Bộ đề ôn thi toán đại học có đáp án của sở giáo dục đào tạo

ik Bộ đề Ôn thi đại học Toán Sở Giáo Dục Đào tạo Thời gian làm 180phút oOo -2 x -1 x-2 Câu - (0,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = Câu (0,0 điểm) Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + Câu (0,0 điểm) a) Giải bất phương trình log2 x > log2 x + b) Giải phương trình 5.9x - 2.6x = 3.4x Câu (0,0 điểm) Tính nguyên hàm I = j (x - 2) sin 3xdx Câu (0,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA ±(ABC), ABC = 900, AB = o,BC = o>/3,SA = 2o Chứng minh trung điểm I cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC tính diện tích mặt cầu theo o Câu (0,0 điểm) a) Giải phương trình: 2cos2 x - sin x +1 = b) Đội văn nghệ nhà trường gồm học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B học sinh lớp 12C Chọn ngẫu nhiên học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn lễ bế giảng năm học Tính xác suất cho lớp có học sinh chọn có học sinh lớp 12A Câu (0,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh o, SD 3o Hình chiếu vuông góc H đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm đoạn AB Gọi K trung điểm đoạn AD Tính theo o thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng HK SD Câu (0,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình thang ABCD vuông A D có AB = AD < CD, điểm B(1; 2), đường thẳng BD có phương trình y - = Đường thẳng qua B vuông góc với BC cắt cạnh AD M Đường phân giác góc MBC cắt cạnh DC N Biết đường thẳng MN có phương trình x - y - 25 = Tìm tọa độ đỉnh D + =(y + )>/(x +1)( y + ĩ) < x +1 3x2 - 8x - = (x + ì)yjy +1 x2 Câu (0,0 điểm) Giải hệ phương trình: Câu 00 (0,0 điểm) Cho x, y e M thỏa mãn ị2 y > x2 [y < 2x2 + 3x P = x4 + y4 + 2 x ( +y) HẾT (x, y e M) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KSCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm toàn tính đến 0,25 không làm tròn - Với hình học không gian thí sinh không vẽ hình vẽ hình sai không cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Ý x -1 x-2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x -1 =7-2 Tập xác định: D = M \ {2} Sự biến thiên y' = - < 0, Vx e D (x - 2)2 \ Suy hàm số nghịch biến khoảng (-ro;2) (2; +ro) Hàm số Điểm 1,0 y 0,5 cực trị Các giới hạn lim y = 2; lim y = 2; lim y = +ro; lim y = -ro x^+ro x^-ro x^2- x^2+ Suy x = tiệm cận đứng, y = tiệm cận ngang đồ thị 0,25 Bảng biến thiên 0,25 Đồ thị: Giao với trục Ox tại^ — ;0j, giao với trục Oy ^0;— j, đồ thị có tâm đối xứng điểm I (2; 2) 0,25 2 Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 3 1,0 Tập xác định: M 0,25 x=0x y' = 3x1 - 6x, y' = « 0,25 =2 Bảng xét dấu đạo hàm x 0 -ro y + - 0,25 + 0,25 a log'2 x > x Giải bất logphương x < -1 trình log2 x > log2 + (1) 0,5 Từ bảng xét đấu đạo hàm ta có Hàm số đạt cực đại x = giá trị cực đại y = 6; đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu y = Vậy điểm cực đại đồ thị hàm số M (0;6), điểm cực tiểu đồ thị hàm số N (2;2) +) Kết hợp với điều kiện (*), ta có tập nghiệm bất phương trình (1) Phương trình cho xác định với x e M Chia hai vế «• phương «• 5.9x - S = 0;- 0,25 trình (1) cho 4x > ta : 2.6x = 3.4x « 5.