Tr êng THPT Kinh M«n II Gi¸o ¸n Gi¶i tÝch 12 CHƯƠNG III: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG. Tiết: 37+38+39+40. §1. NGUN HÀM. I. Mục tiêu: - Kiến thức: Khái niệm ngun hàm, các tính chất của ngun hàm, sự tồn tại của ngun hàm, bảng ngun hàm của các hàm số thường gặp, phương pháp tính ngun hàm (phương pháp đổi biến số, phương pháp tính ngun hàm từng phần). - Kỹ năng : Biết cách tính đạo hàm của hàm số, ngun hàm của hàm số, sử dụng thơng thạo cả hai phương pháp tính ngun hàm để tìm ngun hàm của các hàm số. - Thái độ: Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sáng tạo trong q trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của tốn học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội. - Tư duy: Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong q trình suy nghĩ. II. Phương pháp : - Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và vấn đáp gợi mở. III- Chuẩn bị của GV&HS: -Giáo viên: SGK, Giáo án, đồ dung dạy học, bảng phụ, câu hỏi thảo luận. -Học sinh: SGK, Bài cũ, đồ dung học tập, vở ghi. IV. Nội dung và tiến trình lên lớp. Tiết 37 1. Ổn đònh lớp 2. Kiểm tra bài cũ 3. Bài mới Hoạt động của Thầy Hoạt động của Trò Nội dung ghi bảng HĐI : Giới thiệu k/n nguyên hàm. * Cho hàm số y = f(x) thì bằng các quy tắc ta luôn tìm được đạo hàm của hàm số đó. Vấn đề đặt ra là :” Nếu biết được f’(x) thì ta có thể tìm lại được f(x) hay không ? * Giới thiệu đònh nghóa. Cho ví dụ : Tìm nguyên hàm của : a/ f(x)=2x. b/f(x)= x 2 cos 1 +)Nếu biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì ta còn chỉ ra được bao nhiêu nguyên hàm của f(x). +)Từ đònh lý 1 ta thấy nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng F(x) + C. a. F(x) = x 2 , F(x) = x 2 + 1, F(x) = x 2 - 8,… b. f(x)=tanx, F(x)=tanx-15 F(x)= tanx+2, . Chøng minh ®Þnh lÝ. 1) Theo gi¶ thiÕt F(x) lµ mét nguyªn hµm cđa hµm sè f(x) trªn (a; b). V× vËy F’(x) = f(x) ∀x∈(a; b). Khi ®ã ta còng cã: (F(x)+C)’ = F’(x) + 0 = f(x) nªn F(x) + C còng lµ mét nguyªn hµm cđa f(x) trªn (a; b). 2) Gi¶ sư G(x) còng lµ mét nguyªn hµm cđa f(x) trªn (a; b). Tøc lµ G’(x) = f(x) ∀x∈(a; b). Khi ®ã ta cã: (G(x) − F(x))’ =G’(x) − F’(x) = f(x) − f(x) =0 I. Khái niệm nguyên hàm: 1. Đ ị nh ngh ĩ a Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu ∀ x ∈ K ta có : F’(x)= f(x) Chú ý : K= [ a; b] : SGK Ví dụ: a. F(x) = x 2 là nguyên hàm của f(x) = 2x trên R b. F(x) = tanx là nguyên hàm của f(x) = x 2 cos 1 trên − 2 ; 2 ππ vì (tanx)’= x 2 cos 1 với ∀ x ∈ − 2 ; 2 ππ 2.C ác tính chất của nguyên hàm *)Đị nh lí 1: Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của f trên K khi đó : a)Với mỗi hằng số C,F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) trên K b) Ngược lại, với ø mỗi Ngun Ngäc Chi 1 Tr êng THPT Kinh M«n II Gi¸o ¸n Gi¶i tÝch 12 • Người ta chứng minh được : Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên Kù. Bảng ngun hàm các hàm số thường gặp sau: Theo Bỉ ®Ị trªn suy ra: G(x) − F(x) = C (C= const) Tøc lµ G(x) = F(x) +C. KÝ hiƯu hä tÊt c¶ c¸c nguyªn hµm cđa f(x) lµ: f (x)dx F(x) C = + ∫ HS: Ví dụ: 1.Vì (x 3 )’ = 3x 2 nên F(x) = x 3 + C Mà F(1) = - 1 nên 1 + C = -1 hay C = - 2. Vậy F(x) = x 3 - 2 2. Tính a/ 4 3 x x dx C 4 = + ∫ b/ 2 3 3x dx x C= + ∫ 2 2 c) 2xdx x C dx d) tgx C cos x e) sin xdx cos x C dx f ) ln x C x = + = + = − + = + ∫ ∫ ∫ ∫ nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số Csao cho G(x) = F(x) + C , với ∀ x ∈ K *Họ tất cả các nguyên hàm của f trên K được ký hiệu ∫ dxxf )( = F(x)+C *) . Tính chất của ngun hàm: + Tính chất 1: ' ( ) ( )f x dx f x C= + ∫ + Tính chất 2: ( ) ( ) ( 0)kf x dx k f x dx k= ≠ ∫ ∫ + Tính chất 3: [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ Ví d ụ : 1. Tìm nguyên hàm F của hàm số f(x) = 3x 2 biết F(1) = - 1 2. Tìm 3 2 2 a/ x dx b/ 3x dx c) 2xdx dx dx d) e) sin xdx f ) cos x x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3.Sự tồn tại của ngun hàm: Định lý 2: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có ngun hàm trên K” 4. Bảng các ngun hàm của một số hàm số thường gặp: 4. Củng cố - N¾m v÷ng ®Þnh nghÜa ®Þnh lÝ nguyªn hµm. - Nắm vững các công thức nguyên hàm và vận dụng vào làm bài tập. Cho HS làm ví dụ: I= 2 1 3sin 3 sin 2 + = + ÷ ∫ ∫ ∫ x dx xdx dx x x = -3cosx + 2lnx + C J= 2 5 3 3 3 5 x dx x C= + ∫ 2 1 2 2 3 3 3 3 3 3 2 1 2 2 K = 2 2 3 3 3 3 − + = + = + + = + + ÷ ∫ ∫ ∫ x dx x dx x dx x x C x x C x 1 1 1 1 3 3 (3cos 3 ) 3 cos 3 3sin 3sin 3 3 ln 3 ln3 − − = − = − = − + = − + ∫ ∫ ∫ x x x x G x dx xdx dx x C x C 5. Hướng dẫn về nhà: BTVN Bài Lµm bµi tËp 1a, b, c, d SGK. Ngun Ngäc Chi 2 dx x C= + ∫ 1 ( 1) 1 x x dx C α α α α + = + ≠ − + ∫ ln ( 0) dx x C x x = + ≠ ∫ x x e dx e C= + ∫ (0 1) ln x x a a dx C a a = + < ≠ ∫ cos sinxdx x C= + ∫ sin cosxdx x C= − + ∫ 2 os dx tgx C c x = + ∫ 2 cot sin dx gx C x = − + ∫ Tr êng THPT Kinh M«n II Gi¸o ¸n Gi¶i tÝch 12 Tiết 38 1. Ổn đònh lớp 2. Kiểm tra bài cũ Tìm nguyên hàm của hàm số : a) ∫ 5 x dx b) ( ) ∫ 2 3 x -1 dx c) ∫ sin4x dx 3 3. Bài mới Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng Giới thiệu bảng các nguyên hàm thường gặp GV: Để tìm nguyên hàm của 3 x 2 x f (x) x + = ta làm như thế nào? GV: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (2 ) cos 1 2 cos 1 2 cos x x x x x F x e e dx x e dx dx x e d x dx x e tanx C − = + = + = + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Do F(0) = -5=> C= -1 => F(x)= 2 1 x e tanx+ − GV: a/ Cho 10 ( 1)x dx− ∫ . Đặt u = x – 1, hãy viết (x – 1) 10 dx theo u và du. b/ Cho ln x dx x ∫ . Đặt x = e t , hãy viết ln x dx x theo t và d *Chú ý: ∫ 1 f(ax + b)dx = F(ax + b) + C a Học sinh xem trong SGK. * ∫ x xx 2 3 + dx = ∫ dx x xx 2 1 3 1 2+ = ∫ ( dxxx )2 2 1 3 2 − − + = 3 2 1 3 1 4xx + + C = xx 43 3 + +C * ∫ (5x 2 -7x + 3)dx =5 ∫ x 5 dx-7 ∫ xdx+3 ∫ dx = 3 5 x 3 - 2 7 x 2 + 3x +C * ∫ (7cosx- x 2 cos 3 )dx =7 ∫ cosx dx -3 ∫ x dx 2 cos = 7sinx -3tanx +C HS: Giải VD1: ( ) ( ) ∫ 7 ' 1 1 I = 2x + 3 2x + 3 dx 2 ( ) 8 1 = 2x + 3 + C 16 VD2: ( ) ∫ ' 2 3 2 1 I = sin x sinx dx = sin x + C 3 VD3: ( ) ∫ 2 2 ' 1+x 2 1+x 3 1 1 I = e . 