TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X ĐỀ THI MÔN: TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN CHU VĂN AN LẠNG SƠN KHỐI 10 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Đề thi có trang gồm câu x− y=4 Câu 1: Giải hệ phương trình sau đây: y − = z z − = x Câu 2: Cho tam giác ABC không cân nội tiếp (O) có ba góc nhọn Gọi D, E, F chân đường cao đỉnh A, B, C lên cạnh BC, CA, AB tương ứng Giả sử đường tròn ngoại tiếp (AOD), (BOE), (COF) cắt cạnh BC, CA, AB kéo dài tương ứng I, J, K CMR: I, J, K thẳng hàng Câu 3: Cho số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c+2=abc Tìm giá trị nhỏ S = 1 + + a b c Câu 4: Cho dải ô vuông kiểu × n , có viên gạch kiểu ô vuông × × Có cách lát kín dải ô vuông viên gạch Câu 5: Cho 10 số nguyên dương u1 , u2 ,K , u10 Chứng minh tồn số ci ∈ { −1;0;1} , i = 1,2,K ,10 , không đồng thời cho số 10 ∑c u i =1 i i chia hết cho 1023 -HẾT Người đề: Nguyễn Thanh Dũng ĐT: 0168.390.545 ĐÁP ÁN Câu 1: (Trung bình) Cộng phương trình vào ta thu x+ y+ z= , f (t ) = x 0, ∀t>0 Giả sử 4t x < , 7 + > ⇒ y = + < ⇒ x = + > vô lí Vậy ta phải x z y x ≥ Hoàn toàn tương tự y ≥ 2, z ≥ Từ (1) suy x = y = z = ⇒ x = y = z = nghiệm hệ phương trình Câu 2: (Trung bình) Không tính tổng quát giả sử AB < AC , ta hình vẽ Vì tứ giác AODI nội tiếp AD vuông góc với BC nên ∠IOA = 900 Áp dụng định lí Sin cho tam giác IOB IOC ta được: IB sin ∠IOB sin(∠AOB − 900 ) sin(2C − 900 ) | cos 2C | = = = = , OB sin ∠OIB sin ∠OIB sin ∠OIB sin ∠OIB IC sin ∠IOC sin(3600 − 900 − ∠AOC ) sin(2700 − ∠AOC ) = = = OC sin ∠OIC sin ∠OIC sin ∠OIC IB cos 2C sin(2700 − B) | cos B | = = = Nên ta thu Tương tự, IC cos B sin ∠OIC sin ∠OIC ta thu IC cos A IA cos B IB IC IA = ; = , nên ta suy = , IA cos 2C IB cos A IC IA IB theo định lí Menelaus suy I, J, K thẳng hàng Câu 3: (Trung bình) Chú ý a+b+c+2=abc nên suy (a + 1)(b + 1)(c + 1) = ( a + 1)(b + 1) + (b + 1)(c + 1) + (c + 1)( a + 1) Do ta thu 1 1 1 + + =1⇒ + + =2 1 a + b + c + Áp dụng bất đẳng thức 1+ 1+ 1+ a b c 1 1 ÷ + + Cauchy-Schwarz ta + + + + + ÷ ÷≥ Từ b c + 1 + 1 + ÷ a a b c 1 3 hai điều ta suy + + ≥ Vậy S nhỏ , dấu xảy a b c 2 a = b = c nghiệm a − 3a − = ⇒ a = b = c = Câu 4: (Trung bình) Gọi số cách lát nhà dải ô vuông × n Sn , ta dễ dàng đếm S1 = 1, S2 = Lưu ý việc lát phụ thuộc vào viên gạch xếp Trường hợp 1: Viên gạch xếp × số cách lát dải n − viên lại Sn−1 Trường hợp 2: Viên gạch xếp × số cách là Sn−2 Do đó, ta 1± có Sn = Sn−1 + Sn −2 Xét phương trình đặc trưng X − X − = ⇒ X = , 2 n 1+ 1− Sn = a ÷ + b ÷ Thay n = 1, n = vào ta hệ 2 1+ 1− a ÷+ b ÷= 2 phương trình Giải hệ ta thu 2 1− 1+ a ÷ + b ÷ = 6+2 6−2 a= ,b = Do số cách lát 14 + 14 − n n + 1+ − 1− Sn = ÷ + ÷ 14 + 14 − 10 Câu 5: (Trung bình) Xét tất số có dạng Aj = ∑ biui với bi ∈ { 0;1} , i =0 i = 1,K ,10 , j = 1,K ,1024 Có 210 = 1024 cách chọn hệ số ( b1 ,K , b10 ) với bi ∈ { 0;1} nên có 210 = 1024 số Aj khác đôi Theo nguyên lý Dirichlet có it hai số, giả sử Ak Ah , cho Ak ≡ Ah ( mod 1023 ) Giả sử Ak 10 10 i =1 i =1 Ah có dạng Ak = ∑ bkiui Ah = ∑ bhiui Từ Ak ≡ Ah ( mod 2013) suy 10 10 10 ∑ b u ≡ ∑ b u ( mod1023) ⇔ ∑ ( b i =1 ki i i =1 hi i ci = bki − bhi , i = 1,K ,10 , ta ki i =1 − bhi ) ui ≡ ( mod1023) Đặt 10 ∑c u i =1 i i thỏa mãn: -Chia hết cho 1023 -Vì bki , bhi ∈ { 0;1} nên ci ∈ { −1;0;1} -Vì Ak ≠ Ah nên ci không đồng thời Vậy ta có điều phải chứng minh