^2) -2.^3j = « 5.í fì -2 í 1] -3 = « - 5.121 + 0,25 u [ 4; ■+») b Giải phương trình 5.9x -2.6x = 3.4x (1) 0,5 3= (2) du = dx cos3x v=— 0,25 [í 3Ỵ ,1 I -1 12 ) í3Y" — I + V2 _ 0,25 Tính nguyên hàm I = j (x - 2) sin 3xdx Đặt 1,0 u = x - dv = 0,25 sin 3xdx 1) ta Vậy nghiệm phương trình là: x = 0,25 Tìm điểm trị của1 đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + (Xcực - 2)cos3x Do đó: I = - + cos3xdx 3 1,0 0,25 0,25 (X - 2)cos3x = - + sin3x + C Cho hình chóp S.ABC có SA 1(ABC), ABC = 900, AB = a, BC = SA = 2a minh trung điểm I cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp lặt cầu theo a S.ABC tính diện tích n Chứng S I A 1,0 C B Vì SA (ABC) ^ SA 1BC 0,25 Mặt khác theo giả thiết AB 1BC, nên BC (SAB) BC SB Ta có tam giác SBC vuông đỉnh B; tam giác SAB vuông đỉnh A nên IA = IB = — = IS = IC (*) Vậy điểm I cách bốn đỉnh hình chóp, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S 0,25 ABC , SC Từ (*) ta có bán kính mặt cầu R = 0,25 Ta có AC = VAB2 + BC2 = 2a SC = VSA2 + AC2 = 2yÍ2a ^ R = a4ĩ Diện tích mặt cầu 4—R2 = 8—a2 a 0,25 0,5 Giải phương trình cos X - sin X +1 = Ta có: 2cos2 X- sin X +1 = 2sin2 X + sin X-3 = (sinX-1)(2sin X+3)=0 sin X = (do 2sin X + > VX e M) 0,25 sin X = X = — + k2— (k e z) 0,25 Vậy nghiệm phương trình cho là: X = — + k2— (k e z) b Đội văn nghệ nhà trường gồm học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B học sinh lớp 12C Chọn ngẫu nhiên học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn lễ bế giảng năm học Tính xác suất cho lớp có học sinh chọn có học sinh lớp 12A Gọi không gian mẫu phép chọn ngẫu nhiên Q Số phần tử không gian mẫu là: C«5 = 126 Gọi A biến cố “Chọn học sinh từ đội văn nghệ cho có học sinh ba lớp có học sinh lớp 12A” Chỉ có khả xảy thuận lợi cho biến cố A : + học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B, học sinh lớp 12C + học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B, học sinh lớp 12C + học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B, học sinh lớp 12C 0,5 0,25 Số kết thuận lợi cho biến cố A là: C4\C3.C2 + C42.C32.C1 + C4 C3 C2 = 78 0,25 Xác suất cần tìm P = -78 =13 126 21 3a , Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SD = — Hình chiếu vuông góc H đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm đoạn AB Gọi K trung điểm đoạn AD Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng HK SD S 1,0 F BCAK'D Từ giả thiết ta có SH đường cao hình chóp S.ABCD SH = VSD2 - HD2 = SD2 - (AH2 + AD2) = (—)2 - (-)2 - a2 = a 0,25 22 1 a3 Diện tích hình vuông ABCD a , VS ABCD = SH.SABCD = — a.a2 = — 0,25 Từ giả thiết ta có HK / / BD HK / /(SBD) Do vậy: d(HK, SD) = d(H,(SBD)) (1) Gọi E hình chiếu vuông góc H lên BD, F hình chiếu vuông góc H lên SE 0,25 Ta có BD 1SH, BD HE BD1 (SHE) BD 1HF mà HF SEnên suy HF (SBD) HF = d (H, (SBD)) (2) +) HE = HB.sin HBE = a sin450 = a^ 24 +) Xét tam giác vuông SHE có: aV2 HF.SE = SH.HE HF = a (3) SE a (^)2 + a2 0,25 +) Từ (1), (2), (3) ta có d (HK, SD) = — Trong mặt phẳng với hệ toạ độ ơxy cho hình thang ABCD vuông A D có AB = AD < CD, điểm B(1;2), đường thẳng đường