TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - TỈNH LAI CHÂU ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 10 (Đề có 01 trang gồm câu) Câu (5,0 điểm): Giải hệ phương trình x + 3xy − y + ( x + xy − y ) = x − xy − y ( x, y ∈ ¡ 2 3 x + 10 xy + 34 y = 47 ) Câu (5,0 điểm): Cho tam giác nhọn ABC, gọi H trực tâm tam giác, M · · trung điểm BC, I giao điểm phân giác ABH ACH Chứng minh MI qua trung điểm AH Câu (4,0 điểm): Cho ba số dương a, b, c a + b + c = Chứng minh rằng: a b c + + ≥ 2 1+ b 1+ c 1+ a Câu (4,0 điểm): Tìm ba số nguyên tố liên tiếp (liền kề) cho tổng bình phương chúng số nguyên tố Câu (2,0 điểm): Một hình tròn chia thành 10 ô hình quạt, ô người ta đặt viên bi Nếu ta di chuyển viên bi theo quy luật: lần lấy ô ô viên bi, chuyển sang ô liền kề theo chiều ngược chuyển tất viên bi không ? .HẾT Người đề Lê Thị Lệ Quyên (Số điện thoại: 0986722886) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN - LỚP 10 Lưu ý: cách giải khác hướng dẫn chấm, cho điểm tối đa theo thang điểm quy định Câu Nội dung cần đạt 2 3 x − xy − y ≥ ĐK: 2 4 x + xy − y ≥ Điểm 0,5 Chuyển vế nhân liên hợp phương trình (1), ta + ÷= ( x + 5xy − y ) 2 2 ÷ x + xy − y + x − xy − y x = y ⇔ +4>0 x + 3xy − y + x − xy − y x = −6 y 2,0 x =1⇒ y =1 Với x = y, thay vào (2), ta được: x = ⇔ x = −1 ⇒ y = −1 1,0 Với x = -6y thay vào (2) ta 47 ⇒ x = −6 y = 82 82 y = 47 ⇔ 47 ⇒x=6 y = − 82 1,0 47 82 47 82 47 47 47 47 ; ;− KL: S = ( 1;1) , ( −1; −1) , −6 ÷, ÷ 82 82 82 82 0,5 Do H trực tâm ∆ABC ⇒ BH ⊥ AC, CH ⊥ AB ⇒ ∆AEH, ∆ADH tam giác có cạnh huyền AH 0,5 Gọi N trung điểm AH, ta có EN = DN = Mà ∆BEC, ∆BDC tam giác vuông nên EM = DM = BC AH 0,5 0,5 ⇒ E D đối xứng qua MN · µ ECB · µ Ta lại có DBC = 90 − C, = 90 − B ( 1,0 ) · · µ = 45 − A µ ABI = IBD = 90 − A 2 1µ · · = ICH = 450 − A Tương tự ta có ACI 1µ µ · · · ⇒ IBC = IBD + DBC = 135 − A −C 1µ µ · = 1350 − A −B Chứng minh tương tự ta có IBC · · ⇒ BIC = 180 − 2IBC = 90 ⇒ IM = BC ⇒ MI = ME = MD · · · · µ = 90 − A µ IME = IMB − EMB = 180 − 2IBC − 180 − 2B ( · µ Chứng minh tương tự ta có IMD = 90 − A 1,0 ⇒ ∆EMI = ∆DMI ( c.g.c ) ⇒ IE = ID ⇒ I thuộc đường trung trực ED ⇒ M, I, N thẳng hàng 0,5 a ab ab ab Ta có = a − ≥ a − = a − + b2 + b2 2b b bc c ca Tương tự ta có ≥b− ; ≥ c− 2 1+ c 1+ a 1,0 Từ suy ) 1,0 a b c ab + bc + ca ab + bc + ca ( *) + + ≥ a + b + c − = − + b + c2 + a 2 2 a + b + c) ( Mặt khác, ta biết ab + bc + ca ≤ = ( ** ) Từ ( * ) ( ** ) ta có điều phải chứng minh Gọi số nguyên tố liên tiếp p, q, r với ≤ p < q < r 2 Bộ ba số nguyên tố liên tiếp 2,3,5 ⇒ + + = 38 không 0,5 1,0 1,0 0,5 1,0 số nguyên tố nên không thỏa mãn đề 2 1,0 Bộ ba số nguyên tố liên tiếp 3,5,7 ⇒ + + = 83 số nguyên tố nên thỏa mãn đề Xét p > hiển nhiên q, r > , nhận thấy số nguyên tố có dạng ±1 ( mod ) không chia hết cho 3, nên tổng bình 2,0 phương chúng chia hết số nguyên tố.Vậy ba số nguyên tố liên tiếp ( 3,5,7 ) số nguyên tố liên tiếp thỏa mãn đề Trước tiên, ta tô màu xen kẽ ô hình quạt, có ô tô màu (ô màu) ô không tô màu (ô trắng) Ta có nhận xét: Nếu di chuyển bi ô màu bi ô trắng tổng số bi ô màu không đổi Nếu di chuyển ô màu, ô bi tổng số bi ô màu giảm Nếu di chuyển ô trắng, ô bi tổng số bi ô màu tăng lên Vậy tổng số ô màu không đổi, giảm 2, tăng lên Nói cách khác, tổng số bi ô màu không thay đổi tính chẵn lẻ so với ban đầu Ban đầu tổng số bi ô màu viên (số lẻ) nên sau hữu hạn lần di chuyển bi theo quy luật tổng số bi ô màu khác khác 10, chuyển viên bi ô 0,5 0,5 0,5 0,5