SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN

Cho là hàm liên tục khi đó: a Phương trình có nghiệm có nghiệm. b Gọi ; lần lượt là các mút trái, mút phải của biết và cùng dương hoặc cùng âm. Khi đó có nghiệm duy nhất có nghiệm duy nhất. Trong đó .

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG

CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN

MÔN TOÁN THPT Tên đề tài: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN

Người thực hiện:

Trường: THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH

NĂM HỌC: ………

SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN

1 Ký hiệu: ∆ là một trong các tập:[ ; ]a b ; ( ; ) a b ; ( ; ]; a b [ ; a b ); (−∞; )a ; (−∞;a

]; ( ;b +∞); [ ;b +∞); ¡

2 Định lý 1: Cho :f ∆ → ∆ là hàm liên tục khi đó:

a- Phương trình ( )f x =x có nghiệm ⇔ f x n( )=x có nghiệm

b- Gọi α ; β lần lượt là các mút trái, mút phải của ∆ biết lim[ ( )x→α+ f x −x] và

[ ]

lim ( )

β −

→ − cùng dương hoặc cùng âm.

Khi đó ( )f x =x có nghiệm duy nhất ⇔ f x n( )=x có nghiệm duy nhất

 Nếu phương trình ( )f x =x vô nghiệm thì ( )f x − >x 0 hoặc ( )f x − <x 0 với

mọi x∈∆, do đó ( )f x n >x hoặc ( )f x n <x với mọi x∈∆, dẫn đến phương trình ( )

n

f x =x cũng vô nghiệm

b  Giả sử phương trình ( )f x =x có nghiệm duy nhất là x thì rõ ràng đây cũng là 0

nghiệm của phương trình ( )f x n =x Đặt ( )F x = f x( )−x, do ( )F x là hàm liên tục

nên trên các khoảng ( ; )x0 β và ( ; )α x0 ( )F x giữ nguyên một dấu.

+ Nếu lim[ ( )x→α+ f x −x] và lim[ ( ) ]

β −

→ − cùng dương thì ( ) 0F x > trong 0

( ; )x β và ( ; )α x0 ⇒ f x( )>x, ∀ ∈∆x /{ }x0

Xét x1∈∆\{ }x0 ⇒ f x( )1 >x1

→ − cùng âm chứng minh tương tự.

 Ta thấy mọi nghiệm của phương trình ( )f x =x đều là nghiệm của phương trình ( )f x n =x do đó nếu phương trình ( )f x n =x có nghiệm duy nhất thì phương trình ( )f x =x có nghiệm duy nhất.

a- Nếu x1 <x2 thì ( )x dãy tăng n

b- Nếu x1 >x2 thì ( )x dãy giảm n

b Nếu tồn tại số nguyên dương k để x k >x k+1 thì x n >x n+1, ∀ ≥n k.

b Nếu (x ) bị chặn thì n ∃ =α limx2n và ∃ =β limx2n+1

c Nếu f liên tục thì ,α β là nghiệm của phương trình:

+



=  ⇒ =α f f( ( ))α Chứng minh tương tự ta cũng có: β = f f( ( ))β

Vậy ;α β là nghiệm của phương trình ( ( ))f f x =x

( )u là dãy giảm mà lại bị chặn dưới tại 1 nên dãy ( ) n u có giới hạn hữu hạn n

VD2 Cho dãy số ( )u thỏa mãn n

Thật vậy: - Bài toán đúng với n = 1.

- Giả sử bài toán đúng với n = k, k∈¥ ta chứng minh bài toán đúng *

Ta có: u k+1= f u( )k , mà: u k > 3⇒ f u( )k < f( 3) (Do f(x) là hàm giảm)

1

332

k

u +

 Do u n+1= f u( )n và ( )f x là hàm nghịch biến nên ( ) u tách hàm làm 2 dãy: ( n u2k+1

) và (u ) trong đó có một dãy tăng và một dãy giảm, lại có dãy ( 2k u ) bị chặn n

Vậy dãy ( )u có giới hạn hữu hạn khi n n → +∞

VD3 Cho số thực a và dãy số ( ) u xác định như sau: n

Giải Xét hàm ( )f x = +x sin , x ∀ ∈x ¡ , ta có '( ) 1 cosf x = + x≥ ∀ ∈0, x ¡ , khi đó

với x x 1; 2 (x1< x2) ta có: trong [ ; ]x x có hữu hạn điểm mà tại đó '( ) 01 2 f x = , vì vậy

( )

f x đồng biến trên [x x1; 2] ⇒ f x( )1 < f x( )2

Vậy f(x) đồng biến trên ¡

 Nếu a k= π, (k∈¢ , dễ dàng chứng minh được bằng qui nạp ) u n =a, ∀ ∈n ¥*

⇒ ∃ Đặt limU n = b; b là nghiệm của phương trình: b = b +

Chứng minh rằng dãy số ( )x có giới hạn hữu hạn n

Giải Bằng quy nạp ta chứng minh được 0≤ ≤x n a n,∀ ∈¥*

Do đó dãy ( )x được tách thành 2 dãy con ( n x ) và () Trong đó dãy ( 2n x ) tăng, dãy 2n

(x2n+1) giảm Mặt khác dãy (x ) và ( 2n x2n+1) đều bị chặn suy ra ∃limx2n và limx2n+1.

Đặt limx = α2n ; limx2n+1= β Khi đó α , β là nghiệm của phương trình:

Vậy có limx = T với T thoả mãn ( (T)) n f f = T.

VD6 Cho dãy số ( )a xác định như sau: n

1

* 1

01,4

cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn hữu hạn.

