268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.

268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.268 dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi toán.

MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM PH N I: BI Ch ng minh l s vụ t a) Ch ng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Ch ng minh b t d ng th c Bunhiacụpxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tỡm giỏ tr nh nh t c a bi u th c : S = x2 + y2 a) Cho a 0, b Ch ng minh b t ng th c Cauchy : b) Cho a, b, c > Ch ng minh r ng : a+b ab bc ca ab + + a+b+c a b c c) Cho a, b > v 3a + 5b = 12 Tỡm giỏ tr l n nh t c a tớch P = ab Cho a + b = Tỡm giỏ tr nh nh t c a bi u th c : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tỡm giỏ tr l n nh t c a bi u th c : N = a + b Cho a, b, c l cỏc s d ng Ch ng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) Tỡm liờn h gi a cỏc s a v b bi t r ng : a + b > a - b a) Ch ng minh b t ng th c (a + 1)2 4a b) Cho a, b, c > v abc = Ch ng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 10 Ch ng minh cỏc b t ng th c : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) 11 Tỡm cỏc giỏ tr c a x cho : a) | 2x | = | x | b) x2 4x c) 2x(2x 1) 2x 12 Tỡm cỏc s a, b, c, d bi t r ng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho bi u th c M = a2 + ab + b2 3a 3b + 2001 V i giỏ tr no c a a v b thỡ M t giỏ tr nh nh t ? Tỡm giỏ tr nh nh t ú 14 Cho bi u th c P = x2 + xy + y2 3(x + y) + CMR giỏ tr nh nh t c a P b ng 15 Ch ng minh r ng khụng cú giỏ tr no c a x, y, z th a ng th c sau : x2 + 4y2 + z2 2a + 8y 6z + 15 = 16 Tỡm giỏ tr l n nh t c a bi u th c : A = x - 4x + 17 So sỏnh cỏc s th c sau (khụng dựng mỏy tớnh) : a) + 15 v b) c) 23 - 19 v 27 18 Hóy vi t m t s h u t v m t s vụ t l n h n d) 17 + + v v 45 nh ng nh h n 19 Gi i ph ng trỡnh : 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = - 2x - x 20 Tỡm giỏ tr l n nh t c a bi u th c A = x2y v i cỏc i u ki n x, y > v 2x + xy = 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 - k + 1) 1998 - 1998 Hóy so sỏnh S v 1999 22 Ch ng minh r ng : N u s t nhiờn a khụng ph i l s chớnh ph ng thỡ a l s vụ t 21 Cho S = 23 Cho cỏc s x v y cựng d u Ch ng minh r ng : www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM x y + y x ổ x y2 ổ x y b) ỗ + ữ - ỗ + ữ x ứ ốy xứ ốy a) ổ x y4 ổ x y2 ổ x y + ữ-ỗ + ữ+ỗ + ữ y x ứ ốy x ứ ốy xứ ố c) ỗ 24 Ch ng minh r ng cỏc s sau l s vụ t : a) 1+ b) m + v i m, n l cỏc s h u t , n n 25 Cú hai s vụ t d ng no m t ng l s h u t khụng ? ổx yử x y2 26 Cho cỏc s x v y khỏc Ch ng minh r ng : + + ỗ + ữ y x ốy xứ 27 Cho cỏc s x, y, z d ng Ch ng minh r ng : x y2 z2 x y z + + + + y2 z2 x y z x 28 Ch ng minh r ng t ng c a m t s h u t v i m t s vụ t l m t s vụ t 29 Ch ng minh cỏc b t ng th c : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + + an)2 n(a12 + a22 + + an2) 30 Cho a3 + b3 = Ch ng minh r ng a + b 31 Ch ng minh r ng : [ x ] + [ y ] Ê [ x + y ] x - 6x + 17 x y z 33 Tỡm giỏ tr nh nh t c a : A = + + v i x, y, z > y z x 32 Tỡm giỏ tr l n nh t c a bi u th c : A = 34 Tỡm giỏ tr nh nh t c a : A = x2 + y2 bi t x + y = 35 Tỡm giỏ tr l n nh t c a : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) v i x, y, z ; x + y + z = 36 Xột xem cỏc s a v b cú th l s vụ t khụng n u : a l s vụ t b a b) a + b v l s h u t (a + b 0) b a) ab v c) a + b, a2 v b2 l s h u t (a + b 0) 37 Cho a, b, c > Ch ng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) a b c d + + + b+c c+d d+a a +b 39 Ch ng minh r ng [ 2x ] b ng [ x ] ho c [ x ] + 38 Cho a, b, c, d > Ch ng minh : 40 Cho s nguyờn d ng a Xột cỏc s cú d ng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n Ch ng minh r ng cỏc s ú, t n t i hai s m hai ch s u tiờn l 96 41 Tỡm cỏc giỏ tr c a x cỏc bi u th c sau cú ngh a : www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM A= x - B= x + 4x - C= D= x - 2x - 1 E= x+ 1- x2 - + -2x x G = 3x - - 5x - + x + x + 42 a) Ch ng minh r ng : | A + B | | A | + | B | D u = x y no ? b) Tỡm giỏ tr nh nh t c a bi u th c sau : M = c) Gi i ph ng trỡnh : x + 4x + + x - 6x + 4x + 20x + 25 + x - 8x + 16 = x + 18x + 81 43 Gi i ph ng trỡnh : 2x - 8x - x - 4x - = 12 44 Tỡm cỏc giỏ tr c a x cỏc bi u th c sau cú ngh a : A = x2 + x + E= B= G= 2x + + x 45 Gi i ph ng trỡnh : 1 - 3x C = - - 9x x + x-2 x -4 D= x - 5x + H = x - 2x - + - x 2 x - 3x =0 x -3 46 Tỡm giỏ tr nh nh t c a bi u th c : A = x +x 47 Tỡm giỏ tr l n nh t c a bi u th c : B = - x + x +1 48 So sỏnh : a) a = + v b= b) - 13 + v c) n + - n + v n+1 - n (n l s nguyờn d ng) -1 49 V i giỏ tr no c a x, bi u th c sau t giỏ tr nh nh t : A = - - 6x + 9x + (3x - 1) 50 Tớnh : a) 4-2 b) 11 + d) A = m + 8m + 16 + m - 8m + 16 c) 27 - 10 e) B = n + n - + n - n - (n 1) 51 Rỳt g n bi u th c : M = 41 45 + 41 + 45 - 41 52 Tỡm cỏc s x, y, z th a ng th c : (2x - y) + (y - 2)2 + (x + y + z) = 53 Tỡm giỏ tr nh nh t c a bi u th c : P = 25x - 20x + + 25x - 30x + 54 Gi i cỏc ph ng trỡnh sau : a) x - x - - x - = d) x - x - 2x + = b) x - + = x e) x + 4x + + x - = h) x - 2x + + x - 6x + = k) x + - x - + x + - x - = c) x - x + x + x - = g) x - + x - = -5 i) x + + - x = x - 25 l) 8x + + 3x - = 7x + + 2x - www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM 55 Cho hai s th c x v y th a cỏc i u ki n : xy = v x > y CMR: x + y2 2 x-y 56 Rỳt g n cỏc bi u th c : a) 13 + 30 + + b) m + m - + m - m - c) + + + + + + - + + 57 Ch ng minh r ng 2+ = 58 Rỳt g n cỏc bi u th c : a) C = 6+2 ( d) 227 - 30 + 123 + 22 + 2 ) + + - 6-2 ( 6- 3+ ) 9-6 - b) D = 59 So sỏnh : a) + 20 v 1+ b) 17 + 12 v +1 c) 28 - 16 v - 60 Cho bi u th c : A = x - x - 4x + a) Tỡm t p xỏc nh c a bi u th c A b) Rỳt g n bi u th c A 61 Rỳt g n cỏc bi u th c sau : a) c) 11 - 10 b) - 14 + 11 + - + + + - + 10 62 Cho a + b + c = ; a, b, c Ch ng minh ng th c : 63 Gi i b t ph ng trỡnh : 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c x - 16x + 60 < x - 64 Tỡm x cho : x - + Ê x 65 Tỡm giỏ tr nh nh t, giỏ tr l n nh t c a A = x2 + y2 , bi t r ng : x2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = (1) 66 Tỡm x bi u th c cú ngh a: a) A = x - 2x - 67 Cho bi u th c : A = 16 - x b) B = + x - 8x + 2x + x + x - 2x x - x - 2x - x - x - 2x x + x - 2x a) Tỡm giỏ tr c a x bi u th c A cú ngh a b) Rỳt g n bi u th c A c) Tỡm giỏ tr c a x A < 68 Tỡm 20 ch s th p phõn u tiờn c a s : 0,9999 (20 ch s 9) 69 Tỡm giỏ tr nh nh t, giỏ tr l n nh t c a : A = | x - | + | y | v i | x | + | y | = 70 Tỡm giỏ tr nh nh t c a A = x4 + y4 + z4 bi t r ng xy + yz + zx = 71 Trong hai s : n + n + v n+1 (n l s nguyờn d ng), s no l n h n ? www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM 72 Cho bi u th c A = + + - Tớnh giỏ tr c a A theo hai cỏch 73 Tớnh : ( + + 5)( + - 5)( - + 5)( - + + 5) 74 Ch ng minh cỏc s sau l s vụ t : 3+ ; 3- ; 2 +3 75 Hóy so sỏnh hai s : a = 3 - v b=2 - ; 76 So sỏnh + v +1 + - - - v s 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ 77 Rỳt g n bi u th c : Q = 78 Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 Hóy bi u di n P d i d ng t ng c a c n th c b c hai 79 Tớnh giỏ tr c a bi u th c x2 + y2 bi t r ng : x - y + y - x = 80 Tỡm giỏ tr nh nh t v l n nh t c a : A = - x + + x 81 Tỡm giỏ tr l n nh t c a : M = ( a+ b ) v i a, b > v a + b 82 CMR cỏc s 2b + c - ad ; 2c + d - ab ; 2d + a - bc ; 2a + b - cd cú ớt nh t hai s d ng (a, b, c, d > 0) 83 Rỳt g n bi u th c : N = + + + 18 84 Cho x + y + z = xy + yz + zx , ú x, y, z > Ch ng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, , an > v a1a2an = Ch ng minh: (1 + a1)(1 + a2)(1 + an) 2n 86 Ch ng minh : ( a+ b ) 2(a + b) ab (a, b 0) 87 Ch ng minh r ng n u cỏc o n th ng cú di a, b, c l p c thnh m t tam giỏc thỡ cỏc o n th ng cú di a , b , c c ng l p c thnh m t tam giỏc (x + 2) - 8x xx a +2 89 Ch ng minh r ng v i m i s th c a, ta u cú : Khi no cú ng th c ? a +1 88 Rỳt g n : a) A = ab - b a b b b) B = 90 Tớnh : A = + + - b ng hai cỏch 91 So sỏnh : a) 92 Tớnh : P = 93 Gi i ph +5 v 6,9 b) 2+ 2- + + 2+ - 2- 13 - 12 v 7- ng trỡnh : x + + 2x - + x - - 2x - = 2 1.3.5 (2n - 1) 94 Ch ng minh r ng ta luụn cú : Pn = < ; "n ẻ Z+ 2.4.6 2n 2n + www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM a2 b2 a+ bÊ + b a 95 Ch ng minh r ng n u a, b > thỡ 96 Rỳt g n bi u th c : A= x - 4(x - 1) + x + 4(x - 1) ổ ỗ1 ữ ố x -1 ứ x - 4(x - 1) a b +b a : = a - b (a, b > ; a b) ab a- b ổ 14 - ổ a + a ửổ a - a 15 - b) ỗ + = -2 c) ỗ + ữ: ữỗ ữ = - a (a > 1- ứ - a + ứố a -1 ứ ố 1- ố 97 Ch ng minh cỏc ng th c sau : a) 0) - - 29 - 20 98 Tớnh : a) ổ c) ỗ ố ; b) + - 13 + 48 28 - 16 ữ + 48 ứ 99 So sỏnh : a) + v 15 b) + 15 v 12 + 16 c) 18 + 19 v d) v 25 + 48 - 100 Cho h ng ng th c : a b = a + a2 - b a - a2 - b (a, b > v a2 b > 0) 2 p d ng k t qu rỳt g n : a) c) 2+ + 2+ + 2- - 2- ; b) 3- 2 17 - 12 - 3+ 2 17 + 12 2 10 + 30 - 2 - : 10 - 2 -1 101 Xỏc nh giỏ tr cỏc bi u th c sau : a) A = b) B = xy - x - y - xy + x - y - a + bx + a - bx a + bx - a - bx v i x= v i x= 1ổ 1ử ỗa + ữ , y = 2ố aứ 1ổ 1ử ỗ b + ữ (a > ; b > 1) 2ố bứ 2am , m < b (1 + m ) 2x - x - 102 Cho bi u th c P(x) = 3x - 4x + a) Tỡm t t c cỏc giỏ tr c a x P(x) xỏc nh Rỳt g n P(x) b) Ch ng minh r ng n u x > thỡ P(x).P(- x) < 103 Cho bi u th c A = x+2-4 x -2 + x +2+4 x -2 4 - +1 x2 x www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM a) Rỳt g n bi u th c A b) Tỡm cỏc s nguyờn x bi u th c A l m t s nguyờn 104 Tỡm giỏ tr l n nh t (n u cú) ho c giỏ tr nh nh t (n u cú) c a cỏc bi u th c sau: a) - x e) - - 3x b) x - x (x > 0) c) + - x g) 2x - 2x + 105 Rỳt g n bi u th c : A = h) - - x + 2x + x + 2x - - x - 2x - , b ng ba cỏch ? 