TOÁN RỜI RẠC 1

LOGO TOÁN R I R C Ph m Th B o email: ptbao@hcmus.edu.vn www.math.hcmus.edu.vn/~ptbao/TRR/ N i dung N i dung: g m ph n - C s logic - Phép đ m - Quan h - Hàm Bool - th Tài li u tham kh o Tài li u tham kh o ThS Nguy n Duy Nh t, ThS Nguy n V n Phong, PGS.TS inh Ng c Thanh, Toán r i r c TS Tr n Ng c H i, Toán r i r c GS.TS Nguy n H u Anh, Toán r i r c, Nhà xu t b n giáo d c Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 6th edition, 2007 Ki m tra Ki m tra Ki m tra gi a k : Ki m tra cu i k : i m th ng: 30% 70% 5-10% C s Logic Ch ng I: C s logic - M nh đ - D ng m nh đ - Qui t c suy di n - V t ,l ng t - T ph p - Ánh x - Qui n p toán h c C s Logic I M nh đ nh ngh a: M nh đ m t kh ng đ nh có giá tr chân lý xác đ nh, ho c sai Câu h i, câu c m thán, m nh l nh… không m nh đ Ví d : - m t tr i quay quanh trái đ t - 1+1 =2 - Hôm tr i đ p ! (ko m nh đ ) - H c ! (ko m nh đ ) - s ch n ph i không? (ko m nh đ ) C s Logic I M nh đ Ký hi u: ng i ta dùng ký hi u P, Q, R… đ ch m nh đ Chân tr c a m nh đ : M t m nh đ ch có th ho c sai, không th đ ng th i v a v a sai Khi m nh đ P ta nói P có chân tr đúng, ng c l i ta nói P có chân tr sai Chân tr chân tr sai s đ c ký hi u l n l t (hay ,T) (hay S,F) C s Logic I M nh đ Ki m tra kh ng đ nh sau có ph i m nh đ không? - Paris thành ph c a M - n s t nhiên - nhà mà xinh th ! - s nguyên t - Toán r i r c môn b t bu c c a ngành Tin h c - B n có kh e không? - x2 +1 d ng C s Logic I M nh đ Phân lo i: g m lo i a M nh đ ph c h p: m nh đ đ c xây d ng t m nh đ khác nh liên k t b ng liên t (và, hay, ch khi,…) ho c tr ng t “không” b M nh đ s c p (nguyên th y): Là m nh đ không th xây d ng t m nh đ khác thông qua liên t ho c tr ng t “không” Ví d : - không s nguyên t - s nguyên t (s c p) - N u 3>4 tr i m a - An xem phim hay An h c - Hôm tr i đ p +1 =3 C s Logic I M nh đ Các phép toán: có phép toán a Phép ph đ nh: ph đ nh c a m nh đ P đ c ký hi u ¬P hay (đ c “không” P hay “ph đ nh c a” P) B ng chân tr : Ví d : - s nguyên t Ph đ nh: không s nguyên t - >2 Ph đ nh : 1≤ 10 VI Ánh x f(A) = {f(x) | x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f(x)} Nh v y y ∈ f(A) ⇔ ∃x ∈ A, y = f(x); y ∉ f(A) ⇔ ∀x ∈ A, y ≠ f(x) f–1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} đ c g i nh ng f–1(B) Nh v y x ∈ f–1(B) ⇔ f(x) ∈ B cc aB VI Ánh x Ví d Cho f: R →R đ c xác đ nh f(x)=x2 +1 Ta có f([1,3])=[2,10] f([-2,-1])=[2,5] f([-1,3])=[1,10] f((1,5)) = (2,26) f–1(1)={0} f–1(2)={-1,1} f–1(-5)= ∅ f–1([2,5])= [-2,-1] ∪[1,2] VI Ánh x Phân lo i ánh x a n ánh Ta nói f : X → Y m t đ n ánh n u hai ph n t khác