thẳng BD có phương trình y-2 = Đường thẳng qua B vuông góc với BC cắt cạnh AD M Đường phân giác góc MBC cắt cạnh DC N Biết đường thẳng MN có phương trình X - y - 25 = Tìm tọa độ đỉnh D 1,0 0,25 0,25 Tứ giác BMDC nội tiếp ^ BMC = BDC = DBA = 450 ^ ABMC vuông cân B, BN phân giác MBC ^ M, C đối xứng qua BN ^ AD = d (B, CN) = d (B, MN) = 0,25 Do AB = AD ^ BD = AD^Ĩ = 0,25 BD: y - = ^ D(a; 2), a = ^ D (5;2) BD = « a = -3 ^ D (-3; 2) (loai cung phiaB so voi MN) Vậy có 0,25 điểm thỏa mãn là: D(5; 2) X2 = (y + 2) (X + l)(y +1) Giải hệ phương trình: < X +1 (X, y e M) 1,0 3X - 8X - = (X +1) yjy +1 Điều kiện: X > -1 y^ - , „2 ( ^ ++-+-= y+ W(X+1)( y+1) X +1 (1) X -1)( X+1) = ( y+2■)>/y+ĩ (X +1) X + y 0,25 °bX+T) 3/r+ĩ=^ yTĨ ■ Xét hàm số f (t) = t3 + í M có f'(í) = 3t2 +1 > 0Vt e M suy f(t) đồng biến R ■ Nên f ^ —XL— j = f ụy +1) «• vào (2) X = yjy +1 ■ Từ suy X > Thay 0,25 ta 3X2 - 8X - = 4-VX +1 ■ (2X-1)2 = (X + 2>/X +1) I, iaI [ X2 - 6X - = «• V X + = X -1 2>/ X +1 = - 3X «• X — + 2>/3 1^ X< X2-10 X - = - 2>/Ì3 x= ' = X2 Ta có y = -1 X +1 = + W3 V, = 5-2/13 Vớ = 3 Với X = + ^ y = -1— ■ Với X = - — Với X = (loai X > 0) ■ T 0,25 ^ + 3^/3 ^ KL: Hệ phương trình có nghiệm i x; y ) = + 2\/3; V2) 10 Í2y > x2 , , Cho x, y e M thỏa i Tìm giá trị nhỏ nhât biêu thức [y < -2x2 + 3x 1,0 P = x4 + y4 + 2 ix+y ) , x2 Từ giả thiết ta có y > — < -2x2 + 3x ^ < x < — x2 + y2 < x2 + i-2x2 + 3xì = 2x2 i2x2 - 6x + ) 0,25 Xét hàm số f (x) = 2x2 Ì2x2 - 6x + 5Ì ; x e 0;6 ta đươc Max f(x) = L J [0 ;«] ^ x2 + y2 < x2 22 22 22 i +y2 ì P = (x + y -2x y + 2>(x + y - +-^ i x + y )2 x2 + y2 0,25 9 t2 Đăt t = x2 + y2 ^ P > + ,0 < t < 2 t 0,25 Xét hàm số: t2 (t ) g = +1 ’t ei 0;2 g '(t ) = t - = ^-4 g '(t ) = »t=^ 3^4 616 Lâp bảng biến thiên ta có Min P = —— x = y = —— 22 0,25 Hết 0,25 Câu 2x + 6xy +17y + YĨ7x + 6xy + 2y — (x + y) (1) (x2 + l)(vx + Giải hệ: < - 2y) + (6y + 11)Vx + — x2 điểm (2) ĐKXĐ: x >-2 Từ (1) ^ x + y > VT(1) — Y(x + 4y)2 +(x-y)2 + Y(4x + y)2 +(x-y) 0,25 > Y(x + 4y)2 +Ặ4x+ỹf — |x + 4y| + |4x + y\> 5(x + y) Dấu “=” xảy o x — y > ,2 Thế x — y vào PT (2) ta ( x2 +1) (vx + - 2x) + ( 6x +11) Vx + ( x + x — x +12)>/ x + — x + x + x 2x + x(x + 2) — 1^x + (x + 2)^ Vx+2 — 0,25 2x + x (\Jx + ) - x \Jx + - (^x + ) — xYÍxYÍx1 11+ x+2yVx+2yVx+2y x PT trở thành Đặt t — yj x + 2t3 -12 +1-6 — o(2t-3)(t2 1- — (vì x > ) 0,25 + 2t + 2) — o t 9+ 369 x — - (t / m) ^— — o wx + — 2x o 4x2 - 9x -18 — o Vx + 2 -^369 x — ——(L) Với x — + ^369 + V369 ■y — 0,25 ■ ( + V369 + V369 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) — 8 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy + xz +1 — x Câu 10 Í Tìm giá trị lớn biểu thức P — (xy + xz + 2) , x) Í Từ giả thiết cho ta có : P (1 — l + Í + — | Mà xy + xz +1 — x o + y + z — Đặt — u, (u > 0) x Ta có u + y + z — P — Í + ì V u + y y + - é' ì y y A — 3z I y x 0,25 — — y 3z Í - y V điểm 3z y l 1 y y Do u + y + z — suy u, y, z e (0;1) ^ Í1 - — < ( ìY í Y r Y r Mà 11 + 11 + >1+ V uyy yy V uy y V u+yy —11+2 V >1+ 0,25 Suy P — 1 Vu 1+ Vyy +1 < 3z J + -z 67 Xéthàm số f (z H Ta có f ' ( z) = ‘+rĩ) 3z J (z -1)2 4(z - -p ir) với -■s(0;1) 