106 Rỳt g n cỏc bi u th c sau : a) b) + 48 - 10 + 4 + 10 + + - 10 + c) 107 Ch ng minh cỏc h ng ng th c v i b ; a ( a + b a - b = a a2 - b b) a + a2 - b a - a2 - b a b = 2 108 Rỳt g n bi u th c : A = 94 - 42 - 94 + 42 b ) a) 109 Tỡm x v y cho : d) x - - i) 2x - x + x + 2x - + x - 2x - x+y-2 = x + y - 110 Ch ng minh b t ng th c : a + b2 + c2 + d (a + c) + (b + d) a2 b2 c2 a+b+c 111 Cho a, b, c > Ch ng minh : + + b+c c+a a +b 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Ch ng minh : a) a + + b + + c + < 3,5 113 CM : (a + c )( b + c2 ) + b) (a a +b + b+c + c+a Ê + d )( b + d ) (a + b)(c + d) v i a, b, c, d > 114 Tỡm giỏ tr nh nh t c a : A = x + x 115 Tỡm giỏ tr nh nh t c a : A = (x + a)(x + b) x 116 Tỡm giỏ tr nh nh t, giỏ tr l n nh t c a A = 2x + 3y bi t 2x2 + 3y2 117 Tỡm giỏ tr l n nh t c a A = x + - x 118 Gi i ph ng trỡnh : x - - 5x - = 3x - 119 Gi i ph ng trỡnh : x + x -1 + x - x -1 = 120 Gi i ph ng trỡnh : 3x + 21x + 18 + x + 7x + = 121 Gi i ph ng trỡnh : 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = - 2x - x 122 Ch ng minh cỏc s sau l s vụ t : - ; 2+ 123 Ch ng minh x - + - x Ê 124 Ch ng minh b t ng th c sau b ng ph a + b b + c b(a + c) ng phỏp hỡnh h c : v i a, b, c > www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM 125 Ch ng minh (a + b)(c + d) ac + bd v i a, b, c, d > 126 Ch ng minh r ng n u cỏc o n th ng cú di a, b, c l p c thnh m t tam giỏc thỡ cỏc o n th ng cú di a , b , c c ng l p c thnh m t tam giỏc (a + b)2 a + b 127 Ch ng minh + a b + b a v i a, b a b c 128 Ch ng minh + + > v i a, b, c > b+c a+c a+b 129 Cho x - y + y - x = Ch ng minh r ng x2 + y2 = 130 Tỡm giỏ tr nh nh t c a A = x - x -1 + x + x -1 131 Tỡm GTNN, GTLN c a A = - x + + x 132 Tỡm giỏ tr nh nh t c a A = x + + x - 2x + 133 Tỡm giỏ tr nh nh t c a A = - x + 4x + 12 - - x + 2x + 134 Tỡm GTNN, GTLN c a : a) A = 2x + - x ( b) A = x 99 + 101 - x 135 Tỡm GTNN c a A = x + y bi t x, y > th a ) a b + = (a v b l h ng s d ng) x y 136 Tỡm GTNN c a A = (x + y)(x + z) v i x, y, z > , xyz(x + y + z) = xy yz zx + + v i x, y, z > , x + y + z = z x y x2 y2 z2 138 Tỡm GTNN c a A = + + bi t x, y, z > , xy + yz + zx = x+y y+z z+x 137 Tỡm GTNN c a A = 139 Tỡm giỏ tr l n nh t c a : a) A = b) B = ( a+ b ) ( + a+ c ) ( + ( a+ b a+ d ) v i a, b > , a + b ) ( + b+ c ) ( + b+ d ) ( + c+ d ) v i a, b, c, d > v a + b + c + d = 140 Tỡm giỏ tr nh nh t c a A = 3x + 3y v i x + y = b c + v i b + c a + d ; b, c > ; a, d c+d a+b 141 Tỡm GTNN c a A = 142 Gi i cỏc ph ng trỡnh sau : a) x - 5x - 3x + 12 = d) x - - x + = b) x - 4x = x - e) x - x - - x - = h) x + - x - + x + - x - = k) - x - x = x - m) x + = x - x - o) x - + x + + c) 4x + - 3x + = g) x + 2x - + x - 2x - = i) x + x + - x = l) 2x + 8x + + x - = 2x + n) x + + x + 10 = x + + x + ( x - 1) ( x - 3x + 5) = - 2x www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM p) 2x + + x + + 2x + - x + = + x + q) 2x - 9x + + 2x - = 2x + 21x - 11 ( 143 Rỳt g n bi u th c : A = 2 - + )( 144 Ch ng minh r ng, "n ẻ Z+ , ta luụn cú : + 145 Tr c c n th c m u : a) 1+ + ) 18 - 20 + 2 ( ) 1 + + + > n +1 -1 n b) x + x +1 146 Tớnh : - - 29 - 20 a) ( 147 Cho a = - + 148 Cho b = a) c) ( 3- 2 17 - 12 149 Gi i cỏc ph ) - b) + - 13 + 48 )( (5 - x ) ) 17 + 12 ng trỡnh sau : - x + ( x - 3) x - 5- x + x -3 b) =2 - - 29 - 12 10 - Ch ng minh r ng a l s t nhiờn 3+ 2 -1 x - x + - = c) ( b cú ph i l s t nhiờn khụng ? ) -1 x = ( ) +1 x - 3 d) x + x - = 150 Tớnh giỏ tr c a bi u th c : M = 12 - 29 + 25 + 21 - 12 + 29 - 25 - 21 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ n -1 + n 1 1 152 Cho bi u th c : P = + - + 2- 3- 4- 2n - 2n + 151 Rỳt g n : A = a) Rỳt g n P b) P cú ph i l s h u t khụng ? 1 1 + + + + +1 + + 100 99 + 99 100 1 154 Ch ng minh : + + + + > n n 155 Cho a = 17 - Hóy tớnh giỏ tr c a bi u th c: A = (a5 + 2a4 17a3 a2 + 18a 17)2000 156 Ch ng minh : a - a - < a - - a - (a 3) 157 Ch ng minh : x - x + > (x 0) 158 Tỡm giỏ tr l n nh t c a S = x - + y - , bi t x + y = 153 Tớnh : A = 159 Tớnh giỏ tr c a bi u th c sau v i a = + 2a - 2a : A= + + + 2a - - 2a www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM 160 Ch ng minh cỏc ng th c sau : ( )( 10 - ) - 15 = ( + )( 10 - ) = d) a) + 15 c) - b) + = + 48 = 161 Ch ng minh cỏc b t ng th c sau : 2 ( ( ) +1 ) + e) 17 - + = - 5+ 5- + - 10 < 5- 5+ ổ +1 - ửổ c) ỗ + + ữ 0, - 1,01 > ữỗ - ố + + + - ứố ứ + -1 2- 3ổ 3 d) + + + 3- > ỗ ữ2+ 6 ố 2- 2+ ứ 27 + > 48 a) 2+2 e) h) ( 3+ b) -1 + 5+ -2 ) - ( - > 1,9 ) 3+ 5+ - + + 2- < 0,8 < n - n - T ú suy ra: n 1 2004 < + + + + < 2005 1006009 2+ 3+ 163 Tr c c n th c m u : a) b) 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ + 3+ 3- 164 Cho x = v y= Tớnh A = 5x2 + 6xy + 5y2 3- 3+ 2002 2003 165 Ch ng minh b t ng th c sau : + > 2002 + 2003 2003 2002 x - 3xy + y 166 Tớnh giỏ tr c a bi u th c : A = v i x = + v y = - x+y+2 6x - 167 Gi i ph ng trỡnh : = + x - x2 x - 1- x 162 Ch ng minh r ng : n + - n < 168 Gi i b t cỏc pt : a) 3 + 5x 72 b) 10x - 14 c) + 2 + 2x 169 Rỳt g n cỏc bi u th c sau : a) A = - - 29 - 12 c) C = 10 x + + x2 - 2x - + x - b) B = - a + a(a - 1) + a d) D = a -1 a x + 5x + + x - x 3x - x + (x + 2) - x www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM 1 = ị A= 10 (n + 1) n + n n + n n +1 1 1 154 + + + + + > n = n n n 155 Ta cú a + = 17 Bi n i a th c ngo c thnh t ng cỏc l y th a c s a + 153 Ta hóy ch ng minh : A = [(a + 1)5 3(a + 1)4 15(a + 1)3 + 52(a + 1)2 14(a + 1)]2000 = (259 17 - 225 17 - 34 17 - 1)2000 = 156 Bi n i : a - a -1 = a + a -1 a -2 + a -3 ; a -2 - a -3 = 2 1 ổ 1ử ổ 1ử 157 x - x + = x - x + + x - x + = ỗ x - ữ + ỗ x - ữ 4 ố 2ứ ố 2ứ 1 D u = khụng x y vỡ khụng th cú ng th i : x = v x = 2 168 