1+ x dx = e + C 2 2 4. Áp d ụ ng Tìm các nguyên hàm sau: 1) ∫ (5x 2 - 7x + 3)dx = 3 5 x 3 - 2 7 x 2 + 3x + C 2) ∫ (7cosx - x 2 cos 3 )dx = 7sinx – 3tanx + C 3) ∫ x xx 2 3 + dx = xx 43 3 + + C Ví d ụ : Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e 2x ) cos 2( 2 2 x e x − + biết F(0) = -5. Giải : F(x)= 2 1 x e tanx+ − II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUN HÀM. 1. Phương pháp đổi biến số Gợi ý: a) Xét ngun hàm 10 ( 1)x dx− ∫ Đặt u = x-1 ⇒ du = dx Ta có: (x-1) 10 dx = u 10 du c)Xét ln x dx x ∫ ; đặt x = e t . Biểu thức ln x dx x được viết thành . t t t e dt tdt e = Thơng qua VD trên Gv đưa đến Định lý 1: “Nếu ( ) ( )f u du F u C= + ∫ và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì: ' ( ( )) ( ) ( ( ))f u x u x dx F u x C= + ∫ ” VD1: Tính ( ) ∫ 7 1 I = 2x + 3 dx VD2: Tính ∫ 2 2 I = sin xcosxdx Ngun Ngäc Chi 3 Tr êng THPT Kinh M«n II Gi¸o ¸n Gi¶i tÝch 12 VD3: Tính ∫ 2 1+x 3 I = x.e dx 4. Củng cố Nhắc lại cho HS phương pháp đổi biến số tính nguyên hàm Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau 6 5 5 1 1 1 (2x 5) I (2x 5) dx (2x 5) d(2x 5) . C 2 2 6 + = + = + + = + ∫ ∫ 5 4 4 2 sin x I sin x cos xdx sin xd(cos x) C 5 = = = + ∫ ∫ 3 3 (2ln x 3) I dx x + = ∫ , Đặt u =2lnx+3 ⇒ 2 du dx x = 4 3 4 1 u I u du C 2 8 = = + ∫ 4 (2ln x 3) C 8 + = + 5. Hướng dẫn về nhà: Bài tập 2, 3 SGK. Làm bài tập sau: x 1 x e dx I e 1 = + ∫ 4 2 2 sin x I dx cos x = ∫ x 3 2 x 2x e I dx x e + = + ∫ . Tiết 39 1. Ổn định lớp: 2. Kiểm tra bài cũ:Tìm các nguyên hàm sau x x x 1 x x e dx d(e 1) I ln(e 1) C e 1 e 1 + = = = + + + + ∫ ∫ 4 2 2 2 2 sin x 1 I dx cos x 2 dx cos x cos x = = + − ÷ ∫ ∫ = dx 1 3 1 tgx 2x cos 2xd2x tgx x sin 2x C 2 4 2 4 = − + + = − + + ∫ ∫ x 3 2 x 2x e I dx x e + = + ∫ . Đặt ( ) 2 x x u x e du 2x e dx= + ⇒ = + ⇒ 2 x 8 8 du I ln u C I ln(x e ) C u = = + ⇒ = + + ∫ 3. Bài mới: Ngun Ngäc Chi 4 Tr êng THPT Kinh M«n II Gi¸o ¸n Gi¶i tÝch 12 NguyÔn Ngäc Chi Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng Cho bài toán: Vận dụng các kiến thức tính nguyên hàm đã học để Tính ∫ x.sinxdx Đặt vấn đề:Chúng ta không thể dùng các kiến thức đã học, ta sẽ dùng phương pháp sau đây để giải bài toán trên. Hướng dẫn cho HS: • Tính ( ) ' x.cosx • Lấy nguyên hàm hai vế và tính ∫ x.sinxdx • Ta đặt u = x và v = cosx . Hãy viết lại (1) theo u, v và giải thích Công thức (*) là công thức của phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. Cho Hs đọc định lí 2 trong SGK Dựa vào định lí 2 để tính nguyên hàm theo pp nguyên hàm từng phần ta phải xác định các yếu tố nào? Chú ý cho HS, đặt u và dv sao cho nguyên hàm sau đơn giản và dễ tính hơn nguyên hàm ban đầu Từ những Vd trên các em hãy nhận xét khi tính ∫ P(x)sin(ax + b)dx ∫ P(x)cos(ax + b)dx ∫ ax+b P(x)e dx , ∫ P(x)lnxdx Ta đặt u là gì? và dv là gì? Vận dụng các kiến thức đã học giải bài toán (gặp khó khăn) ( ) ' x.cosx = cosx - x.sinx ∫ x.sinxdx = ( ) ∫ ∫ ' = - x.cosx dx + cosxdx ∫ x.sinxdx ∫ = -x.cosx + cosxdx (1) = -x.cosx + sinx + C ( ) ( ) ( ) 1 ⇔ ∫ ∫ ' ' x cosx dx = xcosx - cosx. x dx ⇔ ∫ ∫ ' ' u.v dx = u.v - v.u dx (*) Xem SGK