SỐ PHỨC - LƯỢNG GIÁC – HÌNH HỌC I Số phức – công thức bản: 1) Định nghĩa phép tính bản: • Số ảo i số thoả: i = −1 • Số phức z có dạng: z = a + bi a gọi phần thực, b gọi phần ảo Cho số phức z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i Khi đó: a1 = a2 • z1 = z2 ⇔ b1 = b2 • z1 ± z2 = ( a1 ± a2 ) + ( b1 ± b2 ) i • z1.z2 = ( a1 + b1i ) ( a2 + b2i ) = a1a2 − b1b2 + ( a1b2 + a2b1 ) i z1 a1 + b1i ( a1 + b1i ) ( a2 − b2i ) a1a2 + b1b2 + ( b1a2 − b2 a1 ) i = = = • z2 a2 + b2i ( a2 + b2i ) ( a2 − b2i ) a2 + b2 (Các phép toán với số phức thực y với số thực, cần nhớ thêm i = −1 ) • Với số phức z = a + bi đại lượng a + b gọi môđun số phức z Ký hiệu z = a + b Ý nghĩa z làm rõ phần • Số phức a − bi gọi số phức liên hợp z ký hiệu z Ta có: z z = z 2) Công thức De – Moivre: Có thể nói công thức De – Moivre công thức thú vị tảng cho loạt công thức quan trọng khác sau phép luỹ thừa, khai số phức, công thức Euler Chúng ta tìm hiểu chuỗi công thức kỳ diệu Trước hết ta có: Công thức 1: ( cos x +i sin x ) ( cos y +i sin y ) =cos ( x +y ) +i sin ( x +y ) Thật vậy: ( cos x + i sin x ) ( cos y + i sin y ) = ( cos x cos y + i sin x sin y ) + + ( sin x cos y + cos x sin y ) i Nếu i = hoàn toàn chẳng có cả, i = −1 nên ta thu được: ( cos x + i sin x ) ( cos y + i sin y ) = ( cos x cos y − sin x sin y ) + + ( sin x cos y + cos x sin y ) i = cos ( x + y ) + i sin ( x + y ) Bây áp dụng công thức cho trường hợp đặc biệt y=x ta được: ( cos x + i sin x ) = cos x + i sin x tiếp tục là: ( cos x + i sin x ) = ( cos x + i sin x ) ( cos x + i sin x ) = ( cos x + i sin x ) ( cos x + i sin x ) = cos x + i sin x Bằng phép quy nạp ta thu công thức Công thức (Công thức De - Moivre): ( cos x +i sin x ) n =cos nx +i sin nx Từ phép tính không phức tạp ta thu công thức hay Bây ta tìm hiểu ứng dụng công thức II Các ứng dụng công thức De – Moivre: 1) Tính – rút gọn tổng lượng giác: Các bạn học lượng giác phải rút gọn tổng sau: A = cos x + cos x + cos 3x + + cos nx B = sin x + sin x + sin x + + sin nx Dùng công thức De - Moivre ta tính dễ dàng A, B tính đồng thời A, B Thật vậy: + A + iB = + ( cos x + i sin x ) + ( cos x + i sin x ) + + ( cos nx + i sin nx ) = + ( cos x + i sin x ) + ( cos x + i sin x ) + + ( cos x + i sin x ) n − ( cos x + i sin x ) − cos ( n + 1) x − i sin ( n + 1) x = = − ( cos x + i sin x ) − cos x − i sin x Ta áp dụng công thức nhân để rút gọn VP: n +1 n +1 n +1 2sin x − 2i sin x cos x 2 VP = x x x 2sin − 2i sin cos 2 n +1 n +1 n +1 sin x sin x − i cos x 2 = x x x sin sin − i cos 2 n + sin n + x − i cos n + x sin x + i cos x sin x ÷ ÷ 2 2 = x sin ( n + 1) x cos nx sin n + x.sin nx n +1 sin x sin cos nx + i sin nx = 2 +i 2 = x x x 2 sin sin sin 2 So sánh phần thực phần ảo vế ta thu kết : n +1 1+ A = sin ( n + 1) x cos nx x sin n +1 nx sin x.sin 2 B= x sin 2 Vậy ta rút gọn tổng A, B Tuy nhiên có lưu ý nhỏ với x = k 2π dễ dàng tính trực tiếp A, B mà không cần dùng đến công thức De – Moivre (và thật dùng công thức De – Moivre, sao?) Ngoài bạn rút gọn phân số n +1 n +1 sin x − i cos x 2 x x sin − i cos 2 công thức De – Moivre, phần dành cho bạn xem tập 2) Luỹ thừa – Khai số phức: • Luỹ thừa: 12 12 VD: tính ( + i ) + ( − i ) Ta có: π π π π 1+ i = + i ÷ = cos + i sin ÷,1 − i = cos − i sin ÷ 4 4 nên 12 12 12 π π π π 12 12 ( + i ) + ( − i ) = cos + i