Đề thi (đề xuất) trại hè hùng vương lần thứ XII năm 2016 toán 10 hoàng văn thụ hòa bình

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ TỈNH HÒA BÌNH ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ THI MÔN: TOÁN LỚP 10 Đề thi có trang, gồm câu Câu (4 điểm): Giải hệ phương trình sau:  x y + x y − 3xy + x + y = 12 xy + 3x − y +  2 3 x − y − x − y − = Câu (4 điểm): Cho tam giác ABC nôi tiếp đường tròn (O) , đường phân giác góc ∠BAC cắt (O) D khác A E điểm đối xứng B qua AD BE cắt (O) F khác B P điểm di chuyển cạnh AC Gọi ( K ) đường tròn ngoại tiếp tam giác BPE Gọi giao điểm (O) ( K ) điểm L khác B a) Chứng minh LP qua điểm cố định S cố định P di chuyển b) Gọi T trung điểm PE Chứng minh đường thẳng qua T song song với LS qua trung điểm AF Câu (4 điểm): Cho a,b,c ba số thực dương Chứng minh a b2 c a + b4 b4 + c 4 c + a + + ≥ + + b c a 2 Câu (4 điểm): Ban đầu ta có số B0 = (1, 2,3, 4) Thực trò chơi sau, ta có số B = ( x, y, z , t ) thay T ( B) = ( x − y , y − z , z − t , t − x) Chứng minh sau số bước ta nhận số B = ( x, y, z , t ) mà x + y + z + t ≥ 22016 Câu (4điểm): Tìm tất cặp số nguyên dương (m, n) cho số nguyên ……………………… HẾT …………………… m4 + n2 m − 3n Câu Giải hệ phương trình sau: HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Điểm 2 2 2  x y + x y − 3xy + x + y = 12 xy + 3x − y +  2 3x − y − x − y − = Đáp án: 1,0 Hệ phương trình cho tương đương  y ( x − 3x) + y ( x − 3x) + ( x − 3x) + y + y + =  2 3( x − x) − 2( y + y ) = ( x − x + 1)( y + y + 1) = ⇔ 2 3( x − x) − 2( y + y ) = u = x − 3x Đặt  thay vào hệ phương trình ta hệ v = y + y 1,0  u =  3u −   v = (u + 1)(v + 1) = v = ⇔ ⇔   −5  u = 3u − 2v = (u + 1)(3u − 1) =   v = −4 u = +) Với  ta có v =   ± 13 ± 13  x − x − = x = x = ⇔   2  y + y = y =  y = −4   −5  u = ta có +) với  v = −4   ± 21  x − 3x + = x = ⇔  y + 4y + =  y = −2   Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) ( − 13 + 13 − 13 + 13 + 21 − 21 ;0);( ;0);( ; −4);( ; −4);( ; −2);( ; −2) 2 2 6 Cho tam giác ABC nôi tiếp đường tròn (O) , đường phân giác góc ∠BAC cắt (O) D khác A E điểm đối xứng B qua AD BE cắt (O) F khác B P điểm di chuyển cạnh AC Gọi ( K ) đường tròn ngoại tiếp tam giác BPE Gọi giao điểm (O) ( K ) điểm L khác B a) Chứng minh LP qua điểm cố định S cố định P di chuyển 2,0 b) Gọi T trung điểm PE Chứng minh đường thẳng qua T song song với LS qua trung điểm AF Đáp án: Giải: 1đ a) Gọi S giao điểm LP với (O) ( S ≠ L ) Ta chứng minh điểm S cố định P di chuyển Ta có ∠DLS = ∠DLB + ∠BLS = ∠BAD + ∠BEA Mà ∠BEA = ∠EBA ( theo giả thiết ) Suy ∠DLS = ∠BAD + ∠EBA = 900 Suy DS đường kính (O) , S cố định b) Ta chứng minh tứ giác AEFS hình bình hành Thật  AD ⊥ AS ⇒ AS / / BF   BF ⊥ AD Mà tứ giác ABFS nội tiếp suy ABFS hình thang cân Do ∠ABE = ∠AEB = ∠SFB ⇒ AE / / SF Gọi M giao điểm AF SE Suy M trung điểm AF SE Mặt khác TM đường trung bình tam giác EPS suy TM / / PS ≡ LS (đpcm) Cho