TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ TỈNH HÒA BÌNH ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ THI MÔN: TOÁN LỚP 10 Đề thi có trang, gồm câu Câu (4 điểm): Giải hệ phương trình sau: x y + x y − 3xy + x + y = 12 xy + 3x − y + 2 3 x − y − x − y − = Câu (4 điểm): Cho tam giác ABC nôi tiếp đường tròn (O) , đường phân giác góc ∠BAC cắt (O) D khác A E điểm đối xứng B qua AD BE cắt (O) F khác B P điểm di chuyển cạnh AC Gọi ( K ) đường tròn ngoại tiếp tam giác BPE Gọi giao điểm (O) ( K ) điểm L khác B a) Chứng minh LP qua điểm cố định S cố định P di chuyển b) Gọi T trung điểm PE Chứng minh đường thẳng qua T song song với LS qua trung điểm AF Câu (4 điểm): Cho a,b,c ba số thực dương Chứng minh a b2 c a + b4 b4 + c 4 c + a + + ≥ + + b c a 2 Câu (4 điểm): Ban đầu ta có số B0 = (1, 2,3, 4) Thực trò chơi sau, ta có số B = ( x, y, z , t ) thay T ( B) = ( x − y , y − z , z − t , t − x) Chứng minh sau số bước ta nhận số B = ( x, y, z , t ) mà x + y + z + t ≥ 22016 Câu (4điểm): Tìm tất cặp số nguyên dương (m, n) cho số nguyên ……………………… HẾT …………………… m4 + n2 m − 3n Câu Giải hệ phương trình sau: HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Điểm 2 2 2 x y + x y − 3xy + x + y = 12 xy + 3x − y + 2 3x − y − x − y − = Đáp án: 1,0 Hệ phương trình cho tương đương y ( x − 3x) + y ( x − 3x) + ( x − 3x) + y + y + = 2 3( x − x) − 2( y + y ) = ( x − x + 1)( y + y + 1) = ⇔ 2 3( x − x) − 2( y + y ) = u = x − 3x Đặt thay vào hệ phương trình ta hệ v = y + y 1,0 u = 3u − v = (u + 1)(v + 1) = v = ⇔ ⇔ −5 u = 3u − 2v = (u + 1)(3u − 1) = v = −4 u = +) Với ta có v = ± 13 ± 13 x − x − = x = x = ⇔ 2 y + y = y = y = −4 −5 u = ta có +) với v = −4 ± 21 x − 3x + = x = ⇔ y + 4y + = y = −2 Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) ( − 13 + 13 − 13 + 13 + 21 − 21 ;0);( ;0);( ; −4);( ; −4);( ; −2);( ; −2) 2 2 6 Cho tam giác ABC nôi tiếp đường tròn (O) , đường phân giác góc ∠BAC cắt (O) D khác A E điểm đối xứng B qua AD BE cắt (O) F khác B P điểm di chuyển cạnh AC Gọi ( K ) đường tròn ngoại tiếp tam giác BPE Gọi giao điểm (O) ( K ) điểm L khác B a) Chứng minh LP qua điểm cố định S cố định P di chuyển 2,0 b) Gọi T trung điểm PE Chứng minh đường thẳng qua T song song với LS qua trung điểm AF Đáp án: Giải: 1đ a) Gọi S giao điểm LP với (O) ( S ≠ L ) Ta chứng minh điểm S cố định P di chuyển Ta có ∠DLS = ∠DLB + ∠BLS = ∠BAD + ∠BEA Mà ∠BEA = ∠EBA ( theo giả thiết ) Suy ∠DLS = ∠BAD + ∠EBA = 900 Suy DS đường kính (O) , S cố định b) Ta chứng minh tứ giác AEFS hình bình hành Thật AD ⊥ AS ⇒ AS / / BF BF ⊥ AD Mà tứ giác ABFS nội tiếp suy ABFS hình thang cân Do ∠ABE = ∠AEB = ∠SFB ⇒ AE / / SF Gọi M giao điểm AF SE Suy M trung điểm AF SE Mặt khác TM đường trung bình tam giác EPS suy TM / / PS ≡ LS (đpcm) Cho a,b,c ba số thực dương Chứng minh a b2 c2 a + b4 