Sự phụ thuộc đuôi và ứng dụng trong đo lường rủi ro tài chính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ DUNG SỰ PHỤ THUỘC ĐUÔI VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐO LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS TS Trần Trọng Nguyên HÀ NỘI, NĂM 2016 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực luận văn thạc sĩ, nhận giúp đỡ, tạo điều kiện nhiều cá nhân, tập thể Lời xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Trần Trọng Nguyên dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa cao học 2014–2016 tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức cho suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, động viên để hoàn thành nhiệm vụ Mặc dù có nhiều cố gắng hoàn thiện luận văn, nhiên luận văn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp thầy cô bạn Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Dung LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS TS Trần Trọng Nguyên, luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài “Sự phụ thuộc đuôi ứng dụng đo lƣờng rủi ro tài chính” hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Dung MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài Chương CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA SỰ PHỤ THUỘC ĐUÔI 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Mẫu ngẫu nhiên 1.1.2 Một số phân phối 1.1.3 Phương pháp bình phương nhỏ phân tích hồi quy 1.1.4 Các khái niệm quan trọng lý thuyết cực trị nhiều chiều 1.1.4.1 Phân phối giá trị cực trị nhiều chiều 1.1.4.2 Phân phối Pareto tổng quát 1.1.4.3 Hàm sống sót 1.2 Copula 1.2.1 Copula copula sống sót 10 1.2.2 Copula thực nghiệm 10 1.3.1 Sự phụ thuộc nhiều chiều 11 1.3.2 Các biến ngẫu nhiên liên kết 13 1.3.3 Sự phụ thuộc đuôi 14 Chương 17 ƯỚC LƯỢNG HỆ SỐ PHỤ THUỘC ĐUÔI 17 2.1 Ước lượng theo Poon, Rockinger Tawn 17 2.1.1 Nền tảng lý thuyết 17 2.1.2 Phân tích ước lượng phi tham số   22 2.2 Ước lượng theo Sornette Malevergne 24 2.2.1 Ước lượng phi tham số theo Sornette Malevergne 24 Chương 30 ỨNG DỤNG SỰ PHỤ THUỘC ĐUÔI TRONG ĐO LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH 30 3.1 Nghiên cứu phụ thuộc phương pháp xấp xỉ theo Poon, Rockinger Tawn 32 3.2 Nghiên cứu phụ thuộc phương pháp xấp xỉ theo Sornette Malevergne 34 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 PHỤ LỤC 42 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Thị trường tài có sức hút mạnh nhà đầu tư lợi nhuận khổng lồ mà mang lại Tuy nhiên, tổn thất từ thị trường không nhỏ Chính vậy, để giảm thiểu tổn thất đảm bảo an toàn cho tổ chức tài việc quản lý rủi ro tài vấn đề quan trọng Muốn quản lý rủi ro tài tốt ta cần nhận diện, đo lường dự phòng rủi ro xảy Có nhiều loại rủi ro khác nhau: rủi ro tín dụng, rủi ro thị trường, rủi ro hệ thống, rủi ro đạo đức, rủi ro thị trường nhà đầu tư quan tâm Để đo lường rủi ro thị trường người ta thường sử dụng