3)(2z -3)(2z -1) ( z -1) z ^f'(z ) = « z = Lập bảng biến thiên: 0,25 Ta có P < f ( z ) < - — ^ P < - , đẳng thức xảy X = 4; y = —; z =1 Vậy MaxP = - 0,25 125 3' Ghi chú: Các cách giải khác với đáp án mà phù hợp với chương trình, cho điểm tương đương - Hết 68 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI ĐỀ THI THỬ - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐÈ SỐ 147 Câu (1,0 điểm) Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = 2X3 + 3x2 - Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (X) = X - — - đoạn [2; 4] X1 a) Giải phương trình: 9X - 3X+1 + = b) Tìm phần thực, phần ảo số phức z biết: z = (2 -yỈ3i) (3 + s,) Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = j ——2ln—dx 1x Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình: sin 2X -yỊ3 cos X = b) Đội tuyển học sinh giỏi toán trường có học sinh lớp 12 học sinh khối 11 Giáo viên cần chọn em tham gia thi học sinh giỏi cấp tỉnh Tính xác suất để học sinh chọn có học sinh khối 12 khối 11 Câu (1,0 điểm) Trong không gian ŨXyz cho điểm đường thẳng d: phương trình X - y - z — = Tìm giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng X-1 y — z = = mặt phẳng (P) có -1 (P) Viết phương trình đường thẳng À qua A vuông góc với d nằm (P) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác AB = BC = CD = a Hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), góc SC (ABCD) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD góc đường thẳng SC mặt phẳng (SAD) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ ŨXy, cho tam giác ABC cân A M trung điểm AB Biết I 81 3;3 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC G (3;0), K 71 3;3 trọng tâm tam giác ABC ACM Tìm tọa độ đỉnh A, B, C Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau tập số thực: (Xy - 3)^1 y —2 — VX = VX5 — (y - 3X)a/y — >/9X —16 - 2^2y — = 4>/2 - X Câu 10 (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a — b — c = Tìm giá trị nhỏ biểu a2 3, 2— - (a — b) (b — c)2 — 5bc (c — a)2 — 5ca thức P = b2 -HẾTThí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: Cập nhật đề thi đáp án tại: https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam/ 68 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI : HDC KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2015 - 2016 : Môn: TOÁN HDC gồm có: 06 trang I Hướng dẫn chấm: Cho điểm lẻ tới 0,25; Điểm toàn tổng điểm thành phần, không làm tròn; Chỉ cho điểm tối đa làm thí sinh xác mặt kiến thức; Thí sinh giải cách khác cho điểm tương ứng phần II Biểu điểm: Câu (1,0 điểm) Nội dung y= 2x3 Điểm + 3x -1 TXĐ: D = M Sự biến thiên: +) Giới hạn: lim y = -ro; lim y = +ro x^-ro x^+ro hiên: +) Bảng biến , r x=0 t y' = 6x2 + 6x y = o x2 + x = o x = -1 n , Bảng biến thiê y' x • • 0,25 +ro 0.25 -ro - + o o + y +ro Hàm số đồng biến khoảng (-ro; -1), (0; +ro), nghịch biến khoảng (-1; 0) Hàm số đạt cực đại X = -1; ycĐ = , hàm số đạt cực tw Ị •tiểu Đồ thị: X = 0; ycT = -1 0.25 -10 -1 0.25 x Câu (1.0 điểm) Nội dung Ta có f(x) liên tuc đoạn [2; 4], f'(x) = - 2x - L ^ (x -1)2 Với X G (2; 4), f '(x) = X = Điểm 0,25 0,25 Ta có: f(2) = 4,f(3) = 