b + c 4 c + a + + ≥ + + b c a 2 HD: Ta chứng minh bất đẳng thức sau 4đ a b2 c + + ≥ a − ab + b + b − bc + c + c − ca + a b c a Ta có VT = b2 c2 a b2 c a + + = ( − a + b) + b + ( − b + c ) + c + ( − c + a ) + a − ( a + b + c ) b c a b c a Áp dụng bất đẳng thức AM-GM a − ab + b + b ≥ a − ab + b b b − bc + c + c ≥ b − bc + c c c − ca + a + a ≥ c − ca + a a Suy a b2 c + + ≥ a − ab + b + b − bc + c + c − ca + a − (a + b + c ) b c a 2 a b c2 a b2 c2 ⇒ + + ≥ a − ab + b + b − bc + c + c − ca + a − ( + + ) b c a b c a 2 a b c ⇒ + + ≥ a − ab + b + b − bc + c + c − ca + a b c a Ta chứng minh a + b4 a + b4 2 a − ab + b ≥ ⇔ (a − ab + b ) ≥ ⇔ (a − b) ≥ ( đúng) 2 Ban đầu ta có số B0 = (1, 2,3, 4) Thực trò chơi sau, ta có số B = ( x, y, z , t ) thay T ( B) = ( x − y , y − z , z − t , t − x) Chứng minh sau số bước ta nhận số B = ( x, y, z , t ) mà x + y + z + t ≥ 22016 Giải : Giả sử sau bước thứ n ta nhận số (an ; bn ; cn ; d n ) Đặt S n = an2 + bn2 + cn2 + d n2 Ta chứng minh Sn đại lượng đơn biến Thật S n +1 = an2+1 + bn2+1 + cn2+1 + d n2+1 = (an − bn ) + (bn − cn )2 + (cn − d n ) + (d n − an ) =2 S n − 2( anbn + bn cn + cn d n + d n an ) Mặt khác , an + bn + cn + d n = ⇒ 2(anbn + bncn + cn d n + d n an ) = −(an + cn ) − (bn + d n ) ≤ Do S n +1 ≥ 2Sn ∀n ≥ Suy Sn ≥ 2n −1 S1 2 2 Do ( an + bn + cn + d n ) ≥ an + bn + cn + d n Nên an + bn + cn + d n ≥ n −1 S1 Chon n đủ lớn ta an + bn + cn + d n ≥ n −1 S1 ≥ 22016 Vậy sau số bước ta nhận số B = ( x, y, z , t ) mà x + y + z + t ≥ 22016 4đ Tìm tất cặp số nguyên dương (m, n) cho m4 + n2 số nguyên m − 3n Đáp án m4 + n2 Đặt A = m n −3 Dễ thấy m ,3n số lẻ với m, n nguyên dương nên m − 3n chẵn nên để A m, n phải tính chẵn lẻ Xét hai trường hợp Trường hợp 1: m, n lẻ m Ta có ≡ 3n ≡ (−1)(mod 4) Và m − 1M4 n − 1M4 ⇒ m + n ≡ 2(mod 4) Loại trường hợp A không nguyên Trường hợp: m, n chẵn Ta có m ≡ 3n ≡ 1(mod8) nên để A nguyên m + n M8 mà m M8 nên n M8 ⇒ n M4 Đặt m = 2a, n = 4b, Khi A= a,b ∈ Z + 16(a + b ) a − 34b Do A nguyên A khác nên A ≥ Suy 16(a + b ) 16(a + b ) ≥ ⇔ ≥1 a − 34b (7 a + 9b )(7 a − 9b ) ⇔ 16(a + b ) ≥ a + 9b a − 9b > a + 9b Suy 16(a + b ) > 2(7 a + 9b ) > 2(7 a + 7b ) Giả sử c = max { a; b} , ta có 16(c + c ) > 16(a + b ) > 2(7 a + 9b ) > 2(7 a + b ) > 2.7 c (1) Ta chứng minh điều ngược lại 2.7c > 16(c + c ) Với c = mệnh đề (*) Giả sử mệnh đề đến c Ta chứng minh mệnh đề đến c + Thật ∀c ∈ N , c ≥ (*) 2.7 c > 16(c + c ) ⇒ 2.7 c +1 > 7(16c + 16c ) ⇒ 2.7 c +1 − 16(c + 1) + 16(c + 1) > 16 (7 c + 7c ) − (c + 1) − (c + 1) 4 3 Mà 16 (7c + 7c ) − (c + 1) − (c + 1) = 16 c (c − 4) + 2c(c − 3) + 3c − > ∀c ≥ Mệnh đề chứng minh Từ (1) suy ≤ c ≤ ⇒ ≤ a, b ≤ Thử trực tiếp ta tìm a = b = Vậy (m; n) = (2;4) thỏa mãn toán Mọi cách giải khác kết lập luận chặt chẽ cho điểm tương đương Người đề thi Bùi Văn Vịnh Số ĐT: 0974802686