TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN ĐỀ THI ĐỀ XUẤT (Đề có 01 trang, gồm 05 câu) x + y + − y + y + = ( 1) ( x + y ) ( x + y + y ) + y = ( ) Câu 1(4 điểm): Giải hệ phương trình Câu 2(4 điểm): Đường tròn (J) bàng tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC A′ phần kéo dài AB, AC C ′, B′ Gọi (O) (I) làcác đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC D trung điểm B′C ′ Chứng minh D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A′ thuộc đường thẳng IO Câu 3(4 điểm): Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh : a b c c+a a +b b+c + + ≥ + + b c a c+b a+c b+a Câu 4(4 điểm): Trên bảng có bốn số 3, 4, 5, Mỗi lần thực hiện, cho phép xóa hai 2 2 số x, y có bảng thay x + y + x + y x + y − x + y Hỏi sau số hữu hạn bước thực hiện, bảng xuất số nhỏ không? n2 − Câu 5(4 điểm): Cho số nguyên dương n cho tích hai số tự nhiên liên tiếp Chứng minh n tổng hai số phương liên tiếp - HẾT Người đề Lê Xuân Nam (ĐT : 0915 72 55 77) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 10 Lưu ý: Các cách giải khác hướng dẫn chấm, nếuđúng cho điểm tối da theo thang điểmđãđịnh Câ u Nội dung Điểm Điều kiện xác định x + y + ≥ a = x + y , b = y , b ≥ Ta có phương trình (2) trở thành Đặt a = −b a + 4ab + 3b = ⇔ ( a + b ) ( a + 3b ) = ⇔ a = −3b 2 x + y = − y ⇔ x = − y − y ( 3) a = − b +) Với ta có 1,0 1,5 Thế (3) vào (1) ta y − y + − y + y + = ⇔ ( y − y + 1) − y − y + − = + 13 ⇒ x = −4 − 13 y = y − y + = −1 2 ⇔ ⇔ y − y−3=0⇔ y2 − y + = − 13 ⇒ x = −4 + 13 y = Cả hai giá trị x thỏa mãn điều kiện xác định 2 +) Với a = −3b ta có x + y = −3 y ⇔ x = −3 y − y ( ) Thế (4) vào (1) ta phương trình − y − y + − y + y + = ⇔ y = −1 ⇒ x = −2 (thỏa mãn điều kiện xác định) Kết luận: Hệ phương trình có ba nghiệm + 13 − 13 −4 − 13; ÷, −4 + 13; ÷, ( −2; −1) 2 GọiD tâm đường tròn qua B, C, I, J ⇒ D trung điểm IJ JA′ ⊥ BC , OD ⊥ BC ⇒ OD / / JA′ 1,5 1,0 Ta cần chứng minh bán kính đường tròn (J) gấp đôi bán kính 1,0 A sin = JD = ID = BD đườngtròn ngoại tiếp tam giácABC Ta có: Áp dụng định lí sin cho tam giác ABD có: 1,0 A A A BD = R sin ⇒ sin = R sin ⇒ = R ⇒ OD = JA′ 2 2 1,0 ⇒ O′D = JA′ ⇒ O′ ≡ O Nếu OD cắt IA′ O′ O′ trung điểm IA′ a + c + xy 1− x a b c = = x+ = x, = y , = z 1+ y c a Đặt b Ta có b + c + y b+a 1− y b + c 1− z 1,5 = y+ ; =z+ 1+ z b + a 1+ x Tương tự ta có c + a Khi toán trở thành Cho x, y, z ba số số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh x −1 y −1 z −1 + + ≥ ⇔ x z + z y + y x + x + y + z ≥ x + y + z + ( *) y +1 z +1 x +1 2 1,5 x z + z y + y x ≥ Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có x +y +z 2 ( x + y + z) ≥ ≥ xyz ( x + y + z ) = x + y + z Ta lại có Từ bất đẳng thức (*) chứng minh Đẳng thức xảy 1,0 a = b = c 2 2 a = x + y + x + y , b = x + y − x + y Đặt Ta có 1 1 x+ y 1 + = + = = + a b x + y + x2 + y2 x + y − x2 + y xy x y 2,0 Như vậy, qua phép biến đổi, tổng nghịch đảo số bảng không 2,0 1 1 19 + + + =