3,f(4) =10 0,25 Vây f (x) = x = ; max f (x) = x = 0,25 [ , ] [2;4] 69 Câu (1,0 điểm) Nội dung 3x -1 Điểm 0,25 9x -3x+1 + - 0 (3x)2 -3.3x + - 0 |_3x - x- 0 Phương trình (1) có tâp nghiêm S - {0;log3 21 x - log3 0,25 b) Tìm phần thực, ảo số phức z biết : z - (2 -Si) (3 + -s/ii) z = (l-Si) (3 + Si) = 9~Si^z = + Si 0,25 Phần thực z là: 9, Phần ảo z là: 0,25 Câu (1,0 điểm) Nội dung Điểm + x3 ln x e( ^ e e ỉ -j — 2~ dx - ịí —2 + xln xldx -j 2dx + J x l n xdx X Vx) x 0,25 e - } , -le -2 I F dx - - — + x x e 0,25 ịu - l n x ỉ - x l n xdx du - —2 dx x {_x Đăt ( ^ ' [dv - xdx v e 0,25 l ỉ 2 TTT - xỉ ln xe 2Í 24] ]xdx - e- - x-‘ ? e2 ~ 4 C + C - ỉ - ĩ +12 - + + + e 4 4e -2 „ e- l 12 0,25 Câu 5(1,0 điểm) a) Giải phương trình: sin 2x -S cos x Nội dung Điểm ccos x -S cos x - cos x - sin 2x -S cos x - 0 2sin x cos x ( s sin x - —— _2 2sin x -S) - 0 0,25 cos x - 0 x - — + k— — , _ 2— , _ 0,25 sin x - —— x - — + k2— V x - — + k2— 3 b) Số phần tử không gian mẫu: Q - C155 Gọi A biến cố: “ học sinh chọn có khối 12 11” 0.25 Số phần tử biến cố A: QA - C155 - C85 - C7 A| C5 - C85 - C75 38 Xác suất: P( A) -^s - — Q C5 39 Q 70 —-— 0.25 Câu (1,0 điểm) Nội dung Điểm x — + 2t Đường thẳng d có dạng y —-1 -t z — 2t tham số: 0,25 A e d ^ A(l + 2t;-1 -t;2t) ¿e(P)=>l + 2í + l + í-2í + l = 0oí = -3 Vậy ^(-5;2;-6) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: np = (l; -1; -l) Đường thẳng d có vectơ phương là: ũd = (2; -1; 2) À có vectơ phương là: ũ = m, ỉ/d ] = (-3; -4;l) i + y - z + Phương trình đường thẳng À: = = , 0,25 0,25 X 0.25 Câu (1,0 điểm) Nội dung Điểm Gọi H giao điểm AC BD Do (SAC) S (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH vuông góc với (ABCD) Góc SC (ABCD) góc SCH suy SCA — 600 Ta có: AC — aV3 Do BC II AD suy HC BC 1 aV3 — — ^ HC — AC — A í \ 2-b M 0,25 \ o K D HA AD 3 Xét tam giác SHC vuông SH — HC tan 600 — a A H, có: H " B C Ta có SBCD — SABD + SBCD—2 AB.BD + BC.CD.sin120° — 3^ 0,25 Vậy F ABCD — SABCD SH — S Gọi / trung điểm AD, K hình chiếu vuông góc H lên đuờng thẳng SI suy K hình chiếu H (SAD) Gọi M hình chiếu C (SAD) suy SM hình chiếu SC (SAD) góc SC (SAD) 0,25 MSA Ta có HI — AH — HI.HS a 3a 23 Xét tam giác SHI vuông H, có: HK — — ^ MC — HK — HI2 + HS2 2 Xét tam giác SHC vuông H, có: SC — 2HC — —— Xét tam giác SMC vuông tạiM, có: sinMSC — MC — ^MSC « 40°30' SC Vậy góc SC (SAD) là: MSC « 40°30' 71 0,25 Cau (1,0 diem) Noi dung Diem A Goi Nla2 trung diem cua AM, do: CK = CG = ^ GK // AB \ CN CM Do I la tarn duong tron ngoai tiep tam giac ABC nen IM AB ^ IM GK ° I MN NK Lai co: = = ^ MK //BC BN NC Ma IG BC ^ IG MK / Do I la true tam cua tam giac MGK ° K 0,25 G B □0C Goi M (x; y) Ta co: KM = ^x-3; y - , GM = (x-3; y), GI , KI IG/KM = f x = true tam tam siac MGK nen ta co: < o < ^ M(3; 1) [KI GM = l y = G la tam tam giac ABC nen / - / fx - = 3(3 - 3) fx = MC = 3MG o^ c o^ c ^ C(3; -2) U-l = 3(0-1) U = - K la tam tam giac ACM nen: { A K (C M) o { A ^ A(1; 2) ( ) [yA = yK- yC + yM l yA = M la trung diem cua AB suy B (5; 0) Vay A (1;2), B (5;0), C (3; -2) 0.25 I la 0,25 0,25 Cau (1,0 diem) Noi dung Diem (xy - 3)yjy + + V x = Vx5 + (y - 3x)yjy + 2(1) [V9x2 +16 - 2yj2y + = 4>/2 - x (2) f0 < x < Dieu kien: < (*) Voi dieu kien (*) ta co • [y > -2 W ■ W 0,25 (1) LJ (x -1) ( - (x o y + )jy + + klVx ] = ° |_(y+3) y+2 = (x+1) x (3) 31 Voi x = thay vao (2) ta duoc: 2yj2 y + = o y = - ( Khong thoa man dieu kien) Ta co: (3) /x) +yfx (4) Xet ham so f(t) = t3 +1 tren R ; f '(t) = 3t2 +1 > 0, Vt e M Suy ra, ham so f (t) dong bien va lien tuc tren R Khi do: (4) 0,25 o f(jy + 2) = f (Vx) ojy + =^ o y = x - Thay y= x-2 vao (2) ta duoc: 4y/ - x + 2^2 x + = yj x +16 0,25 o 32 - 8x +16^2(4 - x2) = 9x2 o 8(4 - x2) +16^2(4 - x2) - (x2 + 8x) = 72 X t= Đặt: t = -y/2(4 - X2) (t > 0) ; PT trở thành: 4t2 + 16t - (X2 + — 8x) = 0 0< X< — t = - X - < 0(loai) X 4 - Ta có: 2(4 X ) = 32 X = ^ y = X=3 19 Ị Ị— 0,25 f 4V2 4'yJ— ^ Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (X; y) = ;—— V 33 J Câu 10 (1,0 điểm) Nội dung Điểm Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có a2 a2 4a2 _ ———T , b2 4b2 > - — = Tương tư, ta có > (b + c) + 5bc (b + c)2 + 5(b + c)2 9(b + c) (c + a) + 5ca 9(c + a) 2 2 a b fa b ì2 f Suy -+ 2 2 (b + c) + 5bc (c + a) + 5ca V (b + c) (c + a) J 9V (a + 2 f a2 + b2 + c(a + b) Ỵ b)2 + c(a + 2(a + b) + 4c(a b) V ab + c(a + b) + c J (a + + c(a + b) + b) V (a + b) + 4c(a + b) + c2 _ b) + 4c J Vì a + b + c = o a + b = 1V - c nên 2 2(1 - c)2 + 4c(1 — (1 c) =-T\ "(1 - c)2 (1) - c) 1(1 - c)2 + 4c(1 Xét hàm sốc)/(c) = 2— Í1 ——ì - (1 - c) với + 4c c G (0; 1) V c +1J 0,25 2 Ta có/ /( 'c (c) =16I111 - ) Ta có 2 0,25 2- 3(c (c-i); -1); V c +1J (c +1) 0,25 /'(c) = o (c-1)(64- (3c + 3)3) = o c = i Bảng biên thiên: Dưa vào bảng biên thiên ta có /(c) > - — với c e (0; 1) (2) 0,25 Từ (1) (2) suy P > - — , dấu đẳng thức xảy a = b = c = — Vậy giá trị nhỏ P -—, đạt a = b = c = — 73 SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÈ SÒ 150 KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP 12, NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN Ngày thi: 22/04/2016 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (1,0 điểm) liên vẽ đồ thị hàm số y = —x3 + x +1 Câu (1,0 điểm) x —- tiếp tuyến đồ thị hàm số y = —— điểm có hoành x—2 độ Câu (1,0 điểm) 1) Cho số phức z thỏa mãn z(2 + i) + Z = + 3i Tính môđun số phức z 2) Giải phương trình: log2 (3x — 1) + log2 ( x + 3) — = Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = x(1 + ln2 x)dx Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x - y + 2z + = điểm M (1; 2; 3) Viết phương trình đường thẳng qua M, vuông góc với mặt phẳng (P) tìm điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (P) Câu (1,0 điểm) 1) Giải phương trình: cos x = cos x - 2) Trong dịp 26/3, Đoàn trường trường Trung học phổ thông chọn ngẫu nhiên đoàn viên xuất sắc thuộc ba khối 10, 11 12, khối đoàn viên xuất sắc để tuyên dương Biết khối 10 có đoàn viên xuất sắc có nam nữ, khối 11 có đoàn viên xuất sắc có nam nữ, khối 12 có đoàn viên xuất sắc có nam nữ Tính xác suất để đoàn viên xuất sắc chọn có nam nữ Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD đáy hình chữ nhật có cạnh AB = a, AD = 2a Gọi O giao điểm hai đường thẳng AC BD, G trọng tâm