sin ÷ + cos − i sin ÷ 4 4 = 64 ( cos 3π ) = −128 Như để áp dụng công thức De – Moivre cho luỹ thừa số phức, ta cần chuyển số phức thành dạng lượng giác, điều làm được! Thật vậy, với số phức z = a + bi ta có: a b z = a + bi = a + b + i÷ 2 2 a +b a +b = z ( cos ϕ + i sin ϕ ) = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) • với r = z góc ϕ gọi argument z, ký hiệu arg ( z ) Ngược với phép luỹ thừa ta có phép khai Khai số phức: Giả sử t bậc n số phức z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) Ta có : n t = t ( cos α + i sin α ) ⇒ t n = t ( cos nα + i sin nα ) Do đó: n t n = z ⇔ t ( cos nα + i sin nα ) = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) t n = r ⇔ cos nα = cos ϕ sin nα = sin ϕ t = n r ⇔ ϕ 2π ( k = 0,1, , n − 1) α = + k n n (Tại ta lấy k = 0,1, , n − ?) Vậy số phức có n bậc n Về bậc n số có nhiều điều thú vị, xin nêu phối hợp chúng với định lý Viet để tính tổng, cụ thể ta tính tổng sau đây: S = cos 2π 4π nπ + cos + + cos 2n +1 n +1 n +1 Trước hết ta có nhận xét hữu ích sau: Nhận xét: Nếu t bậc n t ≠ t nghiệm phương trình z n −1 + z n − + + z + = Thật vậy: t n − = ⇔ ( t − 1) ( t n −1 + t n −2 + + t + 1) = ⇔ t n −1 + t n −2 + + t + = (*) Với 2n bậc 2n+1 số là: 2π 2π 4π 4π t1 = cos + i sin , t2 = cos + i sin , , 2n + 2n + 2n + 2n + k 2π k 2π 4nπ 4nπ tk = cos + i sin , , t2 n = cos + i sin 2n + 2n + 2n + 2n + ta áp dụng nhận xét suy 2n số phức 2n nghiệm phân biệt (?) phương trình : z n + z n −1 + + z + = theo định lý Viet thì: 2n ∑ tk k =1 = −1 đồng phần thực vế ta được: ( 2n + ) π + + cos 4nπ = −1 2π 2nπ + + cos ÷ cos ÷+ cos 2n + 2n + 2n + 2n + Tiếp theo ta tìm hiểu kỹ ý nghĩa hình học số phức công thức De – Moivre ⇔ 2S = −1 ⇔ S = − III Ý nghĩa hình học số phức: Trước hết ta coi số phức z = a + bi = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) điểm uuuur uuuur ·uuuur M ( a, b ) OM = ( a, b ) r = z = a + b = OM , ϕ = arg z = OM , Ox ÷ r r Nếu ta xem số thực k ‘lệnh’, tức ku ‘lệnh’ biến vectơ u r r thành vectơ phương với u có độ dài gấp k lần độ dài u , ( ) ta thấy số thực chưa đủ để biểu diễn hết ‘lệnh’(tức phép biến hình), số thực ứng với ‘lệnh‘ (PBH) phương, ‘lệnh’ khác phép quay, phép đồng dạng, phép đối xứng sao? Rõ ràng để biểu diễn PBH ta cần thêm số mới, nằm tập số thực, câu trả lời thật bất ngờ, số phức biểu r diễn phép quay, phép đồng dạng Thật ta xét lại phép nhân vectơ u = ( x, y ) = x + iy mặt phẳng phức với số phức z = cos ϕ + i sin ϕ Ta có: r z.u = ( cos ϕ + i sin ϕ ) ( x + iy ) = ( x cos ϕ − y sin ϕ ) + i ( x sin ϕ + y cos ϕ ) = ( x cos ϕ − y sin ϕ , x sin ϕ + y cos ϕ ) bạn nhớ lại công thức toạ độ phép quay (mà có dịp trình bày) phép quay với góc ϕ Vậy số phức z = cos ϕ + i sin ϕ đồng với phép quay góc ϕ Đặc biệt số ảo i phép quay góc +900 vì: i = cos 900 + i sin 900 Với cách nhìn đẳng thức i = −1 trở nên hoàn toàn hợp lý, i thực liên tiếp phép quay góc +900 nên kết phép quay góc 1800, tức –1 Và với cách giải thích công thức (hay công thức De – Moivre) có ý nghĩa hh rõ ràng là: tích phép quay góc x góc y phép quay với góc x+y Tổng quát số phức z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) biểu diễn phép đồng dạng gồm phép quay với góc ϕ phép vị tự với tỉ lệ r Cm chi tiết điều dành cho bạn Sau xin chuyển sang công thức kỳ diệu khác mang tên nhà toán học