và theo dõi định lí 2 Xác định u và dv tứ đó suy ra du (đạo hàm) và v (nguyên hàm) Đặt: ⇒ 2 1 du = dx u = lnx x dv = xdx 1 v = x 2 ∫ ∫ 2 1 1 xlnxdx = x lnx - xdx 2 2 2 2 1 1 = x lnx - x + C 2 4 Xác định u và dv. Lên bảng thực hiện HS khác nhận xét *Nhận xét: Khi tính • ∫ P(x)sin(ax + b)dx hoặc ∫ P(x)cos(ax + b)dx , đặt u = P(x) sin(ax + b)dx dv = cos(ax + b)dx • ∫ ax+b P(x)e dx , đặt ax+b u = P(x) dv = e dx ∫ P(x)lnxdx ,đặt u = lnx dv = P(x)dx 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần: Định lí 2: Nếu u = u(x), v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì ∫ ∫ ' ' u.v dx = u.v - v.u dx hoặc được viết gọn dưới dạng: ∫ ∫ udv = uv - vdu VD1: Tính ∫ x.sinxdx Giải Đặt ⇒ u = x du = dx dv = sinxdx v = -cosx ∫ ∫ x.sinxdx = -xcosx + cosxdx = -xcosx + sinx + C VD5: Tính ∫ xlnxdx VD2: Tính ∫ 2x x e dx 3 Giải Đặt: ⇒ 2x 2x 1 x du = dx u = 3 3 1 v = e dv = e dx 2 ∫ ∫ 2x 2x 2x x 1 1 e dx = xe - e dx 3 6 6 2x 2x 1 1 = xe - e + C 6 12 VD3: Tính ∫ x xe dx KQ: = − = − + ∫ ∫ x x x x x xe dx xe e dx xe e C VD4: Tính ∫ xcosxdx Đặt u = x và dv = cosxdx ta có: du = dx và v = sinx ⇒ ∫ xcosxdx = xsinx - ∫ sinxdx = xsinx + cosx + C VD5: Tính ∫ lnxdx Đặt u = lnx và dv = dx ta có: du = 1 dx x và v = x ∫ lnxdx = xlnx - ∫ dx = xlnx – x + C 5 Tr êng THPT Kinh M«n II Gi¸o ¸n Gi¶i tÝch 12 4. Củng cố: Hs thực hiện các u cầu sau: 1.Phát biểu lại nội dung chính :Phương pháp đổi biến số.Phương pháp ngun hàm từng phần 2. Làm các ví dụ: 5b/145: ( ) ∫ ∫ ' 1 1 1 2 dx = 5x + 4 dx = 5x + 4 + C 5 5 5x + 4 5x + 4 5d/145: ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ' 2 2 1 1 -2 dx = 2 1+ x dx = + C 1+ x x 1+ x 1+ x 6b/145: Đặt ⇒ 2 du = 2xdx u = x v = sinx dv = cosxdx =>I= ∫ ∫ 2 2 x cosxdx = x sinx - 2 x.sinxdx Đặt ⇒ u = x du = dx dv = sinxdx v = -cosx =>I= ( ) ∫ ∫ 2 2 2 x cosxdx = x sinx - 2 -xcosx + cosxdx = x sinx + 2xcosx - 2sinx + C 6d/145: Đặt ( ) ⇒ 3 4 1 du = dx u = ln 2x x 1 dv = x dx v = x 4 =>I= ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ 3 4 3 4 4 1 1 1 1 x ln 2x dx = x ln 2x - x dx = x ln 2x - x + C 4 4 4 16 5. Hướng dẫn về nhà : - Học bài và xem thêm các VD trong SGK. - Làm các bài tập 5a, 5c, 6a và 6c.Làm bài tập trong phần Luyện Tập Tiết 40 1. Ổn định lớp: 2. Kiểm tra bài cũ:Tìm các nguyên hàm sau I= ( ) ∫ + dx x x 2 1 = Cxxx +++ 2/12/32/5 2 3 4 5 2 J= ( ) ( ) ( ) 3 1 2 3 3 3 3 2 5 2 5 5 5 5 3 9 d x x x dx x x x C + + = + = + + + ∫ ∫ K= ( ) ∫ + dx xx 2 cossin 1 = Cx +− ) 4 tan( 2 1 π 3. Bài mới: Ngun Ngäc Chi 6 Tr ờng THPT Kinh Môn II Giáo án Giải tích 12 Nguyễn Ngọc Chi Hot ng ca GV Hot ng ca HS Ni dung ghi bng GV: Cho HS laứm caực baứi taọp Hớng dẫn giải. a) = 1 I + 3 2 1 1 x 2x 2x C 3 = = + 2 3 5 2 3 3 x 1 b)I dx x 3 3 x x C 5 2 = ữ = + 3 3 1 2 2 3 1 1 c)I dx x x 3 2x x C 2 ( ) = + 4 d)I x x 1 dx = + + 5 2 2 x x C 5 Hớng dẫn giải. a) 1 J = = + x x e dx dx e x C b) = + ữ x x 2 2 e J e 2 dx cos x = x 2e tgx C+ + ( ) = + = + = + + x x 4 x x x x d)J 2 3 dx 2 dx 3 dx 2 3 C ln 2 ln3 b) Đặt = + = 3 2 u x 5 du 3x dx = + = + + + = + 2 3 2 3 3 3 3 2 