tam giác SAD Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SCD) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân C Các điểm M, N chân đường cao hạ từ A C tam giác ABC Trên tia đối tia AM lấy điểm E cho AE = AC Biết tam giác ABC có diện tích 8, đường thẳng CN có phương trình y -1 = 0, điểm E(-1;7), điểm C có hoành độ dương điểm A có tọa độ số nguyên Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: (2x2 - 2x + 1)(2x -1) + (8x2 - 8x + 1)V-x2 + x = (x G M) Tìm giá trị lớn biểu thức P = ——— z ) ( z —— 16 Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn +1 +1 = xyzx+y+z xyz, HẾT - 74 SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH HỌC 2015 - 2016 BẢN SAO KỲ THI CUỐI LỚP 12 THPT NĂM Môn thi: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Bản hướng dẫn gồm 05 trang) I HƯỚNG DẪN CHUNG Nếu thí sinh làm không theo cách đáp án đùn cho đủ số điểm phần hướng dẫn Điểm toàn không quy tròn II ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐÁP ÁN CÂU • Tập xác định: D • Sự biến thiên: ĐIỂ M =M x=1 0,25 Chiều biến thiên: y ' = -3x2 + 3; y ' = Ö x = -1 S Hàm số đồng biến khoảng (-1;1) ; hàm số nghịch biến khoảng (-œ;-1) (1; +œ) S Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 1, yCĐ = lim = +œ Hàm số đạt cực tiểu x 0,25 = -1, yCT = -1 S Giới hạn tạo vô cực: lim = -œ; X—>+co X—>—co • Bảng biến thiên: Câu (1.0 đ) x -œ -1 +œ y' y +œ -0+00,25 • Đồ thị: > //ì\111 \\ // \\ 0,25 / -1 \■/ \1 / O ĩ -1 Gọi M tiếp điểm suy M(l;-2) Câu ^ , -3 Ta có: y 0,25 = 0,25 (x-2)2 (1.0 đ) Hệ số góc tiếp tuyến M k = y '(1) = -3 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M y = -3( x -1) - hay y = -3x +1 75 0,25 0,25 Đặt z = a + bi, (a, b e M Ta có: z(2 + i) + z = + 3i ^ (a + bi)(2 + i) + a - bi = + 3i Câu 3ữ - b + (a + b)i = + i Í3 a-b = íơ = 3a ^ịoc (0.5 đ) [a + b = [b = 0,25 0,25 Do z = ^22 +12 = 45 \3x -1 > ĐK: ị o x > [x+3>03 log2(3x -1) + log2(x + 3) - = ^ log2(3x -1)(x + 3) = Câu3b (0.5 đ) 0,25 X = = 11 _x = (3x -1)(x + 3) = ^ 3x2 + 8x -11 = ^ 0,25 Đối chiếu với điều kiện ta có x = Câu (1.0 đ) Vậy phương trình có nghiệm x = 222 I = x(1 + ln2x)dx =1 xdx + x ln2xdx = I1 +12 (1) 111 2 I, = [ xdx = =1 J1 2 1ro I2 =1 x ln - x2d (ln2 x) 21 xdx =11 ln2 xd (x2) =1 x2 ln2x = 7ln2 - (3) 1 I2 =1 x2 ln2 x - í xdx = x ln2 x - — -Ị1 24 24 Từ (1), (2) (3) ta I = 7ln2 + — 0,25 0,25 0,25 0,25 Ký hiệu d đường thẳng qua điểm M(1; 2; 3) vuông góc với (P) Đường 0,25 thẳng d nhận n = (2; -1; 2) làm véctơ phương x = + 2t Ta có phương trình tham số đường thẳng d: y=2- 0,25 z = + 2t Gọi I giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P) Câu (1.0 đ) Ta có: I (1 + 2t;2 -1;3 + 2t) Do điểm I thuộc (P): 2x - y + z + = 0,25 nên ta có 2(1 + 2t) - (2 -1) + 2(3 + 2t) + = t = - f-7 26 11 ^ suy tọa độ điểm I ; ; ^999) 0,25 I trung điểm MN nên tọa độ điểm N ; ; ^-23 34 -5 ^999) 76 Câu 6a (0.5 đ) Câu6b (0.5 đ) cos 2x = cos x - ^ cos2 x -1 = cos x - ^ cos2 x - cos x + = cos x = 0,25 ,n Với cos x = ^ x = ± + k2n, k e z 0,25 cos x = 2(l) Gọi A biến cố: “Chọn đoàn viên xuất sắc có nam nữ” Ta có w(0) = CỊcỊcỊ = 900 Ta có A biến cố: “Chọn đoàn viên