b t k c a X đ u có nh khác nhau, ngh a là: Ví d Cho f: N →R đ g: R →R đ c xác đ nh f(x)=x2 +1 (là đ n ánh) c xác đ nh g(x)=x2 +1 (không đ n ánh) VI Ánh x ∀x, x' ∈ X, x ≠ x' ⇒ f(x) ≠ f(x' ) Nh v y f : X → Y m t đ n ánh ⇔ (∀x, x' ∈ X, f(x) = f(x') ⇒ x = x') ⇔ (∀y ∈ Y, f–1(y) có nhi u nh t m t ph n t ) ⇔ (∀y ∈ Y, ph ng trình f(x) = y (y đ c xem nh tham s ) có nhi u nh t m t nghi m x ∈ X f : X → Y không m t đ n ánh ⇔ (∃x, x' ∈ X, x ≠ x' f(x) = f(x')) ⇔ (∃y ∈ Y, ph ng trình f(x) = y (y đ s ) có nh t hai nghi m x ∈ X c xem nh tham VI Ánh x b Toàn ánh Ta nói f : X → Y m t toàn ánh f(X)=Y, ngh a là: Ví d Cho f: R →R đ g: R →R đ ánh) c xác đ nh f(x)=x3 +1 (là toàn ánh) c xác đ nh g(x)=x2 +1 (không toàn VI Ánh x Toàn ánh ⇔ f(X)=Y Nh v y f : X → Y m t toàn ánh ⇔ (∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, y = f(x)) ⇔ (∀y ∈ Y, f–1(y) ≠ ∅); ⇔ ∀y ∈ Y, ph ng trình f(x) = y (y đ s ) có nghi m x ∈ X f : X → Y không m t toàn ánh ⇔ (∃y ∈ Y, ∀x ∈ X, y ≠ f(x)); ⇔ (∃y ∈ Y, f–1(y) ≠ ∅); c xem nh tham VI Ánh x c Song ánh Ta nói f : X → Y m t song ánh n u f v a đ n ánh v a toàn ánh Ví d Cho f: R →R đ g: R →R đ ánh) c xác đ nh f(x)=x3 +1 (là song ánh) c xác đ nh g(x)=x2 +1 (không song VI Ánh x Tính ch t f : X → Y m t song ánh ⇔ (∀y ∈ Y, ∃!x ∈ X, y = f(x)); ⇔ (∀y ∈ Y, f–1(y) có m t ph n t ); ⇔ ∀y ∈ Y, ph ng trình f(x) = y (y đ s ) có nh t m t nghi m x ∈ X c xem nh tham VI Ánh x Ánh x ng c Xét f : X → Y m t song ánh Khi đó, theo tính ch t trên, v i m i y ∈ Y, t n t i nh t m t ph n t x ∈ X th a f(x) = y Do t ng ng y x m t ánh x t Y vào X Ta g i ánh x ng c c a f ký hi u f–1 Nh v y: f–1 : Y → X y f–1(y) = x v i f(x) = y Ví d Cho f ánh x t Khi f–1(x)=(y-1)/2 R vào R f(x) =2x+1 VI Ánh x Tích ánh x Cho hai ánh x f : X → Y g : Y' → Z Y ⊂ Y' Ánh x tích h c a f g ánh x t X vào Z xác đ nh b i: h : X → Z x h(x) = g(f(x)) Ta vi t: h = gof : X → Y → Z VI Ánh x Ví d Tìm gof, fog V Quy n p Ch ng minh + + + + …+ (2n-1)= n2 v i n ≥ 1 Ph ng pháp V i nh ng toán ch ng minh tính đ n c a m t bi u th c m nh đ có ch a tham s n, nh P(n) Quy n p toán h c m t k thu t ch ng minh P(n) v i m i s t nhiên n ≥N0 - Quá trình ch ng minh quy n p bao g m b B c: c c s : Ch P(N0) B c quy n p: Ch ng minh n u P(k) P(k+1) Trong P(k) đ c g i gi thi t quy n p V Quy n p Ví d Ch ng minh 1+3+…+(2n-1)=n2 v i m i s nguyên d ng n G i P(n) = “1+3+…(2n-1)=n2 “ +B cc s : Hi n nhiên P(1) 1= 12 V Quy n p + B c quy n p: - Gi s P(k) đúng, t c - Ta ph i ch r ng P(k+1) đúng, t c T gi thi t quy n p ta có: - Suy ra, P(k+1) V y theo nguyên lý quy n p P(n) v i m i s nguyên d ng n V Quy n p