E x x 5dx 1 x 5d(x 5) 3 1 2(x 5) . C 3 3 HS: Baứi 1. = + ữ = + 2 2 2 2 2 a.I x 4x dx x x dx 4 xdx 2 x dx = + 3 2 1 1 x 2x 2x C 3 ( ) = = ữ = + 3 3 1 1 2 3 1 2 2 3 1 1 c.I dx x x x x dx 3 2x x C 2 Baứi 2. ( ) ( ) = = x x 1 x a)J e 1 e dx e 1 dx x x e dx dx e x C= = + = + ữ = + ữ x x 2 2 x 2 e b)J e 2 dx cos x 1 2e dx cos x = x 2e tgx C+ + ( ) = + = + = + + x 3 1 x 2 x 3 2 c)J 2a x dx 2 a dx x dx 2a 2 x ln a 3 c) Đặt u = cosx du =sinxdx = = = = + 3 ==>E tgxdx sin x dx cosx d(cosx) cos x ln cosx C +Hc sinh nhc li cụng thc udv uv vdu= . a/.t u=lnx, dv=x -1/2 dx ta cú: du= dx/x; v= 2.x 1/2 ln x dx x = 1/ 2 1/ 2 2 ln 2x x x dx = 1/ 2 2 lnx x - 4x 1/2 + C Bài số 1. Tìm nguyên hàm các hàm số sau: ( ) ( ) 2 2 3 3 2 x 1 a) f (x) x 4x ; b) f (x) x x 1 1 c) f (x) ; d) f (x) x 1 x x 1 x x = + = = = + + + Hớng dẫn giải. a) = 1 I + 3 2 1 1 x 2x 2x C 3 b) = = + 5 2 3 3 2 3 x 1 3 3 I dx x x C 5 2 x c) = = + ữ 1 2 2 3 3 3 1 1 3 I dx 2x x C 2 x x d) ( ) ( ) ( ) 4 I x 1 x x 1 dx x x 1 dx= + + = + ( ) 3 5 2 2 2 x 1 dx x x C 5 = + = + + Bài số 2. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: ( ) x x x x 2 x x x e a) f(x) e 1 e ; b) f(x) e 2 cos x c) f(x) 2a x; d) f(x) 2 3 = = + ữ = + = + Hớng dẫn giải. a) 1 J x x e dx dx e x C= = + b) = + ữ x x 2 2 e J e 2 dx cos x = x 2e tgx C+ + d) ( ) x x x x x x 4 2 3 J 2 3 dx 2 dx 3 dx C ln 2 ln3 = + = + = + + Bài số 3. Tính: = + = + = = 2 3 1 2 3cosx 3 4 a) E cos(ax b)dx (a 0); b) E x x 5dx c) E tgxdx; d) E e .sin xdx Hớng dẫn giải. a) Đặt u = ax+b du = adx = + 1 E cos(ax b)dx = + + = + + 1 1 cos(ax b)d(ax b) sin(ax b) C a a d) Đặt u = 3cosx du = 3sinxdx = 3cosx 4 E e sin xdx = = + 3cos x 3cosx 1 1 e d(3cos x) e C 3 3 Baứi 4 : Tớnh a/. ln x dx x . Keỏt quaỷ: I == 1/ 2 2 lnx x - 4x 1/2 + C 7 Tr êng THPT Kinh M«n II Gi¸o ¸n Gi¶i tÝch 12 4. Củng cố: Hs thực hiện các u cầu sau: 1.Phát biểu lại nội dung chính :Phương pháp đổi biến số.Phương pháp ngun hàm từng phần 2. Làm các ví dụ: Bài 1: Tìm một ngun hàm F(x) của f(x)= )2)(1( 1 xx −+ biết F(4)=5. ĐS: F(x)= 2 5 ln 3 1 5 2 1 ln 3 1 −+ − + x x Bài 2.Tính: ∫ − xdxx sin)2( ĐS:(x-2)cosx-sinx+C. 5. Hướng dẫn về nhà : - Học bài và xem thêm các VD trong SGK. - Làm các bài tập SGK.Làm bài tập trong phần Luyện Tập. Đọc trước bài tích phân Tiết: 41+42+43+44. §2. TÍCH PHÂN. I.MỤC TIÊU : 1. Kiến thức : - Học sinh nắm vững bài toán tính diện tích hình thang cong, bài toán quãng đường đi được của vật và tìm ra mối liên hệ giữa nguyên hàm và diện tích hình thang cong. - Khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích phân (phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần) 2. Kỹ năng: p dụng bài toán 1 và bài toán 2 vào làm các bài tập tương tự. Hiểu rõ khái niệm tích phân, biết cách tính tích phân, sử dụng thơng thạo cả hai phương pháp tính tích phân để tìm tích phân của các hàm số. 3. Tư duy, thái độ: +Rèn tư duy logic, tính tỉ mỉ cẩn thận trong biến đổivà linh hoạt trong q trình suy nghĩ. +Tích cực trong học tập, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sáng tạo trong q trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của tốn học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội. II. Phương pháp : - Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp. - Phương tiện dạy học: SGK. III. Chuẩn bị: + Chuẩn bị của giáo viên :Phiếu học tập, bảng phụ. + Chuẩn bị của học sinh :Hồn thành các nhiệm vụ ở nhà.