADB = 90 − ACD , 2 ¼ − »AB = B − C suy · mặt khác ·ABM = sd MAB ABS = ·ABM suy B, S, M thẳng 2 hàng Tương tự C, T, M thẳng hàng Mặt khác ·ASB = ·ADB = ·ATC , suy ·ASM = ·ATM suy ASTM nội tiếp (1) Chú ý · AM, AT phân giác góc BAC nên AM ⊥ AD ( ) Hơn nữa, ST trung trực AD nên ST ⊥ AD Do suy ST P AM (2) Từ (1) (2) suy ASTM hình thang cân b) 0,5 0,5 0,5 0,5 A A · · · = 900 − BAO + BAD = 900 − ( 900 − C ) + = C + = ·ADB suy Ta có ·AEB = 90 − DAE 2 AEDB nội tiếp Tương tự ACFD nội tiếp ( ) · · · · = EAS − ·AST = BAE − ·ABD = 900 − BAD − B = 1900 − A − B = C Do đó, PST 0,5 · · · · · STD = ·ACD = C suy STD = PST = C Tương tự TSD = STP = B Do đó, ∆STD : ∆TSP , ST cạnh chung nên ∆STD = ∆TSP suy ATPD hình thang cân Lưu ý SA=SD, TM=TP nên D, P đối xứng với A, M qua ST Tức AMPD hình chữ nhật W Nhận xét Thực chất A tâm đồng dạng chuyển BS thành CT Bài toán việc cộng góc túy sử dụng tính đối xứng kết hợp với hình thang cân ASTM, STPD Từ sinh hình chữ nhật thú vị AMPD + Ta thu nhiều kết hay từ mô hình này: - PE=PF - DEPF nội tiếp 0,5 0,5 - Gọi X giao AD với (DEF) XE=XF Do đó, XP trung trực EF - Gọi Y giao ST với BC SA tiếp tuyến (O) + Mô hình nhiều tính chất thú vị Do hệ số a, b, c không âm nên nghiệm P ( x ) số âm Gọi − x1 ; − x2 ; − x3 ; − x4 nghiệm P ( x ) x1 , x2 , x3 , x4 dương theo Định lý Viet x1 x2 x3 x4 = Ta có P ( x ) = ( x + x1 ) ( x + x2 ) ( x + x3 ) ( x + x4 ) suy P ( 3) = ( + x1 ) ( + x2 ) ( + x3 ) ( + x4 ) = ( + + + x1 ) ( + + + x2 ) ( + + + x3 ) ( + + + x4 ) ≥ 4 x1 4 x2 4 x3 4 x4 = 256 x1 x2 x3 x4 = 256 Mặt khác P ( 3) = + a3 + b3 + c3 + = 27 a + 9b + 3c + 82 b c 58 Suy 27 a + 9b + 3c + 82 ≥ 256 ⇔ a + + ≥ Ta có điều phải chứng minh 9 10 { 011 10 { { đó: có nhất một cặp (0;1), 17 chữ Xét dãy nhị phân sau: { x so1 x so x so1 x so 1 số và 20 chữ số Số các dãy nhị phân thỏa mãn là số nghiệm nguyên của hệ phương trình: x1 + x2 + x3 + x4 = 35 x1 + x3 = 16 x ≥ 0, i = 1, 2,3, ( ) i 1 Số nghiệm nguyên không âm của hệ phương trình là: C17 C20 = 340 Trở lại bài toán: Coi mỗi chữ số là một học sinh nam, mỗi chữ số là một học sinh nữ Do vậy: số cách xếp 37 học sinh thành một hàng dọc cho xuất hiện đúng một cặp 1 nam - nữ thỏa mãn nam đứng trước nữ là C17 C20 17!.20! 1 Nhận xét 821 số nguyên tố có dạng 3k + Để chứng minh toán ta chứng minh A = { P ( 1) , P ( ) ,K , P ( 821) } hệ đầy đủ mod 821 với m Nghĩa P ( ni ) ≡ P ( n j ) ( mod 821) ni ≡ n j ( mod 821) Vì ( 2,821) = nên P ( ni ) ≡ P ( n j ) ( mod 821) ⇔ P ( ni ) ≡ P ( n j ) ( mod 821) ( 4ni3 − 54ni2 + 243ni + m ) ≡ ( 4n3j − 54n 2j + 243n j + m ) ( mod 821) ( 2ni − ) ≡ ( 2n j − ) ( mod 821) (1), với m 3 Ta chứng minh bổ đê sau; x ≡ y ( mod p ) x ≡ y ( mod p ) với p = 3k + số nguyên tố Thật 3 Nếu x ≡ ( mod p ) ⇒ x ≡ ≡ y ( mod p ) ⇒ y ≡ ( mod p ) ⇒ x ≡ y ( mod p ) k +1 ≡ ≡ y 3k +1 ( mod p ) Nếu x M p hay ( x, p ) = ( y , p ) = , theo Fermat ta có x 3 3k 3k k +1 k +1 Từ x ≡ y → x ( xy ) ≡ y ( xy ) → x y ≡ y x → y ≡ x ( mod p ) Vậy từ (1) ⇒ 2ni − ≡ 2n j − ( mod 821) ⇔ ni ≡ n j ( mod 821) , ≤ ni , n j ≤ 821 nên ni = n j Vậy A = { P ( 1) , P ( ) ,K , P ( 821) } hệ đầy đủ mod 821 với m Suy với m, tồn ni cho P ( ni ) ∈ A thỏa mãn P ( ni ) M821