vĩ đại Euler, công thức cho ta thấy hoá hàm lượng giác hàm mũ có ‘bà con’ gần với IV Công thức Euler: e =cos ϕ+i sin ϕ Tại Euler lại nghĩ công thức táo bạo thế? Điều lý giải nhờ vào tương tự công thức De – Moivre với tính chất hàm mũ f ( x ) = a x Ta nhớ lại hàm f ( x ) có tính chất sau đây: iϕ f ( x) f ( y) = f ( x + y) Và ta xét hàm g ( x ) = cos x + i sin x công thức De – Moivre hàm g ( x ) có tính chất y hàm f ( x ) , i.e: g ( x ) g ( y ) = g ( x + y ) Điểm giống có lẽ sở để Euler đề công thức tuyệt vời eiϕ =cos ϕ+i sin ϕ Dĩ nhiên để cm chặt chẽ công thức phải dùng đến công cụ mạnh khai triển Taylor hàm e x ,sin x, cos x Ở chấp nhận công thức khai triển này, cụ thể ta có: x x3 xn e x = + x + + + + + 2! 3! n! x x x k +1 x k +3 sin x = x − + − + − + 3! 5! ( 4k + 1) ! ( 4k + 3) ! cos x = − x2 x4 x 4k x4k +2 + − + − + 2! 4! ( 4k ) ! ( k + ) ! Áp dụng công thức khai triển ta cm công thức Euler, chi tiết dành cho bạn Cuối xin nêu cách giải số phức toán hình học thú vị Berkeley Math Circle (BMC) V Một toán hình thú vị BMC: Bài toán: Cho đa giác n-cạnh A1 A2 An nội tiếp đường tròn ( O; R ) điểm M di động đường tròn Đặt n S k ( M ) = ∑ MAik i =1 Với giá trị số tự nhiên k S k ( M ) không phụ thuộc vị trí M đường tròn ( O; R ) ? Nếu ta công toán tổng quát gặp khó khăn, ta giải toán với giá trị cụ thể n Đầu tiên với giá trị nhỏ n=3 ta có: Bài toán 1: cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O; R ) điểm M di động đường tròn Tìm giá trị tự nhiên k cho tổng S k ( M ) = MAk + MB k + MC k không phụ thuộc vị trí M Phân tích: • Rõ ràng k=1 không thoả (?) • k=2 thoả Có thể cm tổng MA2 + MB + MC không phụ thuộc M cách dùng công thức tâm tỉ cự Với k ≥ việc tính tổng S k ( M ) trở nên phức tạp, với k lẻ ta không dùng công cụ vectơ (có thể bạn tìm cách lý luận để xử lý riêng trường hợp k lẻ) để tính tổng Còn với k chẵn k=4 ta cần tính tổng: S ( M ) = MA4 + MB + MC S tính theo S cách dùng đẳng thức nhiên tính toán dài cách mở rộng cho số mũ k lớn Để giải khó khăn nói trên, nghĩ đến việc chuyển sang dùng định lý hàm sin thật bất ngờ cách cho lời giải thống cho trường hợp k chẵn k lẻ Cụ thể sau: · Đặt MOA = 2α Do tính đối xứng nên ta giả sử M ∈ »AC , dùng định lý hàm sin ta tính được: π π MA = R sin α , MB = R sin α + ÷, MC = R − α ÷ 3 3 Không tính tổng quát ta cho R=1 Khi π π S k ( M ) = 2k sin k α + sin k α + ÷+ sin k − α ÷ 3 3 toán trở thành: Tìm giá trị k cho tổng π π S 'k = sin k α + sin k α + ÷+ sin k − α ÷ 3 3 không phụ thuộc α Để cho tiện ký hiệu S 'k Sk Ta nhận thấy π π S k = sin k α + sin k α + ÷+ sin k − α ÷ 3 3 π 2π = sin k α + sin k α + ÷+ sin k α + ÷ 3 π 2π xét góc t1 = α , t2 = − α + ÷, t3 = α + 3 sin 3ti = sin 3α ( i = 1, 2,3 ) , đó: Dễ kiểm chứng sin 3α = sin 3ti = 3sin ti − 4sin ti Suy số xi = sin ti nghiệm phương trình x − x + sin 3α = Từ ta dùng định lý Viet cho phương trình bậc được: x1 + x2 + x3 = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = − sin 3α x1 x2 x3 = − Khi biết biểu thức đối xứng ta tính tổng: Tk = x1k + x2k + x3k nhờ vào công thức truy hồi 4Tk = 3Tk − − ( sin 3α ) Tk −3 tổng 3 T0 , T1 , T2 T0 = 3, T1 = 0, T2 = ÷ 2 Tuy nhiên ý chưa phải tổng mà ta cần tính π x2 = − sin α + ÷ Do với k chẵn S k ≡ Tk , k lẻ 3 π S k = Tk + 2sin k α + ÷ 3 Ta xét số trường hợp : K=4: S = T4 = T2 − sin 3α T1 =