Giải Khảo sát hàm số f x( ) =3x3−7x2 +5x và xét sự tương giao của nó với hàm

khoảng này thì ( )x là dãy số đơn điệu n

x > = > ⇒ =x a α x ≥ >a Vậy ( )x không bị chặn trên, do n

đó ( )x không có giới hạn hữu hạn n

- Với a∈ −∞( ;0) , chứng minh tương tự trường hợp trên suy ra ( )x giảm và không n

bị chặn dưới, do đó cũng không có giới hạn hữu hạn

- Với 1;4

3

∈ ÷  thì dãy ( )x giảm và bị chặn dưới bởi 1, nên nó có giới hạn hữu n

hạn α =limx n với α là nghiệm của phương trình ( ) 0;1;4

3

÷

 , từ đó áp dụng phần trên suy ra dãy

( )x giảm với mọi n n≥2 và có giới hạn là 1

nên ( )x là dãy số tăng, mà lại bị chặn suy ra tồn tại giới hạn hữu hạn lim n x n =α ,

với α là nghiệm của phương trình ( ) 0;1;4

x > Gọi n0 là số nguyên dương nhỏ nhất

thỏa mãn điều kiện này, thì ta có 0 1 1

3

∈ ÷  và khi đó áp dụng chứng minh trên ta suy ra kể từ n0 dãy số

( )x là dãy số giảm và có giới hạn là 1 n

VD8 (VMO 2008) Cho dãy số thực ( )a xác định bởi n

2

2

k k

a k

a

a = > =a nên ( )a là dãy số tăng n

+ Dãy ( )a tăng và bị chặn suy ra tồn tại giới hạn hữu hạn lim n a n =L, với L là

nghiệm của phương trình 3 2

Lại có g( )2 =0 nên x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình g x( ) =0 Vậy hàm số đã cho có giới hạn lima n = =L 2

6 Bài tập

Bài 1 Cho dãy ( )x xác định như sau: n 1

2 1

131

12

a b là nghiệm của phương trình x= f x( )

Ta thấy, trong đoạn [−1;0] , phương trình x= f x( ) có nghiệm duy nhất x= −1 3

n

n

u u

- Suy ra tồn tại các giới hạn limu2n =a , limu2n+1 =b, và ,a b thuộc đoạn [−1;0] , ,

a b là nghiệm của phương trình x= f f x( ( ))

Ta thấy, trong đoạn [ ]0;1 , phương trình x= f f x( ( )) có nghiệm duy nhất

1cos ,2

limx n+ =b, và ,a b thuộc đoạn [ ]0;1 , ,a b là nghiệm của phương trình x= f x( ).

Ta thấy, trong đoạn [ ]0;1 , phương trình x= f x( ) có nghiệm duy nhất

- Vậy dãy ( )u hội tụ n

Bài 4 Cho số a > 0 và xét dãy ( )a xác định như sau: n 1 1 *

- Đặt f x( ) =21−x và F x( ) = f f x( ( ) ) −x Ta chứng minh được F x'( ) <0,

0< <x 2 Do vậy F x( ) <F( )1 =0,1< <x 2 và F x( ) >F( )1 =0,0< <x 1

- Từ đó xét trường hợp nếu a1= <a 1 thì dãy số ( )a 2n là dãy tăng (a2 1n+ ) là dãy

giảm và cả hai cùng tiến tới 1 Nếu a1 = >a 1 thì ngược lại dãy số ( )a 2n là dãy

giảm (a2 1n+ ) là dãy tăng và cả hai cùng tiến tới 1 Nếu a1 =1 thì dãy ( )a là dãy n

hằng a n = ∀1, n nên cũng có giới hạn là 1

- Vậy trong mọi trường hợp dãy số ( )a đều hội tụ về 1 n

Bài 5 Cho dãy số ( )a xác định như sau: n 1

* 2

CHUYÊN ĐỀ: SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ

DÃY SỐ

Dãy số và các vấn đề dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích toán học Có rất nhiều bài toán về dãy số mỗi bài toán có những cách tiếp cận riêng Trong bài viết này tôi muốn giới thiệu về một cách tiếp cận và giải quyết các bài toán về dãy số

I.MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT DÃY SỐ Bài 1( Đề nghị thi HSG khu vực DHĐBBB 2014):

Cho dãy số xác định như sau:

1

* 1

2

n n

1 tan

12

n n

n

x x

x

ππ+

4tan

4 1 tan tan 3

4

πα

n

x

n x

Vậy 2cos(4 ), 1 1,2,

12

n n

1

2 2

2

k n

n

k

y y

y

π

ππ

+

+

+ −+ −

Vậy tan 1 3

25

k n

1,2,

1 ( 3 2)

n n

n

x

n x

n n

n

x

n x

Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho

Bài 4: ( Đề nghi Olympic 30/4/2012) Cho dãy ( )x n xác định bởi

II.MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài 1: ( VMO 2014) Cho hai dãy số thực dương ( )x , n ( )y , trong đó n x1 =1,

2cos12

x y x

n n

n n

+ +

1

4 1,2,

sin2

n

π+

Bài 4: ( Đề nghị thi HSG khu vực DHĐBBB năm 2012)

Cho dãy số (xn) xác định bởi

Cho hai dãy số ( )x , n ( )y như sau: n

Và dễ thấy lim lim tan 1 tan 0 0

Chứng minh dãy số trên hội tụ và tìm limx n

Bài 4: ( Đề nghi Olympic 30/4/2012) Cho dãy số ( )x xác định bởi n