xuất sắc có nam có nữ” Chọ đoàn viên xuất sắc nam, khối người số cách chọn C^ C =32 C2 C2 C3 = Chọ đoàn viên xuất sắc nữ, khối người số cách chọn 0,25 222 C2 = 3 Suy n( A) = + = 12 Ta có: P(A ) = 0,25 C2 C n (A) 12 = = n (o) 900 75 74 Vậy P( A) = - P ( A ) = 74 Diện tích đáy S ABC 2a2 D Ta thấy góc SC mặt phẳng 0,25 S (ABCD) góc SCO aV5 Ta có: OC = SO = OC.tan600 = a^ a ‘VĨ5 0,25 C Vậy V S ABC D Gọi M trung điểm AD, N trung điểm DC Câu (1.0 đ) 22 Ta thấy GM n (SCD)=S SG = SM nên d (G;( SCD) = d (M ;(SCD )(1) Mặt khác MO // DC suy MO // (SCD) nên d(M, (SCD)) = d(O, (SCD)) Gọi H hình chiếu vuông góc O SN 0,25 Vì SO, ON ± CD ^ CD ± (SNO) ^ CD ± OH Do OH vuông góc với mặt phẳng (SCD) suy d(O; (SCD)) = OH Ta có OS = a —; ON = a Xét tam giác SON vuông O có OH đường cao OH2 SO2 11 2 ON 15a a 15a2 0,25 19 Kết hợp với (1) (2) ta có d (G;(SCD)) = 77 2aV285 57 Gọi D điểm đối xứng C qua N B Khi ACBD hình thoi, suy AD vuông góc AE, AD = AE = AC Từ ta có A tâm đường 0,25 tròn ngoại tiếp tam giác EDC Do EAD = 900 ^ ECD = 450 Suy góc E Câu 58 (1.0 đ) hai đường thẳng EC CD 450 Gọi n = (a; b) vtpt đường thẳng EC (a2 + b2 ^ 0) ' b a=b Do góc EC CNbằng 45 nên = ^ ^ a = a2 + b2 Với a = —b, chọn n = (1;—1) suy phương trình EC: x — y +—b 8=0 Do c giao điểm CN EC nên C(-7;l) (loại) Với a = b, chọn n = (1; 1) suy phương trình EC: x + y — = Do C giao điểm CN EC nên C(5;1) Gọi d trung trực đoạn EC, d có phương trình x — y — = Do A thuộc d nên A(t; t + 2) với t nguyên Vì AN = d (A, CN) = |t +1|; CN = d (C, AN) = |t — 0,25 0,25 SABC = CN AN = \t +1 |t — SABC = |t +1 |t — = 8, kết hợp với t nguyên giải ta t = 1; t = Với t = ta A(1; 3), B(1; -1) 0,25 Với t = ta A(3; 5), B(3; -3) Vậy A( 1; 3), 5(1; -1), C(5; 1) ,1(3; 5) 5(3; -3), C(5; 1) Chú ỷ: - Hình vẽ áp dụng cho tam giác ABC nhọn, kết tam giác ABC vuông tù, học sinh không cần nới điều làm - Học sinh thủ lại ECD = 450 không (nếu không không trừ điểm ý Điều kiện: < x < ^ (2 x2 — x +1)(2 x — 1) + (8 x2 — x + 1)V—x2 + x = ^ (1 — 2(—x2 + x)j(2x — 1) + (2(2x — 1)2 — 1)= không 0,25 Đặt a = 2x — 1; b = 4— x2 + x , phương trình trở thành: Câu (1.0 đ) (1 — 2b2) a + (2a2 — 1) b = ^ (a — b)(2ab +1) = 2ab +1 = Với a = b, ta có V—x2 + x = 2x — ^ < x >■ 5x — 5x +1 = này) Vơi 2ab +1 = 0, ta có 2(2x — 1)V—x2 + x +1 = o 2(1 — 2x)V—x2 + x = (1) 78 10 0,25 0,25 Phương trình có nghiệm < X /-X2 + X = 2^(1 - x)X < (1 - x) + X = Suy 2\/-X2 + X (1 - 2X) < Do không tồn X để đẳng thức xảy nên phương trình (1) vô nghiệm Vậy nghiệm phương trình cho + X= 10 Chú ý: Có thể bình phương hai vế phương trình (1) đặt t = (2X -1)2 để suy phương trình vô nghiệm Đặt a = X; b = —; c = z, ta có a, b, c > 0; abc = y z X P = (a - 1)(b -1)(c -1) Giả thiết trở thành a + b + c + ab + bc + ca = 13 (1) Vì nên số a, b, c có tồn số, giả sử a có tính chất < a < Từ (1) abc = 1, ta có b + c = a 0,25 13 - a -1 1+a Câu10 (1.0 đ) 0,25 Suy P = a + b + c - ab - bc - ca = (a + b + c)-13 = 2a3 - 13a2 + 13a - 0,25 a+a 5=22 2ơ3 -13ữ2 +13ữ-2 „ _ Xét f (a) = [0;1] a + a 2(a + 2a — 13a + 2a +1 2(a — 3a + 1)(a + 5a +1) Ta có f '(a) = a (a +1) a (a +1) 0,25 f '(a) = » a = HẾT Do P