Đọc qua nội dung bài mới ở nhà. IV. Tiến trình tiết dạy : Tiết 41 1. Ổn định lớp : Ngun Ngäc Chi 8 Tr êng THPT Kinh M«n II Gi¸o ¸n Gi¶i tÝch 12 2. Kiểm tra bài cũ : - Trình bày phương pháp đổi biến số để tính ngun hàm. - Viết cơng thức tính ngun hàm từng phần (dạng đầy đủ và dạng rút gọn). 3. Vào bài mới Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung ghi bảng Ký hiệu T là hình thang vng giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hồnh và hai đường thẳng x = 1; x = t (1 ≤ t ≤ 5) (H45, SGK, trang 102) 1. Hãy tính diện tích S của hình T khi t = 5. (H46, SGK, trang 102) 2. Hãy tính diện tích S(t) của hình T khi t ∈ [1; 5]. 3. Hãy chứng minh S(t) là một ngun hàm của f(t) = 2t + 1, t ∈ [1; 5] và diện tích S = S(5) – S(1). “Cho hàm số y = f(x) liên tục, khơng đổi dấu trên đoạn [a ; b] .Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hồnh và hai đường thẳng x = a ; x = b được gọi là hình thang cong (H47a, SGK, trang 102)” Câu hỏi: So sánh các đại lượng S MNPQ , S MNQE , S MNEF . GV dẫn dắt đưa tới đẳng thức: 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) x x S x S x f x x x + → − = − Tương tự với x ∈ [a; x 0 ), ta cũng có: 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) x x S x S x f x x x − → − = − Em rút ra kết luận gì về 0 0 0 ( ) ( ) lim x x S x S x x x → − − =? Dẫn dắt đưa ra S(x) = F(x) + C ( Với F(x) là ng/hàm của h/s f(x)) Em hãy tính S = S(a)- S(b)=? Gv giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa : Thảo luận nhóm để: + Tính diện tích S của hình T khi t = 5. (H46, SGK, trang 102) + Tính diện tích S(t) của hình T khi t ∈ [1; 5]. + Chứng minh S(t) là một ngun hàm của f(t) = 2t + 1, t ∈ [1; 5] và diện tích S = S(5) – S(1). Thảo luận nhóm để chứng minh F(b) – F(a) = G(b) – G(a). Ta có : 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) x x S x S x f x x x → − = − S(x) có đạo hàm tại x 0 và S’(x 0 ) = f(x 0 ). S = S(a)- S(b)= F(b)+ C– (F(a)+C) = F(b) – F(a) I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN. 1. Diện tích hình thang cong: ( sgk ) 2. Định nghĩa tích phân : “Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một ngun hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu: ( ) b a f x dx ∫ Ta còn ký hiệu: ( ) ( ) ( ) b a F x F b F a = − . Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a = = − ∫ “Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một ngun hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu: ( ) b a f x dx ∫ Ta còn ký hiệu: ( ) ( ) ( ) b a F x F b F a = − . Ngun Ngäc Chi 9 a b f(x) y x O A B A a b y x Tr êng THPT Kinh M«n II Gi¸o ¸n Gi¶i tÝch 12 Gv giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa Qui ước: nếu a = b hoặc a > b: ta qui ước : ( ) 0; ( ) ( ) a b a a a b f x dx f x dx f x dx= = − ∫ ∫ ∫ Gv giới thiệu cho Hs vd 2 (SGK, trang 105) để Hs hiểu rõ định nghĩa vừa nêu. + Nếu hàm số f(x) liên tục và khơng âm trên đoạn [a; b] thì ( ) b a f x dx ∫ là diện tích S của hình thang giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b. (H 47 a, trang 102) Vậy : S = ( ) b a f x dx ∫ Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a = = − ∫ Nhận xét: + Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể ký hiệu là ( ) b a f x dx ∫ hay ( ) b a f t dt ∫ . Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào hàm f, các cận a, b mà khơng phụ thuộc vào biến số x hay t. 4. Củng cố +) Nhắc lại định nghĩa tích phân và cho HS làm các VD sau: VD1: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thò hàm số y = x 3 trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 2. HS:Ta có F(x)= x 4 /4 + C =>Diện tích cần tìm là :S = F(2) – F(1) = 3 4 VD2: Một ô tô c/đ có vận tốc thay đổi theo thời gian, v = 2t + 3t 2 .Tính quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 1 đến thời điểm t = 5. HS: Ta có S(t)=t 2 + t 3 +C => Qng đường đi được là S = ( ) 5 2 2 3 5 1 1 (2 3 ) 148t t dt t t+ = + = ∫ 5. Hướng dẫn về nhà : u cầu HS xem trước phần tính chất của tích phân. Làm bài tập trong SGK trang 52 Tiết 42 1.Ổn định lớp : 2.Kiểm tra bài cũ : - Trình bày các tính chất của ngun hàm. Tính các tích phân sau: I= ∫ 1 0 2 dxx = 3 1 )01( 3 1 3 33 1 0 3 1 0 2 =−== ∫ x dxx J= 11lnlnln 1 1 =−== ∫ ex x dx e e 3.Bài mới Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung ghi bảng GV: Nhắc lại = ∫ a a f(x)dx 0 và = − ∫ ∫ b a a b f(x)dx f(x)dx Chứng minh: tính chất 1;2 và 3 (sách giáo khoa). HS: Ta có II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN. + Tính chất 1: ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx= ∫ ∫ Ngun Ngäc Chi 10 [...]... phân sau: π/2 x − 2e + 1dx ∫ (sin 2 x − cos x)dx I= 0 ) J= 2 e x − 1 dx x -1 1 ∫ f ( x ) dx = −2 và 3 ( ∫ = c 3 -1 1 b 1 sin0 = 0 Hs: Ta có x − 2, nÕu x ≥ 2 Ta có x − 2 = 2 - x, nÕu x ≤ 2 c f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx (a < c < b) 3 1 cos2x | π / 2 - sinx | π / 2 0 0 2 1 π = - (cos π - cos0 ) - sin 2 2 3 1 a 2 =- 1 3 ∫ 0 = ∫ 3 f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx a b π HS: I= a + Tính chất 3: =... = ∫ f ( x)dx - ∫ f ( x)dx 5 1 b) Ta có 5 2 5 1 1 ∫ [ 4 f ( x) − g ( x)]dx = 4 ∫ f ( x)dx - ∫ g ( x)dx = 16 5 Hướng dẫn về nhà Chú ý xem lại các tính chất của tích phân Chuẩn bò bài tập sgk T 15 2-1 53 để học trong tiết sau Tiết 43 Ngun Ngäc Chi 11 ⇔ 5 ∫ f ( x)dx =10 2 Trêng THPT Kinh M«n II Gi¸o ¸n Gi¶i tÝch 12 1.