độ rủi ro: giá trị rủi ro (VaR) mức tổn thất kỳ vọng (ES) với giả thiết phân phối chuẩn Nhưng thực tế ta gặp biến động bất thường (biến cố hiếm) mà mô hình đo lường rủi ro không dẫn đến tổn thất lớn, điển kiện "ngày thứ hai đen tối" năm 1987, vụ phá sản ngân hàng Baring (Anh) (năm 1995), khủng hoảng tài Đông Nam Á (từ năm 1996-1999), khủng hoảng tài suy giảm kinh tế toàn cầu năm 2008,… Khi chuỗi liệu thường phân phối chuẩn mà thay vào phân phối đuôi dầy Nghiên cứu phụ thuộc đuôi biến ngẫu nhiên phương pháp hiệu để ước lượng rủi ro gặp biến cố Người đưa lý thuyết Sibuya (1960), ông nghiên cứu hệ số phụ thuộc đuôi hai tài sản xác định xác suất mà hai tài sản phải chịu tổn thất lớn, giả định tài sản khác chịu tổn thất mức độ lớn Với mục đích tìm hiểu lại vấn đề bổ sung số ứng dụng thực tiễn đo lường rủi ro tài chính, chọn đề tài luận văn "Sự phụ thuộc đuôi ứng dụng đo lƣờng rủi ro tài chính" 2 Mục đích nghiên cứu • Nghiên cứu phụ thuộc đuôi biến ngẫu nhiên đuôi phân phối ứng dụng đo lường rủi ro tài • Xây dựng code Matlab để mô ước lượng hệ số phụ thuộc đuôi Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu phụ thuộc biến ngẫu nhiên đuôi phân phối thông qua việc đánh giá xác suất • Vận dụng phụ thuộc đuôi đo lường rủi ro số tài sản tài niêm yết thị trường chứng khoán Việt Nam • Sử dụng hàm nối copula đo lường rủi ro Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu • Khái niệm, tính chất phụ thuộc đuôi, phương pháp ước lượng phụ thuộc đuôi • Hàm nối copula • Ứng dụng ước lượng phụ thuộc đuôi cho cổ phiếu thị trường chứng khoán Việt Nam • Dữ liệu nghiên cứu lấy từ trang web thức Sở Giao Dịch Chứng Khoán Thành Phố Hồ Chí Minh Hà Nội Phƣơng pháp nghiên cứu • Đọc sách nghiên cứu tài liệu, tham khảo báo, giáo trình liên quan đến rủi ro tài phụ thuộc đuôi • Nghiên cứu thực nghiệm số phần mềm hỗ trợ để đo lường phụ thuộc đuôi Đóng góp đề tài Thử nghiệm, sử dụng phụ thuộc đuôi để ước lượng rủi ro cho chuỗi liệu thị trường tài Chƣơng CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA SỰ PHỤ THUỘC ĐUÔI Chương trình bày khái niệm lý thuyết giá trị cực trị nhiều chiều, khái niệm copula copula sống sót, tìm hiểu hệ số phụ thuộc đuôi sử dụng cho việc ước lượng hệ số phụ thuộc đuôi chương sau 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Mẫu ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1 Giả sử ta có biến ngẫu nhiên X (gọi biến ngẫu nhiên gốc) tuân theo quy luật phân phối xác suất (gọi quy luật phân bố gốc) Khi biến ngẫu nhiên X1,X2,…,Xn gọi mẫu ngẫu nhiên n chiều (X1,X2,…,Xn) biến ngẫu nhiên gốc X chúng: i Độc lập với nhau, ii Tuân theo quy luật phân phối xác suất phân bố gốc 1.1.2 Một số phân phối Trên không gian xác suất (Ω, F, P) cho biến ngẫu nhiên X x  n Khi ta có số khái niệm sau: • Hàm phân phối đồng thời Định nghĩa 1.2 Hàm phân phối xác suất đồng thời biến ngẫu nhiên X  (X1 ,X , ,X n ) định nghĩa sau: F  