Tr c h t ta ch ng minh : a + b Ê 2(a + b ) p d ng (*) ta cú : S = (*) (a + b 0) x - + y - Ê 2(x - + y - 2) = ỡ x = ùù ộx -1 = y - 2 max S = ởx + y = ùy = ùợ * Cú th tớnh S2 r i ỏp d ng b t ng th c Cauchy 180 Ta ph i cú | A | D th y A > Ta xột bi u th c : B = = - - x Ta cú : A Ê - x2 Ê ị - Ê - - x2 Ê ị - Ê - - x2 Ê B = - = - x x = Khi ú max A = = 2+ 2- max B = - x = x = Khi ú A = 2x - x 181 ỏp d ng b t ng th c Cauchy, ta xột bi u th c : B = + Khi ú : 1- x x ỡ 2x - x = (1) 2x - x ù B2 = 2 B = 2 ớ1 - x x 1- x x ùợ0 < x < (2) Gi i (1) : 2x2 = (1 x)2 | x | = | x | Do < x < nờn x = x x= = - +1 Nh v y B = 2 x = - 1 ổ 2x - x - 2x - + x ổ Bõy gi ta xột hi u : A - B = ỗ + ữ-ỗ + + = +1 = ữ= x ứ 1- x x ố1- x x ứ ố1- x 35 www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM 182 a) Do ú A = 2 + v ch x = - i u ki n : x , y B t ng th c Cauchy cho phộp lm gi m m t t ng : a+b ab õy ta mu n lm t ng m t t ng Ta dựng b t ng th c : a + b Ê 2(a + b ) A = x - + y - Ê 2(x - + y - 3) = ỡx - = y - ỡ x = 1,5 max A = ợx + y = ợ y = 2,5 Cỏch khỏc : Xột A2 r i dựng b t ng th c Cauchy b) i u ki n : x , y B t ng th c Cauchy cho phộp lm tr i m t tớch : Ta xem cỏc bi u th c x - , y - l cỏc tớch : x - = 1.(x - 1) , y - = x - 1.(x - 1) + x - 1 = Ê = x x 2x y-2 2.(y - 2) + y - = Ê = = y y 2y 2 ỡx - = 1 2+ max B = + = 4 ợy - = a+b 2(y - 2) ab Ê Theo b t ng th c Cauchy : ỡx = ợy = 1 ,b= Ta th y 1997 + 1996 1998 + 1997 1997 + 1996 < 1998 + 1997 183 a = Nờn a < b 184 a) A = - v i x = max A = b) B = v i x = max B = v ix= v ix=1 x + (1 - x ) = 2 2 ỡx = - x max A = x= 2 ợx > 185 Xột x thỡ A Xột x thỡ A = x (1 - x ) Ê 186 A = | x y | 0, ú A l n nh t v chi A2 l n nh t Theo bt Bunhiacụpxki : ổ ổ 1ử A = (x - y) = ỗ1.x - 2y ữ Ê ỗ1 + ữ (x + 4y ) = ố ứ ố 4ứ 2 ỡ ỡ 5 ỡ 2y x=x= ù ù ù =ù ù 5 ho c max A = ớx 2 ù x + 4y = ùy = ùy = - ợ ùợ ùợ 10 10 187 a) Tỡm giỏ tr l n nh t : T gi thi t : 36 www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM ỡù x Ê x ỡ0 Ê x Ê x + y3 Ê x + y = ùợ y Ê y ợ0 Ê y Ê ỡù x = x max A = x = 0, y = V x = 1, y = ùợ y = y x+y b) Tỡm giỏ tr nh nh t : (x + y)2 2(x2 + y2) = ị x + y ị Ê Do ú : x + y3 ) ( x + y ) ( 3 x +y Theo b t ng th c Bunhiacụpxki : 2 2 2 ộ ự (x + y3 )(x + y) = x + y3 ỳ ộ x + y ự x x + y3 y = (x2 + y2) = ỳỷ ỷ ờở ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A = 188 t x=y= 2 x = a ; y = b , ta cú a, b 0, a + b = A = a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2) = a2 ab + b2 = (a + b)2 3ab = 3ab Do ab nờn A max A = a = ho c b = x = ho c x = 1, y = Ta cú ab Ê 189 (a + b) 1 1 = ị ab Ê ị - 3ab A = x = y = 4 4 4 i u ki n : x , x nờn x Ta cú : x -1 =3 x-2 - x + (x - 1)(x - 2) - (x - 1)(x - 2) = - x = x = -8 - x + (x - 1)(x - 2) - x - 190 Ta cú : + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + = 2(x + 1)2 + > v i m i x V y ph xỏc nh v i m i giỏ tr c a x ng trỡnh t x + 2x + = y 0, ph ng trỡnh cú d ng : ộy = y2 - y - 12 = (y - )(y + 2 ) = ờở y = -2 (loai vỡ y Do ú x + 2x + = x2 + 2x + = 18 (x 3)(x + 5) = x = ; x = -5 191 Ta cú : 1 ổ ổ1 = k = kỗ + ữ= kỗ (k + 1)k (k + 1) k ố k k +1ứ ố k ổ k ửổ 1 ổ = ỗ1 + < 2ỗ ữỗ ữ Do ú : (k + 1) k k +1 ứố k k +1 ứ ố ố 1 1 ổ ổ V y: + + + + < ỗ1 + 2ỗ ữ (n + 1) n 2ứ ố ố ổ = ỗ1 ữ < (pcm) n +1 ứ ố 37 ửổ 1 ữỗ ữ k + ứố k k +1 ứ 1 ữ k k +1 ứ 1 ử ổ ữ ữ + + ỗ 3ứ n +1 ứ ố n www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM > (a, b > ; a 0) ab a + b 192 Dựng b t ng th c Cauchy 193 txy=a, x + y = b (1) thỡ a, b ẻ Q a) N u b = thỡ x = y = 0, ú y ẻQ x-y a a = ị x - y = ẻ Q (2) b x+ y b b) N u b thỡ T (1) v (2) : 199 Nh n xột : ( 1ổ aử x = ỗb + ữ ẻ Q ; 2ố bứ ( x2 + a2 + x ) x + x2 + a Ê Do a nờn : x , )( 1ổ aử y = ỗb - ữ ẻ Q 2ố bứ ) x + a - x = a Do ú : ) ( 5a (1) x + x + a Ê x2 + a2 ( x + a + x > x + x = x + x Suy : x2 + a2 + x )( x2 + a2 - x ) x2 + a2 x + a + x > , "x ộx Ê Vỡ v y : (1) x + a Ê x + a - x 5x Ê x + a ỡ x > ớợ25x Ê 9x + 9a ộx Ê xÊ a ờ0 < x Ê a - 2a 207 c) Tr c h t tớnh x theo a c x = Sau ú tớnh + x c a(1 - a) a(1 - a) ( ) ỏp s : B = d) Ta cú a2 + = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) T ng t : b2 + = (b + a)(b + c) ; c2 + = (c + a)(c + b) ỏp s : M = 2x + Suy i u ph i ch ng minh x 1 209 Ta cú : a + b = - , ab = nờn : a2 + b2 = (a + b)2 2ab = + = 2 17 a4 + b4 = (a2 + b2)2 2a2b2 = - = ; a3 + b3 = (a + b)3 3ab(a + b) = - - = 4 17 ổ 239 Do ú : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) a3b3(a + b) = - - ỗ - ữ ( -1) = ố 64 ứ 64 208 G i v trỏi l A > Ta cú A = 210 a) a = ( - 1) = - 2 = - a = ( - 1)3 = 2 - + - = - = 50 - 49 b) Theo khai tri n Newton : (1 - )n = A - B ; (1 + )n = A + B v i A, B ẻ N Suy : A2 2B2 = (A + B )(A - B ) = [(1 + )(1 - )]n = (- 1)n N u n ch n thỡ A2 2b2 = (1) N u n l thỡ A2 2B2 = - (2) 38 www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM Bõy gi ta xột an Cú hai tr ng h p : * N u n ch n thỡ : an = ( - 1)n = (1 A2 2B2 = c th a (1) )n = A - B = A - 2B2 i u ki n * N u n l thỡ : an = ( - 1)n = - (1 - )n = B - A = 2B2 - A i u ki n 2B2 A2 = c th a (2) 211 Thay a = vo ph ng trỡnh ó cho : 2 + 2a + b + c = (b + 2) = -(2a + c) Do a, b, c h u t nờn ph i cú b + = ú 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vo ph ng trỡnh ó cho : x3 + ax2 2x 2a = x(x2 2) + a(x2 2) = (x2 2)(x + a) = Cỏc nghi m ph ng trỡnh ó cho l: v - a 1 + + + n a) Ch ng minh A > n - : Lm gi m m i s h ng c a A : 2 = > = k +1 - k k k+ k k +1 + k Do ú A > ộ - + + - + + + - n + n + ự = ỷ 212 t A= ( ( =2 ( ) ( ) ) ( ) ) n +1 - = n +1 - 2 > n +1 - > n - b) Ch ng minh A < n - : Lm tr i m i s h ng c a A : ( ) 2 = < = k - k -1 k k+ k k + k -1 Do ú : A < ộ n - n - + + - + - ự = n - ỷ ( ) ( ) ( ) 213 Kớ hi u a n = + + + + cú n d u c n Ta cú : a1 = < ; a = + a1 < + = ; a = + a < + = a100 = + a 99 < + = Hi n nhiờn a100 > > Nh v y < a100 < 3, ú [ a100 ] = 214 a) Cỏch (tớnh tr c ti p) : a2 = (2 + )2 = + Ta cú = 48 nờn < < ị 13 < a2 < 14 V y [ a2 ] = 13 Cỏch (tớnh giỏn ti p) : t x = (2 + )2 thỡ x = + Xột bi u th c y = (2 - )2 thỡ y = - Suy x + y = 14 D th y < - < nờn < (2- )2 < 1, t c l < y < Do ú 13 < x < 14 V y [ x ] = 13 t c l [ a2 ] = 13 b) ỏp s : [ a ] = 51 215 t x y = a ; x + y = b (1) thỡ a v b l s h u t Xột hai tr a) N u b thỡ 39 x-y a = ị x+ y b x- y= ng h p : a l s h u t (2) T (1) v (2) ta cú : b www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM 1ổ aử 1ổ aử x = ỗ b + ữ l s h u t ; y = ỗ b - ữ l s h u t 2ố bứ 2ố bứ b) N u b = thỡ x = y = 0, hi n nhiờn x , y l s h u t n ửổ 1 ổ ổ1 = = nỗ + ữ= nỗ ữỗ ữ= (n + 1) n n(n + 1) n + ứố n n +1 ứ ố n n +1ứ ố n ổ n ửổ 1 ử ổ = ỗ1 + ữỗ ữ < 2ỗ ữ T ú ta gi i c bi toỏn n +1 ứố n n +1 ứ n +1 ứ ố n ố 216 Ta cú 217 Ch ng minh b ng ph n ch ng Gi s 25 s t nhiờn ó cho, khụng cú hai s no b ng Khụng m t tớnh t ng quỏt, gi s a1 < a2 < < a25 Suy : a1 , a2 , a25 25 Th thỡ : < 1 1 1 + + + Ê + + + a1 a2 a 25 25 (1) Ta l i cú : 1 1 2 + + + + = + + + +1 < 25 24 25 + 25 24 + 24 2+ 2 2 + + + + = 25 - 24 + 24 - 23 + + - + = 24 + 24 23 + 23 2+ ( =2 T (1) v (2) suy : ( ) 25 - + = ) (2) 1 + + + < , trỏi v i gi thi t V y t n t i hai s b ng a1 a2 a 25 25 s a1 , a2 , , a25 218 i u ki n : x t + x = a ; - x = b Ta cú : ab = - x , a2 + b2 = Ph ng trỡnh l : ị a2 - a2b + b2 + ab2 = ị a2 b2 + = 2 +a -b (2 - b + a - ab) (a2 + b2 + ab) ab(a b) = 2(a b) ị (2 + ab) = (a b)(2 + ab) (chỳ ý : a2 + b2 = 4) ị a b = (do ab + 0) 2 Bỡnh ph ng : a + b 2ab = ị 2ab = ị ab = ị - x = Tỡm c x = a -1 219 i u ki n : < x , a Bỡnh ph ng hai v r i thu g n : - x = a +1 a V i a 1, bỡnh ph ng hai v , cu i cựng c : x = a +1 i u ki n x th a (theo b t ng th c Cauchy) K t lu n : Nghi m l x = a V i a a +1 220 N u x = thỡ y = 0, z = T ng t i v i y v z N u xyz 0, hi n nhiờn x, y, z > T h ph x= 40 ng trỡnh ó cho ta cú : 2y 2y Ê = y 1+ y y www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM T ng t y Ê z ; z Ê x Suy x = y = z X y d u = v i x = y = z = K t lu n : Hai nghi m (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1) 221 a) t A = (8 + )7 cỏc b t ng th c trờn ch ng minh bi toỏn, ch c n tỡm s B cho < B < v A + B l s t nhiờn Ch n B = (8 - )7 D th y B > vỡ > Ta cú + > 10 suy : (8 + ) < ( ị 8-3 107 ) < 107 107 Theo khai tri n Newton ta l i cú : A = (8 + )7 = a + b v i a, b ẻ N B = (8 - )7 = a - b Suy A + B = 2a l s t nhiờn Do < B < v A + B l s t nhiờn nờn A cú b y ch s li n sau d u ph y 107 Chỳ ý : 10- = 0,0000001 b) Gi i t ng t nh cõu a 222 Ta th y v i n l s chớnh ph n l s vụ t , nờn ng thỡ n l s t nhiờn, n u n khỏc s chớnh ph ng thỡ n khụng cú d ng ,5 Do ú ng v i m i s n ẻ N* cú nh t m t s nguyờn an g n n nh t Ta th y r ng, v i n b ng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, thỡ an b ng 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, Ta s ch ng minh r ng an l n l t nh n cỏc giỏ tr : hai s 1, b n s 2, sỏu s Núi cỏch khỏc ta s ch ng minh b t ph ng trỡnh : < 2- < 3- < 1 T ng quỏt : k - < x < k + 2 v i : k2 k + < x < k2 + k + 1- cú hai nghi m t nhiờn x < + cú b n nghi m t nhiờn x < + cú sỏu nghi m t nhiờn x < 1+ cú 2k nghi m t nhiờn Th t v y, b t ng th c t ng ng Rừ rng b t ph ng trỡnh ny cú 2k nghi m t nhiờn l : k2 k + ; k2 k + ; ; k2 + k Do ú : ổ ổ ổ ỗ 1 1 1 ữ ỗ1 1ữ ỗ 1 1 ữ + + + = + ữ + ỗ + + + ữ + + ỗ + + + ữ = 2.44 = 88 a1 a2 a1980 ỗỗ 1{ ữ ỗ 14 2244 2ữ 44 44 44 42444 3ữ ỗ 144 soỏ 88 soỏ ố soỏ ứ ố ứ ố ứ 223 Gi i t ng t bi 24 a) < an < V y [ an ] = b) an V y [ an ] = c) Ta th y : 442 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, cũn 462 = 2116 a1 = 1996 = 44 < a1 < 45 Hóy ch ng t v i n thỡ 45 < an < 46 Nh v y v i n = thỡ [ an ] = 44, v i n thỡ [ an ] = 45 41 www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM 224 C n tỡm s t nhiờn B cho B A < B + Lm gi m v lm tr i A nhiờn liờn ti p Ta cú : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + < (4n + 2)2 ị 4n + < c hai s t 16n + 8n + < 4n + 16n + 8n + < 4n2 + 4n + < 4n2 + 8n + ị 4n2 + 4n + < 4n2 + ị (2n + 1)2 < 4n2 + 16n + 8n + < (2n + 2)2 L y c n b c hai : 2n + < A < 2n + V y [ A ] = 2n + ch ng minh bi toỏn, ta ch s y th a hai i u ki n : < y < 0,1 x + y l m t s t nhiờn cú t n cựng b ng (2) 225 Ta ch n y = ( 3- ) 200 - < 0,3 nờn < y < 0,1 i u ki n (1) c Ta cú < ch ng minh Bõy gi ta ch ng minh x + y l m t s t nhiờn cú t n cựng b ng Ta cú : x+y= ( 3+ ) 200 + ( (1) 3- ) 200 ( = 5+2 ) 100 ( + 5-2 ) 100 Xột bi u th c t ng quỏt Sn = an + bn v i a = + , b = - Sn = (5 + )n = (5 - )n A v b cú t ng b ng 10, tớch b ng nờn chỳng l nghi m c a ph ng trỡnh X2 -10X + = 0, t c l : a2 = 10a (3) ; b2 = 10b (4) Nhõn (3) v i an , nhõn (4) v i bn : an+2 = 10an+1 an ; bn+2 = 10bn+1 bn Suy (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) (an + bn), t c l Sn+2 = 10Sn+1 Sn , hay Sn+2 - Sn+1 (mod 10) Do ú Sn+4 - Sn+2 Sn (mod 10) (5) Ta cú S0 = (5 + ) + (5 - )0 = + = ; S1 = (5 + ) + (5 - ) = 10 T cụng th c (5) ta cú S2 , S3 , , Sn l s t nhiờn, v S0 , S4 , S8 , , S100 cú t n cựng b ng 2, t c l t ng x + y l m t s t nhiờn cú t n cựng b ng i u ki n (2) c ch ng minh T (1) v (2) suy i u ph i ch ng minh 226 Bi n i ( 3+ ) 250 ( = 5+2 ) 125 (Gi i t 227 Ta cú : ( ) ( Ph n nguyờn c a nú cú ch s t n cựng b ng ng t bi 36) ) ( ) ( A = ộở ựỷ + + ộở ựỷ + ộở ựỷ + + ộở ựỷ + ộở ựỷ + + ộở 15 ựỷ + ộở 16 ựỷ + + ộở 24 ựỷ Theo cỏch chia nhúm nh trờn, nhúm cú s , nhúm cú s , nhúm cú s , nhúm cú s Cỏc s thu c nhúm b ng 1, cỏc s thu c nhúm b ng 2, cỏc s thu c nhúm b ng 3, cỏc s thu c nhúm b ng V y A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 x x (3 x) p d ng b t ng th c 2 ổx x ỗ + +3- x ữ x x x x Cauchy cho s khụng õm , , (3 x) ta c : (3 x) ỗ ữ = 2 2 ỗ ữ ố ứ 228 a) Xột x Vi t A d i d ng : A = Do ú A (1) b) Xột x > 3, ú A (2) So sỏnh (1) v (2) ta i n k t lu n : 42 www.MATHVN.com ) MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM ỡx ù = 3-x max A = x = ùợ x 229 a) L p ph ng hai v , ỏp d ng h ng ng th c (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta c : x + + - x + 3 (x + 1)(7 - x).2 = (x + 1)(7 - x) = x = - ; x = (th a) b) i u ki n : x - (1) t x - = y ; x + = z Khi ú x = y2 ; x + = z2 nờn z2 y3 = Ph ng trỡnh ó cho c a v h : ỡ y + z = (2) ù ớz - y = (3) ùz (4) ợ Rỳt z t (2) : z = y Thay vo (3) : y3 y2 + 6y = (y 1)(y2 + 6) = y = Suy z = 2, th a (4) T ú x = 3, th a (1) K t lu n : x = 1 + = 2 230 a) Cú, ch ng h n : a + b = Bỡnh ph ng hai v : a + b + ab = ị ab = - (a + b) b) Khụng Gi s t n t i cỏc s h u t d ng a, b m Bỡnh ph ng v : 4ab = + (a + b)2 2(a + b) ị 2(a + b) V ph i l s h u t , v trỏi l s vụ t (vỡ a + b 0), mõu thu n m (phõn s n m c m l n n u chia h t cho 5, trỏi gi thi t n m b) Gi s + l s h u t (phõn s n m3 m 6m = + = + 3 = + n n n 231 a) Gi s ( l s h u t ) t i gi n) Suy = = + (a + b)2 4ab m3 Hóy ch ng minh r ng n3 l phõn s t i gi n t i gi n) Suy : ị m = 6n3 + 6mn (1) ị m M ị m M Thay m = 2k (k ẻ Z) vo (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 ị 4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia h t cho ị n3 chia h t cho ị n chia h t cho Nh v y m v n cựng chia h t cho 2, trỏi v i gi thi t m l phõn s t i gi n n 232 Cỏch : t a = x3 , b = y3 , c = z3 B t ng th c c n ch ng minh a+b+c abc x3 + y3 + z3 xyz hay x3 + y3 + z3 3xyz Ta cú h ng ng th c : x3 + y3 + z3 3xyz = (x + y + z)[(x y)2 + (y z)2 + (z x)2] (bi t p sbt) a+b+c Do a, b, c nờn x, y, z 0, ú x3 + y3 + z3 3xyz Nh v y : abc t ng ng v i Cỏch : Tr 43 X y d u ng th c v ch a = b = c c h t ta ch ng minh b t ng th c Cauchy cho b n s khụng õm Ta cú : www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM a+ b+ c+d 1ổa+ b c+d = ỗ + ab + cd ab cd = abcd ữ 2ố 2 ứ a+b+c ổa+ b+ c+d Trong b t ng th c ỗ ta c : ữ abcd , t d = ố ứ ( ) a+b+c ổ ỗa+ b+ c+ ữ a+b+c a+b+c ổa+ b+cử ị ỗ ỗ ữ abc ữ abc 3 ố ứ ỗ ữ ố ứ a+b+c Chia hai v cho s d ng (tr ng h p m t cỏc s a, b, c b ng 0, bi toỏn c 3 a+b+c ổa+b+cử ch ng minh) : ỗ abc ữ abc 3 ố ứ a+b+c X y ng th c : a = b = c = a=b=c=1 b c d a 233 T gi thi t suy : + + Ê 1= p d ng b t ng th c b +1 c +1 d +1 a +1 a +1 b c d bcd Cauchy cho s d ng : + + 3 T ng t : a +1 b +1 c +1 d +1 (b + 1)(c + 1)(d + 1) acd 3 b +1 (a + 1)(c + 1)(d + 1) abd 3 c +1 (a + 1)(b + 1)(d + 1) abc 3 d +1 (a + 1)(b + 1)(c + 1) Nhõn t b n b t ng th c : 81abcd ị abcd Ê 234 G i A = x2 y2 z2 + + p d ng b t ng th c Bunhiacụpxki : y2 z2 x2 81 ổ x2 y2 z2 ổx y zử 3A = ỗ + + ữ (1 + + 1) ỗ + + ữ (1) z x ứ ốy z xứ ốy x y z x y z p d ng b t ng th c Cauchy v i ba s khụng õm : + + 3 = y z x y z x (2) Nhõn t ng v (1) v i (2) : ổx y zử ổx y zử x y z 3A ỗ + + ữ ỗ + + ữ ị A + + y z x ốy z xứ ốy z xứ t x = 3 + 3 ; y = 3 - 3 thỡ x3 + y3 = (1) Xột hi u b3 a3 , ta b3 a3 = 24 (x + y)3 = 24 (x3 + y3) 3xy(x + y) Do (1), ta thay 24 b i 4(x3 + b3), ta cú : 235 44 c: www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM b3 a3 = 4(x3 + y3) (x3 + y3) 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 xy + y2 xy) = 3(x + y)(x y)2 > (vỡ x > y > 0) V y b3 > a3 , ú b > a 236 a) B t ng th c ỳng v i n = V i n 2, theo khai tri n Newton, ta cú : n n(n - 1) n(n - 1)(n - 2) n(n - 1) 2.1 ổ 1ử 2+ + + n ỗ + ữ = + n + n 2! n 3! n n! n ố nứ 1ử ổ1 < + + ỗ + + + ữ n! ứ ố 2! 3! 1 1 1 D dng ch ng minh : + + + Ê + + + = 2! 