Ổn định lớp : 2.Kiểm tra bài cũ : - Trình bày các tính chất của tích phân - Tính các tích... Tính chất 2: 3 0 x 1 ∫( x − 2)dx 2 = [- x2 x2 2 3 + 2 x ] 1 +[ − 2x ] 2 2 2 =1 + ∫ (e x − 1)dx = ) ∫(−x + 2)dx + 3 -1 ( ∫ 1 − 1 dx = − ∫ (e − 1)dx 0 2 x − 2 dx = 2 ( ) K= − ex − x 0 1 + ex − x 1 = − 0 ∫ e2x − 2e x + 1dx -1 1 1 e + 2 ÷+ ( e − 2 ) = e + e 4 Củng cố : Nhắc lại cho Hs các tính chất của tích phân sau đó cho Hs làm các ví dụ sau 2 ∫ f ( x)dx =-4 , Ví dụ: Cho biết 1 5 Tính a) ∫ f (... kiến thức 3 chương và các dạng bài cơ bản trong 3 chương Củng cố, n©ng cao và rÌn luyện kỹ năng kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè, c¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn kh¶o s¸t HS nh sù t¬ng giao gi÷a c¸c ®êng, tiÕp tun, cùc trÞ, tÝnh ®¬n ®iƯu cđa HS,… c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh mò vµ Logari, các phương pháp tính tích phân Ngun Ngäc Chi 15 Trêng THPT Kinh M«n II Gi¸o ¸n Gi¶i tÝch 12 2 Kỹ năng... tích phân và giải phương trình, bất phưong trình 3 Tư duy thái độ: Giáo dục tính cẩn thận, chặt chẽ, logic Chuẩn bị tốt mọi kiến thức cho bài thi HK I II Chuẩn bị Giáo viên : Chuẩn bị bảng phụ hệ thống hố lại các kiến thức cơ bản của các chương Học sinh: Soạn bài và giải bài tập trước khi đến lớp, ghi lại những vấn đề cần trao đổi III. Phương pháp: +Gợi mở nêu vấn đề kết hợp với hoạt động nhóm IV.Tiến... 3 x − 4 x 3 = k ( x − 1) − 1 2 3 − 12 x = k k = −9 → k = 0 9 k = 4 y = −9 x + 8 → y = −1 9 13 y = x − 4 4 Ghi bảng Bài 1: Cho hàm số y = 3x − 4x3 có đồ thò là (C) 1 y’ = 3 – 12x2 → y ' = 0 ↔ x = m 2 - −∞ thò của hàm số BBT x a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ y′ y +∞ −1 2 + 0 − −1 *§å thÞ : Giao Ox,Oy, NhËn xÐt 1 2 0 1 +∞ + y’ = -4 t + 5 , y’ = 0 khi t = 5/4 do ®ã y’ J= ∫(−x + 2)dx + ∫ e 2x a Ví dụ: Cho 2 3 ∫( x − 2)dx 2 -1 1 x2 x2 2 3 − 2x ] 2 = [- + 2 x ] 1 +[ 2 2 ∫e = =1 1 ∫ g (... ∫ ∫ ∫ 0 5 Híng dÉn vỊ nhµ: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: Ngun Ngäc Chi 13 Trêng THPT Kinh M«n II 3 1 ∫ e 7 x+4 Gi¸o ¸n Gi¶i tÝch 12 ln 2 dx 2 0 ∫ e x − 1dx 3 0 2 ∫x 2 4 − x 2 dx −1 Tiết 44 1.Ổn định lớp : 2.Kiểm tra bài cũ : 1 - Tính các tích phân sau: a/ ∫ 0 3.Bài mới Hoạt động của Giáo viên GV: Chøng minh Ta cã:[ u(x).v(x)] ' = u '(x).v(x) + u(x).v '(x) => ∫ b a ∫ [ u(x).v(x)] ' dx = b a b u '(x)v(x)dx... u=lnx, dv=x-1/2dx ta có: du= dx/x; v= 2.x1/2 e2 ln x ∫ x dx = 1 2x 1/ 2 e2 1 ln x | e2 − ∫ 2 x −1 / 2 dx 1 1/2 e 2 1 =4e-4x | =4 xdx 9 ĐS: ln b/ ∫ 1 + sin 2x.dx x + 3x + 2 8 π 2 Hoạt động của Học sinh dx du = x u = ln x ⇒ 2.§Ỉt 2 3 dv = x dx v = x 3 Khi ®ã e Nội dung ghi bảng e3 e3 − 1 2e3 + 1 = − = 3 9 9 2 u = x du = 2 xdx ⇒ §Ỉt x x dv = e dx v = e Khi ®ã 1 1 III PHƯƠNG... 9 32( x + 1)–10.3x+1+1= 0 BPT ⇔ log3 3 x − log 3 ( x 2 − x − 6) ≥ 0 x+1 - §Ỉt t = 3 (t >0) 2 Pt 9t – 10t + 1 = 0 3 x +1 = 1 t = 1 → 1 → x +1 1 3 = t = 9 9 x = −1 → x = −3 3 Ta cã 2 −2 cos2 x = cos2 x − sin 2 x ↔2 sin2 x = 2 cos 2x + sin x 2 (*) + cos2 x - XÐt hµm sè f(t) = 2t + t f '(t ) = 2 t ln 2 + 1 > 0∀t - Tõ (*) ta thÊy : 2 2 f(sin x) = f(cos x) ↔ sin 2 x = cos 2 x Ngun Ngäc . cos2sin π π xdxxdx = - 2 1 cos2x | 2/ 0 π - sinx | 2/ 0 π = - 2 1 (cos π - cos0 ) - sin 2 π - sin0 = 0 Hs: Ta có ( ) 2 2x -1 2 2 x -1 K= e 2 1 e 1 x e dx. * ∫ (5x 2 -7 x + 3)dx =5 ∫ x 5 dx-7 ∫ xdx+3 ∫ dx = 3 5 x 3 - 2 7 x 2 + 3x +C * ∫ (7cosx- x 2 cos 3 )dx =7 ∫ cosx dx -3 ∫ x dx 2 cos = 7sinx -3 tanx +C HS: