1. Trang chủ
  2. » Trung học cơ sở - phổ thông

ĐIỀU KIỆN để hàm số đơn điệu TRÊN một KHOẢNG CHO TRƯỚC THUỘC tập xác ĐỊNH

3 1,5K 8

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 3
Dung lượng 146,5 KB

Nội dung

Điều Kiện Để Hàm Số Đơn ĐiệuTrên Một Khoảng Cho Trước Có hai phương pháp chính để giải các bài toán về tính đơn điệu trên khoảng cho trước.. PP2: Lập bảng biến thiên để tìm các khoảng đơ

Trang 1

Điều Kiện Để Hàm Số Đơn Điệu

Trên Một Khoảng Cho Trước

Có hai phương pháp chính để giải các bài toán về tính đơn điệu trên khoảng cho trước

PP1: Rút m theo x, rồi dựa vào bài toán cụ thể để tìm m

PP2: Lập bảng biến thiên để tìm các khoảng đơn điệu cụ thể, từ đó rút ra kết luận

Ví dụ 1 (A-2013) Tìm m để hàm số y = −x3+ 3x2+ 3mx − 1 nghịch biến trên (0; +∞)

Ta có y0= −3x2+ 6x + 3m

Hàm số nghịch biến trên (0; +∞) ⇔ y0 ≤ 0, ∀x ∈ (0; +∞)

⇔ −3x2+ 6x + 3m, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ m ≤ x2− 2x, ∀x ∈ (0; +∞) (1)

Xét hàm số f (x) = x2− 2x trên (0; +∞)

Ta có f0(x) = 2x − 2; f0(x) = 0 ⇔ x = 1

Bảng biến thiên:

x 0 1 +∞

f0(x) − 0 +

f (x) 0

−1

+∞

Từ bảng biên thiên ta có (1) ⇔ m ≤ −1

Vậy với m ≤ −1 thì hàm số đã cho nghịch biến trên (0; +∞)

Ví dụ 2 Tìm m để hàm số y = −1

3x

3+ (m − 1) x2+ (m + 3) x + 4 đồng biến trên (0; 3)

Lời giải Ta có: y0= −x2+ (m − 1) x + m + 3 Hàm số đồng biến trên (0; 3) khi và chỉ khi

y0 ≥ 0, ∀x ∈ (0; 3) ⇔ −x2+ 2 (m − 1) x + m + 3 ≥ 0, ∀x ∈ (0; 3)

⇔ m (2x + 1) ≥ x2+ 2x − 3, ∀x ∈ (0; 3)

⇔ m ≥ x

2+ 2x − 3

Xét hàm số f (x) = x

2+ 2x − 3 2x + 1 trên [0; 3] có f

0(x) = 2x

2+ 2x + 8 (2x + 1)2 > 0, ∀x ∈ [0; 3].

Bảng biến thiên

x 0 3

f0(x) +

f (x)

−3

12 7

Từ bảng biến thiên suy ra (1) ⇔ m ≥ 12

7 . Vậy với m ≥ 12

7 , hàm số đã cho luôn đồng biến trên (0; 3).

Trang 2

Nguyễn Minh Hiếu

Ví dụ 3 Tìm m để hàm số y = x3− (2m + 1) x2+ m2+ 2m x + 1 đồng biến trên (0; +∞) Lời giải Ta có: y0 = 3x2− 2 (2m + 1) x + m2+ 2m; ∆0y0 = (2m + 1)2− 3 m2+ 2m = (m − 1)2 Với m = 1, ta có y0≥ 0, ∀x ∈ R ⇒ hàm số luôn đồng biến trên R nên đồng biến trên (0; +∞)

Do đó m = 1 thỏa mãn điều kiện bài toán

Với m 6= 1, ta có y0 = 0 ⇔

x1= 2m + 1 − |m − 1|

3

x2= 2m + 1 + |m − 1|

3

Bảng biến thiên

x − ∞ x 1 x 2 +∞

y0 + 0 − 0 + y

− ∞

y(x1)

y(x 2 )

+∞

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên (0; +∞) khi và chỉ khi

2m + 1 + |m − 1|

3 ≤ 0 ⇔ |m − 1| ≤ −2m − 1

Với m > 1, ta có |m − 1| ≤ −2m − 1 ⇔ m − 1 ≤ −2m − 1 ⇔ m < 0 (loại)

Với m < 1, ta có |m − 1| ≤ −2m − 1 ⇔ −m + 1 ≤ −2m − 1 ⇔ m < −2 (thỏa mãn)

Vậy với m ≤ −2 hoặc m = 1, hàm số đã cho đồng biến trên (0; +∞)

Ví dụ 4 Tìm m để hàm số y = x2− 2mx + 2m2− 2

x − m đồng biến trên (1; +∞).

