Đề thi (đề xuất) trại hè hùng vương lần thứ XII năm 2016 toán 10 chuyên thái NGuyên

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN ĐỀ THI ĐỀ XUẤT (Đề có 01 trang, gồm 05 câu)  x + y + − y + y + = ( 1)   ( x + y ) ( x + y + y ) + y = ( ) Câu 1(4 điểm): Giải hệ phương trình Câu 2(4 điểm): Đường tròn (J) bàng tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC A′ phần kéo dài AB, AC C ′, B′ Gọi (O) (I) làcác đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC D trung điểm B′C ′ Chứng minh D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A′ thuộc đường thẳng IO Câu 3(4 điểm): Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh : a b c c+a a +b b+c + + ≥ + + b c a c+b a+c b+a Câu 4(4 điểm): Trên bảng có bốn số 3, 4, 5, Mỗi lần thực hiện, cho phép xóa hai 2 2 số x, y có bảng thay x + y + x + y x + y − x + y Hỏi sau số hữu hạn bước thực hiện, bảng xuất số nhỏ không? n2 − Câu 5(4 điểm): Cho số nguyên dương n cho tích hai số tự nhiên liên tiếp Chứng minh n tổng hai số phương liên tiếp - HẾT Người đề Lê Xuân Nam (ĐT : 0915 72 55 77) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 10 Lưu ý: Các cách giải khác hướng dẫn chấm, nếuđúng cho điểm tối da theo thang điểmđãđịnh Câ u Nội dung Điểm Điều kiện xác định x + y + ≥ a = x + y , b = y , b ≥ Ta có phương trình (2) trở thành Đặt  a = −b a + 4ab + 3b = ⇔ ( a + b ) ( a + 3b ) = ⇔   a = −3b 2 x + y = − y ⇔ x = − y − y ( 3) a = − b +) Với ta có 1,0 1,5 Thế (3) vào (1) ta y − y + − y + y + = ⇔ ( y − y + 1) − y − y + − =  + 13 ⇒ x = −4 − 13 y =  y − y + = −1 2 ⇔ ⇔ y − y−3=0⇔    y2 − y + = − 13  ⇒ x = −4 + 13 y =  Cả hai giá trị x thỏa mãn điều kiện xác định 2 +) Với a = −3b ta có x + y = −3 y ⇔ x = −3 y − y ( ) Thế (4) vào (1) ta phương trình − y − y + − y + y + = ⇔ y = −1 ⇒ x = −2 (thỏa mãn điều kiện xác định) Kết luận: Hệ phương trình có ba nghiệm  + 13   − 13   −4 − 13; ÷,  −4 + 13; ÷, ( −2; −1) 2    GọiD tâm đường tròn qua B, C, I, J ⇒ D trung điểm IJ JA′ ⊥ BC , OD ⊥ BC ⇒ OD / / JA′ 1,5 1,0 Ta cần chứng minh bán kính đường tròn (J) gấp đôi bán kính 1,0 A sin = JD = ID = BD đườngtròn ngoại tiếp tam giácABC Ta có: Áp dụng định lí sin cho tam giác ABD có: 1,0 A A A BD = R sin ⇒ sin = R sin ⇒ = R ⇒ OD = JA′ 2 2 1,0 ⇒ O′D = JA′ ⇒ O′ ≡ O Nếu OD cắt IA′ O′ O′ trung điểm IA′ a + c + xy 1− x a b c = = x+ = x, = y , = z 1+ y c a Đặt b Ta có b + c + y b+a 1− y b + c 1− z 1,5 = y+ ; =z+ 1+ z b + a 1+ x Tương tự ta có c + a Khi toán trở thành Cho x, y, z ba số số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh x −1 y −1 z −1 + + ≥ ⇔ x z + z y + y x + x + y + z ≥ x + y + z + ( *) y +1 z +1 x +1 2 1,5 x z + z y + y x ≥ Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có x +y +z 2 ( x + y + z) ≥ ≥ xyz ( x + y + z ) = x + y + z Ta lại có Từ bất đẳng thức (*) chứng minh Đẳng thức xảy 1,0 a = b = c 2 2 a = x + y + x + y , b = x + y − x + y Đặt Ta có 1 1 x+ y 1 + = + = = + a b x + y + x2 + y2 x + y − x2 + y xy x y 2,0 Như vậy, qua phép biến đổi, tổng nghịch đảo số bảng không 2,0 1 1 19 + + + =