x   P  X1  x1; X  x ; , X n  x n  n   P  (Xi  x i )  ,  i 1  • Các hàm phân phối biên Hàm phân phối xác suất biến Xi (  xi   , i  1, , n) Fi ( xi )  P[( X  )( X  ) ( X i  xi ) ( X n  )]  lim F ( x1 , x2 , , xn ) x j  j i  P( X i  xi ) • Phân phối chuẩn Định nghĩa 1.3 Biến ngẫu nhiên X gọi tuân theo quy luật phân phối chuẩn (hay phân phối Gauss) với hai tham số (, ) kí hiệu X ~ N (, ) hàm mật độ xác suất có dạng: f ( x)  e  2 ( x   )2 2 ,(  x  ) • Phân phối Định nghĩa 1.4 Biến ngẫu nhiên X gọi tuân theo quy luật phân phối [a;b], kí hiệu X ~ U(a; b) hàm mật độ xác suất có dạng:  , x [a; b]  f (x)   b  a  0 ,x [a; b] • Phân phối mũ Định nghĩa 1.5 Biến ngẫu nhiên X gọi tuân theo quy luật phân phối mũ với tham số   , kí hiệu X~ Exp (  ) hàm mật độ xác suất có dạng:  e   x f ( x)    ,x0 ,x0 1.1.3 Phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ phân tích hồi quy Trong tiểu mục đưa phương pháp bình phương nhỏ phân tích hồi quy mô hình hồi quy tuyến tính Xét mô hình hồi quy tuyến tính có dạng: y  f ( x)  ax  b    xk , yk k 1 mẫu ngẫu nhiên quan sát y, x ;  đại lượng n ngẫu nhiên đó; a b gọi hệ số hồi quy, xác định n cho tổng bình phương sai số E    yk  axk  b    cực tiểu Dễ thấy k 1 tổng đạt cực tiểu a b xác định: n a x  y k 1 k k 1 n k  n xk yk k 1 ,     xk   n xk k 1  k 1  n n b n n n n n xk  xk yk   x  yk  k 1 k 1 k 1 k 1 k n  n  x  n xk2  k   k 1  k 1  1.1.4 Các khái niệm quan trọng lý thuyết cực trị nhiều chiều Lý thuyết giá trị cực trị (EVT) nhánh thống kê nói kiện cực đoan (còn gọi biến cố hiếm) Đây biến cố có tác động mạnh mà xảy với xác suất thấp L‎‎ý thuyết giá trị cực trị công cụ giúp ta mô tả, ước lượng biến cố lĩnh vực kinh tế, xã hội, Trong tiểu mục này, giới thiệu số khái niệm phân phối giá trị cực trị nhiều chiều (EVT nhiều chiều) để cung cấp nhìn tổng quan lĩnh vực 1.1.4.1 Phân phối giá trị cực trị nhiều chiều 36 Bảng 3.5 Ước lượng hệ số phụ thuộc đuôi cho số vnindex với tài sản thị trường chứng khoán HOSE tính toán phương pháp ước lượng tham số theo Sornette Malevergne với   ,  C 1   CY  cho số liệu từ 06/01/2014 đến 06/06/2016 với c= 3, k= 24:     k k c k c k PVD 0.11 0.02 0.10 0.02 PVT 0.02 0.01 0.02 0.01 DPM 0.09 0.01 0.08 0.01 PET 0.04 0.02 0.03 0.02 PXI 0.01 0.02 0.01 0.03 HPG 0.06 0.02 0.06 0.06 HSG 0.08 0.02 0.08 0.02 POM 0.00 0.00 0.00 0.00 NKG 0.04 0.02 0.04 0.02 37 Bảng 3.6 Ước lượng hệ số phụ thuộc đuôi phương pháp xấp xỉ tham số theo Sornete Malevergne cho số liệu từ ngày 14/01/2011 đến 06/06/2016 với c=7, k=53:     k k c k c k PVD 0.16 0.36 0.16 0.37 PVT 0.16 0.40 0.16 0.39 DPM 0.30 0.38 0.30 0.40 PET 0.18 0.36 0.19 0.41 PXI 0.05 0.13 0.05 0.14 HPG 0.22 0.21 0.22 0.48 HSG 0.15 0.26 0.15 0.36 POM 0.01 0.02 0.04 0.02 NKG 0.01 0.04 0.01 0.04 Nhận xét: Thông qua số liệu từ bảng 3.1 đến bảng 3.6 cho thấy: • Với ước lượng với số liệu khác ta thu kết khác Nhưng ta thấy phụ thuộc tài sản vào số thị trường