Lời giải Tập xác định: D = R\ {m} Ta có: y0 = x

2− 2mx + 2 (x − m)2 . Hàm số đồng biến trên (1; +∞) khi và chỉ khi



y0 ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞)

m /∈ (1; +∞) ⇔

x2− 2mx + 2 (x − m)2 ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞)

m ≤ 1



x2− 2mx + 2 ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞)

m ≤ 1

m ≤ x

2+ 2 2x , ∀x ∈ (1; +∞)

m ≤ 1

(2)

Xét hàm số f (x) = x

2+ 2 2x trên [1; +∞) có f

0(x) = 2x

2− 4 4x2 ; f0(x) = 0 ⇔ x =√2

Bảng biến thiên

x 1 √

2 +∞

f0(x) − 0 +

f (x)

3

2 √

2

+∞

Từ bảng biến thiên ta có (2) ⇔



m ≤√2

m ≤ 1 ⇔ m ≤ 1.

Vậy với m ≤ 1, hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞)

Trang 3

Ví dụ 5 Tìm a để hàm số y = x3+ 3x2+ ax + a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

Lời giải Ta có: y0 = 3x2+ 6x + a; ∆0y0 = 9 − 3a

Với 9 − 3a ≤ 0 ⇔ a ≥ 3 ⇒ y0 ≥ 0, ∀ ∈ R ⇒ hàm số luôn đồng biến trên R, mâu thuẫn giả thiết

Do đó a ≥ 3 không thỏa mãn

Với 9 − 3a > 0 ⇔ a < 3 ⇒ y0 có hai nghiệm x1, x2(x1 < x2)

Bảng biến thiên

x − ∞ x 1 x 2 +∞

y0 + 0 − 0 + y

− ∞

y(x1)

y(x2)

+∞

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi

|x1− x2| = 1 ⇔ (x1+ x2)2− 4x1x2 = 1 ⇔ 4 − 4a

3 = 1 ⇔ a =

9

4 (thỏa mãn)

Vậy với a = 9

4, hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

Nhận Xét: Đối với các bài toán có m bậc nhất và có khoảng đơn điệu cụ thể nên dùng PP1 còn các bài toán có bậc m lớn hơn 1 và khoảng đơn điệu không cụ thể phải dùng PP2

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Tìm m để hàm số y = x3+ 3x2− mx − 4 nghịch biến trên (−∞; 0)

2 Tìm m để hàm số y =13mx3− (m − 1) x2+ 3 (m − 2) x + 13 đồng biến trên [2; +∞)

3 Tìm m để hàm số y = x4− 8mx2+ 9m đồng biến trên (2; +∞)

4 Tìm m để hàm số y =mx + 4

x + m nghịch biến trên (−∞; 1).

5 Tìm m để hàm số y =mx2+ 6x − 2

x + 2 nghịch biến trên [1; +∞).

6 Tìm a để hàm số y = x2− 2ax + 4a2

x − 2a đồng biến trên (2; +∞).

7 Tìm m để hàm số y = x3+ 3x2+ (m + 1) x + 4m đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; −2) và (2; +∞)

8 Tìm a để hàm số y = x3− 3 (a − 1) x2+ 3(a − 2)x + 1 đồng biến trên mỗi khoảng có hoành

độ thỏa 1 ≤ |x| ≤ 2

9 Tìm m để hàm số y = 13(m + 1) x3+ (2m − 1) x2− (3m + 2) x + m nghịch biến trên đoạn có

độ dài bằng 4

10 Tìm m để hàm số y = −13x3+ x2+ (3m + 2) x + m − 3 đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 4

Ngày đăng: 01/10/2016, 10:32

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w