3! n! 1.2 2.3 (n - 1)n 1 1 1 = - + - + + - = 1- < 2 n -1 n n Do ú (1 + )n < n b) V i n = 2, ta ch ng minh n V i n 3, ta ch ng minh (2) ( n +1 n +1 ) n(n +1) < n > n +1 n + ( n) n > (1) Th t v y, (1) n(n +1) ( ) ( ) 3 > 32 > 22 (2) Th t v y : n n (n + 1) < n n +1 (n + 1)n ổ 1ử < n ỗ + ữ < n (3) n n ố nứ n ổ 1ử Theo cõu a ta cú ỗ + ữ < , m n nờn (3) c ch ng minh ố nứ Do ú (2) c ch ng minh ( ) 237 Cỏch : A = x + + x + x + A = v i x = Cỏch : p d ng b t ng th c Cauchy : A (x + x + 1)(x - x + 1) = x + x + A = v i x = 238 V i x < thỡ A (1) V i x 4, xột - A = x2(x 2) p d ng b t ng th c Cauchy cho ba s khụng õm : ổx x + + x ỗ ữ A x x ổ 2x - 2 - = (x - 2) Ê ỗ ữ = ỗ ữ Ê 2 3 ố ứ ỗ ữ ố ứ 239 - A 32 ị A - 32 A = - 32 v i x = i u ki n : x ổ x2 x2 + + - x2 ữ 2 ỗ x x A = x (9 - x ) = (9 - x ) Ê ỗ ữ = 4.27 2 ỗỗ ữữ ố ứ max A = v i x = 240 a) Tỡm giỏ tr l n nh t : 45 www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM Cỏch : V i x < thỡ A = x(x2 6) x ị x2 ị x2 V i x Ta cú Suy x(x2 6) max A = v i x = Cỏch : A = x(x2 9) + 3x Ta cú x 0, x2 0, 3x 9, nờn A max A = v i x = b) Tỡm giỏ tr nh nh t : Cỏch : A = x3 6x = x3 + (2 )3 6x (2 )3 = = (x + 2 )(x2 - 2 x + 8) 6x - 16 = (x + 2 )(x2 - 2 x + 2) + (x + 2 ).6 6x - 16 = (x + 2 )(x - )2 - - A = - v i x = Cỏch : p d ng b t ng th c Cauchy v i s khụng õm : x3 + 2 + 2 3 x3 2.2 = 6x Suy x3 6x - A = - v i x = 241 G i x l c nh c a hỡnh vuụng nh , V l th tớch c a hỡnh h p C n tỡm giỏ tr l n nh t c a V = x(3 2x)2 Theo b t ng th c Cauchy v i ba s d ng : x x 4V = 4x(3 2x)(3 2x) ỗ max V = 4x = 2x x = ỏp s : 24 ; - 11 c) L p ph ng hai v t b) ỏp s : ; x x x Th tớch l n nh t c a hỡnh h p l dm3 c nh hỡnh vuụng nh b ng 242 a) x 3-2x ổ 4x + - 2x + - 2x ữ = ố ứ x 3-2x - x = a ; x -1 = b x dm ỏp s : ; ; 10 2x - = y Gi i h : x3 + = 2y , y3 + = 2x, c (x y)(x2 + xy + y2 + 2) = -1 x = y ỏp s : ; e) Rỳt g n v trỏi c : x - x - ỏp s : x = g) t - x = a ; x - = b Ta cú : a3 + b3 = 2, a3 b3 = 12 2x, ú v ph i c a d) t ( ) a3 - b a - b a3 - b ph ng trỡnh ó cho l Ph ng trỡnh ó cho tr thnh : = a+b a - b a3 - b 3 Do a + b = nờn = ị (a b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 b3) a+b a +b Do a + b nờn : (a b)(a2 ab + b2 = (a b)(a2 + ab + b2) T a = b ta c x = T ab = ta c x = ; x = h) t x + = a ; x - = b Ta cú : a2 + b2 + ab = (1) ; a3 b3 = (2) T (1) v (2) : a b = Thay b = a vo (1) ta c a = ỏp s : x = 46 www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM i) Cỏch : x = - nghi m ỳng ph t x +1 =a ; x+2 Cỏch : t ng trỡnh V i x + 0, chia hai v cho x+2 x+3 = b Gi i h a3 + b3 = 2, a + b = - H ny vụ nghi m x+2 x + = y Chuy n v : y3 - + y3 + = -y L p ph ng hai v ta c : y3 + y3 + + 3 y - (- y) = - y3 y3 = y y6 - V i y = 0, cú nghi m x = - V i y 0, cú y2 = y - L p ph ng : y6 = y6 Vụ n0 Cỏch : Ta th y x = - nghi m ỳng ph ng trỡnh V i x < - 2, x > - 2, ph ng trỡnh vụ nghi m, xem b ng d i õy : x x < -2 x > -x x +1 < -1 > -1 x+2 < > t + x = a , x = b Ta cú : a + b = (1), k) mn Ê Theo b t ng th c Cauchy x+3 < > V trỏi < > ab + a + b = (2) m+n , ta cú : a + b 1+ a 1+ b + + = 2 1+ a 1+ b a+b = a + b +1Ê + +1 = +2 = 2 3= a b + a + b Ê Ph i x y d u ng th c, t c l : a = b = Do ú x = l) t a - x = m ; b - x = n thỡ m4 + n4 = a + b 2x Ph ng trỡnh ó cho tr thnh : m + n = m + n Nõng lờn l y th a b c b n hai v r i thu g n : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = Suy m = ho c n = 0, cũn n u m, n > thỡ 2m2 + 3mn + 2n2 > Do ú x = a , x = b Ta ph i cú x a , x b cỏc c n th c cú ngh a Gi s a b thỡ nghi m c a ph ng trỡnh ó cho l x = a 243 i u ki n bi u th c cú ngh a : a2 + b2 (a v b khụng ng th i b ng 0) t x + x y + y x + 2x y + y - 2x y = = x + xy + y x + xy + y a = x ; b = y , ta cú : A = (x = + y ) - (xy) 2 x + xy + y 2 (x = + y + xy )( x + y - xy ) x + y + xy 2 = x + y - xy V y : A = a + b - ab (v i a2 + b2 0) 244 Do A l t ng c a hai bi u th c d ng nờn ta cú th ỏp d ng b t ng th c Cauchy : A = x2 - x +1 + x2 + x +1 = x4 + x2 + x - x + x + x + = (x - x + 1)(x + x + 1) = ng th c x y : ỡù x + x + = x - x + x = x + x + = ùợ Ta cú A 2, ng th c x y x = V y : A = x = 47 www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM l nghi m c a ph ng trỡnh 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nờn ta cú : 3(1 + )3 + a(1 + )2 + b(1 + ) + 12 = 245 Vỡ + Sau th c hi n cỏc phộp bi n i, ta c bi u th c thu g n : (4a + b + 42) + (2a + b + 18) = Vỡ a, b ẻ Z nờn p = 4a + b + 42 ẻ Z v q = 2a + b + 18 ẻ Z Ta ph i tỡm cỏc s nguyờn a, b cho p + q = N u q thỡ V y1+ =- p , vụ lớ Do ú q = v t p + q = ta suy p = q l m t nghi m c a ph ng trỡnh 3x3 + ax2 + bx + 12 = v ch : ỡ 4a + b + 42 = Suy a = - 12 ; b = ợ 2a + b + 18 = p p p3 246 Gi s l s h u t ( l phõn s t i gi n ) Suy : = Hóy ch ng minh c p q q q p v q cựng chia h t cho 3, trỏi v i gi thi t l phõn s t i gi n q 247 a) Ta cú : Do ú : 3 1+ = ( 1+ ) = 1+ 2 + = + 2 ( + - 2 = + 2 - 2 = 32 - 2 ) = b) + - = -1 248 p d ng h ng ng th c (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta cú : a = 20 + 14 + 20 - 14 + 3 (20 + 14 2)(20 - 14 2).a a = 40 + 3 202 - (14 2) a a3 6a 40 = (a 4)(a2 + 4a + 10) = Vỡ a2 + 4a + 10 > nờn ị a = 249 Gi i t ng t bi 21 250 A = + - 251 p d ng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) T x = 3 + Suy x3 = 12 + 3.3x x3 9x 12 = 252 S d ng h ng ng th c (A B)3 = A3 B3 3AB(A B) Tớnh x3 K t qu M = 253 a) x1 = - ; x2 = 25 b) t u= c) t: 254 ỡù u = v3 + x - , v = x - , ta c : u = v = - ị x = ùợ v = u + x + 32 = y > K t qu x = a bi u th c v d ng : A = x3 + + + x + - p d ng | A | + | B | | A + B | A = -1 x 255 p d ng b t ng th c Cauchy hai l n 256 t x = y thỡ x = y 258 Ta cú : P = 48 (x - a) + ị P = 23 x + ( x - b) = | x a | + | x b | | x a + b x | = b a (a < b) www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM D u ng th c x y (x a)(x b) a x b V y P = b a a x b 259 Vỡ a + b > c ; b + c > a ; c + a > b p d ng b t ng th c Cauchy cho t ng c p s d ng (a + b - c) + (b + c - a) =b (b + c - a) + (c + a - b) (b + c - a)(c + a - b) Ê =c (c + a - b) + (a + b - c) (c + a - b)(a + b - c) Ê =a (a + b - c)(b + c - a) Ê Cỏc v c a b t d ng th c trờn u d ng Nhõn b t ng th c ny theo t ng v ta ng th c c n ch ng minh ng th c x y v ch : a + b c = b + c a = c + a b a = b = c (tam giỏc u) cb t 260 x - y = (x - y) = (x + y)2 - 4xy = + = 2 261 2A = (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 Ta cú : c a = - (a c) = - [(a b) + (b c)] = - ( + + - 1) = - 2 Do ú : 2A = ( + 1)2 + ( - 1)2 + (-2 )2 = 14 Suy A = 262 a pt v d ng : ( ) ( 263 N u x thỡ y = 264 t: ) ( x - = y M = x - ) x - -1 + y-3 -2 + ( z - - = )( ) x -1 + - x -1 265 G i cỏc kớch th c c a hỡnh ch nh t l x, y V i m i x, y ta cú : x2 + y2 2xy Nh ng x2 + y2 = (8 )2 = 128, nờn xy 64 Do ú : max xy = 64 x = y = 266 V i m i a, b ta luụn cú : a2 + b2 2ab Nh ng a2 + b2 = c2 ( nh lớ Pytago) nờn : c2 2ab 2c2 a2 +b2 + 2ab 2c2 (a + b)2 c a + b c D u ng th c x y v ch a = b 267 Bi n i ta c: ( a 'b - ab ' 268 x - ; x 49 ) +( a 'c - ac' ) +( b 'c - bc' a+b ) =0 -H t - www.MATHVN.com [...]... a bi u th c B khi c = 54 ; a = 24 c) V i giá tr nào c a a và c đ B > 0 ; B < 0 ỉ 267 Cho bi u th c : A= ç m+ è 2mn 2mn ư 1 + m1+ 2 2 2 ÷ 1+n 1+ n ø n a) Rút g n bi u th c A c) Tìm giá tr nh nh t c a A 268 Rút g n v im≥0;n≥1 b) Tìm giá tr c a A v i m = 56 + 24 5 ỉ ưỉ 1 1+ x 1- x 1- x ư x D=ç -1 ÷ç ÷ 2 x ø1- x + 1- x2 1 - x 2 - 1 + x øè x è 1+ x - 1- x ỉ 1 ư ỉ 2 xư 2 x 269 Cho P = ç ÷ : ç1 ÷ v i x ≥... = d = 0 13 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 Þ M ≥ 1998 ìa + b - 2 = 0 ï D u “ = “ x y ra khi có đ ng th i : ía - 1 = 0 V y min M = 1998 Û a = b = 1 ïb - 1 = 0 ỵ 14 Gi i t ng t bài 13 15 a đ ng th c đã cho v d ng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + 1 = 0 16 A = 18 1 1 1 1 = £ max A= Û x = 2 2 x - 4x + 9 ( x - 2 ) + 5 5 5 2 www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM 7 + 15... và xy ta đ c: 2 ỉ 2x + xy ư 2x.xy £ ç ÷ =4 è 2 ø D u “ = “ x y ra khi : 2x = xy = 4 : 2 t c là khi x = 1, y = 2 Þ max A = 2 Û x = 2, y = 2 21 B t đ ng th c Cauchy vi t l i d i d ng : 22 Ch ng minh nh bài 1 1 2 1998 > Áp d ng ta có S > 2 1999 ab a + b x y x 2 + y 2 - 2xy (x - y) 2 x y + -2= = ³ 0 V y + ³ 2 y x xy xy y x 2 2 2 2 ỉx y ư ỉx ỉx y ư ỉx ỉx b) Ta có : A = ç 2 + 2 ÷ - ç + ÷ = ç 2 + 2 ÷... | a | ≥ 2 (1) B t đ ng th c ph i ch ng minh t ng đ ng v i : a2 – 2 + 4 ≥ 3a Û a2 – 3a + 2 ≥ 0 Û (a – 1)(a – 2) ≥0 (2) T (1) suy ra a ≥ 2 ho c a ≤ -2 N u a ≥ 2 thì (2) đúng N u a ≤ -2 thì (2) c ng đúng Bài tốn đ c ch ng minh 27 B t đ ng th c ph i ch ng minh t ng đ ng v i : x 4 z 2 + y 4 x 2 + z 4 x 2 - ( x 2 z + y 2 x + z 2 y ) xyz x 2 y2 z2 ³ 0 C n ch ng minh t khơng âm, t c là : x3z2(x – y) + y3x2(y... khác, d dàng ch ng minh đ c : N u a + b + c = 1 thì a2 + b2 + c2 ≥ Do đó t gi thi t suy ra : x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥ 24 1 3 1 3 (2) www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM 1 3 Û x=y=z= ± 3 3 71 Làm nh bài 8c (§ 2) Thay vì so sánh n + n + 2 và 2 n+1 ta so sánh (1) , (2) : min A = T n + 2 - n + 1 và n + 1 - n Ta có : n + 2 - n +1 < n +1 - n Þ n + n + 2 < 2 n +1 72 Cách 1 : Vi t các bi u th c d i d u... AB.AC ≥ 2SABC = BC.AH c a B 125 Bình ph ng hai v r i rút g n, ta đ c b t đ ng th c t ng đ ng : (ad – bc)2 ≥ 0 Chú ý : C ng có th ch ng minh b ng b t đ ng th c Bunhiacơpxki 126 Gi s a ≥ b ≥ c > 0 Theo đ bài : b + c > a Suy ra : b + c + 2 bc > a Þ Þ ( b+ c ) ( ) 2 > a 2 V y ba đo n th ng có đ dài b , c , a l p đ 127 Ta có a, b ≥ 0 Theo b t đ ng th c Cauchy : Þ b+ c> a c thành m t tam giác (a + b)2 a +... ≤ 2 131 Xét A2 = 2 + 2 1 - x 2 Do 0 ≤ 1 - x2 ≤ 1 Þ 2 ≤ 2 + 2 1 - x2 ≤ 4 Þ 2 ≤ A2 ≤ 4 min A = 2 v i x = ± 1 , max A = 2 v i x = 0 132 Áp d ng b t đ ng th c : a2 + b2 + c2 + d 2 ³ (a + c)2 + (b + d)2 (bài 23) A = x 2 + 12 + (1 - x)2 + 22 ³ (x + 1 - x)2 + (1 + 2)2 = 10 1- x 1 min A = 10 Û =2 Û x= x 3 2 ìï -x + 4x + 12 ³ 0 ì(x + 2)(6 - x) ³ 0 133 T p xác đ nh : í 2 Û í Û - 1 £ x £ 3 (1) (x + 1)(3 x)... www.MATHVN.com MAI TR NG M U WWW.MATHVN.COM xy yz xy yz + ³2 = 2y z x z x yz zx zx xy T ng t : + ³ 2z ; + ³ 2x Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2 x y y z 1 min A = 1 v i x = y = z = 3 2 2 2 x y z x+y+z 138 Theo bài t p 24 : + + ³ Theo b t đ ng th c Cauchy : x+y y+z z+x 2 137 Theo b t đ ng th c Cauchy : xy + yz + zx 1 = 2 2 x+y y+z z+x x+y+z ³ xy ; ³ yz ; ³ zx nên ³ 2 2 2 2 1 1 min A = Û x=y=z= 2 3 139 a) A