thời gian dài ổn định không cao Với số liệu nhỏ ta lấy từ 1/2014 đến 6/2016 hệ số phụ thuộc đuôi nhìn chung nhỏ, nhận xét giai đoạn này, giá tài sản phụ thuộc vào số thị trường, mã cổ phiếu POM có số lấy xấp xỉ 0.00 Nhưng phụ thuộc tài sản vào số thị trường thời gian dài từ 14/01/2011 đến 06/06/2016 lại tăng, với cổ phiếu PVD có hệ số phụ thuộc đuôi cao chứng tỏ giá tài sản phụ thuộc vào số thị trường nhiều so với tài sản lại 38 • Những tài sản có vốn hóa lớn phụ thuộc giá tài sản với biến động thị trường lớn hơn, tiêu biểu mã cổ phiếu: PVD, PVT, DPM, HSG 39 KẾT LUẬN Dựa sở nghiên cứu lý thuyết, luận văn sử dụng hai phương pháp: Poon, Rockinger Tawn Sornette Malevergne để ước lượng hệ số phụ thuộc đuôi cho cổ phiếu có vốn hóa khác so với số thị trường vnindex Bằng cách sử dụng hàm nối copula kết hợp với phần mềm Matlab hỗ trợ phụ thuộc đuôi tuyến tính mà giúp ta đo phụ thuộc phi tuyến, điều mà phương pháp ước lượng thông thường không xác giả định tính chuẩn chuỗi lợi suất thực tế không thỏa mãn Do đó, luận văn với đề tài "Sự phụ thuộc đuôi ứng dụng đo lƣờng rủi ro tài chính" nhằm mục tiêu đưa phương pháp đo lường rủi ro cho tài biến cố giúp nhà đâu tư tránh tổn thất tài sản chọn cho danh mục đầu tư tốt Luận văn đưa code matlab giúp người dùng không chuyên sử dụng phương pháp ước lượng để đo phụ thuộc số thị trường giá tài sản Trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ hiểu biết tác giả, luận văn bước đầu nghiên cứu phụ thuộc đuôi cách sử dụng số hàm nối copula nên luận văn không tránh khỏi sai sót Rất mong đóng góp ý kiến từ thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Trần Trọng Nguyên (2013), Giáo trình lý thuyết xác suất, Nhà xuất Đại Học Kinh Tế Quốc Dân [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên (2001), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội Tiếng Anh [3] Coles, S.G., Heffernan, J and Tawn, J.A (1990) Dependence Measures for Extreme Value Analyses.Extremes [4] De Haan, L., Ferreira, A (2006), Extreme Value Theory, An Introduction, Spinger, New York [5] Drouet – Mari, D and Kotz, S.(2001) Correlation and Dependence Imperial Colege Press, London [6] Eric Bouyé, Copulas For Finance A Reading Guide And Some Applications [7] Heffernan, J.E (2000) A Directory of Tail Dependence Extremes [8] Joe, H (1997), Multivariate Models and Dependence Concepts, Chapman & Hall, London [9] Kotz, S and Nadarajah, S (2000), Extreme Value Distributions, Theory and Applications., Imperial College Press, London [10] Ledford, A W and Tawn, J A (1996), Statistics for near independence in multivariate extreme dependence [11] Longgin M (2000), From Value At Risk to Stress Testing: The Extreme Value Approach, Journal of Banking and Finance [12] Malevergne, Y and Sornette, D (2006), Extreme Financial Risks, From Dependence to Risk Management, Springer, New York 41 [13] Malevergne, Y and Sornette, D (2004), How to account for extreme comovements between individual stocks and the market [14] Nelsen, R.B (2006) An Introduction to Copulas, second edition, Springer, New York [15] Poon, S-H., Rockinger, M and Tawn, J (2004) Extreme Value Dependence in Financial Markets: Diagnostics, Models, and Financial Implication The Review of Financial Studies [16] Salvadori, G., De Michele, C., Kottegoda, N T and Rosso R (2007), Extremes in Nature, An Approach Using Copulas, Springer, Netherlands [17] Suybia, M (1960) Bivariate extreme statistics.Ann Inst Statist.Math Các trang Web [18] http://cafef.vn [19] www.cophieu68.com [20] www.fpts.com.vn 42 PHỤ LỤC M-File Trong phần phụ lục cung cấp Matlab m-files Những bình luận đặt dấu ngoặc % % Để sử dụng cần thao tác chép dán, sử liệu đinh dạng Excel (xls xlsx) Nhập liệu clc clear all path='nhập đường dẫn'; %link data% Returns=xlsread(path,'sheet1','ô đầu tiên:ô cuối cùng'); %phạm vi Excel% nn=size(Returns,1); %số hàng%; n=size(Returns,2); %số cột%; a=1; b=nn-3; Xấp xỉ theo Poon, Rockinger Tawn retdesc=sort(Returns(a:b,1:n),'descend');%sắp xếp chuỗi thời gian% retasc=sort(Returns(a:b,1:n)); %sắp xếp chuỗi lợi suất% Z=roundn((b-a)*0.04,0); %định nghĩa ‟k‟% ZZ=roundn(0.005*(b-a),0); %định nghĩa ‟c‟% %tính số đuôi ước lượng Hill%; for j=1:n; vk(j)=(1/(Z)*sum(log(retdesc(1:Z,j)))-log(retdesc(Z,j)))^-1; vka(j)=(1/(Z)*sum(log(-retasc(1:Z,j)))-log(-retasc(Z,j)))^-1; end 43 %tính toán l% t=linspace(1,Z,Z); p=size(t); p=p(2); for j=1:n; for i=1:p; f=t(i); d=@(f)(f/(b-a)*(retdesc(f,j))^vk(j)); dd=@(f)(f/(b-a)*(-retasc(f,j))^vka(j)); lpos(i,j)=d(f); lneg(i,j)=dd(f); end end lmk_pos=mean(lpos(1:Z,:)); lmy_pos=mean(lpos(ZZ:Z,:)); lmk_neg=mean(lneg(1:Z,:)); lmy_neg=mean(lneg(ZZ:Z,:)); %tính toán S T% for j=1:n-1; for i=1:Z; S(i,1)=-1/log(1-lmk_pos(1)*retdesc(i,1)^(-vk(1))); T(i,j)=-1/log(1-lmk_pos(j+1)*retdesc(i,j+1)^(-vk(j+1))); S_y(i,1)=-1/log(1-lmy_pos(1)*retdesc(i,1)^(-vk(1))); T_y(i,j)=-1/log(1-lmy_pos(j+1)*retdesc(i,j+1)^(-vk(j+1))); Sn(i,1)=-1/log(1-lmk_neg(1)*(-retasc(i,1))^(-vka(1))); 44 Tn(i,j)=-1/log(1-lmk_neg(j+1)*(-retasc(i,j+1))^(-vka(j+1))); Sn_y(i,1)=-1/log(1-lmy_neg(1)*(-retasc(i,1))^(-vka(1))); Tn_y(i,j)=-1/log(1-lmy_neg(j+1)*(-retasc(i,j+1))^(-vka(j+1))); end end %tính toán Z% for j=1:n-1; for i=1:Z; z(i,j)=min(S(i,1),T(i,j)); z_y(i,j)=min(S_y(i,1),T_y(i,j)); zn(i,j)=min(Sn(i,1),Tn(i,j)); zn_y(i,j)=min(Sn_y(i,1),Tn_y(i,j)); end end %ước lượng   tương ứng% for j=1:n-1; ovchi(j)=2/Z*(sum(log(z(:,j)./z(Z,j))))-1; sigovchi(j)=(ovchi(j)+1)/sqrt(Z); ovchi_y(j)=2/Z*(sum(log(z_y(:,j)./z_y(Z,j))))-1; sigovchi_y(j)=(ovchi_y(j)+1)/sqrt(Z); ovchin(j)=2/Z*(sum(log(zn(:,j)./zn(Z,j))))-1; sigovchin(j)=(ovchin(j)+1)/sqrt(Z); ovchin_y(j)=2/Z*(sum(log(zn_y(:,j)./zn_y(Z,j))))-1; sigovchin_y(j)=(ovchin_y(j)+1)/sqrt(Z); end 45 %output% ovchi sigovchi %ước lượng  tương ứng    % for j=1:n-1; if abs(ovchi(j)-1)