a,b,c ba số thực dương Chứng minh a b2 c2 a + b4 b + c 4 c + a + + ≥ + + b c a 2 HD: Ta chứng minh bất đẳng thức sau 4đ a b2 c + + ≥ a − ab + b + b − bc + c + c − ca + a b c a Ta có VT =   b2   c2  a b2 c  a + + =  ( − a + b) + b  +  ( − b + c ) + c  +  ( − c + a ) + a  − ( a + b + c ) b c a  b   c   a  Áp dụng bất đẳng thức AM-GM a − ab + b + b ≥ a − ab + b b b − bc + c + c ≥ b − bc + c c c − ca + a + a ≥ c − ca + a a Suy a b2 c + + ≥ a − ab + b + b − bc + c + c − ca + a − (a + b + c ) b c a 2 a b c2 a b2 c2 ⇒ + + ≥ a − ab + b + b − bc + c + c − ca + a − ( + + ) b c a b c a 2 a b c ⇒ + + ≥ a − ab + b + b − bc + c + c − ca + a b c a Ta chứng minh a + b4 a + b4 2 a − ab + b ≥ ⇔ (a − ab + b ) ≥ ⇔ (a − b) ≥ ( đúng) 2 Ban đầu ta có số B0 = (1, 2,3, 4) Thực trò chơi sau, ta có số B = ( x, y, z , t ) thay T ( B) = ( x − y , y − z , z − t , t − x) Chứng minh sau số bước ta nhận số B = ( x, y, z , t ) mà x + y + z + t ≥ 22016 Giải : Giả sử sau bước thứ n ta nhận số (an ; bn ; cn ; d n ) Đặt S n = an2 + bn2 + cn2 + d n2 Ta chứng minh Sn đại lượng đơn biến Thật S n +1 = an2+1 + bn2+1 + cn2+1 + d n2+1 = (an − bn ) + (bn − cn )2 + (cn − d n ) + (d n − an ) =2 S n − 2( anbn + bn cn + cn d n + d n an ) Mặt khác , an + bn + cn + d n = ⇒ 2(anbn + bncn + cn d n + d n an ) = −(an + cn ) − (bn + d n ) ≤ Do S n +1 ≥ 2Sn ∀n ≥ Suy Sn ≥ 2n −1 S1 2 2 Do ( an + bn + cn + d n ) ≥ an + bn + cn + d n Nên an + bn + cn + d n ≥ n −1 S1 Chon n đủ lớn ta an + bn + cn + d n ≥ n −1 S1 ≥ 22016 Vậy sau số bước ta nhận số B = ( x, y, z , t ) mà x + y + z + t ≥ 22016 4đ Tìm tất cặp số nguyên dương (m, n) cho m4 + n2 số nguyên m − 3n Đáp án m4 + n2 Đặt A = m n −3 Dễ thấy m ,3n số lẻ với m, n nguyên dương nên m − 3n chẵn nên để A m, n phải tính chẵn lẻ Xét hai trường hợp Trường hợp 1: m, n lẻ m Ta có ≡ 3n ≡ (−1)(mod 4) Và m − 1M4 n − 1M4 ⇒ m + n ≡ 2(mod 4) Loại trường hợp A không nguyên Trường hợp: m, n chẵn Ta có m ≡ 3n ≡ 1(mod8) nên để A nguyên m + n M8 mà m M8 nên n M8 ⇒ n M4 Đặt m = 2a, n = 4b, Khi A= a,b ∈ Z + 16(a + b ) a − 34b Do A nguyên A khác nên A ≥ Suy 16(a + b ) 16(a + b ) ≥ ⇔ ≥1 a − 34b (7 a + 9b )(7 a − 9b ) ⇔ 16(a + b ) ≥ a + 9b a − 9b > a + 9b Suy 16(a + b ) > 2(7 a + 9b ) > 2(7 a + 7b ) Giả sử c = max { a; b} , ta có 16(c + c ) > 16(a + b ) > 2(7 a + 9b ) > 2(7 a + b ) > 2.7 c (1) Ta chứng minh điều ngược lại 2.7c > 16(c + c ) Với c = mệnh đề (*) Giả sử mệnh đề đến c Ta chứng minh mệnh đề đến c + Thật ∀c ∈ N , c ≥ (*) 2.7 c > 16(c + c ) ⇒ 2.7 c +1 > 7(16c + 16c ) ⇒ 2.7 c +1 − 16(c + 1) + 16(c + 1) > 16 (7 c + 7c ) − (c + 1) − (c + 1)  4 3 Mà 16 (7c + 7c ) − (c + 1) − (c + 1)  = 16 c (c − 4) + 2c(c − 3) + 3c −  > ∀c ≥ Mệnh đề chứng minh Từ (1) suy ≤ c ≤ ⇒ ≤ a, b ≤ Thử trực tiếp ta tìm a = b = Vậy (m; n) = (2;4) thỏa mãn toán Mọi cách giải khác kết lập luận chặt chẽ cho điểm tương đương Người đề thi Bùi Văn Vịnh Số ĐT: 0974802686